Supersymmetrie

Heb je het al aan google gevraagd?

Supersymmetrie

Heel veel zaken in de natuurkunde zijn “super”. Qua experimentele bouwwerken heb je zo de Super Proton Synchotron en de afgelaste Superconducting Super Collider, die kennelijk niet super genoeg was om afgemaakt te worden. Qua theorieën heb je onder andere supersnaartheorie, supergravitatie en supersymmetrie. Over die laatste gaan we het hebben, want supersymmetrie is de laatste decennia een erg belangrijk aspect geworden van de hoog energetische fysica en min of meer de basis van de eerste twee supertheorieën. Het concept en de motivatie worden hier gegeven. Een cruciale rol is weggelegd voor, hoe kan het ook anders, symmetrieën. Dit artikeltje zal dan ook proberen aan te sluiten op twee eerder verschenen artikelen in de Periodiek, “Moeizame unificaties en de aard van ruimtetijd” en “To gauge or not to gauge”. Het is niet noodzakelijk de inhoud van deze artikelen te kennen, maar wel handig.

Symmetrieën in het standaardmodel

Supersymmetrie, liefkozend SUSY genoemd, is voor het eerst opgemerkt door ene Miyazawa, maar het werd pas opgepikt nadat het was herontdekt in zowel de Verenigde Staten als in Rusland in het begin van de jaren ‘70. Het was het resultaat van een hele interessante vraag: hoe ver kun je de symmetrieën van het standaardmodel uitbouwen zonder dat je je dynamica weggooit? Het standaardmodel beschrijft de zwakke, sterke en elektromagnetische wisselwerkingen met quantumveldentheorie en bezit een aantal symmetrieën. Zo is ze Lorentz covariant, wat wil zeggen dat ze verenigbaar is met de speciale relativiteitstheorie en dus niet afhangt van het setje coordinaten wat je kiest in de vlakke ruimtetijd. Deze symmetrieën worden beschreven door de zogenaamde Poincaré groep en behelzen ruimtetijd symmetrieën. We noemen ze daarom ook wel extern. In de speciale relativiteitstheorie zijn deze symmetrieën globaal, wat wil zeggen dat ze constant zijn over de ruimtetijd. Dit geldt dus ook voor het standaardmodel. Het standaardmodel is immers gestoeld op een vereniging tussen de quantummechanica en de speciale relativiteitstheorie!

Aan de andere kant heb je de zogenaamde ijksymmetrieën. Het standaardmodel is een ijktheorie, wat zoveel wil zeggen dat je krachtvelden willekeurig geijkt kunnen worden zonder dat de uiteindelijke waargenomen natuurkunde verandert. Die willekeur is vrij groot in de zin dat ze mag veranderen van punt tot punt in de ruimtetijd. Dit noemen we dan ook wel lokale symmetrieën. Deze ijksymmetrieën worden beschreven door abstracte interne ruimtes die los van de ruimtetijd staan. De resterende symmetrieën van het standaardmodel laten we even voor wat ze zijn.

Zo kun je de totale symmetriegroep van het standaardmodel zien als een “product” van de Poincaré groep en interne symmetrieën. In dit product zijn de externe ruimtetijdsymmetrieën en de interne symmetrieën onafhankelijk van elkaar. Coleman en Mandula kwamen in 1967 met een belangrijk theorema [1]: als je op een niet-triviale manier verstrooiïngsprocessen in het standaardmodel wilt beschrijven, dan is zo’n product van symmetriegroepen de enige manier om je complete symmetriegroep op te schrijven. Je kunt dus niet zomaar interne en externe symmetrieën met elkaar gaan mengen! Doe je dat wel, dan zul je al gauw zien dat volgens je theorie deeltjes niet meer met elkaar interacteren.

Supersymmetrieën in het standaardmodel

Na zo’n conclusie kun je twee dingen doen. Simpelweg het theorema accepteren dat je je symmetriegroep niet spannender kan maken, of je kunt uitwegen zoeken om het theorema te omzeilen. Met supersymmetrie doe je nu net dat laatste, en dit idee werd volledig uitgewerkt in [5] door mensen als Rudolf Haag.

