[Bčta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Oké

Ik ga het nog eens proberen.

Mijn probleem is dat ik niet de resultaten kan reproduceren als in de volgende paper (PDF!):
http://suppes-corpus.stanford.edu/article.html?id=450
( Learning Pattern Recognition through Quasi-Synchronization of Phase Oscillators )
Ik heb een figure hiervan ff in jpg gezet met hun kuramotos model en een assumptie:


Ik gebruik hiervoor Matlab, maar enige hulp bij wat ik fout kan doen is maar al te graag gewild
Dus klik nog niet weg!

Als je kijkt bij figure 1 en 2 (2e pagina rechts in PDF, de eerste figure is vergelijkbaar met 2 alleen is er geen synchronizatie want ze liggen te ver van elkaar), zie je 6 lijnen. Deze lijnen zijn gemaakt mbv frequency, amplitude en phase. De phase hier is als ik het goed heb random distributed op [0,2pi], frequencies zijn aangegeven en amplitude is 1.

Links van de figures zie je een grote equation (1). In het stukje daarboven geven ze een beschrijving hoe ze een Oscillator O_n (dat getypeerd door zijn frequency is) kan worden beschreven dmv x_n(t) = A_n(t)*cos Phase_n(t).

Dit probeerde ik te gebruiken om de figures 1 en 2 te reproduceren d.m.v. equation 1 en de instellingen.

Hetzelfde trachtte ik met de gebruikelijke formule om een lijn te verkrijgen met ampli/freq/phase:
punt = Amplitude*sin(2*pi*Frequency*Tijd + Phase)

Tevergeefs wilt dit niet lukken en ik vermoed dat dit komt doordat ik de verkeerde formules gebruik om een lijn te tekenen.

Bij mij gaan de lijnen naar elkaar (synchronizatie) enkel wanneer ze alles hetzelfde hebben behalve de phase. Maar als ik ze andere frequenties geef (zoals in de paper), dan krijg ik op den duur 'regelmatige' golven. Zie hier het resultaat:

Dit is het enige wat er in de buurt van komt, maar hier zie je geen frequencies aangegeven.

Met een andere poging krijg ik dit :


Mijn grote vraag dus is:
Als ik kuramoto's model gebruik (die in equation 1 van paper staat vermeld) en de andere stuff heb, welke formule(s) gebruik ik om een mooie lijn te tekenen van de frequency over de tijd?

"Hetzelfde trachtte ik met de gebruikelijke formule om een lijn te verkrijgen met ampli/freq/phase:
punt = Amplitude*sin(2*pi*Frequency*Tijd + Phase)"
Misschien moet je hier ook Cosinus gebruiken aangezien de fase voor On gedefinieerd is voor een cosinus functie? Anders weet ik het ook niet, het ziet er vrij complex uit.

Voor zover ik weet is dat een andere methode om een lijn te tekenen met behulp van Amp/Freq/Phase. Maar ik weet dus vrij weinig af van sinusoidale functies aangezien ik ze nooit in me studie heb gehad. Ik denk dus dat mijn probleem meer ligt in hoe ik de functies moet doen.

In principe zou elke functie die ervoor zorgt dat je een frequentie over tijd ziet voldoen, enkel dat hierbij de phase verandert over de tijd (via kuramotos model).

Wat doe ik hier verkeerd (partiële afgeleiden)?



[x²/y]' = (y(2x))-(x²(0))/(y²) = (y(2x))/(y²)
Volgens mij moet de y niet in de teller staan, maar waarom?
NAT-TAN/(N²) geeft (y*2x)-(x²*0)/(y²) niet?

[ Bericht 10% gewijzigd door .aeon op 18-05-2011 12:42:45 ]

Als je naar x differentieert is y een constante en vice versa, een constante kan je gewoon laten staan. De term x^2/y kan je zien als 1/y * x^2, je doet niets met 1/y dus krijg je als afgeleide gewoon 1/y * 2x = 2x/y en niet 2yx/y^2.
Als je dit voor elke term toepast en gewoon de somregel toepast krijg je
df(x,y)/dx = 2x/y - y^2/x^2
df(x,y)/dy = 2y/x - x^2/y^2

quote:

Op woensdag 18 mei 2011 12:47 schreef bert_van_dirkjan het volgende:
De term x^2/y kan je zien als 1/y * x^2, je doet niets met 1/y dus krijg je als afgeleide gewoon 1/y * 2x = 2x/y en niet 2yx/y^2.

