[Bèta wiskunde] Huiswerk-en-vragentopic

quote:

Op dinsdag 13 juli 2010 10:41 schreef Snarf het volgende:
[ afbeelding ]
Wie helpt mij (wiskundig) aan de lengtes van de ontbrekende zijden?

Je geeft eigenlijk te weinig informatie, want er zijn oneindig veel driehoeken mogelijk waarvan de lengte van één zijde 403 is en de radius van de ingeschreven cirkel 74. Maar uit je figuur is op te maken dat hoek C kennelijk een rechte hoek is, en dan is de driehoek wel volledig bepaald. Ik zal er daarom vanuit gaan dat hoek C recht is.

Trek je lijnstukken vanuit het middelpunt I van de ingeschreven cirkel naar elk van de hoekpunten A, B en C, dan wordt driehoek ABC verdeeld in drie driehoeken waarvan de hoogte steeds r is en de basis één der zijden a, b, c. Zodoende zien we dat voor de oppervlakte O(ΔABC) van driehoek ABC geldt:

(1) O(ΔABC) = ½∙r∙(a + b + c)

Maar nu geldt voor de oppervlakte van driehoek ABC onder de aanname dat hoek C recht is ook:

(2) O(ΔABC) = ½∙a∙b

Uit (1) en (2) volgt aldus:

(3) ½∙a∙b = ½∙r∙(a + b + c)

Substitutie van de ons bekende gegevens r = 74 en c = 403 in (3) levert dan:

(4) a∙b = 74∙(a + b + 403)

Hiermee hebben we alvast één betrekking tussen a en b gevonden, maar we hebben nog een tweede betrekking nodig om a en b eenduidig te kunnen bepalen. Die tweede betrekking volgt uit de stelling van Pythagoras. Onder de aanname dat hoek C recht is geldt immers ook:

(5) a² + b² = 403²

Uit het stelsel bestaande uit (4) en (5) kunnen we nu a en b oplossen. Om dit op een handige manier te doen maak ik gebruik van het merkwaardige product:

(6) (a + b)² = a² + b² + 2∙a∙b

Substitutie van (4) en (5) in (6) geeft nu:

(7) (a + b)² = 403² + 2∙74∙(a + b + 403)

Dit kunnen we herschrijven als::

(8) (a + b)² = 403² + 148∙(a + b) + 148∙403

En herleiden op nul geeft dan:

(9) (a + b)² - 148∙(a + b) - 222053 = 0

Dit is een vierkantsvergelijking in a + b. De discriminant van deze vergelijking is:

(10) D = 148² + 4∙222053 = 910116

En de vierkantswortel uit de discriminant is:

(11) √D = 954

We zijn alleen geïnteresseerd in positieve wortels van (9) aangezien de lengtes a en b van de zijden en daarmee ook a + b positief moet zijn. Voor de positieve wortel van (9) vinden we:

(12) a + b = (148 + 954)/2 = 551

Nu gaan we het verschil van a en b bepalen omdat we dan door optelling en aftrekking eenvoudig a en b zelf kunnen bepalen. Hiervoor maken we gebruik van het merkwaardig product:

(13) (a - b)² = a² + b² - 2∙a∙b

Uit (6) en (13) volgt dat:

(14) (a - b)² = (a + b)² - 4∙a∙b

Nu hebben we al gevonden (12) dat a + b = 551, en door substitutie hiervan in (4) vinden we ook dat:

(15) a∙b = 74∙(551 + 403) = 70596

Door substitutie van (12) en (15) in (14) volgt nu dat:

(16) (a - b)² = 551² - 4∙70596 = 21217

En aangezien uit je figuur blijkt dat b > a hebben we dan:

(17) b - a = √21217

Door aftrekken en optellen van (12) en (17) vinden we dan:

(18) a = ½∙(551 - √21217) en b = ½∙(551 + √21217)

Voila.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 13-07-2010 20:20:29 ]

quote:

Op dinsdag 13 juli 2010 18:15 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hoek C is was inderdaad recht. Bedankt voor je heldere en briljánte oplossing.

Ik heb een vraag over statistiek. Ik ben voor mijn studie bezig met mijn bachelorscriptie, en moet een regressie uitvoeren. De correlatie tussen de variabelen waar ik de regressie op wil uitvoeren, is echter maar .182. Is dat een probleem? Moet er per se een hoge correlatie zijn voor het uitvoeren van een regressie, of mag dat ook zonder hoge correlatie?

