[Bèta wiskunde] Huiswerk-en-vragentopic

quote:

Op donderdag 29 juli 2010 16:02 schreef Cahir het volgende:
[ afbeelding ]

Ik snap deze vergelijking niet Iemand die hem kan uitleggen?

Bekende regel

iets ^-n = 1 / (iets ⁿ)

Ik loop hier dus helemaal vast Ik snap sowieso niet echt wat ze met een perfect square bedoelen. Perfect square zijn dus de kwadraten oftwel 1,4,9,16,25,36 e.d.

In de eerste zin loop ik al vast, het moet een perfect square zijn... en dan word opeens = (y+b)^2 erbij gehaald?

Ja maar waar halen ze b opeens vandaan? Kan iemand dit in jip en janneke taal uitleggen?

quote:

Een perfect square kun je schrijven als x².

Alle getallen kan je toch kwadrateren

quote:

Op vrijdag 30 juli 2010 23:42 schreef Cahir het volgende:
[ afbeelding ]

Ik loop hier dus helemaal vast Ik snap sowieso niet echt wat ze met een perfect square bedoelen. Perfect square zijn dus de kwadraten oftwel 1,4,9,16,25,36 e.d.

In de eerste zin loop ik al vast, het moet een perfect square zijn... en dan word opeens = (y+b)^2 erbij gehaald?

Ze willen dat je de productsommethode toepast. Je moet zien als (à+b)^2 dat wordt dus a^2+2ab+b^2

In dit geval is à=y en 2ab=16 en b^2=k dus moet je b kunnen vinden ik pas liever het truukje toe van 16/2 en dat kwadreren dus k=64

[ Bericht 0% gewijzigd door mctwigt op 30-07-2010 23:53:55 ]

quote:

Op vrijdag 30 juli 2010 23:42 schreef Cahir het volgende:
[ afbeelding ]

Ik loop hier dus helemaal vast Ik snap sowieso niet echt wat ze met een perfect square bedoelen. Perfect square zijn dus de kwadraten oftwel 1,4,9,16,25,36 e.d.

In de eerste zin loop ik al vast, het moet een perfect square zijn... en dan wordt opeens = (y+b)^2 erbij gehaald?

Met perfect square wordt hier bedoeld dat je een kwadratisch (i.e. tweedegraads) polynoom hebt zodanig dat je dit kunt schrijven als het kwadraat van een lineair (i.e. eerstegraads) polynoom. Hiervan wordt vaak gebruik gemaakt bij de oplossingsmethode voor vierkantsvergelijkingen die in het Nederlands bekend staat als kwadraatafsplitsing maar in het Engels completing the square wordt genoemd.

[ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 31-07-2010 03:08:23 ]

ik snap het nog steeds niet

quote:

Op zaterdag 31 juli 2010 13:03 schreef Cahir het volgende:
ik snap het nog steeds niet

En heb je wel de beide Wikipedia artikelen (Nederlands en Engels) doorgenomen?

Voorbeeldje dan maar:

"Completing the square" of op zn nederlands "Kwadraat afsplitsen" houdt in dat je van een uitdrukking als 4x² + 5x + 6 iets in de vorm van (px+q)² + r maakt (De getallen 4, 5 en 6 voor de coëfficiënten zijn puur ter illustratie gekozen; het achterliggende principe heeft algemene geldigheid).

Je kent het merkwaardig product (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 neem ik aan? De eigenschappen daarvan gebruik je nl. bij kwadraatafsplitsing. Om even terug naar de door mij gekozen polynoom te gaan: 4x² + 5x + 6 laat zich vrij eenvoudig omschijven.

4x^2 is namelijk gelijk aan (2x)^2. Daarmee heb je A al gevonden.

Nu voor B; 5x moet gelijk gelijk zijn aan 2AB. Aangezien A al 2x is, krijgen we dus 2AB = 2*(2x)*B = 4*x*B = 5x. Uit 4Bx = 5x is heel snel te berekenen dat B dus 5/4 moet zijn.

Die laatste term moet 6 zijn; B^2 = (5/4)^2 natuuuulijk nooit 6, dus je zal er zelf iets bij moeten optellen danwel aftrekken. (5/4)^2 laat zich ook schrijven als 25/16.
Aangezien geldt 6*16 = 96 => 6 = 96/16, zal je dus (96-25)/16 = 71/16 erbij op moeten tellen om uiteindelijk aan 6 te komen.

