[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Is het mijn fout dat ik die y meeneem?

quote:

Op zondag 15 november 2009 21:09 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

waar komt die tweede regel vandaan?

Vermenigvuldigd met een integratie factor...en daarna u'(t) vinden Die moet gelijk zijn met P(x)y ( van: dy/dx + P(x)y = Q(x) )

quote:

Op zondag 15 november 2009 20:59 schreef Burakius het volgende:
Oke ik doe duidelijk iets verkeerds?

Find the solution of the given initial value problem:

y ' + 3y = t e^ -3t met y(1) = 0

[snip]

De DV die je moet oplossen is y ' + 3y = te^-3t met als randvoorwaarde y(1) = 0. Dit is een lineaire inhomogene DV van de eerste orde. De algemene aanpak is dat je eerst de corresponderende homogene DV y' + 3y = 0 oplost en dan een particuliere oplossing vindt van de inhomogene DV. Voor dat laatste kun je gebruik maken van de methode van de onbepaalde constanten die ik hier al eens kort heb uiteengezet. De algemene oplossing van je inhomogene DV wordt dan gegeven door de som van de algemene oplossing van de homogene DV en de reeds gevonden particuliere oplossing. Tenslotte kun je dan bepalen welke oplossing(en) voldoet c.q. voldoen aan de gegeven randvoorwaarde(n).

Ik zie nu dat ik die y elke keer heb meegenomen. Als ik die niet meeneem, kom ik voor de rest van de rit helemaal uit. Nu nog even uitvogelen wat er nou precies bedoelt wordt met y(1) = 0 en wat ik er mee moet, maar dat zal ik even moeten lezen in je link. Thx!

quote:

Op zondag 15 november 2009 17:24 schreef cojonesm het volgende:
Functievoorschrift van een parabool opstellen. Gegeven is:

Symmetrie-as x=3

Punten op de grafiek

P(5,17) en Q(2,8)


Wie helpt me?

Ik.

quote:

PS: Ik woon in Nederland en zit in België op school.

Wat wil je daarmee zeggen? Dat het wiskunde-onderwijs in België op een hoger plan staat en dat je er daarom (extra) moeite mee hebt?

De grafiek is een parabool met als (verticale) symmetrie-as de lijn met als vergelijking x = 3. Nu weet je dat een parabool met een verticale symmetrie-as in zijn algemeenheid de grafiek voorstelt van een kwadratische functie. We zoeken dus een vergelijking (c.q. functie) van de gedaante:

(1) y = ax² + bx + c,

waarbij we a ongelijk aan nul mogen veronderstellen, anders is het immers geen kwadratische functie meer.

De kunst is nu natuurlijk om de waarden van a, b en c te bepalen. Daarvoor gaan we gebruik maken van de gegevens die we hebben. Het eerste gegeven is dat de symmetrie-as van de parabool de lijn met vergelijking x = 3 is. Maar nu weet je - hopelijk - dat de symmetrie-as van een parabool met vergelijking (1) wordt gegeven door:

(2) x = -b/2a

Zodoende weten we dus al dat moet gelden:

(3) -b/2a = 3

Vermenigvuldigen we in (3) beide leden met -2a, dan kunnen we voor (3) dus ook schrijven:

(4) b = -6a

Verder weten we dat de punten P(5;17) en Q(2;8) op de grafiek liggen, zodat de coördinaten van deze punten ook moeten voldoen aan (1). Invullen in (1) van x = 5 en y = 17 (voor punt P) geeft:

(5) 17 = 25a + 5b + c

En invullen in (1) van x = 2 en y = 8 (voor punt Q) geeft:

(6) 8 = 4a + 2b + c

Nu vormen (4), (5) en (6) samen een stelsel van drie vergelijkingen in de drie onbekenden a, b en c, en daarmee hebben we voldoende informatie om de waarden van a,b en c te bepalen.

Het eenvoudigst is hier om de leden van vergelijking (6) af te trekken van de leden van vergelijking (5), zodat we c kwijtraken. We krijgen dan:

(7) 9 = 21a + 3b

En aangezien we uit (4) weten dat b = -6a, kunnen we dit substitueren in (7), zodat we krijgen

9 = 21a - 18a
9 = 3a
a = 3

Op grond van (4) weten we dan ook meteen dat b = -18, en invullen van a=3 en b=-18 in (5) of (6) levert dan c = 32. Daarmee is de gevraagde vergelijking gevonden:

(8) y = 3x² -18x + 32

quote:

Op zondag 15 november 2009 21:25 schreef Burakius het volgende:
Ik zie nu dat ik die y elke keer heb meegenomen. Als ik die niet meeneem, kom ik voor de rest van de rit helemaal uit. Nu nog even uitvogelen wat er nou precies bedoelt wordt met y(1) = 0 en wat ik er mee moet, maar dat zal ik even moeten lezen in je link. Thx!