2x/y is toch hetzelfde als 2yx/y^2??

Ik snap het nog steeds niet.
Even ter verduidelijking, de afbeelding in mijn vorige post is mijn antwoord, en de docent heeft met rood cirkels gezet (op de plek waar ik ze na heb getekend) en mij 0 punten toegekend.

[ Bericht 7% gewijzigd door .aeon op 18-05-2011 14:31:50 ]

Ok bedankt

Ah wat stom van mij, is natuurlijk hetzelfde, maar het is altijd verstandig om je antwoord zo eenvoudig mogelijk te schrijven

Weet niet of het het juiste topic is maar vraag me af of jullie dit kunnen bereken.

Stel ik heb een bingo spel met 80 getallen waarvan 20 getallen getrokken worden.
Je kan op met een lot voor 1 of 2 getallen kiezen, als ik dus 80 loten neem met elk 1 cijfer heb ik natuurlijk 20 goed.
Hoeveel moet ik er dan nemen om alle combinaties goed te hebben met 2 getallen?

Als de volgorde van belang is zou je in principe verschillende combinaties kunnen maken. Echter, als wij bijvoorbeeld de combi (37,74) hebben, dan is dat natuurlijk hetzelfde als (74,37). Daarom moeten we het aantal mogelijke combinaties nog door twee delen. Dus krijgen we:



In het algemeen:
Als we k (in jouw voorbeeld k=2) getallen moeten kiezen uit een totaal van n (in jouw voorbeeld n=80), waarbij de volgorde van de keuze niet van belang is, krijgen we:

ok, nu een makkelijke vraag (t.o.v. de rest van de problemen die ik hier zie )

ik heb twee vergelijkingen,

(ik moet dus Fb en Fc bepalen)
maar als ik het met substitutie probeer, komen er verkeerde antwoorden uit

de antwoorden staan in de spoiler (ik heb wel antwoorden maar geen uitwerkingen )

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

ik weet bijna zeker dat ik echt een stomme fout maak of iets over het hoofd zie, maar het is alweer een tijdje geleden voor me

Je doet iets fout in de stap van 2,75=sin.... naar 2,75*cos(30)..... Voor de rest ziet het er goed uit.
Als je nou eerst deze stap neemt: 2,75 = (4/5 * sin(30)/cos(30) + 3/5) * Fc, lukt het dan wel?

quote:

Op donderdag 19 mei 2011 00:39 schreef bert_van_dirkjan het volgende:
Als je nou eerst deze stap neemt: 2,75 = (4/5 * sin(30)/cos(30) + 3/5) * Fc, lukt het dan wel?

ik kan die 3/5 toch niet zomaar onder de deelstreep zetten? of hoort die ernaast?
of bedoel je niet dit:

quote:

Op donderdag 19 mei 2011 00:49 schreef t0sti het volgende:

[..]

ik kan die 3/5 toch niet zomaar onder de deelstreep zetten? of hoort die ernaast?
of bedoel je niet dit:
[ afbeelding ]

Uit de tweede vgl krijg je

2.75 = (sin(30)*(4/5)/cos(30)+3/5)*Fc

en dus

Fc = 2.75/(sin(30)*(4/5)/cos(30)+3/5).

quote:

Op donderdag 19 mei 2011 00:57 schreef keesjeislief het volgende:

[..]

Uit de tweede vgl krijg je

2.75 = (sin(30)*(4/5)/cos(30)+3/5)*Fc

en dus

Fc = 2.75/(sin(30)*(4/5)/cos(30)+3/5).

ik begrijp alleen niet hoe je uit die tweede vgl

2.75 = (sin(30)*(4/5)/cos(30)+3/5)*Fc

krijgt: ik zie boven de deelstreep Fc verdwijnen, en onder de deelstreep +3/5 erbij komen

EDIT: ik zie nu wel wat ik fout heb gedaan: die +3/5Fc had ik niet boven de deelstreep mogen zetten, maar ik snap bovenstaande nog steeds niet

[ Bericht 13% gewijzigd door t0sti op 19-05-2011 01:23:34 ]

quote:

Op donderdag 19 mei 2011 01:08 schreef t0sti het volgende:

[..]

ik begrijp alleen niet hoe je uit die tweede vgl

2.75 = (sin(30)*(4/5)/cos(30)+3/5)*Fc

krijgt: ik zie boven de deelstreep Fc verdwijnen, en onder de deelstreep +3/5 erbij komen

EDIT: ik zie nu wel wat ik fout heb gedaan: die +3/5Fc had ik niet boven de deelstreep mogen zetten, maar ik snap bovenstaande nog steeds niet

Gewoon Fc buiten haakjes halen: Bla1*Fc/Bla2+Bla3*Fc = (Bla1/Bla2+Bla3)*Fc.

quote:

Op donderdag 19 mei 2011 01:45 schreef keesjeislief het volgende:

[..]