De oorspronkelijke vraag was welke getallen je voor p, q en r moet invullen om de vergellijking 4x² + 5x + 6 = (px+q)² + r kloppend te maken.
Welnu; 4x² + 5x + 6 = (2x+5/4)² + 71/16


EDIT: ben even aan het puzzelen geslagen en heb deze algemene formule uit de mouw geschud.

A*x² + B*x + C = (P*x + Q)² + R = ((√A)*x + B/2*(√A) )² + (4AC-B²)/4A

met: P = √A , Q = B/2*(√A) , R = (4AC-B²)/4A .

[ Bericht 4% gewijzigd door ErictheSwift op 02-08-2010 22:11:41 ]

@Cahir
is een perfect vierkant. We hebben een 2de orde functie dus is er maar 1 schrijfwijze mogelijk voor een perfect vierkant;

dus dan moet gelden dat:



Daaruit volgt dat:


Eigen vraag van mij; hoe noteer je wiskundig dat

x tussen +/- 2 moet liggen? Ja ik kan noteren -2 < x < 2, maar dat is me te lang mag zeker niet ofwel (ben niet zo bekend met sets).

ps. eigenlijk wil ik dit korter noteren... error15% staat natuurlijk voor een fout van 15% van 3,14

[ Bericht 5% gewijzigd door ReWout op 02-08-2010 21:47:46 ]

quote:

Op maandag 2 augustus 2010 21:33 schreef ReWout het volgende:

Eigen vraag van mij; hoe noteer je wiskundig dat

x tussen +/- 2 moet liggen? Ja ik kan noteren -2 < x < 2, maar dat is me te lang

Ik zou zeggen, schrijf dan:

| x | < 2

quote:

P.S. Eigenlijk wil ik [ afbeelding ] dit korter noteren... error15% staat natuurlijk voor een fout van 15% van 3,14

Gebruik geen namen voor grootheden, dat is verhelderend als je programmeert, maar niet als je iets compact en elegant op wil schrijven.

| θ₁ - 3,14 | ≤ Ε

Waarom deel je alleen door x en niet door -4? En waarom wordt er afgetrokken?

quote:

Op zaterdag 7 augustus 2010 20:50 schreef Cahir het volgende:
[ afbeelding ]

Waarom deel je alleen door x en niet door -4? En waarom wordt er afgetrokken?

in de opgave vragen ze naar wat het quotiënt (6x-5) en de rest (de remainder -4/(x-4) ) zijn. Het uiteindelijke antwoord op deze polynoomstaartdeling is:

. (6x²-29x+16)
. -------------------------------
. (x-4)
.
. =
.
. 6x - 5 - 4/(x-4) .
(punten aan de linkerkant toegevoegd voor de formatting)


Je bent in feite elke term door (x-4) aan het delen, en wel met een factor zoveel waardoor telkens de term aan de linkerkant van de oorspronkelijke som wegvalt.

Om die 6x² weg te krijgen moet je dus (x-4) met 6x vermenigvuldigen en vervolgens aftrekken van de oorspronkelijke som.

Daardoor introduceer je wel een extra term -24x die doorwerkt op de middelste term -29x .
Nu goed opletten: (-29x) - (-24x) = -29x + 24x = -5x . (vanwege de regel min keer min is plus)

Zodoende hou je -5x + 16 over.
Om vervolgens de -5x weg te werken moet je (x-4) met -5 vermenigvuldigen en van de overgebleven -5x + 16 aftrekken.
De resterende som wordt daarmee ( -5x + 16 ) - ( -5x + 20 ) = -5x + 16 + 5x - 20. Met een beetje schoonvegen hou je -4 over.

Aangezien er in -4 duidelijk geen x'en meer zitten kan je niet meer verder vereenvoudigen en moet je dus schijven -4/(x-4) . Uiteindelijk hou je dan de bovengenoemde uitdrukking over.

quote:

Op zaterdag 7 augustus 2010 20:50 schreef Cahir het volgende:
[ afbeelding ]

Waarom deel je alleen door x en niet door -4? En waarom wordt er afgetrokken?

Hier wordt een polynoomstaartdeling uitgevoerd. Ik denk uit je vraag op te kunnen maken dat je op de basisschool nooit (goed) hebt geleerd hoe je een staartdeling uitvoert. Het zogenaamde 'realistisch rekenen' is funest voor het bereiken van voldoende vaardigheid en een juist begrip, dat wordt hier treffend geïllustreerd. Let er op dat er in verschillende landen uiteenlopende tradities bestaan voor wat betreft de notatie van een staartdeling, zelfs in Vlaanderen wordt een staartdeling al anders opgeschreven dan in Nederland.

quote:

Op zaterdag 7 augustus 2010 22:11 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hier wordt een polynoomstaartdeling uitgevoerd. Ik denk uit je vraag op te kunnen maken dat je op de basisschool nooit (goed) hebt geleerd hoe je een staartdeling uitvoert. Het zogenaamde 'realistisch rekenen' is funest voor het bereiken van voldoende vaardigheid en een juist begrip, dat wordt hier treffend geïllustreerd. Let er op dat er in verschillende landen uiteenlopende tradities bestaan voor wat betreft de notatie van een staartdeling, zelfs in Vlaanderen wordt een staartdeling al anders opgeschreven dan in Nederland.

