W&T Wetenschap & Technologie
Een plek om te discussiėren over wetenschappelijke onderwerpen, wetenschappelijke problemen, technologische projecten en grootse uitvindingen.
Ik vroeg me af of iemand mij hier kan vertellen of bij het probleem van "squaring the circle" het puur en alleen gaat om de oppervlakte van de cirkel en het vierkant, of is er tussen de omtrekken van de cirkel en het vierkant een soortgelijke relatie?
Hier wat info:
Squaring the circle is a problem proposed by ancient geometers. It is the challenge of constructing a square with the same area as a given circle by using only a finite number of steps with compass and straightedge. More abstractly and more precisely, it may be taken to ask whether specified axioms of Euclidean geometry concerning the existence of lines and circles entail the existence of such a square.
In 1882, the task was proven to be impossible, as a consequence of the Lindemann–Weierstrass theorem which proves that pi (π) is a transcendental, rather than an algebraic irrational number; that is, it is not the root of any polynomial with rational coefficients. It had been known for some decades before then that if pi were transcendental then the construction would be impossible, but that pi is transcendental was not proven until 1882. Approximate squaring to any given non-perfect accuracy, in contrast, is possible in a finite number of steps, since there are rational numbers arbitrarily close to pi.
http://en.wikipedia.org/wiki/Squaring_the_circle
Hier wat info:
Squaring the circle is a problem proposed by ancient geometers. It is the challenge of constructing a square with the same area as a given circle by using only a finite number of steps with compass and straightedge. More abstractly and more precisely, it may be taken to ask whether specified axioms of Euclidean geometry concerning the existence of lines and circles entail the existence of such a square.
In 1882, the task was proven to be impossible, as a consequence of the Lindemann–Weierstrass theorem which proves that pi (π) is a transcendental, rather than an algebraic irrational number; that is, it is not the root of any polynomial with rational coefficients. It had been known for some decades before then that if pi were transcendental then the construction would be impossible, but that pi is transcendental was not proven until 1882. Approximate squaring to any given non-perfect accuracy, in contrast, is possible in a finite number of steps, since there are rational numbers arbitrarily close to pi.
http://en.wikipedia.org/wiki/Squaring_the_circle
"An educated citizenry is a vital requisite for our survival as a free people."
Het klassieke probleem van de kwadratuur van de cirkel is door uitsluitend gebruik te maken van passer en liniaal een vierkant te construeren dat een even groot oppervlak heeft als dat van een gegeven cirkel.
Het construeren van een vierkant met een gelijke omtrek lijkt mij eveneens onmogelijk.
Het construeren van een vierkant met een gelijke omtrek lijkt mij eveneens onmogelijk.
Het heeft dus alleen betrekking op de oppervlakte. De oppervlakte van de cirkel en die van het vierkant moeten aan elkaar gelijk zijn en dat mag alleen gedaan worden door bovengenoemde middelen.quote:De vraag is of het mogelijk is om, met behulp van alleen passer en liniaal in een eindig aantal stappen een vierkant te construeren met exact dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel. De Griek Oenopides is wellicht de eerste geweest die de restricties omschreef van de toegestane middelen.
Wat trouwens niet mogelijk is, omdat pi niet te benaderen is.
[ Bericht 1% gewijzigd door Spouwerranger op 06-07-2011 21:38:08 ]
Who motivates the motivator?
oppervlakte van een cirkel is pi*r*r, omtrek is 2*pi*r. Aangezien je de r prima op een geheel getal kan houden, zie je al heel erg snel dat het voor zowel de oppervlakte als de omtrek geldt dat dit niet mogelijk is.
Never in the entire history of calming down did anyone ever calm down after being told to calm down.
Maar is het zo, zoals Schonedal ook zei, dat je hetzelfde probleem in principe hebt met de omtrek? Door het getal Pi?quote:Op woensdag 6 juli 2011 21:33 schreef Spouwerranger het volgende:
[ afbeelding ]
[..]
Het heeft dus alleen betrekking op de oppervlakte. De oppervlakte van de cirkel en die van het vierkant moeten aan elkaar gelijk zijn en dat mag alleen gedaan worden door bovengenoemde middelen.
Wat trouwens niet mogelijk is, omdat pi niet te benaderen is.
"An educated citizenry is a vital requisite for our survival as a free people."
ja, de opgave is niet wezenlijk anders, je verandert alleen een 'r' door een vaste waarde 2.quote:Op woensdag 6 juli 2011 21:53 schreef Probably_on_pcp het volgende:
[..]
Maar is het zo, zoals Schonedal ook zei, dat je hetzelfde probleem in principe hebt met de omtrek? Door het getal Pi?
Dat vermoeden had ik al. Dank voor de heldere uitlegquote:
oppervlakte van een cirkel is pi*r*r, omtrek is 2*pi*r. Aangezien je de r prima op een geheel getal kan houden, zie je al heel erg snel dat het voor zowel de oppervlakte als de omtrek geldt dat dit niet mogelijk is.