Toch nog maar even reageren, omdat ik nu pas zie dat je voor het oplossen van een lineaire inhomogene dv van de eerste orde gebruik probeert te maken van de methode van de integrerende factor. De methode van de onbepaalde coëfficienten die ik je in de hierboven genoemde link aan de hand heb gedaan is hier uiteraard ook te gebruiken, aangezien het gaat om een lineaire dv met constante coëfficiënten, maar is voor een eerste orde dv wat omslachtiger.

De algemene gedaante van een lineaire dv van de eerste orde in standaardvorm is:

(1) y'(t) + p(t)∙y(t) = q(t)

De gedachte achter de methode van de integrerende factor is dat we het linkerlid van (1) gaan proberen om te vormen tot de afgeleide van een product van y(t) en een nader te bepalen functie µ(t). Het linkerlid van (1) bestaat immers uit twee termen, waarvan één met een factor y'(t) en één met een factor y(t), en dat herinnert aan de productregel. Immers, de afgeleide van een product y(t)∙µ(t) is gelijk aan:

(2) y'(t)∙µ(t) + y(t)∙µ'(t)

Vermenigvuldigen we nu beide leden van (1) met µ(t), dan kunnen we voor (1) schrijven:

(3) y'(t)∙µ(t) + y(t)∙p(t)∙µ(t) = q(t)∙µ(t)

Vergelijken we nu het linkerlid van (3) met de gewenste vorm (2), dan zien we dat de eerste van de twee termen van het linkerlid (3) al overeenstemt met (2) maar de tweede term niet. Toch kunnen we ervoor zorgen dat de tweede term van het linkerlid van (3) ook overeenstemt met het tweede lid van (2) als we µ(t) zodanig zouden kunnen kiezen dat geldt:

(4) y(t)∙µ'(t) = y(t)∙p(t)∙µ(t),

en dus:

(5) µ'(t) = p(t)∙µ(t)

Het is nu niet zo moeilijk om te zien hoe we µ(t) zodanig kunnen kiezen dat deze functie voldoet aan (5). We zoeken een functie µ(t) waarvan de afgeleide µ'(t) gelijk is aan de oorspronkelijke functie µ(t) vermenigvuldigd met p(t). Denken we aan de exponentiële functie, die zichzelf als afgeleide heeft, en aan de kettingregel, dan is eenvoudig in te zien dat de gezochte functie µ(t) wordt gegeven door:

(6) µ(t) = e^P(t),

waarbij P(t) een primitieve is van p(t). Immers, volgens de kettingregel is de afgeleide van µ(t) = e^P(t) dan gelijk aan µ'(t) = P'(t)∙e^P(t) = p(t)∙e^P(t) = p(t)∙µ(t), zoals gewenst.

De oplossingsmethode met de integrerende factor voor een dv van de gedaante (1) bestaat er dus in dat we eerst een primitieve P(t) van p(t) bepalen en dan beide leden vermenigvuldigen met e^P(t), waarna we het linkerlid van de dv kunnen opvatten als de afgeleide van het product y(t)∙e^P(t). Vervolgens kunnen we dan beide leden van de DV integreren en daarna door deling van beide leden door e^P(t) de gezochte functies y(t) vinden die aan de dv (1) voldoen.

De DV die je moest oplossen is:

(7) y'(t) + 3∙y(t) = t∙e^-3t

Hier is p(t) = 3, en een primitieve daarvan is P(t) =3t. We kiezen er dus voor beide leden van (7) te vermenigvuldigen met µ(t) = e^P(t) = e^3t en krijgen dan:

(8) y'(t)∙e^3t + y(t)∙3∙e^3t = t

Het linkerlid is nu de afgeleide van y(t)∙e^3t, zodat integreren van beide leden geeft:

(9) y(t)∙e^3t = ½t² + c

Delen van beide leden door e^3t oftewel vermenigvuldiging van beide leden met e^-3t geeft dan:

(10) y(t) = (½t² + c)∙e^-3t

Nu rest alleen nog de bepaling van c aan de hand van de gegeven randvoorwaarde y(1) = 0. Substitutie van t = 1 en dus ook y(t) = y(1) = 0 in (10) geeft dan 0 = (½ + c)∙e^-3, en dus c = -½. Substitutie hiervan in (10) levert dan als gezochte oplossing van de dv onder de gegeven randvoorwaarde:

(11) y(t) = ½∙(t² - 1)∙e^-3t

Nog even één detail. Moet het niet zijn c = - 1/2 ??