Gewoon Fc buiten haakjes halen: Bla1*Fc/Bla2+Bla3*Fc = (Bla1/Bla2+Bla3)*Fc.

ja, maar dan zet je dus de 3/5 Fc onder de deelstreep, terwijl dat volgens mijn logica helemaal niet kan/mag
(Dat is dus die +Bla3*Fc, die stond eerst achter de breuk)

quote:

Op donderdag 19 mei 2011 01:56 schreef t0sti het volgende:

[..]

ja, maar dan zet je dus de 3/5 Fc onder de deelstreep, terwijl dat volgens mijn logica helemaal niet kan/mag
(Dat is dus die +Bla3*Fc, die stond eerst achter de breuk)

Die staat nog steeds achter de breuk:

quote:

Op donderdag 19 mei 2011 00:27 schreef t0sti het volgende:
ok, nu een makkelijke vraag (t.o.v. de rest van de problemen die ik hier zie )

ik heb twee vergelijkingen,
[ afbeelding ]
(ik moet dus Fb en Fc bepalen)
maar als ik het met substitutie probeer, komen er verkeerde antwoorden uit
[ afbeelding ]
de antwoorden staan in de spoiler (ik heb wel antwoorden maar geen uitwerkingen )

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

ik weet bijna zeker dat ik echt een stomme fout maak of iets over het hoofd zie, maar het is alweer een tijdje geleden voor me

Je kunt kennelijk niet rekenen met breuken.

Als je twee breuken hebt waarvan de eerste een noemer cos 30° heeft en de tweede een noemer 5 heeft en je wil die breuken bij elkaar optellen, dan moet je die breuken eerst gelijknamig maken. Dat doe je door teller en noemer van de eerste breuk met 5 en teller en noemer van de tweede breuk met cos 30° te vermenigvuldigen.

Maar het kan een stuk overzichtelijker door eerst de breuken uit je oorspronkelijke vergelijkingen te elimineren. Als je beide leden van je eerste vergelijking met 15 vermenigvuldigt, en beide leden van je tweede vergelijking met 20, dan krijg je:

(1) 0 = -15∙cos 30°∙F_b + 12∙F_c
(2) 55 = 20∙sin 30°∙F_b + 12∙F_c

Door nu de leden van de eerste vergelijking van de leden van de tweede vergelijking af te trekken valt F_c weg en krijg je:

(3) 55 = (15∙cos 30° + 20∙sin 30°)∙F_b

Door substitutie van de exacte waarden cos 30° = ½∙√3 en sin 30° = ½ in (3) vinden we dan:

(4) F_b = 22/(4 + 3∙√3)

Bovendien volgt uit (1) na substitutie van cos 30° = ½∙√3 dat:

(5) F_c = (5/8)∙√3∙F_b

Zodat uit (4) en (5) volgt:

(6) F_c = 55∙√3/(16 + 12∙√3)

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 19-05-2011 06:05:53 ]

quote:

Op donderdag 19 mei 2011 05:52 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je kunt kennelijk niet rekenen met breuken.

Riparius, altijd streng doch rechtvaardig

Ik moet de dubbele integraal uitrekenen van:
dydx met gebied [0,1]x[0,a]

Als gebied heb ik gekozen: E_n={(x,y)| 0<=x>=1, 0<=y<=a-1/n}

Dan krijg ik als 'eerste'integraal (de integraal over y):
xarcsin(y/a)
Invullen over gebied E_n geeft xarcsin(1-1/n).
etc, etc, geeft als antwoord 1/4 Pi.
Het gaat me dus om de stappen voor etc, etc en het antwoord. Klopt dat?