Alvast bedankt.

quote:

Op woensdag 14 juli 2010 16:59 schreef PurePoisonPerfume het volgende:
Ik heb een vraag over statistiek. Ik ben voor mijn studie bezig met mijn bachelorscriptie, en moet een regressie uitvoeren. De correlatie tussen de variabelen waar ik de regressie op wil uitvoeren, is echter maar .182. Is dat een probleem? Moet er per se een hoge correlatie zijn voor het uitvoeren van een regressie, of mag dat ook zonder hoge correlatie?

Alvast bedankt.

Dat is geen probleem. Het geeft alleen aan dat je geen sterk verband tussen de variabelen zult vinden.

Kan iemand me dit uitleggen? dx/dt zie ik meestal gewoon als iets wat 'de afgeleide' aangeeft. Hoe werkt dit opsplitsen en integreren?

Een uitdrukking van de vorm f * dg, waarbij f en g functies zijn, of een som van dergelijke uitdrukkingen, heet een differentiaalvorm. Daarvoor gelden bepaalde rekenregels, zoals d(constante) = 0, df(g) = f'(g) dg, d(f+g) = df + dg, d(fg) = f dg + g df.

Wegens de rekenregel df(x) = f'(x) dx, is df/dx dus de afgeleide van f. Differentiaalvormen kun je integreren (het is je vast eens opgevallen dat bij een integraal altijd een dx staat). Een primitieve van een differentiaalvorm omega is een functie f met df = omega. I.h.b. is een primitieve van f(x) dx een functie F(x) met dF(x) = f(x) dx ofwel F'(x) = f(x).

quote:

Op dinsdag 27 juli 2010 12:08 schreef thabit het volgende:
Een uitdrukking van de vorm f * dg, waarbij f en g functies zijn, of een som van dergelijke uitdrukkingen, heet een differentiaalvorm. Daarvoor gelden bepaalde rekenregels, zoals d(constante) = 0, df(g) = f'(g) dg, d(f+g) = df + dg, d(fg) = f dg + g df.

Wegens de rekenregel df(x) = f'(x) dx, is df/dx dus de afgeleide van f. Differentiaalvormen kun je integreren (het is je vast eens opgevallen dat bij een integraal altijd een dx staat). Een primitieve van een differentiaalvorm omega is een functie f met df = omega. I.h.b. is een primitieve van f(x) dx een functie F(x) met dF(x) = f(x) dx ofwel F'(x) = f(x).

aah
man, en dan te bedenken dat ik 6 jaar wiskunde heb gehad... (al heb ik het nooit echt veel soeps gevonden)
(en ik dacht dat die die dx bij de integraal gewoon liet zien dat er op x geïntegreerd werd )
Hartelijk dank!

Ik snap deze vergelijking niet Iemand die hem kan uitleggen?

quote:

Op donderdag 29 juli 2010 16:02 schreef Cahir het volgende:
[ afbeelding ]

Ik snap deze vergelijking niet Iemand die hem kan uitleggen?

a^3= a x a x a
a^2 = a x a
a^1 = a
a^-1 = 1/a = 1/a^1
a^-2 = 1/(a x a) = 1/a^2

Vul voor a je vergelijking in, zie je het dan niet moet je gewoon eens getallen in vullen:
a=1.b=2
levert op:
1/2^-1 =1/ (1/2) = 2/1 = 2

quote:

Op donderdag 29 juli 2010 16:16 schreef Siddartha het volgende:

[..]

a^3= a x a x a
a^2 = a x a
a^1 = a
a^-1 = 1/a = 1/a^1
a^-2 = 1/(a x a) = 1/a^2

Vul voor a je vergelijking in, zie je het dan niet moet je gewoon eens getallen in vullen:
a=1.b=2
levert op:
1/2^-1 =1/ (1/2) = 2/1 = 2

Dat ik dat niet zelf zag Heel erg bedankt !

quote:

Op donderdag 29 juli 2010 16:02 schreef Cahir het volgende:
[ afbeelding ]

Ik snap deze vergelijking niet Iemand die hem kan uitleggen?

Het is geen vergelijking maar een identiteit. Overigens moeten a en b dan wel beide ongelijk aan nul zijn.

(a/b)^-n = a^-n/b^-n = (a^-n∙aⁿ∙bⁿ)/(b^-n∙bⁿ∙aⁿ) = (a⁰∙bⁿ)/(b⁰∙aⁿ) = bⁿ/aⁿ = (b/a)ⁿ.

quote:

Op donderdag 29 juli 2010 16:02 schreef Cahir het volgende:
[ afbeelding ]

Ik snap deze vergelijking niet Iemand die hem kan uitleggen?