[rant-modus]
uuughh , realistisch rekenen. in de jaren 80 begonnen ze al met die crap, werd je van de ene op de andere dag doodgegooid met staartdelingen die per sé in "happen van 10" gedaan moesten worden, anders werd de rode pen gehanteerd. Degenen die die onzin bedacht en gepropageerd hebben moesten ze afschieten
[/rant modus]

quote:

Op zaterdag 7 augustus 2010 22:11 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hier wordt een polynoomstaartdeling uitgevoerd. Ik denk uit je vraag op te kunnen maken dat je op de basisschool nooit (goed) hebt geleerd hoe je een staartdeling uitvoert. Het zogenaamde 'realistisch rekenen' is funest voor het bereiken van voldoende vaardigheid en een juist begrip, dat wordt hier treffend geïllustreerd. Let er op dat er in verschillende landen uiteenlopende tradities bestaan voor wat betreft de notatie van een staartdeling, zelfs in Vlaanderen wordt een staartdeling al anders opgeschreven dan in Nederland.

Staartdeling hebben wij idd. nooit gehad op de basisschool

-edit-

Ga hier wel eens later naar kijken. Wordt er helemaal gek van

Om meteen het andere onderwerp aan te snijden dat ik niet snap. Ik ben gewend om logaritmes als ^aLogb te schrijven. Ik snap hun notatiemanier niet

quote:

Op zondag 8 augustus 2010 15:55 schreef Cahir het volgende:
[ afbeelding ]

Om meteen het andere onderwerp aan te snijden dat ik niet snap. Ik ben gewend om logaritmes als ^aLogb te schrijven. Ik snap hun notatiemanier niet

De in Nederland gebruikelijke notatie heeft de vorm

^glog a

waarbij dus het grondtal g als superscript vóór het symbool log wordt geplaatst. Maar in de meeste andere landen wordt de notatie

log_ga

gebruikt, waarbij dus het grondtal g juist achter het log symbool staat, en dan in subscript. Met deze twee notaties wordt precies hetzelfde bedoeld, namelijk de exponent waartoe je g moet verheffen om a te krijgen. Vanwege de toenemende internationalisering kun je de tweede notatie ook steeds meer in Nederlandse teksten aantreffen. Ik heb zelf echter een voorkeur voor de oorspronkelijke Nederlandse notatie, omdat vooral in handschrift snel verwarringen kunnen optreden met de tweede notatie.

Verder kan het symbool log zonder aanduiding van het grondtal ook nog verschillende dingen betekenen. In veel disciplines wordt hiermee de natuurlijke logaritme bedoeld, dus de logaritme met als grondtal e. Maar er kunnen ook logaritmen met grondtal 10 mee aan worden geduid, die dan vaak 'gewone' of Briggse logaritmen worden genoemd. Om verwarring tussen deze twee uit te sluiten zul je voor de natuurlijke logaritmen ook vaak het symbool ln tegenkomen. Op rekenmachines wordt bijvoorbeeld vrijwel altijd gebruik gemaakt van de aanduidingen LN en LOG om logaritmen met grondtal e en 10 te onderscheiden.

Je zult er in het algemeen aan moeten wennen dat je verschillende notaties tegen kunt komen voor dezelfde dingen. Dat is niet alleen zo met staartdelingen en logaritmen. Een bekend voorbeeld is ook het gebruik van de punt en de komma bij getallen. In continentaal Europa is (was) het gebruik van de komma altijd standaard als decimaal scheidingsteken, en de punt als separator van duizendtallen. Maar in bijvoorbeeld de Angelsaksische wereld is dat precies omgekeerd. Door de toenemende internationalisering en het gebruik van rekenmachines zie je nu echter dat de punt ook vaak wordt gebruikt als decimaal scheidingsteken, maar dat - opmerkelijk genoeg - het Angelsaksische gebruik van de komma als separator van duizendtallen niet wordt overgenomen. Daardoor kan dus ambiguïteit ontstaan, want, zeg nu zelf, betekent 1.000 nu 1 of 1000? Vanwege deze inconsequentie ben ik tegen het gebruik van de punt als decimaal scheidingsteken en houd ik dus vast aan het gebruik van de komma als decimaal scheidingsteken.

