[Bèta wiskunde] Huiswerk-en-vragentopic

Klopt dit?

Vraag: is Z[X]/(7, X^2-2) een priem- of maximaal ideaal?

Oplossing: Z[X]/(7, X^2-2) = Z/7Z[X]/(X^2-2)
Bekijk het homomorfisme psi: Z/7Z[X] --> Z/7Z[sqrt{2}], f -> f(sqrt{2}). De kern hiervan is precies (X^2-2), dus
Z/7Z[X]/(X^2-2) = Z/7Z[sqrt{2}]. Dit is een deelverzameling van R, R bevat geen nuldelers, dus het is zeker een domein.

Hoe kan ik zien of Z/7Z[sqrt{2}] een lichaam is of niet?


(Met = bedoel ik natuurlijk isomorf)

Bereken voor welke p de vergelijking Px³ + p²x² - 16x = 0 drie oplossingen heeft.

Ik heb nu x (px² + p²x - 16) = 0
De eerste opl is dus al x = 0
Maar de andere 2 kom ik niet uit

Z/7Z[sqrt{2}] = F₇[sqrt{2}] ?
3² = 2 in F₇ dus de wortel van 2 bestaat in F₇

kan je hier wat mee?

quote:

Op woensdag 3 november 2010 21:28 schreef Flows het volgende:
Bereken voor welke p de vergelijking px³ + p²x² - 16x = 0 drie oplossingen heeft.

Ik heb nu x (px² + p²x - 16) = 0
De eerste opl is dus al x = 0
Maar de andere 2 kom ik niet uit

Je zegt het zelf al. Je hebt in ieder geval één oplossing, x = 0, dus de kwadratische veelterm die je tussen haakjes hebt staan moet dan nog twee (reële) nulpunten hebben. En wanneer is dat het geval?

Oh, F is een handigere notatie, ja. ;x

F₇[sqrt{2}] = {a+b*sqrt{2} | a, b in F₇} = {a + b*3 | a, b in F₇}, en omdat 7 priem is en dus geen nuldelers heeft (en F₇ een eindige groep is) is b*3 met b in F₇ hetzelfde als F₇, dus F₇[sqrt{2}] = F₇?


Maar.. als je F_p hebt, met p priem dus, zit dan niet elk kwadraat kleiner dan p erin? dus geldt altijd F_p[sqrt{x}] met x < p = F_p?

quote:

Op woensdag 3 november 2010 21:49 schreef Hanneke12345 het volgende:
Oh, F is een handigere notatie, ja. ;x

F₇[sqrt{2}] = {a+b*sqrt{2} | a, b in F₇} = {a + b*3 | a, b in F₇}, en omdat 7 priem is en dus geen nuldelers heeft (en F₇ een eindige groep is) is b*3 met b in F₇ hetzelfde als F₇, dus F₇[sqrt{2}] = F₇?

Nee, F₇[sqrt{2}] is isomorf met F₇ x F₇.

laat ook maar , oorspronkelijke vraag was anders

Misschien is het handig om eerst te definiëren wat er met de notatie F₇[sqrt{2}] wordt bedoeld. Is het een verzameling formele uitdrukkingen a + b * sqrt{2} met a, b in F₇ of kies je ook echt een wortel uit 2 in een algebraïsche afsluiting van F₇ die je aan F₇ adjugeert?

Maar wel met optelling er tussen.

F₇ x F₇ --> F₇
(a, b) = a+b
Hoewel dit natuurlijk geen isomorfisme is want duidelijk niet injectief (1+3 = 2+2). Maar als je die ring zo maakt ({a+b*3 | .. etc}) dan krijg je toch precies alle elementen van F₇.

Maar is het niet zo dat R x R altijd isomorf is met R? (Geen idee eigenlijk, ik ben heel slecht met deze dingen. ;x )

quote:

Op woensdag 3 november 2010 22:08 schreef thabit het volgende:
Misschien is het handig om eerst te definiëren wat er met de notatie F₇[sqrt{2}] wordt bedoeld. Is het een verzameling formele uitdrukkingen a + b * sqrt{2} met a, b in F₇ of kies je ook echt een wortel uit 2 in een algebraïsche afsluiting van F₇ die je aan F₇ adjugeert?

Weet ik eigenlijk niet ;x Ik had eerder een vraag gemaakt waar je een isomorfisme kreeg met Z[\sqrt{7}]. Maar daar hadden we op een andere manier al gezien dat het geen maximaal ideaal was, en omdat Z[sqrt{7}] een deelverzameling van R is, is het in ieder geval een domein. Het gaat volgens mij puur om elementen {a + b * wortel{2} | a, b in F₇}, en niet de uitkomst daarvan ook in F₇.


Oh wacht, chinese reststelling! Dus heb ik een isomorfisme met Z/49Z?

[ Bericht 54% gewijzigd door Hanneke12345 op 03-11-2010 22:25:48 ]

quote:

Op woensdag 3 november 2010 21:19 schreef Hanneke12345 het volgende:
Klopt dit?

Vraag: is Z[X]/(7, X^2-2) een priem- of maximaal ideaal?

Je bedoelt is (7, X^2-2) in Z[X] een priem- of maximaal ideaal?

quote:

Op woensdag 3 november 2010 22:25 schreef Outlined het volgende:

[..]

Je bedoelt is (7, X^2-2) in Z[X] een priem- of maximaal ideaal?

Typfout. x; Inderdaad. Of: "is Z[X]/(7, X^2-2) een domein of lichaam?"

quote:

Op woensdag 3 november 2010 22:19 schreef Hanneke12345 het volgende:
Oh wacht, chinese reststelling! Dus heb ik een isomorfisme met Z/49Z?

Nee, want 7 is niet onderling ondeelbaar met 7.

Maar goed, wetende dat 2 een kwadraat is in F₇, wat denk je dat Z[X]/(7, X²-2) is?
a) Een lichaam.
b) Een domein, maar geen lichaam.
c) Geen domein (en dus ook geen lichaam).

Oh wacht, dan is X^2-2 gewoon onbindbaar, want die heeft een nulpunt. Dus is het geen domein. ;x

quote:

Op woensdag 3 november 2010 23:02 schreef Hanneke12345 het volgende:
Oh wacht, dan is X^2-2 gewoon onbindbaar, want die heeft een nulpunt. Dus is het geen domein. ;x

Juist.

Ik moet voor de volgende functie het domein en de raaklijn vinden:

f(x)=√(16+6x-x²)

Ik bepaal het domein => f(x)=√((8-x)(2+x)) wat geeft -2≤x≤8

Met de raaklijn bepalen kom ik vervolgens wat in de knel. Bij het bepalen van de afgeleide ben ik begonnen met:

=> f(x)=(16+6x-x²)^1/2
f`(x) = 1/2(16+6x-x<sup>2</sup>)<sup>-1/2</sup> . (6-2x)
=> f`(x)= (3-x) (16+6x-x²)^-1/2

Als ik hier echter f`(0) invul krijg ik niet het juiste antwoord voor de helling, tevens doen ze in het antwoord als afgeleide:
((1/2) / √(16+6x-x²)) . (6-2x)

Ik zie daar echter niet de logica van in..

raaklijn in welk punt ?
je afgeleide is verder goed

Sorry, raaklijn op het punt x=0. Het antwoord geeft daar als helling 3/4, maar dit krijg ik er niet uit als ik f`(0) uitreken met mijn afgeleide.

quote:

Op donderdag 4 november 2010 11:46 schreef algebra010 het volgende:
maar dit krijg ik er niet uit als ik f`(0) uitreken met mijn afgeleide.

wel, gewoon even netjes uitwerken