[ Bericht 100% gewijzigd door Siddartha op 19-05-2011 11:58:36 ]

@bert_van_dirkjan
@keesjeislief
@Riparius

bedankt! voor het geduld en de uitleg (ook gezien de tijdstippen )


[ Bericht 8% gewijzigd door t0sti op 19-05-2011 12:24:23 ]

quote:

Op donderdag 19 mei 2011 11:47 schreef Siddartha het volgende:
Ik moet de dubbele integraal uitrekenen van:
[ afbeelding ] dydx met gebied [0,1]x[0,a]

Als gebied heb ik gekozen: E_n={(x,y)| 0<=x>=1, 0<=y<=a-1/n}

Dan krijg ik als 'eerste'integraal (de integraal over y):
xarcsin(y/a)
Invullen over gebied E_n geeft xarcsin(1-1/n).
etc, etc, geeft als antwoord 1/4 Pi.
Het gaat me dus om de stappen voor etc, etc en het antwoord. Klopt dat?

Dit lijkt me juist. Wolfram Alpha verslikt zich in deze integraal (met a in de integrand), maar x∙arcsin(y/a) is inderdaad een primitieve naar y van x/√(a² - y²). Het is weliswaar een oneigenlijke integraal omdat de functiewaarde onbepaald is voor y = a, maar je hoeft hier geen limietovergang te gebruiken. Integreren met y als variabele over [0,a] geeft:

[x∙arcsin(y/a)]₀^a = x∙arcsin(a/a) - x∙arcsin(0) = x∙arcsin(1) = x∙π/2.

Een primitieve hiervan naar x is (π/4)∙x² zodat we inderdaad krijgen:

[(π/4)∙x²]₀¹ = π/4 - 0 = π/4.

quote:

Op woensdag 18 mei 2011 23:02 schreef Don_Vanelli het volgende:
Als de volgorde van belang is zou je in principe [ afbeelding ] verschillende combinaties kunnen maken. Echter, als wij bijvoorbeeld de combi (37,74) hebben, dan is dat natuurlijk hetzelfde als (74,37). Daarom moeten we het aantal mogelijke combinaties nog door twee delen. Dus krijgen we:

[ afbeelding ]

In het algemeen:
Als we k (in jouw voorbeeld k=2) getallen moeten kiezen uit een totaal van n (in jouw voorbeeld n=80), waarbij de volgorde van de keuze niet van belang is, krijgen we:
[ afbeelding ]

Dus hoeveel verschillende loten zou je kunnen hebben?
Er zit geen verschil tussen 37,74 of 74,37 dat is hetzelfde.

quote:

Op donderdag 19 mei 2011 16:26 schreef Kadooosh het volgende:

[..]

Dus hoeveel verschillende loten zou je kunnen hebben?
Er zit geen verschil tussen 37,74 of 74,37 dat is hetzelfde.

Don_Vanelli heeft je toch al het antwoord gegeven? Het aantal is (80∙79)/2 = 3160. Te lui om dit even zelf uit te rekenen?

quote:

Op donderdag 19 mei 2011 16:01 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit lijkt me juist. Wolfram Alpha verslikt zich in deze integraal (met a in de integrand), maar x∙arcsin(y/a) is inderdaad een primitieve naar y van x/√(a² - y²). Het is weliswaar een oneigenlijke integraal omdat de functiewaarde onbepaald is voor y = a, maar je hoeft hier geen limietovergang te gebruiken. Integreren met y als variabele over [0,a] geeft:

[x∙arcsin(y/a)]₀^a = x∙arcsin(a/a) - x∙arcsin(0) = x∙arcsin(1) = x∙π/2.

Een primitieve hiervan naar x is (π/4)∙x² zodat we inderdaad krijgen:

[(π/4)∙x²]₀¹ = π/4 - 0 = π/4.

Volgens mij moet ik wel een limiet nemen (het eigenlijke gebied D is immers met y=a).
Daarom pak ik ook het kleinere gebied E_n met y=a-1/n, zodat ik door het limiet van n->oneindig te nemen het gebied D kan uitputten met lim (E_n).
Het maakt verder geen verschil (de 1/n valt gewoon weg in de uiteindelijke integraal).

quote:

Op donderdag 19 mei 2011 17:18 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Volgens mij moet ik wel een limiet nemen (het eigenlijke gebied D is immers met y=a).
Daarom pak ik ook het kleinere gebied E_n met y=a-1/n, zodat ik door het limiet van n->oneindig te nemen het gebied D kan uitputten met lim (E_n).
Het maakt verder geen verschil (de 1/n valt gewoon weg in de uiteindelijke integraal).

