[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op woensdag 18 november 2009 19:41 schreef Burakius het volgende:

[..]

Ik bedoel 3ⁿ⁺²/5ⁿ

OK. In dat geval bedenk je dat 3ⁿ⁺² in de teller gelijk is aan het product van 3ⁿ en 3² = 9. Dus geldt:

3ⁿ⁺²/5ⁿ = 9∙(3/5)ⁿ

Hoe kun je met behulp van inductie bewijzen dat voor
x> -1, voor elke natuurlijke n geld:



Ik heb een 'uitwerking' hier liggen, maar word er niet echt wijs uit.
Voor P(k+1) aan de linkerkant snap ik het nog wel, maar rechts krijgen ze dit:


Ps: dit is Bernouilli's inequality.

[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:31:48 ]

quote:

Op woensdag 18 november 2009 19:45 schreef Riparius het volgende:

[..]

OK. In dat geval bedenk je dat 3ⁿ⁺² in de teller gelijk is aan het product van 3ⁿ en 3² = 9. Dus geldt:

3ⁿ⁺²/5ⁿ = 9∙(3/5)ⁿ

NICE! Je bent een echte brontosaurus! Vaak willen ze ook de squeeze theorem gebruiken( bijvoorbeeld bij
an = (cos n)² / 2n

Hoe kan ik nou makkelijk zien wanneer wat toe te passen?

quote:

Op woensdag 18 november 2009 19:49 schreef Siddartha het volgende:
Hoe kun je met behulp van inductie bewijzen dat voor
x> -1, voor elke natuurlijke n geldt:

[ afbeelding ]

Ik heb een 'uitwerking' hier liggen, maar word er niet echt wijs uit.
Voor P(k+1) aan de linkerkant snap ik het nog wel, maar rechts krijgen ze dit:
[ afbeelding ]

Ps: dit is Bernouilli's inequality.

Je bewijs via (volledige) inductie bestaat uit twee stappen. Eerst bewijs je dat de bewering juist is voor n = 1 (dit is triviaal, waarom eigenlijk?), en vervolgens bewijs je dat de bewering juist is voor n=k+1 áls de bewering juist is voor n=k. Je verkrijgt (1+x)^k+1 door (1+x)^k met (1+x) te vermenigvuldigen, maar als je het linkerlid van je ongelijkheid met (1+x) vermenigvuldigt, dan moet je dat rechts ook doen. En begrijp je ook waarom x groter dan -1 moet zijn?

quote:

Op woensdag 18 november 2009 19:55 schreef Burakius het volgende:

[..]

NICE! Je bent een echte brontosaurus! Vaak willen ze ook de squeeze theorem gebruiken( bijvoorbeeld bij
an = (cos n)² / 2n

Hoe kan ik nou makkelijk zien wanneer wat toe te passen?

Daar zijn geen algemene regels voor te geven, en er bestaan nog veel meer convergentiecriteria voor rijen (en voor reeksen). Maar aangezien (cos n)² niet convergeert vanwege de periodiciteit van de cosinusfunctie, terwijl je wel kunt zeggen dat geldt 0 ≤ (cos n)² ≤ 1 ligt het gebruik van de insluitstelling (c.q. een majorante rij die naar 0 convergeert) hier wel voor de hand.

an = (1 + (2/n) ²

Bij deze heb ik twee manieren...

(1) :

Gewoon droog invullen lim n-> oneindig ---> (1+0)^oneindig = 1 = convergent (dit is niet goed zoals ik het doe vermoed ik)

(2):

an = (1 + (2/n) ² --> omschrijven --> n ln(1+ (2/n)) --> ln(1) * oneindig = 0 (dit is de goede methode?)

En toch vind ik het moeilijk te zien welke methode toe te passen.

quote:

Op woensdag 18 november 2009 20:01 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je bewijs via (volledige) inductie bestaat uit twee stappen. Eerst bewijs je dat de bewering juist is voor n = 1 (dit is triviaal, waarom eigenlijk?), en vervolgens bewijs je dat de bewering juist is voor n=k+1 áls de bewering juist is voor n=k. Je verkrijgt (1+x)^k+1 door (1+x)^k met (1+x) te vermenigvuldigen, maar als je het linkerlid van je ongelijkheid met (1+x) vermenigvuldigt, dan moet je dat rechts ook doen. En begrijp je ook waarom x groter dan -1 moet zijn?

