Omzetten 3D coordinaten tussen twee Carth. stelsels

Je zult de XYZ waarden die je uit de camera krijgt moeten schalen naar de XYZ van het assenstelsel dat je op je tafel gedefinieerd hebt (m.a.w. is een afstand van 1 op de x-as, y-as of z-as gelijk aan een afstand van 1 op de x-,y-of z-as van de tafel, zo nee, waarmee moet je elke as vermenigvuldigen). Denk eraan dat niet elke as met dezelfde waarde geschaald hoeft te zijn!

Verder kun je ervoor zorgen dat er geen (of een verwaarloosbare) rotatie is tussen je assenstelsels, dan volstaat een simpele translatie voor elke as, dus iets als Xkamer = Xcamera + A, etc
A is hierin een constante.

Indien er wel een rotatie is kun je met een lineaire transformatie ook nog wel in de buurt komen, dan krijg je iets als Xkamer = a*(Xcamera) + b*(Ycamera) + c*(Zcamera) + een of andere constante. a,b en c zijn wederom constanten.

Wil je het helemaal leuk maken dan zul je ook rekening moeten gaan houden met dingen als lensvervorming. Maar daar wil ik niet eens aan denken .

Wat ga je ermee doen?

je zal de hoeken moeten opmeten. dit kan je bijvoorbeeld doen door een aantal objecten te leggen op een bekende coördinaat van de table space(even met een meetlat kijken welke coördinaat precies waar zit op de tafel) en dan met de camera de cameraspace coördinaten te bereken.

als we de coördinaten van de table space X Y en Z noemen, en die van de camera space X', Y' en Z', dan geld de volgende relatie:
X=Cos(Hoek tussen X en X') * X' + Cos(Hoek tussen X en Y') * Y' + Cos(Hoek tussen X en Z') * Z' + OFFSET

Y=Cos(Hoek tussen Y en X') * X' + Cos(Hoek tussen Y en Y') * Y' + Cos(Hoek tussen Y en Z') * Z' + OFFSET

Z=Cos(Hoek tussen Z en X') * X' + Cos(Hoek tussen Z en Y') * Y' + Cos(Hoek tussen Z en Z') * Z' + OFFSET

het eerste deel met de cosinusen is om de rotatie van je camera te veranderen. de OFFSET is in hoeverre het nulpunt verschoven is. in je voorbeeldplaatje is dat dus -700 voor X, -600 voor Y, en 1000 voor Z.

oh sorry, ik las even overheen dat je de hoek zelf niet kon bepalen.

ik zou dit doen door, zoals ik zei, testobjecten. de relatie hierboven gegeven geldt in principe altijd (kijk btw als je geintereseerd bent eens waarom deze relatie klopt tip: cos(0)=1 en cos(90°)=0). als je dus een testobject op een bekende locatie in table space neerzet, dan weet je mbv je camera de camera coordinaten én de table coordinaten, en kan je dus berekenen wat de cos(hoek tussen X en Y') moet zijn, en alle andere hoeken.

oh, hip. je kent matrixen. ik dacht daar hou ik mn mond even over omdat het dan gelijk weer ingewikkeld wordt.

ik zal zometeen ff kijken naar t probleem zoals je het nu schetst.

quote:

Waarom niet?
- Z as cam space is denk ik nu wel ' gedraaid ' om parallel to lopen met Z as tablespace, maar hij is in ieder geval nog niet echt OP dezelfde as denk ik zo, alleen parallel aan. (daar heb ik ws offset voor nodig).
- Verder; hoewel de Z as dan 'klopt', dan kloppen de X en Y assen toch nog niet per definitie? Moet ik hierna dan nog eens gaan roteren om de Z as?

Punt 1: Klopt, je moet nog transleren met [324 0 0, 0 110 0, 0 0 -636] uitgaande van coordinaten voor LV in een eerdere post. Stel we noemen deze matrix t, dan krijg je tablenormal = m*camnormal + t

Punt 2: Als je alleen de vector alignt (zoals je nu doet) heb je daar inderdaad een punt mee. Je zou om de Z as kunnen gaan draaien, maar ik denk dat het ook wel mogelijk is om na de eerste align de X assen te alignen.

Ben je ook nog van plan automatisch de hoek van de tafel te detecteren of wordt dat point & click?

[ Bericht 2% gewijzigd door Azreal op 26-04-2012 21:35:32 ]

Correctie op punt 1, de matrix moet [1 0 0 324, 0 1 0 110, 0 0 1 -636, 0 0 0 1] zijn en die vermenigvuldig je met een vector [x y z 1].