En kun je dan ook zeggen dat wanneer je praat over het vijfde theorem van Euclides, dat het probleem van de oppervlakte gelijk krijgen en de omtrek gelijk krijgen in principe hetzelfde probleem is en dat ook een gelijke omtrek zien te krijgen, valt onder dit vijfde theorem?
"An educated citizenry is a vital requisite for our survival as a free people."
Ik zag jouw reply te laatquote:
[..]
ja, de opgave is niet wezenlijk anders, je verandert alleen een 'r' door een vaste waarde 2.
"An educated citizenry is a vital requisite for our survival as a free people."
Ook leuk wat ik me net bedenk: de cirkel is uit te rekken tot een ronde piramide, met een arbitraire hoogte. Je kan hetzelfde doen voor het vierkant en het uitrekken tot een vierkante piramide. De inhoud van beide piramides zal gelijk zijn.
Maar als je pi kan benaderen door een cirkel in steeds kleinere stukjes te hakken, kan je natuurlijk ook een vierkant benaderen met dezelfde oppervlakte als een cirkel. Je kan er alleen heel lang mee bezig zijn, maar voor het menselijk oog zal je binnen een paar stappen al genoeg het eindresultaat benaderd hebben.
Maar als je pi kan benaderen door een cirkel in steeds kleinere stukjes te hakken, kan je natuurlijk ook een vierkant benaderen met dezelfde oppervlakte als een cirkel. Je kan er alleen heel lang mee bezig zijn, maar voor het menselijk oog zal je binnen een paar stappen al genoeg het eindresultaat benaderd hebben.
Maar dat is dan toch ook de enige reden? Als je pi voor het gemak en omdat het toch niet zo precies komt even op 2,14 stelt zou het toch een fluitje van een cent zijn?quote:
[ afbeelding ]
[..]
Het heeft dus alleen betrekking op de oppervlakte. De oppervlakte van de cirkel en die van het vierkant moeten aan elkaar gelijk zijn en dat mag alleen gedaan worden door bovengenoemde middelen.
Wat trouwens niet mogelijk is, omdat pi niet te benaderen is.
Of zie ik nou wat over het hoofd? Allicht, want ik snap over het algemeen heel weinig van wiskunde. Maar begrijp ik het goed dat het een 'opgave' van niks is, maar dat die alleen onmogelijk is doordat pi tot een oneindig aantal getallen achter de komma kan worden benaderd en er verder niks interessants aan is?
Wees gehoorzaam. Alleen samen krijgen we de vrijheid eronder.
Niet zo precies kan, maar 2,14 vind ik toch wel wat ver gaanquote:
[..]
Maar dat is dan toch ook de enige reden? Als je pi voor het gemak en omdat het toch niet zo precies komt even op 2,14 stelt zou het toch een fluitje van een cent zijn?
.
The biggest argument against democracy is a five minute discussion with the average voter.
En als je gewoon zorgt dat de straal 1/wortel(pi) is dan kan ik wel een vierkantje construėren met dezelfde oppervlakte
Ik zal wel weer een paar wiskundigen gekwetst hebben, maar vooruit, 3,14 dan. Ivm lijndikte en precisie van meting lijkt me dat afdoende. Dan is het toch een fluitje van een cent of niet?quote:Op zaterdag 9 juli 2011 18:36 schreef M.rak het volgende:
[..]
Niet zo precies kan, maar 2,14 vind ik toch wel wat ver gaan
Wees gehoorzaam. Alleen samen krijgen we de vrijheid eronder.
het is een fluitje van een cent, maar wiskundigen willen nou eenmaal vaak iets exact doen, en niet "zo ongeveer".
als je de opgave aan een ingenieur vraagt is ie inderdaad binnen 3 minuten klaar.
als je de opgave aan een ingenieur vraagt is ie inderdaad binnen 3 minuten klaar.
Maar de oppervlakte van die cirkel is dan toch ook al niet exact?
Wees gehoorzaam. Alleen samen krijgen we de vrijheid eronder.
Mijn tenen krommen en komen in een kramptoestandquote:
Maar dat is dan toch ook de enige reden? Als je pi voor het gemak en omdat het toch niet zo precies komt even op 2,14 stelt zou het toch een fluitje van een cent zijn?
Gelukkig is er enig zelfinzichtquote:Of zie ik nou wat over het hoofd? Allicht, want ik snap over het algemeen heel weinig van wiskunde. Maar begrijp ik het goed dat het een 'opgave' van niks is, maar dat die alleen onmogelijk is doordat pi tot een oneindig aantal getallen achter de komma kan worden benaderd en er verder niks interessants aan is?
Exaudi orationem meam
Requiem aeternam dona eis, Domine.
Et lux perpetua luceat eis.
Requiem aeternam dona eis, Domine.
Et lux perpetua luceat eis.
Tuurlijk heeft een cirkel wel een exacte oppervlakte.quote:
Maar de oppervlakte van die cirkel is dan toch ook al niet exact?
Hoezo tuurlijk?quote:
[..]