Ik snap de redenering niet dat je het ook rechts met (x+1) moet vermenigvuldigen. Het enige dat je doet is in beide vergelijkingen K+1 invullen, niet 'willekeurig' vermenigvuldigen. Anders heb je stap 2 immers niet nodig:
als
5> 2
dan is
5x3> 2x3
(beide vermenigvuldigt met hetzelfde)
En dat slaat natuurlijk nergens op.

Bereken Nawijn's veerconstante.

quote:

Op woensdag 18 november 2009 20:11 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Ik snap de redenering niet dat je het ook rechts met (x+1) moet vermenigvuldigen. Het enige dat je doet is in beide vergelijkingen K+1 invullen, niet 'willekeurig' vermenigvuldigen. Anders heb je stap 2 immers niet nodig:
als
5> 2
dan is
5x3> 2x3
(beide vermenigvuldigt met hetzelfde)
En dat slaat natuurlijk nergens op.

Nee, zo werkt het bewijs niet. Je gaat ervan uit dat de bewering juist is voor een gegeven n=k, dus ga je ervan uit dat geldt:

(1) (1 + x)^k ≥ 1 + kx

Nu moeten we, uitgaande van deze bewering dus, aantonen dat de ongelijkheid ook geldig is voor n=k+1. De ongelijkheid blijft geldig als we beide leden met eenzelfde positieve (!) factor vermenigvuldigen. We vermenigvuldigen nu beide leden met (1 + x) en krijgen dan:

(2) (1 + x)^k+1 ≥ (1 + kx)(1 + x)

Werk nu het rechterlid van deze ongelijkheid eens uit en bedenk hoe je dan verder kunt gaan.

quote:

Op woensdag 18 november 2009 20:21 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, zo werkt het bewijs niet. Je gaat ervan uit dat de bewering juist is voor een gegeven n=k, dus ga je ervan uit dat geldt:

(1) (1 + x)^k ≥ 1 + kx

Nu moeten we, uitgaande van deze bewering dus, aantonen dat de ongelijkheid ook geldig is voor n=k+1. De ongelijkheid blijft geldig als we beide leden met eenzelfde positieve (!) factor vermenigvuldigen. We vermenigvuldigen nu beide leden met (1 + x) en krijgen dan:

(2) (1 + x)^k+1 ≥ (1 + kx)(1 + x)

Werk nu het rechterlid van deze ongelijkheid eens uit en bedenk hoe je dan verder kunt gaan.

Maar waar blijft dan de k+1 ?
Ja in het linkerlid, maar die moet je ook in het rechterlid invoeren.
Ze komen aan die (x+1) omdat:
(1+x)^(K+1) gelijk is aan (1+x)^k x (1+x)
Niet omdat ze willekeurig daarmee vermenigvuldigen....

Ik weet dat
(1 + x)k+1 ≥ (1 + kx)(1 + x)
Er uiteindelijk moet komen te staan, en waarom dat het bewijs is. Dat is het punt niet. Alleen hoe ze tot daar komen.

quote:

Op woensdag 18 november 2009 20:24 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Maar waar blijft dan de k+1 ?
Ja in het linkerlid, maar die moet je ook in het rechterlid invoeren.
Ze komen aan die (x+1) omdat:
(1+x)^(K+1) gelijk is aan (1+x)^k x (1+x)
Niet omdat ze willekeurig daarmee vermenigvuldigen....

Ik weet dat
(1 + x)k+1 ≥ (1 + kx)(1 + x)
Er uiteindelijk moet komen te staan, en waarom dat het bewijs is. Dat is het punt niet. Alleen hoe ze tot daar komen.

Nee, je mist het punt. Mijn ongelijkheid (2) is niet het eindpunt van het bewijs maar een tussenstap.