Ik begrijp je redenering wel, en die is ook correct, maar de primitieve naar y van x/√(a² - y²) oftewel x∙arcsin(y/a) + C is wel gedefinieerd voor y=a, zodat je je een limietovergang naar het integratieinterval [0, a] kunt besparen.

"Voor elk priemgetal p is de commutatieve ring (Z/pZ) een eindig lichaam
van p elementen."

Nu word er voor deze stelling bewezen dat elk element/restklasse a die niet deelbaar door p is, een inverse heeft. Dat snap ik wel redelijk, maar hoe moet ik me die inverse voorstellen?
En hoe volgt daaruit dat er p elementen zijn?

quote:

Op donderdag 19 mei 2011 17:29 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik begrijp je redenering wel, en die is ook correct, maar de primitieve naar y van x/√(a² - y²) oftewel x∙arcsin(y/a) + C is wel gedefinieerd voor y=a, zodat je je een limietovergang naar het integratieinterval [0, a] kunt besparen.

Ok, bedankt!
Al voelt het wel vreemd aan, dat de integraal wel goed gedefineerd is in het gehele gebied, terwijl de functie zelf dat niet is.

quote:

Op dinsdag 17 mei 2011 08:42 schreef Riparius het volgende:

[..]

Wat dacht je van:
...

Nog bedankt voor je duidelijk uitleg. Het is me uiteindelijk gelukt om die opgaven enigszins door te krijgen.

Nu heb ik alleen even een andere vraag over hetzelfde onderwerp. (Ik begin een beetje gefrustreerd te raken door al die algebra, aangezien ik er blijkbaar niet zo goed in ben en mijn boek totaal geen uitleg of uitwerking biedt.) Ik moet vergelijkingen zoals de volgenden oplossen: sin 3x = sin 2(x - 3) en sin 2x = sin 3x. Nu krijg ik het niet voor elkaar om hier een bruikbaar antwoord uit te krijgen. Ik zie het gewoon niet denk ik. Dat probleem had ik eerder ook al bij het oplossen van sin x = cos x enzovoorts. Helaas heb ik nog niet de routine om dit soort vergelijkingen "even" op te lossen.

quote:

Op donderdag 19 mei 2011 17:32 schreef Siddartha het volgende:
"Voor elk priemgetal p is de commutatieve ring (Z/pZ) een eindig lichaam
van p elementen."

Nu word er voor deze stelling bewezen dat elk element/restklasse a die niet deelbaar door p is, een inverse heeft. Dat snap ik wel redelijk, maar hoe moet ik me die inverse voorstellen?
En hoe volgt daaruit dat er p elementen zijn?

De elk geheel getal heeft een rest bij deling door p. De restklassen hebben representanten 0, 1, ... p-1. Dat zijn er p in totaal. Er zijn ook geen identificaties tussen deze restklassen want het verschil tussen elk tweetal van deze representanten is minder dan p.

Die inverse, dat moet je gewoon als deling zien. Formeel gezien betekent a/b = c dat c de unieke oplossing van de vergelijking bx = a is. In Z/pZ is op die manier a/b altijd goed gedefinieerd als b niet 0 is en voldoet ook gewoon aan standaard rekenregels.

Ik ga me vraag anders proberen te formuleren, ik heb namelijk het gevoel dat het erg simpel is. Immers, het wordt nergens echt in papers vermeldt hoe/wat.

Ik heb het volgende:
Een fase
Een amplitude
Een frequentie.
Ik verander de fase over de tijd geleidelijk.
Hoe krijg ik nu een frequentie tegenover tijd grafiek? Waarbij vanwege de veranderende fase, de golf dus niet perfect hetzelfde volgt. Wat er verder gebeurt is dat die lijn dus om de oorspronkelijk frequentie heen danst, b.v. 20 freq heeft een lijn dat vervolgens tussen 17 en 23 schommelt (vanwege andere oscillators)

Iemand?

a_n = 0,1,2, rijtjes van lengte n zonder 3 opeenvolgende nullen (000).
Stel de recurrente betrekking op voor aantal rijtjes:

a_n = 2*a_n-1 + 2*a_n-2 + 2*a_n-3
is dit enigzins correct? ik heb toch het idee dat het niet helemaal goed is..

quote:

Op donderdag 19 mei 2011 19:47 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Nog bedankt voor je duidelijk uitleg. Het is me uiteindelijk gelukt om die opgaven enigszins door te krijgen.