Bekende regel

iets ^-n = 1 / (iets ⁿ)

Ik loop hier dus helemaal vast Ik snap sowieso niet echt wat ze met een perfect square bedoelen. Perfect square zijn dus de kwadraten oftwel 1,4,9,16,25,36 e.d.

In de eerste zin loop ik al vast, het moet een perfect square zijn... en dan word opeens = (y+b)^2 erbij gehaald?

Ja maar waar halen ze b opeens vandaan? Kan iemand dit in jip en janneke taal uitleggen?

quote:

Een perfect square kun je schrijven als x².

Alle getallen kan je toch kwadrateren

quote:

Op vrijdag 30 juli 2010 23:42 schreef Cahir het volgende:
[ afbeelding ]

Ik loop hier dus helemaal vast Ik snap sowieso niet echt wat ze met een perfect square bedoelen. Perfect square zijn dus de kwadraten oftwel 1,4,9,16,25,36 e.d.

In de eerste zin loop ik al vast, het moet een perfect square zijn... en dan word opeens = (y+b)^2 erbij gehaald?

Ze willen dat je de productsommethode toepast. Je moet zien als (à+b)^2 dat wordt dus a^2+2ab+b^2

In dit geval is à=y en 2ab=16 en b^2=k dus moet je b kunnen vinden ik pas liever het truukje toe van 16/2 en dat kwadreren dus k=64

[ Bericht 0% gewijzigd door mctwigt op 30-07-2010 23:53:55 ]

quote:

Op vrijdag 30 juli 2010 23:42 schreef Cahir het volgende:
[ afbeelding ]

Ik loop hier dus helemaal vast Ik snap sowieso niet echt wat ze met een perfect square bedoelen. Perfect square zijn dus de kwadraten oftwel 1,4,9,16,25,36 e.d.

In de eerste zin loop ik al vast, het moet een perfect square zijn... en dan wordt opeens = (y+b)^2 erbij gehaald?

Met perfect square wordt hier bedoeld dat je een kwadratisch (i.e. tweedegraads) polynoom hebt zodanig dat je dit kunt schrijven als het kwadraat van een lineair (i.e. eerstegraads) polynoom. Hiervan wordt vaak gebruik gemaakt bij de oplossingsmethode voor vierkantsvergelijkingen die in het Nederlands bekend staat als kwadraatafsplitsing maar in het Engels completing the square wordt genoemd.

[ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 31-07-2010 03:08:23 ]

ik snap het nog steeds niet

quote:

Op zaterdag 31 juli 2010 13:03 schreef Cahir het volgende:
ik snap het nog steeds niet

En heb je wel de beide Wikipedia artikelen (Nederlands en Engels) doorgenomen?

Voorbeeldje dan maar:

"Completing the square" of op zn nederlands "Kwadraat afsplitsen" houdt in dat je van een uitdrukking als 4x² + 5x + 6 iets in de vorm van (px+q)² + r maakt (De getallen 4, 5 en 6 voor de coëfficiënten zijn puur ter illustratie gekozen; het achterliggende principe heeft algemene geldigheid).

Je kent het merkwaardig product (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 neem ik aan? De eigenschappen daarvan gebruik je nl. bij kwadraatafsplitsing. Om even terug naar de door mij gekozen polynoom te gaan: 4x² + 5x + 6 laat zich vrij eenvoudig omschijven.

4x^2 is namelijk gelijk aan (2x)^2. Daarmee heb je A al gevonden.

Nu voor B; 5x moet gelijk gelijk zijn aan 2AB. Aangezien A al 2x is, krijgen we dus 2AB = 2*(2x)*B = 4*x*B = 5x. Uit 4Bx = 5x is heel snel te berekenen dat B dus 5/4 moet zijn.

Die laatste term moet 6 zijn; B^2 = (5/4)^2 natuuuulijk nooit 6, dus je zal er zelf iets bij moeten optellen danwel aftrekken. (5/4)^2 laat zich ook schrijven als 25/16.
Aangezien geldt 6*16 = 96 => 6 = 96/16, zal je dus (96-25)/16 = 71/16 erbij op moeten tellen om uiteindelijk aan 6 te komen.

De oorspronkelijke vraag was welke getallen je voor p, q en r moet invullen om de vergellijking 4x² + 5x + 6 = (px+q)² + r kloppend te maken.
Welnu; 4x² + 5x + 6 = (2x+5/4)² + 71/16


EDIT: ben even aan het puzzelen geslagen en heb deze algemene formule uit de mouw geschud.