Je gaat ervan uit dat de bewering juist is voor een gegeven n = k, dus

(1) (1 + x)^k ≥ 1 + kx

Vermenigvuldiging van beide leden van deze ongelijkheid met (1 + x) levert, mits x > -1, dan op dat ook moet gelden:

(2) (1 + x)^k+1 ≥ (1 + kx)(1 +x)

Hiervoor is ook te schrijven:

(3) (1 + x)^k+1 ≥ 1 + (k+1)x + kx²

Maar nu is k een natuurlijk getal, en x² is zeker niet negatief, dus geldt ook:

(4) kx² ≥ 0

En dus kunnen we zeggen dat voor het rechterlid van (3) geldt:

(5) 1 + (k+1)x + kx² ≥ 1 + (k+1)x

Maar uit de ongelijkheden (3) en (5) volgt nu:

(6) (1 + x)^k+1 ≥ 1 + (k+1)x

En dit laatste betekent niets anders dan dat de uitspraak geldt voor n = k +1. Aangezien (6) een consequentie is van (1), hebben we zo dus bewezen dat de ongelijkheid geldt voor n = k + 1 áls deze geldt voor n = k. Samen met de juistheid van de uitspraak voor n = 1 is het bewijs met volledige inductie daarmee compleet.

quote:

Op woensdag 18 november 2009 21:00 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, je mist het punt. Mijn ongelijkheid (2) is niet het eindpunt van het bewijs maar een tussenstap.

Je gaat ervan uit dat de bewering juist is voor een gegeven n = k, dus

(1) (1 + x)^k ≥ 1 + kx

Vermenigvuldiging van beide leden van deze ongelijkheid met (1 + x) levert, mits x > -1, dan op dat ook moet gelden:

(2) (1 + x)^k+1 ≥ (1 + kx)(1 +x)

Hiervoor is ook te schrijven:

(3) (1 + x)^k+1 ≥ 1 + (k+1)x + kx²

Maar nu is k een natuurlijk getal, en x² is zeker niet negatief, dus geldt ook:

(4) kx² ≥ 0

En dus kunnen we zeggen dat voor het rechterlid van (3) geldt:

(5) 1 + (k+1)x + kx² ≥ 1 + (k+1)x

Maar uit de ongelijkheden (3) en (5) volgt nu:

(6) (1 + x)^k+1 ≥ 1 + (k+1)x

En dit laatste betekent niets anders dan dat de uitspraak geldt voor n = k +1. Aangezien (6) een consequentie is van (1), hebben we zo dus bewezen dat de ongelijkheid geldt voor n = k + 1 áls deze geldt voor n = k. Samen met de juistheid van de uitspraak voor n = 1 is het bewijs met volledige inductie daarmee compleet.

Voor de moeite

Mijn probleem ligt denk ik bij de manier van bewijzen: Inductie.
Als k waar is, dan moet ook k+1 waar zijn. Dat snap ik.
Maar ik verwacht dan dat ze voor n/de variable dan bij P(k+1) die
k+1 voor de formule invoeren ( en niet zoals in dit bewijs gewoon vermenigvuldingen?)

Misschien moet ik dus eerst vragen hoe inductie nou precies werkt?
Hoe je het kan bewijzen.

Ik wilde som 5 maken, maar maakte per ongeluk som 6, waar geen antwoord van in het boek staat. Wil toch graag even checken of ik 't goed doe.

x= sin t
y = sin t- t cos t

Waar is de raaklijn horizontaal en waar verticaal
Horizontaal op t = 0, dus (0,0)
Verticaal op t = 1/2 pi dus (1,1)

Klotp dit?

Er staat geen interval bij, maar als het interval groter zou zijn zouden de coördinaten niet veranderen geloof ik?

quote:

Op woensdag 18 november 2009 21:08 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Voor de moeite

Mijn probleem ligt denk ik bij de manier van bewijzen: Inductie.
Als k waar is, dan moet ook k+1 waar zijn. Dat snap ik.
Maar ik verwacht dan dat ze voor n/de variable dan bij P(k+1) die
k+1 voor de formule invoeren ( en niet zoals in dit bewijs gewoon vermenigvuldingen?)