Met supersymmetrie poneer je een symmetrie tussen bosonen en fermionen. Bosonen zijn deeltjes met heeltallige spin, en fermionen zijn deeltjes met halftallige spin. In het standaardmodel staan deze los van elkaar en gedragen ze zich heel verschillend; er is geen symmetrie die bosonen aan fermionen relateert, omdat je daarmee de spin moet gaan veranderen. Maar supersymmetrie doet dit wel! De wiskundige structuur is zodanig, dat je het Coleman-Mandula theorema omzeilt. Formeel gezien worden de symmetrieën in het standaardmodel vooral beschreven door Lie algebra’s. Kort door de bocht geven dit soort algebra’s symmetrieën die continu zijn, zoals rotaties.

Maar voor supersymmetrie construeer je, jawel, super Lie algebra’s! Met zo’n superalgebra kun je de symmetrie beschrijven tussen deeltjes met verschillende spin. Schematisch zou je dus een transformatie δ kunnen bedenken tussen bosonen B en fermionen F als


(1)

Deze ansatz blijkt echter een beetje naief te zijn. Om een symmetrie tussen bosonen en fermionen op te schrijven, moeten we wel evenveel bosonische vrijheidsgraden hebben als fermionische vrijheidsgraden. Met een overschot aan bosonische vrijheidsgraden zouden we bijvoorbeeld zo geen gerelateerde fermionische vrijheidsgraden hebben en zou supersymmetrie niet te construeren zijn. Dit impliceert na een precieze analyse dat een fermion in een afgeleide van het gerelateerde boson transformeert. Voor ons verhaal is dit verder een detail, maar het laat wel zien dat je subtiel te werk moet gaan om supersymmetrie te construeren, want bosonen en fermionen zijn twee heel verschillende soorten deeltjes!

Nou zou het natuurlijk fantastisch zijn als we voor elk boson in de natuur een superpartner kunnen vinden die we ook daadwerkelijk meten, en vice versa. Dan zou supersymmetrie heel natuurlijk op ons overkomen. Helaas zijn deze superdeeltjes niet gevonden. Om supersymmetrie in te voeren moet je zo al gauw het aantal bekende deeltjes verdubbelen: elk deeltje krijgt een superpartner wat nog niet is waargenomen.

Waar zijn al die deeltjes?

Als we alle waargenomen deeltjes in de natuur zouden kunnen stoppen in een supersymmetrische theorie, dan zou supersymmetrie ongebroken zijn. Maar dit is niet het geval. De reden volgens fysici? Supersymmetrie is gebroken! Nu kun je je afvragen wat dan nog de reden is om die symmetrie op te zetten. Er zijn verschillende redenen. Ten eerste geven gebroken symmetrieën nog steeds heel veel inzicht in de natuurkunde. Hiervan zijn verschillende voorbeelden.

Zo poneerde Heisenberg in de jaren ’30 een symmetrie tussen protonen en neutronen die hij isospin noemde. De reden was dat neutronen en protonen bijna hetzelfde zijn op de lading na. Heisenberg dacht dat je het kleine massaverschil tussen protonen en neutronen misschien wel kon verklaren via een symmetriebreking door de elektromagnetische wisselwerking. Als je deze uit zou kunnen zetten, dan zouden protonen en neutronen wellicht dezelfde massa hebben en als zodaning niet meer te onderscheiden zijn. Nu weten we, in tegenstelling tot Heisenberg, dat protonen en neutronen uit quarks bestaan, maar desondanks is isospin nog steeds belangrijk in het standaardmodel.

Een ander voorbeeld van zo’n gebroken symmetrie is het Higgsmechanisme. In ijksymmetrieën blijkt het erg lastig te zijn massatermen te introduceren. Dat is vervelend, want heel veel deeltjes in het standaardmodel zijn massief! De manier waarop dat via het Higgsmechanisme gaat, is als volgt. Doe eerst net alsof alle deeltjes massaloos zijn, zodat je niet met die vervelende massatermen opgescheept zit. Stel dan dat deze symmetrie gebroken wordt door een deeltje wat je voor het gemak “Higgsdeeltje” noemt. Op deze manier blijk je op een hele elegante manier massatermen te kunnen introduceren, terwijl je je ijksymmetrie behoudt.