Zoals ik gisteren al zei, ik ben er alweer even uit...

pfft.. ik ben het even kwijt hoor.

qua achtergrond ben ik eersteajaars wiskunde student. het eerste half jaar Lineaire algebra A gehad, en ik begin morgen met lineaire algebra B.

anyway, het komt er op neer dat je eerst met een rotatiematrix (3d rotatie matrix kwam bij mij maar heel kort aan bod, dus weet niet meer hoe je die moet opstellen...) de assen goed zet, en dan een translatiematrix erbij optelt.

hoop dat je er uit komt, succes

[ Bericht 0% gewijzigd door Asphias op 27-04-2012 00:06:19 ]

Ik heb het allemaal eens heel vluchtig overlezen, maar volgens mij is dit helemaal niet zo moeilijk eigenlijk.
Je gaat voor zover ik lees, vergeef het me als ik over dingen gelezen heb, verkeerd te werk: je bent affien aan het transformeren, en dat wil je juist niet doen, aangezien je van basis verandert. Ik baseer me hiervoor op de formule die ik in een van de posts zag: "tablenormal = m*camnormal + t". Deze formule zou kloppen als het een affiene transformatie was. Maar het klopt wel dat affiene en coordinatenmatrices in elkaar overget kunnen worden, maar zo maak je het misschien onnodig moeilijker.

Eerst en vooral zou ik voor het gemak de assen herbenoemen (y en z omwisselen), als dit geen verschil maakt, zodat je een rechtshandige basis hebt (momenteel heb je de minder gebruikte linkshandige basis gekozen). Bovendien ga ik ervan uit dat je assenstelsel genormeerd is.

Dan druk je de nieuwe basisvectoren (op de tafel) lineair uit in functie van die van de oude basis. Daarbij komt enkel wat trigonometrie voor. Je basisvectoren zijn genormeerd, je mag dus doen alsof je in de goniometrische cirkel werkt, er komt, als ik juist zie:
e'(x) = e(x)
e'(y) = cos(a)*e(y) - sin(a)*e(z)
e'(z) = cos(a)*e(z) + sin(a)*e(y)
(hierbij heb ik de z en y as al omgewisseld, in jouw figuur; a = hoek die de y-as maakt met het tafelvlak. Deze moet je natuurlijk meten, anders is er geen beginnen aan).
Nu definieer je de overgangsmatrix M:
M = [1 0 0
0 cos(a) sin(a)
0 -sin(a) cos(a) ]
Waarbij de kolommen de lineaire combinaties zijn van de oorspronkelijke vectoren naar de nieuwe.
Definieer nu verder de translatievector tussen de twee oorsprongen van de assenstelsels (die dus ook overeenstemt met de coördinaten van de tweede oorsprong op de tafel, in functie van het eerste assenstelsel) als T(t1,t1,t3).
Dan gaan we nu over op homogene coördinaten, waarbij je dus onderaan bij punten een 1 toevoegt.
We definieren:
P = [1 0 0 t1
0 cos(a) sin(a) t2
0 -sin(a) cos(a) t3
0 0 0 1 ]
Nu is de gezochte transformatie gegeven door:
(x y z 1)^(T) = P*(x' y' z' 1)^T.
Ofwel:
(x y z 1)^T*P^(-1) = (x' y' z' 1)^T.

Dus je berekent de inverse van P, vermenigvuldigt die met (x y z 1)^T, en je kunt de gevraagde transformatieformules afleiden, om elke coördinaat te herschrijven naar het andere assenstelsel.

Ik hoop dat het is wat je vroeg , anders ligt de fout bij mijn vluchtig overlezen =).

[ Bericht 2% gewijzigd door yarnamc op 27-04-2012 13:30:36 ]

Ik heb Biomedische Technologie gestudeerd en ben na jarenlang cellen kweken en focus op de biologische kant van dingen de image analysis ingedoken. Daar word je ook met dit soort vraagstukken geconfronteerd, hoewel ik zelf er nooit echt mee gewerkt heb. Zelf was ik bezig met machine learning.

Zoals Asphias aangeeft is het eigenlijk gewoon lineare algebra (nouja, als je het volledig correct wilt doen niet linear, maar daar wil ik niet eens aan denken ). Wel handig om er een wiskunde student bij te hebben. Ik ben echt een ramp met formules voor dit soort dingen, het hele rotatiematrix verhaal en dat het handig is die uit te drukken in cos en sin was ik helemaal kwijt, terwijl het toch echt vrij logisch is dat zo te doen.

@yamamc: wat is precies het verschil tussen een affine transformatie en transformatie naar een andere basis? Het klinkt namelijk alsof je precies hetzelfde aan het doen bent en P de transformatiematrix voor de affine transformatie is. Maar zoals gezegd, ben niet echt de expert en mijn laatste confrontatie met affine transformatie was het patchen van slechte code van een vriendin van me .