Nu heb ik alleen even een andere vraag over hetzelfde onderwerp. (Ik begin een beetje gefrustreerd te raken door al die algebra, aangezien ik er blijkbaar niet zo goed in ben en mijn boek totaal geen uitleg of uitwerking biedt.) Ik moet vergelijkingen zoals de volgenden oplossen: sin 3x = sin 2(x - 3) en sin 2x = sin 3x. Nu krijg ik het niet voor elkaar om hier een bruikbaar antwoord uit te krijgen. Ik zie het gewoon niet denk ik. Dat probleem had ik eerder ook al bij het oplossen van sin x = cos x enzovoorts. Helaas heb ik nog niet de routine om dit soort vergelijkingen "even" op te lossen.

OK. De sinus is (evenals de cosinus) een periodieke functie met een periode 2π. Dat betekent dus dat twee hoeken (rotaties) die een geheel veelvoud van 2π (radialen) van elkaar verschillen steeds dezelfde sinus (en dezelfde cosinus) hebben. Dus:

(1) sin(α + 2κπ) = sin α en cos(α + 2κπ) = cos α voor elke k ∈ Z

Daarnaast is het ook nog eens zo dat supplementaire hoeken of rotaties (d.w.z. twee hoeken of rotaties die samen 180 graden zijn ofwel π radialen) ook dezelfde sinus hebben. Dat kun je gemakkelijk zien als je even een schetsje maakt met een assenkruis en de eenheidscirkel. De sinus van α is per definitie de y-coördinaat van het beeldpunt van (1;0) bij rotatie over een hoek α, en je ziet in een tekening gemakkelijk dat de beeldpunten van (1;0) bij rotatie over α en bij rotatie over π - α symmetrisch liggen t.o.v. de y-as ('even hoog') en dus dezelfde y-coördinaat hebben, en daarmee ook dezelfde sinus. Dus:

(2) sin(π - α) = sin α

Bij de cosinus werkt het anders. Dit is per definitie de x-coördinaat van het beeldpunt van (1;0) bij rotatie over een hoek α. En omdat de beeldpunten van (1;0) bij rotatie over α en bij rotatie over π - α symmetrisch liggen t.o.v. de y-as en dus tegengestelde x-coördinaten hebben, en daarmee ook een tegengestelde cosinus, geldt dus:

(3) cos(π - α) = -cos α

Nu kunnen we (1) en (2) combineren: als we weten dat twee hoeken (rotaties) dezelfde sinus hebben, dan kunnen we dus zeggen dat deze twee hoeken - op een geheel veelvoud van 2π na - ofwel dezelfde zijn ofwel supplementair zijn. Dus vinden we dat geldt:

(4) sin α = sin β ⇔ α = β + 2kπ ∨ α = (π - β) + 2kπ, k∈Z

Voor de cosinus geldt dat cos(-α) = cos α voor elke willekeurige hoek (rotatie) α, aangezien de beeldpunten van (1;0) bij rotaties over -α en α symmetrisch liggen t.o.v. de x-as en dus dezelfde x-coördinaat hebben. Zo vinden we ook dat geldt:

(5) cos α = cos β ⇔ α = β + 2kπ ∨ α = (- β) + 2kπ, k∈Z

Moeten we nu een vergelijking als sin 3x = sin 2(x-3) oplossen over R, dan kunnen we dus direct zeggen dat moet gelden:

3x = 2(x - 3) + 2kπ ∨3x = π - 2(x - 3) + 2kπ

Dit geeft:

3x = 2x - 6 + 2kπ ∨3x = π - 2x + 6 + 2kπ

En dus:

x = -6 + 2kπ ∨5x = 6 + (2k+1)π

Dus:

x = -6 + 2kπ ∨x = 6/5 + ((2k+1)/5)∙π, k∈Z

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 19-05-2011 21:54:54 ]

Wat voor soort vragen kan je verwachten op Examen Aardrijkskunde? Meer inzichts vragen of gewoon toepassingsvragen of wat voor soort dan ook?

Alvast bedankt

Kut, verkeerde topique

quote:

Op donderdag 19 mei 2011 20:51 schreef Fingon het volgende:
a_n = 0,1,2, rijtjes van lengte n zonder 3 opeenvolgende nullen (000).
Stel de recurrente betrekking op voor aantal rijtjes:
[ link | afbeelding ]
a_n = 2*a_n-1 + 2*a_n-2 + 2*a_n-3
is dit enigzins correct? ik heb toch het idee dat het niet helemaal goed is..

