[Bèta wiskunde] Huiswerk-en-vragentopic

Als je een rij a_n hebt zodat de som convergeert, maar niet absoluut convergeert, kun je voor elke waarde c een herordening van de rij a_n vinden zodat de som van die herordening naar c convergeert. Zie bijvoorbeeld http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_series_theorem.

Het staat trouwens ook uitgelegd op de pagina die je aanhaalde, onder het continue geval.

quote:

Op dinsdag 15 februari 2011 00:48 schreef Riparius het volgende:

[..]

Wat je hier doet is op een hele rare manier goochelen om iets wat evident is te verkrijgen. Meestal duiden dat soort notaties op begripsverwarringen.

In je eerste uitdrukking is j een index die loopt van een beginwaarde j = i t/m een eindwaarde j = n. Dat betekent dus dat we (n - i) + 1 maal 1 sommeren, en de uitkomst is dan inderdaad (n - i + 1), daar heb ik die tussenstappen helemaal niet voor nodig. Maar de eerste tussenstap in je plaatje is sowieso onzinnig. Immers, j was een index en i de startwaarde van die index. Maar dan kun je niet zomaar gaan doen alsof (j + i -1) nu een index is die loopt van 0 t/m n. Aangezien alle termen gelijk zijn aan één zou de som dan (n + 1) moeten zijn, maar dát klopt niet! De eerste tussenstap is dus onzin. De tweede tussenstap klopt wel: Als we de index j laten lopen van j = i t/m j = n en alle termen in de som zijn gelijk - en gedefinieerd voor elk niet-negatief geheel getal - dan kunnen we net zo goed j met (i-1) verlagen en dus de index laten lopen van j = i - (i - 1) = 1 t/m j = n - (i - 1) = n - i + 1.

Ja klopt. Bleek dat ik het per ongeluk verkeerd had overgeschreven en daardoor niet meer snapte

E(X) = Som_{k=1}^inf k P(X=k) = 1 * P(X=1) + 2*P(X=2) + 3*P(X=3) + ....
P(X=2) tel je nu tweemaal, in Som_{k=1}^inf P(X>=k) ook (namelijk bij P(X>=1) en bij P(X>=2).

Bij een continue stochast kun je het bewijzen met partiële integratie:
integraal x f(x) dx = [x (F(x)-1)] + integraal 1 - F(x) dx

Ik wil graag dat [x (F(x)-c)] wegvalt.

Zo werkt partiële integratie, je moet één factor primitiveren en daarna mag je de andere factor differentiëren. Je mag zelf de primitieve handig kiezen.

En x(1-F(x)) niet naar 0 als x->inf, kan inderdaad, maar ik vermoed dat de verwachting dan ook niet bestaat.

Ugh.. ik zit met een probleempje guys. Maandag heb ik een proefwerk over exponentiële en logaritmische functies, maar ik loop op een puntje vast.

Gegeven is de functie f(x)= (x^2 - 3)e^x

Vraag: Voor welke waarden van p heeft de vergelijking f(x) = p precies twee oplossingen?

Ik heb echt geen idee meer hoe dit berekent kan worden, en het antwoorden boek biedt ook geen hulp. Anyone?

Also, wanneer je de uitkomen van een oplossing wil controleren (x= ..) en x is dan een logaritmische functie, bijvoorbeeld 3^log(32), hoe kan je deze dan in je (grafische) rekenmachine invoeren? Wordt deze dan gewoon ingevuld als (log(32)/log(3))?

Bij voorbaat dank!

quote:

Op zaterdag 19 februari 2011 19:36 schreef Uchiha1911 het volgende:
Ugh.. ik zit met een probleempje guys. Maandag heb ik een proefwerk over exponentiële en logaritmische functies, maar ik loop op een puntje vast.

Gegeven is de functie f(x)= (x^2 - 3)e^x

Vraag: Voor welke waarden van p heeft de vergelijking f(x) = p precies twee oplossingen?

Ik heb echt geen idee meer hoe dit berekent kan worden, en het antwoorden boek biedt ook geen hulp. Anyone?

Also, wanneer je de uitkomen van een oplossing wil controleren (x= ..) en x is dan een logaritmische functie, bijvoorbeeld 3^log(32), hoe kan je deze dan in je (grafische) rekenmachine invoeren? Wordt deze dan gewoon ingevuld als (log(32)/log(3))?