Maar die introductie van zoveel deeltjes om je theorie nog enigszins plausibel te maken lijkt de theorie niet echt geloofwaardig te maken. Er zijn dan ook fysici die om deze reden supersymmetrie al verlaten hebben. Als de LHC binnenkort die superpartners daadwerkelijk niet vindt, kun je immers zeggen dat de massa’s van die superpartners nog hoger zijn. Wat echter goed is om te beseffen is dat fysici met hun beperkte apparatuur nog maar in een vrij klein energiespectrum hebben gemeten. Je kunt het vergelijken met licht: als je een paar eeuwen geleden iemand had verteld dat er een soort van onzichtbare straling is die buiten het zichtbare spectrum valt, dan had die persoon dat waarschijnlijk ook niet geloofwaardig gevonden. We weten nu echter dat zichtbaar licht maar een heel klein stukje van het totale stralingsspectrum uitmaakt!

Het Minimale Supersymmetrische Standaardmodel

De meest simpele supersymmetrische uitbreiding van het standaardmodel wordt ook wel het “Minimal Supersymmetric Standard Model”, oftewel “MSSM” genoemd. Een natuurlijke vraag is dan: “Waarom zou je het standaardmodel willen uitbreiden?” Ook hier is weer een historisch antwoord te geven.

In de jaren ’30 had men een theorie van de zwakke wisselwerking tussen fermionen. Deze interactie werd niet via de nu bekende ijkbosonen beschreven, maar via wiskundige stromen. Deze theorie was in het geval van lage energieën succesvol in het beschrijven van deze interacties, maar Heisenberg merkte eind jaren ’30 al op dat het misging zodra je naar grotere energieën ging kijken. De theorie voorspelt dan oneindigheden. In de context van de moderne quantumveldentheorie betekent dit dat deze theorie niet renormalizeerbaar is, en alleen opgevat kan worden als een lage energielimiet.

Het standaardmodel bevat ook dit soort problemen. Als eerste weten we nu dat het vrij naief is om te geloven dat een theorie geldig is tot willekeurige energieschalen. Hoewel het standaardmodel erg succesvol is in het beschrijven van de wereld op kleine schaal, lijkt het erg ongeloofwaardig dat het standaardmodel dit blijft doen als we naar veel hogere energieschalen gaan kijken. Zoals Zee het beschrijft: “If anyone tries to sell you a field theory claiming that it holds up to arbitrarily high energies, you should check to see if he sold used cars for a living!”[2] Er is nog een enorme weg te gaan qua energie voordat je bij de energieschalen komt waarbij zwaartekracht belangrijk wordt en je verwacht dat het standaardmodel niet meer opgaat. Deze energieschaal noem je de Planckschaal en het zou wel heel toevallig zijn als het gehele standaardmodel langs die enorme energieweg volledig juist blijkt te zijn.

Hiërarchie

Deze kritiek zou Heisenberg dus ook zo kunnen geven mocht hij nog leven. Een ander probleem is het zogenaamde “hiërarchieprobleem”, wat al een artikel an sich waard is. Het idee hierachter is dat de naieve parameters in je quantumveldentheorie niet exact de parameters zijn die je meet. De relatie tussen de parameters die je in je theorie stopt en de daadwerkelijke parameters die je meet wordt gegeven door iets wat renormalizatie wordt genoemd. Intuïtief zou je kunnen zeggen dat quantumfluctuaties deze parameters veranderen. Een concreet voorbeeld is dat de constante fluctuaties in de vorm van virtuele elektronen en positronen de effectieve lading van het elektron veranderen.

Zo worden ook massa’s van deeltjes veranderd. Nu hopen we dat alle massa’s van het standaardmodel worden beschreven in termen van de massa van het Higgsdeeltje, dus kijken we voor het gemak naar dit (nog steeds hypothetische!) deeltje. Het hiërarchieprobleem is nu ongeveer dit: mochten we ooit die Higgsmassa kunnen uitrekenen in plaats van meten, dan ziet het er naar uit dat quantumfluctuaties die massa enorm laten toenemen, tenzij er bepaalde quantumcorrecties zijn die al deze enorme bijdragen precies opheffen. De relevante vragen zijn hier dus: “waarom is het Higgsdeeltje niet veel zwaarder?” en “hoe werkt deze finetuning van die enorme bijdrages naar de relatief lichte Higgsmassa precies?” Eén mogelijk antwoord wordt gegeven door supersymmetrie. Hiermee kun je verklaren hoe de Higgsmassa beschermd wordt tegen al deze wilde quantumfluctuaties. Mensen die bekend zijn met quantumveldentheorie en elementaire deeltjes kunnen de introductie van [3] er eens op naslaan.