Lijkt me toch wel juist, mits je a₀ = 1 neemt. Immers, het is triviaal dat a₁ = 3, a₂ = 9 en a₃ = 26 (omdat alleen de sequentie 000 niet mee mag doen). Dan krijgen we dus volgens je recursieformule a₄ = 2∙(26 + 9 + 3) = 2∙38 = 76, en dat klopt. Immers de sequentie 0000 mag niet meedoen, en ook x000 en 000x met x=1 of x=2 mogen niet meedoen, zodat a₄ = 3⁴ - 5 = 81 - 5 = 76.

quote:

Op donderdag 19 mei 2011 21:35 schreef Riparius het volgende:

[..]

Lijkt me toch wel juist, mits je a₀ = 1 neemt. Immers, het is triviaal dat a₁ = 3, a₂ = 9 en a₃ = 26 (omdat alleen de sequentie 000 niet mee mag doen). Dan krijgen we dus volgens je recursieformule a₄ = 2∙(26 + 9 + 3) = 2∙38 = 76, en dat klopt. Immers de sequentie 0000 mag niet meedoen, en ook x000 en 000x met x=1 of x=2 mogen niet meedoen, zodat a₄ = 3⁴ - 5 = 81 - 5 = 76.

Ok, maar wat voor manier gebruik jij daar dan, is die ook recursief of is dat een andere manier van tellen?

quote:

Op [url=http://forum.fok.nl/topic/1649235/3/50#9705229http://i.fokzine.net/temp(...)r/sub.png1]donderdag 19 mei 2011 22:08[/url] schreef Fingon het volgende:

[..]

Ok, maar wat voor manier gebruik jij daar dan, is die ook recursief of is dat een andere manier van tellen?

Het totaal aantal sequenties van n maal een 0,1 of 2 is 3ⁿ. Bij a₁ en a₂ zijn er geen uitvallers omdat je dan geen drie nullen achter elkaar kunt hebben, dus a₁ = 3¹ = 3 en a₂ = 3² = 9. Bij a₃ is er maar één uitvaller, want alleen 000 mag niet. Dus is a₃ = 3³ - 1 = 26. Met deze gegevens kun je aan de hand van je recursieformule a₄ uitrekenen, en dan kom je op 76, wat inderdaad klopt. Voor a₃ klopt de recursieformule ook, als we a₀ = 1 nemen.

quote:

Op donderdag 19 mei 2011 20:15 schreef thabit het volgende:

[..]

De elk geheel getal heeft een rest bij deling door p. De restklassen hebben representanten 0, 1, ... p-1. Dat zijn er p in totaal. Er zijn ook geen identificaties tussen deze restklassen want het verschil tussen elk tweetal van deze representanten is minder dan p.

Die inverse, dat moet je gewoon als deling zien. Formeel gezien betekent a/b = c dat c de unieke oplossing van de vergelijking bx = a is. In Z/pZ is op die manier a/b altijd goed gedefinieerd als b niet 0 is en voldoet ook gewoon aan standaard rekenregels.

Maar de restklasses zelf bevatten wel meer elementen, toch? Als ik 7 als p pak, dan bevat de restklasse R₁ de elementen 2 en 6.
En als het puur om die restklassen gaat, geldt dat dan niet voor elke commutatieve ring (Z/mZ) met m>0 natuurlijk getal?

Bij de inverse gaat het er toch om dat de 'x' niet gedefineerd is als de gebruikelijke 'keer', maar als een bewerking die voldoet aan bepaalde axioma's? Dus kan je in een lichaam van 2 elementen hebben dat 1 de inverse is van 1 (oid).

quote:

Op vrijdag 20 mei 2011 09:14 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Maar de restklasses zelf bevatten wel meer elementen, toch? Als ik 7 als p pak, dan bevat de restklasse R₁ de elementen 2 en 6.
En als het puur om die restklassen gaat, geldt dat dan niet voor elke commutatieve ring (Z/mZ) met m>0 natuurlijk getal?

Elke restklasse bevat oneindig veel elementen. Voor p = 7 zit 2 niet in dezelfde restklasse als 6 maar wel in dezelfde restklasse als 9. En ja, voor m>0 heeft Z/mZ precies m elementen.

quote:

Op vrijdag 20 mei 2011 09:14 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Bij de inverse gaat het er toch om dat de 'x' niet gedefineerd is als de gebruikelijke 'keer', maar als een bewerking die voldoet aan bepaalde axioma's? Dus kan je in een lichaam van 2 elementen hebben dat 1 de inverse is van 1 (oid).