Tuurlijk heeft een cirkel wel een exacte oppervlakte.
"An educated citizenry is a vital requisite for our survival as a free people."
Tuurlijk, maar die kun je ook niet bepalen, door dezelfde oorzaak als waardoor je niet kunt bepalen hoe groot een vierkant van dezelfde oppervlakte moet zijn. Dus waar gaat het dan over?quote:
[..]
Tuurlijk heeft een cirkel wel een exacte oppervlakte.
Wees gehoorzaam. Alleen samen krijgen we de vrijheid eronder.
Jawel. Je meet de straal met je liniaal en kwadrateert het en vermenigvuldigt met pi. Dan heb je een exacte waarde, zolang je die pi laat staan. Als je het numeriek wil krijg je wel een benadering ja (behalve als de straal toevallig wortel(1/pi) is ofzoquote:
[..]
Tuurlijk, maar die kun je ook niet bepalen, door dezelfde oorzaak als waardoor je niet kunt bepalen hoe groot een vierkant van dezelfde oppervlakte moet zijn. Dus waar gaat het dan over?
).Stel je hebt een cirkel met straal 1. Dan heb je dus een oppervlakte van pi * 1² = pi. De vraag is dan: kan je een vierkant maken met oppervlakte pi? Dat kan alleen als je exact wortel pi kan construeren met passer/liniaal. Want dan heb je inderdaad een vierkant met een oppervlakte van (wortel pi)²=pi, die dus gelijk is aan de oppervlakte van de cirkel. Dit blijkt dus niet te kunnen. Je kan het wel benaderen met bijvoorbeeld pi = 3.14, maar daar gaat het niet over.
Eerlijk gezegd is dit best een goede vraag. Om wiskundig te bewijzen dat een object als een cirkel een eenduidige oppervlakte heeft, zal je denk ik eerst met een formele definitie van oppervlakte moeten maken. Heb daar eigenlijk nooit over nagedacht...quote:
Daar heb je dan denk ik maattheorie voor nodig en dat wordt best geavanceerd
.[ Bericht 13% gewijzigd door thenxero op 09-07-2011 22:45:27 ]
Nee, het kan ook zonder maattheorie, zoals de oude Grieke deden.quote:
[..]
Eerlijk gezegd is dit best een goede vraag. Om wiskundig te bewijzen dat een object als een cirkel een eenduidige oppervlakte heeft, zal je denk ik eerst met een formele definitie van oppervlakte moeten maken. Heb daar eigenlijk nooit over nagedacht...
Daar heb je dan denk ik maattheorie voor nodig en dat wordt best geavanceerd
Je kunt de cirkel omsluiten met een ingeschreven en omgeschreven veelhoek met N zijden.
Voor deze veelhoeken zijn de oppervlakten bekend.
Nu laat je N naar oneindig gaan, het verschil van de oppervlakten van de ingeschreven en omgeschreven veelhoek kun je nu willekeurig klein maken, dit betekent dus dat de limiet bestaat.
Pi kun je dan schrijven als de som van een oneindige reeks waarvan de termen steeds kleiner worden.
Exaudi orationem meam
Requiem aeternam dona eis, Domine.
Et lux perpetua luceat eis.
Requiem aeternam dona eis, Domine.
Et lux perpetua luceat eis.
Dus je kunt de oppervlakte van een cirkel alleen maar uitdrukken met pi erbij, en je kunt de oppervlakte van een even groot vierkant ook alleen maar uitdrukken met pi erbij? Ik zie eigenlijk geen relevant verschil.quote:
[..]
Jawel. Je meet de straal met je liniaal en kwadrateert het en vermenigvuldigt met pi. Dan heb je een exacte waarde, zolang je die pi laat staan. Als je het numeriek wil krijg je wel een benadering ja (behalve als de straal toevallig wortel(1/pi) is ofzo
Stel je hebt een cirkel met straal 1. Dan heb je dus een oppervlakte van pi * 1² = pi. De vraag is dan: kan je een vierkant maken met oppervlakte pi? Dat kan alleen als je exact wortel pi kan construeren met passer/liniaal. Want dan heb je inderdaad een vierkant met een oppervlakte van (wortel pi)²=pi, die dus gelijk is aan de oppervlakte van de cirkel. Dit blijkt dus niet te kunnen. Je kan het wel benaderen met bijvoorbeeld pi = 3.14, maar daar gaat het niet over.
Wees gehoorzaam. Alleen samen krijgen we de vrijheid eronder.
Het verschil is dat je die cirkel dan wel kan tekenen (met een passer), maar het bijbehorende vierkant met dezelfde oppervlakte niet. Je kan alleen maar vierkanten tekenen met ongeveer die oppervlakte, maar nooit exact.quote:
[..]
Dus je kunt de oppervlakte van een cirkel alleen maar uitdrukken met pi erbij, en je kunt de oppervlakte van een even groot vierkant ook alleen maar uitdrukken met pi erbij? Ik zie eigenlijk geen relevant verschil.
|
|