A*x² + B*x + C = (P*x + Q)² + R = ((√A)*x + B/2*(√A) )² + (4AC-B²)/4A

met: P = √A , Q = B/2*(√A) , R = (4AC-B²)/4A .

[ Bericht 4% gewijzigd door ErictheSwift op 02-08-2010 22:11:41 ]

@Cahir
is een perfect vierkant. We hebben een 2de orde functie dus is er maar 1 schrijfwijze mogelijk voor een perfect vierkant;

dus dan moet gelden dat:



Daaruit volgt dat:


Eigen vraag van mij; hoe noteer je wiskundig dat

x tussen +/- 2 moet liggen? Ja ik kan noteren -2 < x < 2, maar dat is me te lang mag zeker niet ofwel (ben niet zo bekend met sets).

ps. eigenlijk wil ik dit korter noteren... error15% staat natuurlijk voor een fout van 15% van 3,14

[ Bericht 5% gewijzigd door ReWout op 02-08-2010 21:47:46 ]

quote:

Op maandag 2 augustus 2010 21:33 schreef ReWout het volgende:

Eigen vraag van mij; hoe noteer je wiskundig dat

x tussen +/- 2 moet liggen? Ja ik kan noteren -2 < x < 2, maar dat is me te lang

Ik zou zeggen, schrijf dan:

| x | < 2

quote:

P.S. Eigenlijk wil ik [ afbeelding ] dit korter noteren... error15% staat natuurlijk voor een fout van 15% van 3,14

Gebruik geen namen voor grootheden, dat is verhelderend als je programmeert, maar niet als je iets compact en elegant op wil schrijven.

| θ₁ - 3,14 | ≤ Ε

Waarom deel je alleen door x en niet door -4? En waarom wordt er afgetrokken?

quote:

Op zaterdag 7 augustus 2010 20:50 schreef Cahir het volgende:
[ afbeelding ]

Waarom deel je alleen door x en niet door -4? En waarom wordt er afgetrokken?

in de opgave vragen ze naar wat het quotiënt (6x-5) en de rest (de remainder -4/(x-4) ) zijn. Het uiteindelijke antwoord op deze polynoomstaartdeling is:

. (6x²-29x+16)
. -------------------------------
. (x-4)
.
. =
.
. 6x - 5 - 4/(x-4) .
(punten aan de linkerkant toegevoegd voor de formatting)


Je bent in feite elke term door (x-4) aan het delen, en wel met een factor zoveel waardoor telkens de term aan de linkerkant van de oorspronkelijke som wegvalt.

Om die 6x² weg te krijgen moet je dus (x-4) met 6x vermenigvuldigen en vervolgens aftrekken van de oorspronkelijke som.

Daardoor introduceer je wel een extra term -24x die doorwerkt op de middelste term -29x .
Nu goed opletten: (-29x) - (-24x) = -29x + 24x = -5x . (vanwege de regel min keer min is plus)

Zodoende hou je -5x + 16 over.
Om vervolgens de -5x weg te werken moet je (x-4) met -5 vermenigvuldigen en van de overgebleven -5x + 16 aftrekken.
De resterende som wordt daarmee ( -5x + 16 ) - ( -5x + 20 ) = -5x + 16 + 5x - 20. Met een beetje schoonvegen hou je -4 over.

Aangezien er in -4 duidelijk geen x'en meer zitten kan je niet meer verder vereenvoudigen en moet je dus schijven -4/(x-4) . Uiteindelijk hou je dan de bovengenoemde uitdrukking over.

quote:

Op zaterdag 7 augustus 2010 20:50 schreef Cahir het volgende:
[ afbeelding ]

Waarom deel je alleen door x en niet door -4? En waarom wordt er afgetrokken?

Hier wordt een polynoomstaartdeling uitgevoerd. Ik denk uit je vraag op te kunnen maken dat je op de basisschool nooit (goed) hebt geleerd hoe je een staartdeling uitvoert. Het zogenaamde 'realistisch rekenen' is funest voor het bereiken van voldoende vaardigheid en een juist begrip, dat wordt hier treffend geïllustreerd. Let er op dat er in verschillende landen uiteenlopende tradities bestaan voor wat betreft de notatie van een staartdeling, zelfs in Vlaanderen wordt een staartdeling al anders opgeschreven dan in Nederland.