Misschien moet ik dus eerst vragen hoe inductie nou precies werkt?
Hoe je het kan bewijzen.

Met een beetje invullen bewijs je niets. Je kunt niet zomaar ervan uitgaan dat een uitspraak waar is voor n=k, dan overal k vervangen door k+1 en vervolgens roepen, hé moet je kijken, hij doet het ook met k+1, want dan ben je nog steeds niet verder dan je oorspronkelijke aanname, maar nu met k+1 in plaats van k, meer niet. Je moet echt laten zien dat de juistheid van de uitspraak voor n=k+1 volgt uit de juistheid van de uitspraak voor n=k.

quote:

Op woensdag 18 november 2009 15:56 schreef phpmystyle het volgende:

[..]

Keer dat keer dat, uitkomsten valideren, breuk van maken, wortel eruit halen, keer pie. Simpel toch.

Het is pie niet pi.

Tevens, hou eens op met Skylark bashen. Je komt hier om een vraag te stellen, die wordt beantwoord door 2 mensen en vervolgens reageer jij niet meer op ze, lekker fatsoenlijk.

quote:

Op woensdag 18 november 2009 15:39 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit is (in decimale vorm) een repeterende breuk. Daar heb je toch hopelijk wel eens van gehoord?

quote:

Op woensdag 18 november 2009 15:49 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Of bedoelde hoe je nu kunt weten dat 3/7 = 0.42857.... ?

quote:

Op woensdag 18 november 2009 22:19 schreef Riparius het volgende:

[..]

Met een beetje invullen bewijs je niets. Je kunt niet zomaar ervan uitgaan dat een uitspraak waar is voor n=k, dan overal k vervangen door k+1 en vervolgens roepen, hé moet je kijken, hij doet het ook met k+1, want dan ben je nog steeds niet verder dan je oorspronkelijke aanname, maar nu met k+1 in plaats van k, meer niet. Je moet echt laten zien dat de juistheid van de uitspraak voor n=k+1 volgt uit de juistheid van de uitspraak voor n=k.

Even kijken of ik het nu wel begrijp:

Stel ik moet bewijzen dat


Dus stap 1: Bewijs dat P(1) waar is. Klopt
Stap 2: Aanname dat P(k) klopt,


dus nu uitzoeken of het dan ook voor (elke) volgende stap geld, dus P(k+1).
Dan krijg ik:

Wat ik weer kan opschrijven als:

Waarna ik alleen nog hoef te bewijzen dat 2 kleiner gelijk is aan (k+2), wat logisch is.

[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:32:24 ]

quote:

Op donderdag 19 november 2009 11:37 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

en dat is wat je nu wel doet.

Dus ik had beide kanten gewoon met 2 moeten vermenigvuldigen, rechterkant uitwerken?
Sorry, maar ik snap het principe denk ik gewoon niet?

quote:

Op donderdag 19 november 2009 11:46 schreef GlowMouse het volgende:
Je wilt laten zien dat [ afbeelding ]
Je weet
[ afbeelding ]
en hier kun je je inductieaanname gebruiken, namelijk dat
[ afbeelding ]
het truukje is om met één kant te beginnen, en dan net zolang om te schrijven tot je op de rechterkant uitkomt, daarbij ergens de inductieaanname gebruikend.

Maar dat doe ik toch?
2^k x 2 = (k+2)!
Rechterkant wordt dan: (k+2)((k+1)!
En dan hoef ik alleen te bewijzen dat 2 kleiner gelijk (k+2)

Ik word helemaal gek .. hoe kan ik deze vergelijking oplossen, weet iemand dat??

x^0.5 - 0.75(x + 720)^0.5 = 9

heb de wortels voor het gemak even vervangen door een 0.5de macht. Ik heb echt al van alles geprobeerd, maar ik weet niet hoe ik dit moet aanpakken

Vraag:

De 4e regel zie je dat -y'' (0)

Waarom is dat?