Gruwelijk bedankt voor de uitgebreide post !

Het ontbinden in factoren klopt hier toch helemaal niet

5 x -2 = geeft wel -10 ja

maar

5 + -2 = geeft geen 7 maar 3..

quote:

Op zondag 8 augustus 2010 21:40 schreef Cahir het volgende:
[ afbeelding ]

Het ontbinden in factoren klopt hier toch helemaal niet

5 x -2 = geeft wel -10 ja

maar

5 + -2 = geeft geen 7 maar 3..

Ik zie geen fout in je scan.

(4x + 5)(3x - 2) = 4x(3x - 2) + 5(3x - 2) = 12x² - 8x + 15x - 10 = 12x² + 7x - 10.

quote:

Op zondag 8 augustus 2010 21:40 schreef Cahir het volgende:
[ afbeelding ]

Het ontbinden in factoren klopt hier toch helemaal niet

5 x -2 = geeft wel -10 ja

maar

5 + -2 = geeft geen 7 maar 3..

Je moet in de gaten houden wat je waar moet doen.

Het is: (5*3x) + (-2*4x)

Hoeveel inzicht moet je wel niet hebben als je dat ontbinden in factoren zo kan Is er een handige ezelsbrug voor? Of is de ABC formule hier handiger?

-edit-
Zie net dat ABC niet kan. En ik weet echt niet hoe je een vergelijking waarbij x² een cijfer heeft (bv 24x²) moet ontbinden in factoren Iemand die daar een handige manier voor weet?

[ Bericht 38% gewijzigd door Cahir op 08-08-2010 22:17:30 ]

quote:

Op zondag 8 augustus 2010 22:04 schreef Cahir het volgende:
Hoeveel inzicht moet je wel niet hebben als je dat ontbinden in factoren zo kan Is er een handige ezelsbrug voor? Of is de ABC formule hier handiger?

Nee, ervaring opdoen is het enige wat je kan doen. Voor de hard-to-crack-gevallen hebben we nog altijd de ABC-formule. En als je echt handig erin bent (geworden) kan je met kwadraat afsplitsen heel snel oplossingen vinden.

quote:

Op zondag 8 augustus 2010 22:04 schreef Cahir het volgende:
-edit-
Zie net dat ABC niet kan. En ik weet echt niet hoe je een vergelijking waarbij x² een cijfer heeft (bv 24x²) moet ontbinden in factoren Iemand die daar een handige manier voor weet?

Tuurlijk kan je ABC-formule wel toepassen. Je bent immers aan het oplossen voor welke x'en de door jou gegeven kwadratische vergelijkingen aan elkaar gelijk zijn. Wel zal je beide x'en die uit je ontbinding of ABC-formule komen rollen moeten verifiëren in beide vergelijkingen, of elke gevonden x daadwerkelijk in beide vergelijkingen dezelfde y-waarde geeft.

[ Bericht 19% gewijzigd door ErictheSwift op 08-08-2010 22:25:00 ]

ABC formule kan in dit geval niet want dat geeft geen hele antwoorden

quote:

Op zondag 8 augustus 2010 22:04 schreef Cahir het volgende:
Hoeveel inzicht moet je wel niet hebben als je dat ontbinden in factoren zo kan Is er een handige ezelsbrug voor? Of is de ABC formule hier handiger?

Dit is moeilijk zo even uit het blote hoofd te doen, maar er is wel een manier voor, via kwadraatafsplitsing. Jawel, completing the square, daar is ie weer.

We hebben:

12x² + 7x - 10 = 0.

Nu vermenigvuldig ik eerst beide leden met het viervoud van de coëfficiënt van x², dat is 48. Dit geeft:

576x² + 336x - 480 = 0

Nu is 576x² = (24x)² en 336x = 2∙24x∙7 en aangezien a² + 2ab = (a + b)² - b² kan ik dus schrijven:

(24x + 7)² - 49 - 480 = 0

En dus:

(24x + 7)² - 529 = 0

Nu is 529 het kwadraat van 23, dus kan ik schrijven:

(24x + 7)² - 23² = 0.

Nu kan ik gebruik maken van het merkwaardig product a² - b² = (a + b)(a - b) om te schrijven:

(24x + 7 + 23)(24x + 7 - 23) = 0

En dus:

(24x + 30)(24x - 16) = 0

Nu kan ik bij de eerste term een factor 6 buiten haakjes halen, en bij de tweede een factor 8, dus:

6∙(4x + 5)∙8∙(3x - 2) = 0

En delen van beide leden door 6∙8 = 48 geeft dan:

(4x + 5)(3x - 2) = 0

Voila.