@Holy_Goat: wedje maken dat er onder water wel rotatiematrices of iig een transformatiematrix berekend wordt?

Je hoeft trouwens voor yamamc's oplossing geen hoek te berekenen/meten aangezien je je assen gedefinieerd hebt aan het tafelvlak. Om van linkshandige naar rechtshandige basis over te gaan kun je als ik me niet vergis een van de assen die het tafelvlak definieren negatief definieren (in dit geval dus de X of de Z as). Om het dat zeker te weten moet ik alleen even uitzoeken hoe het ook alweer zat met linkshandige en rechtshandige basis en daar heb ik nu geen tijd voor.

Als je ermee wilt gaan rondlopen, ga je dan niet een automatisch systeem voor de positie van een ankerobject (in dit geval de tafel) nodig hebben? Kijk, dat zijn de echte leuke uitdagingen .

quote:

Op zaterdag 28 april 2012 15:44 schreef Azreal het volgende:
@yamamc: wat is precies het verschil tussen een affine transformatie en transformatie naar een andere basis? Het klinkt namelijk alsof je precies hetzelfde aan het doen bent en P de transformatiematrix voor de affine transformatie is. Maar zoals gezegd, ben niet echt de expert en mijn laatste confrontatie met affine transformatie was het patchen van slechte code van een vriendin van me .

Een affiene transformatie is een afbeelding, waarbij elke barycentrische combinatie van punten afgebeeld wordt op een nieuwe barycentrische combinatie van punten. Men kan dan aantonen dat transformaties als spiegelingen, rotaties, ... affiene transformaties zijn. Zo kan men aan de hand van rotatiematrices, homothetiematrices, ... de nieuwe coördinaten van de getransformeerde figuren berekenen. Belangrijk is hierbij dat de basis niet verandert, je blijft dus hetzelfde assenstelsel gebruiken. Dat is dus zoals je ziet, helemaal niet wat we in dit geval aan het doen zijn.

In dit geval laten we namelijk alle punten op hun plaats staan, maar veranderen we het assenstelsel (eigenlijk exact het omgekeerde van de affiene transformatie). Dit noemen we dan ook een coördinatentransformatie. Het zijn eigenlijk twee volstrekt verschillende dingen, maar men kan bewijzen, dat de matrices van de affiene transformatie omgezet kunnen worden in deze van een equivalente coördinatentransformatie en andersom. Maar het is om verwarring te vermijden beter de twee te scheiden, als je de twee niet 100% uit elkaar kunt houden. Er zijn namelijk subtiele en belangrijke verschillen in de formules, zo is bijvoorbeeld bij een coördinatentransformatie s = As' (met s' de nieuwe coördinaten, formule geldt indien er geen translatievector is) en bij de affiene transformatie s' = As (met dezelfde betekenis van de symbolen). Men maakt dus nogal snel fouten, als men dit niet opmerkt.

quote:

Op zaterdag 28 april 2012 17:21 schreef yarnamc het volgende:

[..]

Een affiene transformatie is een afbeelding, waarbij elke barycentrische combinatie van punten afgebeeld wordt op een nieuwe barycentrische combinatie van punten. Men kan dan aantonen dat transformaties als spiegelingen, rotaties, ... affiene transformaties zijn. Zo kan men aan de hand van rotatiematrices, homothetiematrices, ... de nieuwe coördinaten van de getransformeerde figuren berekenen. Belangrijk is hierbij dat de basis niet verandert, je blijft dus hetzelfde assenstelsel gebruiken. Dat is dus zoals je ziet, helemaal niet wat we in dit geval aan het doen zijn.

In dit geval laten we namelijk alle punten op hun plaats staan, maar veranderen we het assenstelsel (eigenlijk exact het omgekeerde van de affiene transformatie). Dit noemen we dan ook een coördinatentransformatie. Het zijn eigenlijk twee volstrekt verschillende dingen, maar men kan bewijzen, dat de matrices van de affiene transformatie omgezet kunnen worden in deze van een equivalente coördinatentransformatie en andersom. Maar het is om verwarring te vermijden beter de twee te scheiden, als je de twee niet 100% uit elkaar kunt houden. Er zijn namelijk subtiele en belangrijke verschillen in de formules, zo is bijvoorbeeld bij een coördinatentransformatie s = As' (met s' de nieuwe coördinaten, formule geldt indien er geen translatievector is) en bij de affiene transformatie s' = As (met dezelfde betekenis van de symbolen). Men maakt dus nogal snel fouten, als men dit niet opmerkt.

Duidelijk, tnx! Snap nu ook waarom ik het verschil niet zag.