Bij voorbaat dank!

die eerste zou ik ook niet weten. ik schat dat je moet kijken waar de functie daalt en stijgt, en dan een conclusie kan trekken. Als f convergeert op een punt (wat niet oneindig of -oneindig is, heeft f(x) = p volgens mij voor alle x twee oplossingen, behalve als x het punt is waarnaar f convergeert)

maar je moet op je rekenmachine idd ₁₀log(5)/₁₀log(2) doen om ₂log(5) te berekenen.

[ Bericht 6% gewijzigd door minibeer op 19-02-2011 21:55:06 ]

Schrijf in standaardvorm

quote:

(2w3)/w2)³ (W = Wortel)

ik kom tot

quote:

8w27/w8 = 8w3*3*3/w2*2*2 = 24w3/2w2

Maar hoe kom ik nu verder ? Het antwoord zou 6w6 moeten zijn maar ik kom er maar niet op.

Klopt deze beredenering dan ?



want jou stap na snap ik niet.

quote:

Op zaterdag 19 februari 2011 23:12 schreef Mind_State het volgende:
Klopt deze beredenering dan ?

Nee. √3/2 is niet hetzelfde als √(3/2).

quote:

Want jou stap na [ afbeelding ] snap ik niet.

12 = 6∙2 = 6∙√4

zijn er eigenlijk regels voor wat het meest vereenvoudigd is? Ik zou namelijk eerder 216 als meest vereenvoudigd noemen. Of is het maar wat het beste uitkomt?

er is een standaardvorm die bestaat uit waarin a een geheel getal of onvereenvoudigbare breuk en b een onvereenvoudigbare wortel is

Bedankt Basement, denk dat ik hem begrijp, ga er morgen ff verder mee stoeien met andere opgaven.

quote:

Op zaterdag 19 februari 2011 21:42 schreef minibeer het volgende:

[..]

die eerste zou ik ook niet weten. ik schat dat je moet kijken waar de functie daalt en stijgt, en dan een conclusie kan trekken. Als f convergeert op een punt (wat niet oneindig of -oneindig is, heeft f(x) = p volgens mij voor alle x twee oplossingen, behalve als x het punt is waarnaar f convergeert)

Thanks. Enig idee hoe ik dit uit een geplotte grafiek dan af kan leiden? Natuurlijk kan ik zien waar een grafiek daalt of stijgt, maar hoe komt het antwoord er dan uit te zien? Ik vind de vraagstelling erg raar, maar dat is waarschijnlijk mede omdat de vraag me uberhaupt niet duidelijk is.

quote:

Op zaterdag 19 februari 2011 19:36 schreef Uchiha1911 het volgende:
Ugh.. ik zit met een probleempje guys. Maandag heb ik een proefwerk over exponentiële en logaritmische functies, maar ik loop op een puntje vast.

Gegeven is de functie f(x)= (x^2 - 3)e^x

Vraag: Voor welke waarden van p heeft de vergelijking f(x) = p precies twee oplossingen?

Ik heb echt geen idee meer hoe dit berekend kan worden, en het antwoordenboek biedt ook geen hulp. Anyone?

We hebben:

(1) f(x) = (x² - 3)∙e^x

We bepalen nu eerst de afgeleide van de functie. Daarvoor vinden we:

(2) f'(x) = 2x∙e^x + (x² - 3)∙e^x = (x² + 2x - 3)∙e^x

Om de (locale) minima en maxima van de functie te bepalen kijken we voor welke waarde(n) van x de afgeleide nul is. Een e-macht kan niet nul zijn, dus f'(x) kan alleen nul zijn als geldt:

(3) x² + 2x - 3 = 0

En dus:

(4) x = -3 of x = 1

Nu is voorts de kwadratische veelterm x² + 2x - 3 negatief voor -3 < x < 1 en positief voor x < -3 of x > 1. En aangezien e^x positief is voor elke (reële) x, volgt dus uit (2) dat ook f'(x) negatief is voor -3 < x < 1 en positief voor x < -3 of x > 1.

We kunnen nu concluderen dat f(x) een maximum bereikt voor x = -3 en een minimum voor x = 1. Substitutie in (1) levert:

(5) f(-3) = 6∙e^-3 en f(1) = -2∙e

Nu helpt het om een plaatje te tekenen. Hier is de grafiek van f(x) op het interval [-6, 2]



De vraag is nu voor welke waarden van p de horizontale lijn y = p de grafiek van f snijdt (of raakt) in precies twee punten, dan zijn er immers twee waarden van x zodanig dat f(x) = p.