Ja, inderdaad, maar de vermenigvuldiging op Z/mZ is gewoon gedefinieerd als de reductie modulo m van de vermenigvuldiging op Z.

quote:

Op donderdag 19 mei 2011 21:15 schreef Riparius het volgende:

[..]

OK. De sinus is (evenals de cosinus) een periodieke functie met een periode 2π. Dat betekent dus dat twee hoeken (rotaties) die een geheel veelvoud van 2π (radialen) van elkaar verschillen steeds dezelfde sinus (en dezelfde cosinus) hebben. Dus:

...

Bedankt voor je heldere uitleg. Spontaan viel het kwartje bij mij...

Ik even even een uitgewerkte opgave in Latex gezet om te zien of ik het begrijp:

quote:

Op vrijdag 20 mei 2011 13:16 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Bedankt voor je heldere uitleg. Spontaan viel het kwartje bij mij...

Ik even even een uitgewerkte opgave in Latex gezet om te zien of ik het begrijp:
[ afbeelding ]

Dat gaat best goed zo, alleen heb je bij de tweede mogelijkheid een (vaak voorkomende) tekenfout gemaakt.

Je hebt:

πx = (½πx - ½π) + 2kπ ∨ πx = π - (½πx - ½π) + 2kπ

En dat wordt:

πx = ½πx - ½π + 2kπ ∨ πx = π - ½πx + ½π + 2kπ

Daarna verander je π - ½π zomaar in π + ½π, waardoor het antwoord uiteindelijk wel klopt. Maar twee fouten maken die elkaar opheffen betekent niet dat het foutloos is.

[ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 20-05-2011 14:03:16 ]

quote:

Op vrijdag 20 mei 2011 13:52 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat gaat best goed zo, alleen heb je bij de tweede mogelijkheid een (vaak voorkomende) tekenfout gemaakt.

Je hebt:

πx = (½πx - ½π) + 2kπ ∨ πx = π - (½πx - ½π) + 2kπ

En dat wordt:

πx = ½πx - ½π + 2kπ ∨ πx = π - ½πx + ½π + 2kπ

Daarna verander je π - ½π zomaar in π + ½π, waardoor het antwoord uiteindelijk wel klopt. Maar twee fouten maken die elkaar opheffen betekent niet dat het foutloos is.

Bedoel je dat het eigenlijk tussen haakjes had moeten staan, zodat het correct is dat die halve pi plus wordt?

quote:

Op vrijdag 20 mei 2011 15:12 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Bedoel je dat het eigenlijk tussen haakjes had moeten staan, zodat het correct is dat die halve pi plus wordt?

Ja, want π - (½πx - ½π) + 2kπ is niet hetzelfde als π - ½πx - ½π + 2kπ.

quote:

Op vrijdag 20 mei 2011 15:26 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, want π - (½πx - ½π) + 2kπ is niet hetzelfde als π - ½πx - ½π + 2kπ.

Oké. Ik snap het en dat is een heel goed punt. Bedankt!

quote:

Op vrijdag 20 mei 2011 15:26 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, want π - (½πx - ½π) + 2kπ is niet hetzelfde als π - ½πx - ½π + 2kπ.

Domme vraag misschien, maar hoe krijg je die tekens van pi, 1/2 enzovoorts in een post? Ik neem aan dat daar een makkelijkere manier voor is dan de tekens uit je hoofd leren?

quote:

Op vrijdag 20 mei 2011 19:42 schreef M.rak het volgende:

[..]

Domme vraag misschien, maar hoe krijg je die tekens van pi, 1/2 enzovoorts in een post? Ik neem aan dat daar een makkelijkere manier voor is dan de tekens uit je hoofd leren?

Fok ondersteunt Unicode, dus met een geschikt toetsenbord layout programma (of een geschikte keyboard layout van Windows zelf) kun je alles typen wat je wil zonder ingewikkelde codes. Ik gebruik zelf Tavultesoft Keyman omdat ik o.a. ook klassiek Grieks wil kunnen typen. Voor ¼, ½ en ¾ kun je (met de standaard toetsenbord indeling VS internationaal) gewoon Ctrl-Alt 6, Ctrl-Alt 7 en Ctrl-Alt 8 gebruiken (of AltGr met 6, 7, 8).