[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op dinsdag 27 oktober 2009 20:23 schreef Hondenbrokken het volgende:
Deze heb ik iets sneller en slordiger uitgerekend, maar weer geen oplossing.

y_p = (Dx^3 + Ax^2 + Bx + C) e^{-x}
y'_p = (-Dx^3 + (3D - A)x^2 + (2A-B)x + (B - C)) e^{-x}
y''_p = (Dx^3 + (A - 3D)x^2 + (B-4A + 6D)x + (2A - 2B + C) e^{-x}

Invullen in y'' + 2y' + y = x e ^ {-x}
(D -2D +D) x^3 (A - 2A + A + 6D - 3D) x^2 + (B - 4A +4A -2B + B + 6D)x + (2A - 2B + C +2B -2C + C) e ^ {-x} = e^{-x}

Vereenvoudigen
(3Dx^2 + 6Dx + 2A) e^{-x} = x e^{-x}

3D = 0
6D = 1
2A = 0

Boven de vraag staat dat je het op moet lossen middels "the method of undetermined constants".
Ik heb ook gehad dat als de oplossingen gelijk zijn aan de complementaire functie je dan alle termen met x moest vermeningvuldigen, maar dat heb ik al 2 keer geprobeerd. Hoe je dit zou moeten doen met een onbepaald aantal coefficiënten weet ik niet en vraag me af of dat dan wel een oplossing oplevert.

Er zit om te beginnen een fout in je uitdrukking voor y''. De coëfficiënt van x² moet (A-6D) zijn. Uitwerken levert dan:

(1) y'' + 2y' + y = (6Dx + 2A)∙e^-x,

Zodat je vindt:

(2) D = 1/6 en A = 0

(B en C vallen weg). En inderdaad is

(3) y = (1/6)∙x³∙e^-x

een particuliere oplossing van je inhomogene DV.

De methode van de onbepaalde coëfficiënten voor het vinden van een particuliere oplossing van een inhomogene lineaire DV met constante coëfficienten houdt in dat je een particuliere oplossing zoekt die is te schrijven als een lineaire combinatie van het rechterlid g(x) en de eerste k afgeleiden van g(x), dus:

(4) y_p(x) = c₀∙g(x) + c₁∙g'(x) + ... + c_k∙g^(k)(x)

Dit is mogelijk als elke afgeleide van g(x) hoger dan g^(k)(x) is te schrijven als een lineaire combinatie van g(x), g'(x) ... g^(k)(x).

In de DV die je moet oplossen is g(x) = x∙e^-x en dus g'(x) = (-x+1)∙e^-x, zodat het duidelijk is dat je elke hogere afgeleide kunt schrijven als een lineaire combinatie van g(x) en g'(x), i.e. we hebben hier k = 1. We zouden dus in eerste instantie denken dat we moeten zoeken naar een particuliere oplossing van de gedaante:

(5) y_p(x) = c₀∙x∙e^-x + c₁∙(-x+1)∙e^-x

Nemen we

(6) A = c₀ - c₁ en B = c₁,

dan is dit eenvoudiger te schrijven als:

(7) y_p(x) = (Ax + B)∙e^-x

Maar dit is nog niet voldoende om de methode van de onbepaalde coëfficiënten voor het vinden van een particuliere oplossing van de inhomogene DV te kunnen gebruiken. Het moet namelijk ook nog zo zijn dat geen van de functies g(x), g'(x) ... g^(k)(x) een oplossing is van de corresponderende homogene DV. En aan die voorwaarde is hier niet voldaan, omdat (zoals je eenvoudig na kunt gaan) g(x) = x∙e^-x en g'(x) = (-x+1)∙e^-x beide oplossingen zijn van y'' + 2y + y = 0, zodat ook elke lineaire combinatie van g(x) en g'(x) een oplossing is van deze homogene DV. Dit verklaart meteen waarom de methode van de onbepaalde coëfficiënten voor het vinden van een particuliere oplossing van de inhomogene DV mislukt als we uitgaan van een particuliere oplossing van de gedaante (5) ofwel (7). Immers, als elke functie van de gedaante (7) voldoet aan y'' + 2y' + y = 0, dan kan geen enkele functie van deze gedaante voldoen aan y" + 2y' + y = x∙e^-x.

De remedie is dan om het rechterlid van (5) resp. (7) te vermenigvuldigen met een voldoend hoge macht van x zodanig dat y_p(x), y_p'(x), y_p''(x) lineair onafhankelijk is van g(x), g'(x). Vermenigvuldigen met x is hier niet voldoende omdat y_p''(x) + 2y_p'(x) + y_p(x) dan reduceert tot e^-x maal een constante en dus niet gelijk kan zijn aan x∙e^-x. We vermenigvuldigen het rechterlid van (7) daarom met x², zodat we krijgen:

(8) y_p(x) = (Ax³ + Bx²)∙e^-x

Substitutie in de inhomogene DV en gelijkstellen van de coëfficiënten levert dan A = 1/6, B = 0, en daarmee zijn we weer terug bij (3) als particuliere oplossing van de inhomogene DV.

quote:

Op dinsdag 27 oktober 2009 17:27 schreef Riparius het volgende:

[..]

Kijk eens wat er onderaan je linker bladzijde staat ... De antwoorden op 1b en 1c krijg je ook (bijna) kado. Welk niveau is dit als ik vragen mag?

Beginnersniveau

http://img2.imageshack.us/img2/5572/img343.jpg

Bij 1b. hebben ze het over een tabel. Ik kan die tabel niet vinden? Moet ik die zelf maken en met welke formule?

quote:

Op woensdag 28 oktober 2009 10:08 schreef Thije het volgende:
http://img2.imageshack.us/img2/5572/img343.jpg

Bij 1b. hebben ze het over een tabel. Ik kan die tabel niet vinden? Moet ik die zelf maken en met welke formule?