Merk op dat f(x) voor x = 1 een absoluut minimum -2∙e bereikt, zodat de waarde p = -2∙e niet voldoet, en dat f(x) voor x = -3 een locaal maximum bereikt dat geen absoluut maximum is. Omdat f(x) onbegrensd monotoon stijgt voor x > 1 is er wel een tweede snijpunt voor p = 6∙e^-3. Maar voor 0 < p < 6∙e^-3 hebben we in totaal drie snijpunten vanwege het locale maximum bij x = -3. Deze waarden van p voldoen dus ook niet. Nu is de lijn y = 0 een horizontale asymptoot van de grafiek van f, dus voor -2∙e < p ≤ 0 hebben we wel twee snijpunten. Zo vinden we dus dat f(x) = p precies twee (reële) oplossingen heeft indien:

(6) -2∙e < p ≤ 0 of p = 6∙e^-3

[ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 20-02-2011 17:31:35 ]

quote:

Op zondag 20 februari 2011 00:40 schreef Riparius het volgende:

[..]

Merk op dat f(x) voor x = 1 een absoluut minimum -2∙e bereikt, zodat de waarde p = -2∙e niet voldoet, en dat f(x) voor x = -3 een locaal maximum bereikt dat geen absoluut maximum is. Omdat f(x) onbegrensd monotoon stijgt voor x > 1 is er wel een tweede snijpunt voor p = 6∙e^-3. Maar voor 0 < p < 6∙e^-3 hebben we in totaal drie snijpunten vanwege het locale maximum bij x = -3. Deze waarden van p voldoen dus ook niet. Nu is de lijn y = 0 een horizontale asymptoot van de grafiek van f, dus voor -2∙e < p ≤ 0 hebben we wel twee snijpunten. Zo vinden we dus dat f(x) = p precies twee (reële) oplossingen heeft indien:

(6) -2∙e < p ≤ 0 of p = 6∙e^-3

Wat een geweldige uitleg, bedankt! Het is me allemaal vrij duidelijk, alleen hetgeen wat in de quote hierboven staat ontgaat me een beetje. Het is me niet helemaal duidelijk hoe je nu aan het antwoord komt (ook al staat het hierboven volledig beschreven ).
Is hier een nadere verklaring voor?

Stel, ik heb 2 modellen die ik test op normality via de Jarque Bera test. Een heeft een p-waarde die net een beetje hoger is dan 0.05 en de ander zit bijna tegen de 0.99 aan. Beide zijn voldoende om de nul hypothesis niet te kunnen weigeren en voldoen dus aan de normaliteit norm. Het verschil tussen beide is alleen enorm (wat ook terug te zien valt in het plaatje). Hoe haal ik er uit waar dit grote verschil zit?

quote:

Op zondag 20 februari 2011 14:31 schreef BasementDweller het volgende:
Hoe verschilt de projective plane, gedefinieerd als: P² := { l : l \subset |R^3 een lijn door de oorsprong }, van R^3 zelf? Want ieder punt in R^3 ligt op een lijn die door de oorsprong gaat.

Het projectieve vlak kun je zien als alle lijnen die door de oorsprong gaan. Je identificieert als het ware alle punten die op dezelfde lijn door de oorsprong liggen met elkaar. Als je dus een punt x != 0 in R^3 hebt, dan wordt dat met -x geidentificeerd in het projectieve vlak.

quote:

Op zaterdag 19 februari 2011 17:10 schreef GlowMouse het volgende:
Zo werkt partiële integratie, je moet één factor primitiveren en daarna mag je de andere factor differentiëren. Je mag zelf de primitieve handig kiezen.

Maar partieel integreren moet je wel doordacht aanpakken. Anders ben je alleen maar verder van huis

quote:

Op zondag 20 februari 2011 13:55 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Uit het plaatje zie je direct dat als je PRECIES twee snijpunten wil hebben, dat je dan tussen het minimum en nul moet gaan zitten met je y=p, of boven het lokale maximum bij x=-3. Want daartussenin snijdt de lijn y=p de grafiek 3 maal, en dat wil je niet. Dat is het idee wat Riparius netjes heeft uitgewerkt.

Stupid me, heb de grafiek verkeerd geïnterpreteerd, zie het nu ook! =)