Conclusie

Het mag duidelijk zijn dat supersymmetrie een natuurlijke uitbreiding van het standaard model is en dat het bepaalde problemen kan oplossen. De komende jaren zullen experimenten met de Large Hadron Collider moeten uitwijzen of supersymmetrie daadwerkelijk hout snijdt. Theorieën als supergravitatie en supersnaartheorie zijn sterk afhankelijk van supersymmetrie. Als de natuur niet supersymmetrisch blijkt te zijn, dan zullen fysici met de vraag zitten waarom de natuur de kans niet heeft aangegrepen om op deze manier symmetrisch te zijn! Misschien eisen we wel teveel elegantie van de natuur. Hopelijk zal de LHC daar de komende jaren uitsluitsel over geven.

Referenties:

[1] S. Coleman, J. Mandula, “All possible symmetries of the S-matrix”
[2] A. Zee, “Quantum field theory in a nutshell”
[3] I.J.R. Aitchison, “Supersymmetry and the MSSM: an elementary introduction”
[4] A. Bilal, “Introduction to supersymmetry” (arXiv: hep-th/0101055)
[5] R. Haag, J.T.Lopuszanski, M. Sohnius, “All possible generators of supersymmetries of the S-matrix”

Toen ik in havo 4/5 zat wilde ik mijn natuurkundige profielwerkstuk in eerste instantie ook over zware natuurkundige materie doen (superstring theory) maar op aanraden van mijn docente heb ik dat maar laten varen, ook al had ik toen bovengemiddelde kennis over zulke onderwerpen. Ik raad je echt aan om hetzelfde te doen, want je moet (althans, zo was het bij mij) erg diep ingaan op de theorie, en dan bedoel ik niet alleen het uitleggen maar ook dingen als het bewijzen of redeneren in wiskundige termen.

quote:

Op donderdag 12 januari 2012 14:15 schreef Discombobulate het volgende:
Hallo iedereen,
Ik zit in HAVO 5 en doe mijn profielwerkstuk over "Donker materië"
Nou zijn er vele theoriën over wat "Donker materie" is en onder andere vonden de zogenaamde supersymmetrie van elementaire deeltjes.
Kan iemand mij vertellen wat de supersymmetrie precies inhoud en hoe het werkt.
ik heb redelijk wat verstand over de deeltjes fisyca dus ik kan alles wel begrijpen.

Bij voorbaat dank =)

1. Het is donkere materie, niet donker materie
2. Het is 'inhoudt', niet 'inhoud'
3. Het is deeltjesfysica, niet deeltjes fisyca

Kortom, ik zou me ook maar eens gaan voorbereiden op Nederlands.

TS, heb je de docu 'BBC - Horizon - The hunt for a Higgs - 2012' al gezien?
Daarin leggen ze e.e.a. uit (zodat n00bs zoals mij het ook een beetje begrijpen)

quote:

Op donderdag 12 januari 2012 17:57 schreef Discombobulate het volgende:

[..]

Hmmm, nice, die heb ik nog niet gezien!
Ik zal de documantaire kijken als ik tijd heb

Nederlands blijft belangrijk bij veel opleidingen. Kom je professioneler over zeg maar:)

FYI

Nog één (echt een goeie!)

quote:

Op donderdag 12 januari 2012 17:57 schreef Discombobulate het volgende:

[..]

Hmmm, nice, die heb ik nog niet gezien!
Ik zal de documantaire kijken als ik tijd heb

Kun je, als je tijd hebt, ook specifieke vragen stellen ipv een "vertel mij alles over onderwerp X" topic te openen?

Tenminste, ik neem aan dat je bij zo'n werkstuk specifieke onderzoeksvragen hebt.

quote:

Op maandag 16 januari 2012 19:46 schreef Discombobulate het volgende:

[..]

Dat kan uiteraard ,
Waarom zijn de superpartners van deeltjes een mogelijke kandidaat voor donkere materie?
En waarom kunnen we ze niet zien?

Zie hier voor een overzicht van de mogelijke kandidaten.

De lichtste superdeeltjes (LSP's) zijn prima kandidaten omdat ze zowel zwaar als stabiel zijn; in vervalprocessen moeten andere superdeeltjes ontstaan, en bij lage energieën is zo'n LSP dus stabiel.

Deeltjes kunnen we alleen "zien" als ze voldoende straling uitzenden, en dus als ze "heet" zijn. Je zult vaak de term CDM tegenkomen, "Cold Dark Matter", wat donkere materie behelst bij lage energieën (en dus moeilijk "direct" te detecteren, behalve via zwaartekracht).