[ Bericht 28% gewijzigd door Riparius op 10-08-2010 18:55:26 ]

quote:

Op zondag 8 augustus 2010 15:55 schreef Cahir het volgende:
[ afbeelding ]

Om meteen het andere onderwerp aan te snijden dat ik niet snap. Ik ben gewend om logaritmes als ^aLogb te schrijven. Ik snap hun notatiemanier niet

Je kan in bijna elk geval beter de ln (natuurlijke logaritme waar het grondtal e is) gebruiken dan de log.

Even kort nog, voor mijn laatste opdracht : ik weet wanneer ik een dal of bergparabool heb. Maar wanneer weet ik nou of hij van links of rechts komt?

quote:

Op maandag 9 augustus 2010 01:21 schreef GlowMouse het volgende:
Van links of van rechts?

Ja weet de exacte benaming niet. Zal morgen een printscreen posten, bij de course zelf stond er ook helemaal niks bij. Het stond opeens in de laatste opdracht Kon nergens naslag vinden e.d.

-edit-

Via wiki een gevonden:

Ah k, maar hoe weet je dan of hij nou van rechts of links komt?

Hoe ga ik nou een tweede punt van die parabool vinden? y=2 invullen levert x=15,5 op wat dus niet mogelijk is De vertex heb ik al gevonden en ik weet dat het nu om een horizontale symmetrie as gaat.

Maar nu is y=2 helemaal toch geen x=15,5 Dan klopt de formule toch niet?

-edit-

Vertex zat verkeerd Excuses.

Kan iemand mij een opstapje geven hoe ik deze vraag kan oplossen?
Ik weet niet eens hoe ik moet beginnen

quote:

Op maandag 9 augustus 2010 21:58 schreef jbjb het volgende:
Kan iemand mij een opstapje geven hoe ik deze vraag kan oplossen?
Ik weet niet eens hoe ik moet beginnen

[ afbeelding ]

Het plaatje mag wel wat kleiner hoor .

Maar goed, first things first: Dit is een optimaliseringsvraagstuk en dan kom je algauw bij differentiëren uit. Je wilt dus berekenen bij welke b en h het weerstandsmoment W het hoogste is. Dat moet al een belletje doen rinkelen: je moet dus gaan berekenen voor welke b en h de afgeleide van de formule voor het weerstandsmoment nul is. Nou zal je denken: "Ai, ik zie daar 2 variabelen staan en differentiëren kan ik voorlopig alleen maar als er 1 variabele staat". Komt dat heel mooi uit dat je nog een formule hebt die een verband legt ts b en h, namelijk h² + b² = 50². Dat kan je heel mooi omschrijven naar h² = 50² - b² . En die laatste vorm kan je direct inpluggen in W = 0,5 * b * h² . Daarmee heb je een uitdrukking voor W in termen van alleen b als variabele verkregen, en die kan je wel een eenvoudig differentiëren naar b, de afgeleide daarvan naar b op nul stellen, en vervolgens de b die daar uit rolt in h² = 50² - b² pluggen om h te berekenen. Presto!!

@glowmouse: Al verbeterd. Thnx for spotting the typo. En dit is uiteraard puur mathematisch bekeken.

[ Bericht 1% gewijzigd door ErictheSwift op 09-08-2010 22:21:02 ]

Heel erg bedankt voor jullie reacties! hier schiet ik een hoop mee op

Stel, je hebt een vereenvoudigde breuk ^a/_b. Als de ontbinding in priemfactoren andere priemfactoren dan die van "de basis"(ik bedoel de 10 in het decimale stelsel, 2x5 is de ontbinding in priemfactoren), is de breuk repeterend. Je kan de periode zoeken door naar dat getal c te zoeken waarvoor geldt dat (10^c-1) deelbaar is door b (maar de priemfactoren die ook in de basis voorkomen, 2 en 5, moet je er geloof ik uithalen).
Is er ook een manier om te weten wanneer (op welke decimale plek) de breuk start met repeteren? Bijvoorbeeld ¹/₁₅ heeft nog een 0 na de komma voordat de 6 start met repeteren.

Ik weet niet of dit verhaal begrijpelijk is en of het klopt, dit is gebaseerd op wat snelle research laat in de avond . Hopelijk weet iemand er wat meer van...

[ Bericht 36% gewijzigd door minibeer op 10-08-2010 02:18:44 ]