edit: Laat maar had je ook

Hey Riparius kan het ook op deze manier?:

(1) y '(t) + 3y(t) = te^-3t

Alles met integratiefactor vermenigvuldigen geeft:

(2) y '(t)*u(t) + 3y(t)*u(t) = te^-3t * u(t)

Daarna moet ik zoals jij aangaf (P(x)= 3):

(3) u '(t) = 3 * u(t)

Dan wordt u(t) --> ln |u(t)| = 3t

(4)u(t) = +/- e^3t+c

Dan vullen we die weer in als:
{u(t) y} ' = u(t)y' + u ' (t) y

(5) e^3t *y = te^-3t * e^3t+c

(6) y = (te^-3t * e^3t+c)/ e^3t

Nu weet ik niet meer goed wat ik moet doen (gewoon die y =1 invullen, maar ik kan (6) eerst vereenvoudigen lijkt me?

Maar heb ik het tot stap (6) goed op deze manier?

edit MIS IK TUSSEN STAP 5 en STAP 6 een INTEGRATIE? ? (als ik zo even in mijn boek kijk)

Hallo,

Voor het vak Operations Research I moet er een aantal grafieken gemaakt worden van lineaire vergelijkingen.

Zoals:

quote:

Maximize: Z=3x₁ + 2x₂
subject to:
x₁ ≤ 4
2x₂ ≤ 12
3x₁ + 2x₂ ≤18
en x₁ ≥ 0 en x₂ ≥ 0

Z=18=3x₁ + 2x₂

Nu moeten daar in Excel of Calc dit soort grafiekjes bij worden gemaakt:



Helaas, omdat ik nog nooit met Excel heb gewerkt weet ik niet hoe dit moet.

Hopelijk kan iemand het me uitleggen

In DIG loopt een Exceltopic, misschien word je daar net zo goed of zelfs beter geholpen. Ik raak Excel namelijk zelfs met handschoenen ook nog niet aan.

quote:

Op maandag 16 november 2009 14:31 schreef Iblis het volgende:
In DIG loopt een Exceltopic, misschien word je daar net zo goed of zelfs beter geholpen. Ik raak Excel namelijk zelfs met handschoenen ook nog niet aan.

Okee, bedankt.

quote:

Op maandag 16 november 2009 12:21 schreef Burakius het volgende:
Hey Riparius kan het ook op deze manier?:

(1) y '(t) + 3y(t) = te^-3t

Alles met integratiefactor vermenigvuldigen geeft:

(2) y '(t)*u(t) + 3y(t)*u(t) = te^-3t * u(t)

Daarna moet ik zoals jij aangaf (P(x)= 3):

Je bedoelt p(t) = 3 (met kleine letter p). De coëfficiënt van y(t) in de standaardvorm y'(t) + p(t)∙y(t) = q(t) van je lineaire inhomogene dv y'(t) + 3∙y(t) = t∙e^-3t is hier immers p(t) = 3.

quote:

(3) u '(t) = 3 * u(t)

Dan wordt u(t) --> ln |u(t)| = 3t

(4)u(t) = +/- e^3t+c

Er zijn natuurlijk oneindig veel functies µ(t) die aan betrekking (3) voldoen, maar je hebt er maar één nodig. Je probleem ontstaat doordat je - onnodig - wil werken met een algemene vorm van µ(t) maar daar dan vervolgens weer niet consequent mee omgaat.

quote:

Dan vullen we die weer in als:
{u(t) y} ' = u(t)y' + u ' (t) y

Je moet wel consequent zijn in je notatie. Als je de haakjesnotatie gebruikt bij µ(t) (traditioneel met de Griekse letter µ, maar je mag van mij ook de Latijnse letter u gebruiken), dan moet je dat bij y(t) in dezelfde vergelijking ook doen. y is immers net zo goed een functie van t.

quote:

(5) e^3t *y = te^-3t * e^3t+c

Nee, hier gaat het fout. Je hebt gekozen voor µ(t) = e^3t+c. Dat is overigens nog steeds niet de meest algemene vorm, omdat, zoals je bij (4) hebt gevonden, ook µ(t) = -e^3t+c bruikbaar is, maar dat is het probleem niet. Wat je hier fout doet is dat je weliswaar het rechterlid van je vergelijking hebt vermenigvuldigd met µ(t) = e^3t+c, maar dan moet je het linkerlid ook vermenigvuldigen met µ(t) = e^3t+c, en dat heb je (impliciet) niet gedaan, want in (5) ga je er plotseling van uit dat je het linkerlid had vermenigvuldigd met µ(t) = e^3t, en dan klopt je vergelijking niet meer. Wat je had moeten opschrijven voor (5) is dus:

e^3t+c∙y(t) = t∙e^-3t∙e^3t+c

Nu is het zo dat e^3t+c gelijk is aan het product van e^3t en e^c, dus zie je ook meteen waarom het geen nut heeft te werken met een algemene vorm van µ(t): zowel in het linkerlid als in het rechterlid van je vergelijking heb je nu een constante factor e^c, en door beide leden van je vergelijking te delen door e^c - hetgeen is toegestaan omdat e^c niet gelijk aan nul kan zijn en hetgeen ook noodzakelijk is om y(t) te isoleren - valt de constante c weg uit je vergelijking. Deze constante is dus irrelevant voor de oplossing van de dv.

quote:

(6) y = (te^-3t * e^3t+c)/ e^3t

Nu weet ik niet meer goed wat ik moet doen (gewoon die y =1 invullen, maar ik kan (6) eerst vereenvoudigen lijkt me?

Maar heb ik het tot stap (6) goed op deze manier?

Nee, zoals uitgelegd ging het bij stap (5) al mis omdat je het jezelf onnodig moeilijk had gemaakt. Verder moet je natuurlijk niet y = 1 invullen, want de gegeven randvoorwaarde was immers y(1) = 0. Hier zie je ook hoe nuttig het is om consequent met de haakjesnotatie te werken, dan kunnen dit soort begripsverwarringen niet optreden. Je moest invullen t = 1 en dus ook y(t) = y(1) = 0.

quote:

edit MIS IK TUSSEN STAP 5 en STAP 6 een INTEGRATIE? ? (als ik zo even in mijn boek kijk)

Nee. Maar je hebt wel eerst een onnodige constante c geïntroduceerd, daar niet consequent mee gewerkt, en tenslotte bij je integratie in stap (5) de wel benodigde constante in het rechterlid weer helemaal vergeten toe te voegen. Je hebt nog een hoop werk te doen, denk ik zo.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 16-11-2009 21:33:08 ]

xgem=4.715
m=4.100
SD= 2.2421

Ik zou ik deze gegevens kunnen logtransformeren?

[ Bericht 45% gewijzigd door Brons_Juweel op 16-11-2009 19:04:18 ]

Morgen tussententamen micro en liep net bij de oefentoets tegen het volgende aan:

nutsfunctie U(x,Y) = X^1/2Y^1/2, inkomen M=100, en de prijzen zijn Px=0,5 en Py=1

Lagrange:
L = X^1/2Y^1/2 - l (0,5X+Y-100)

Mijn antwoordblad geeft vervolgens:
1) dL/dX = 0.5X ^-0.5Y^0.5 - 0.5 l
2) dL/dY = 0.5X ^-0.5Y^0.5 - l

Ik had bij de 2e differentiatie echter dL/dY = 0.5X^0.5Y ^-0.5 - l

Staat er een fout in het antwoordblad of heb ik zelf een fout gemaakt? Thanks.

De formule van het antwoordblad lijkt me niet goed.

Oke, dank u zeer. Wel lekker handig trouwens, een antwoordblad met fouten erin..

(sin t cos t)² = sin² t+sin t cos t + cos t sin t + cos²t

Dikgedrukte is gelijk aan: 2 sin t cos t?

quote:

Op dinsdag 17 november 2009 10:22 schreef GoodGawd het volgende:
(sin t cos t)² = sin² t+sin t cos t + cos t sin t + cos²t

Dikgedrukte is gelijk aan: 2 sin t cos t?

Ja. a + a = 2a. (En uiteraard is vermenigvuldiging op de reële getallen commutatief, dus a·b = b·a).

[ Bericht 3% gewijzigd door Iblis op 17-11-2009 10:31:00 ]

quote:

Op dinsdag 17 november 2009 11:18 schreef mezzy het volgende:
Hoe deed je dat ook al weer op een rekenmachine (CASIO)? Ik kan zo even niet snel een rekenopgave vinden, ik zou het zeer op prijs stellen als iemand het me kan uitleggen aan de hand van een voorbeeld..

standaarddeviatie

[ Bericht 7% gewijzigd door motorbloempje op 17-11-2009 11:36:40 ]

Wat is dat?

zie mijn edit... stond in de oorspronkelijke TT

EDIT: Standaarddeviatie, variantie en gemiddelde?

Hoe deed je dat ook al weer op een rekenmachine (CASIO fx82MS)? Ik kan zo even niet snel een rekenopgave vinden, ik zou het zeer op prijs stellen als iemand het me kan uitleggen aan de hand van een voorbeeld..

[ Bericht 4% gewijzigd door mezzy op 17-11-2009 11:50:10 ]