Ah, tabel op andere pagina. (sorry voor de spam)

(ik heb dinsdag tentamen, dus ik wil het snappen)

Vraag 1c. vraagt om het percentage wat langer brandt dan 2500. Wat kan ik dan met die 0,9772 en wat betekent die 0.9772?

quote:

Op woensdag 28 oktober 2009 10:20 schreef Thije het volgende:
(ik heb dinsdag tentamen, dus ik wil het snappen)

Vraag 1c. vraagt om het percentage wat langer brandt dan 2500. Wat kan ik dan met die 0,9772 en wat betekent die 0.9772?

Die 0.9772 is de kans dat de levensduur minder dan 2z is.

quote:

Op zaterdag 24 oktober 2009 13:49 schreef thabit het volgende:

[..]

Klopt, er zijn inderdaad een aantal boeken die met formules goochelen. Dat zijn van die methoden die je nooit kunt onthouden. Zou je zoiets willen toepassen, moet je elke keer weer dat boek erbij pakken.

Met Riemann-Roch heb je een methode die in je hoofd past. Misschien dat die methode wat meer stappen vergt, maar je begrijpt in elk geval wat je aan het doen bent.

Goed, R-R dus. Zij C je kromme en P een rationaal punt op C. We gaan ervan uit dat C compleet en niet-singulier is. Voor gehele n heb je de ruimte L(nP) van rationale functies op C die in P een pool van orde hooguit n hebben en buiten P regulier zijn. De ruimte L(nP) is eindig-dimensionaal en R-R zegt iets over de dimensie ervan. In het geval van krommen van geslacht 1 kun je op die manier zelfs precies de dimensie bepalen. Er komt dan het volgende uit:
dim L(nP) = 0 als n<0 (niet-constante functies hebben evenveel nulpunten als polen, geteld met multipliciteit),
dim L(nP) = 1 als n=0 of n=1 (je hebt dan alleen constante functies),
dim L(nP) = n als n>1 (dus als je n groter maakt krijg je altijd functies die je nog niet eerder had).
Hieruit volgt dat L(2P) een niet-constante functie x bevat en L(3P) een y bevat die niet al in L(2P) ligt.
Nu zitten x³, x², x, 1, y², xy, y allemaal in L(6P). Dit zijn 7 elementen van een 6-dimensionale ruimte, dus er is een relatie tussen. Die relatie geeft je een Weierstrassvgl.

Nu geeft het bovenstaande nog niet een manier om de x en de y ook te vinden. Dat gaan we ook pas doen als je eerst goed begrijpt wat ik zojuist ingetikt heb. .

Ik moest het woordje ' compleet' opzoeken. In hartshorne stond wat het betekent . Ik heb ook een bewijsje opgezocht voor " niet-constante functies hebben evenveel nulpunten als polen".
In Silverman wordt steeds gewerkt met P_oo het punt op oneindig. Het gaat toch prima als je een ander rationaal punt op C neemt?

By the way, gegeven dat op een elliptische kromme C: y²=x³+Ax+B een rationaal punt ligt (a,b) met a,b ongelijk aan 0. Verder is gegeven dat a of b een kwadraat is. Kun je hiermee nieuwe punten genereren die op C liggen en waarvan beide coordinaten niet nul zijn en een van de coordinaten is een kwadraat? Is er iets bekend over het bestaan van zulke punten en hoeveel er zijn als ze bestaan?

quote:

Op woensdag 28 oktober 2009 10:55 schreef Optimistic1 het volgende:

[..]

Ik moest het woordje ' compleet' opzoeken. In hartshorne stond wat het betekent . Ik heb ook een bewijsje opgezocht voor " niet-constante functies hebben evenveel nulpunten als polen".
In Silverman wordt steeds gewerkt met P_oo het punt op oneindig. Het gaat toch prima als je een ander rationaal punt op C neemt?

Je kan elk rationaal punt op C hier nemen. Voorwaarde is natuurlijk wel dat je er een moet kennen. Zo'n vierdegraads C hoeft geen rationaal punt te hebben en zelfs als-ie er wel een heeft dan is het nog maar de vraag of je zo'n punt ook makkelijk kunt vinden. Het punt op oneindig mag je hier niet zomaar nemen want dat is singulier. In een niet-singulier model valt het punt in 2 punten uiteen, en die hoeven dan weer niet rationaal te zijn.

quote:

Op woensdag 28 oktober 2009 10:55 schreef Optimistic1 het volgende:

[..]

By the way, gegeven dat op een elliptische kromme C: y²=x³+Ax+B een rationaal punt ligt (a,b) met a,b ongelijk aan 0. Verder is gegeven dat a of b een kwadraat is. Kun je hiermee nieuwe punten genereren die op C liggen en waarvan beide coordinaten niet nul zijn en een van de coordinaten is een kwadraat? Is er iets bekend over het bestaan van zulke punten en hoeveel er zijn als ze bestaan?

Dat zullen er altijd eindig veel zijn. Je zoekt namelijk eigenlijk naar rationale punten op andere krommen: ofwel y⁴=x³+Ax+B ofwel y² = x⁶+Ax²+B. Dit zijn krommen van hoger geslacht (3 in het eerste geval en 2 in het tweede geval). De stelling van Faltings zegt dat er altijd eindig veel rationale punten op een kromme van geslacht >= 2 liggen. Hoe je die punten vervolgens moet vinden, is weer een hele andere tak van sport en in de meeste gevallen gewoon onbekend, hoewel je in dit geval misschien nog wat kan doen met het gegeven dat de beide krommen een niet-constante afbeelding naar een elliptische kromme toelaten.

quote:

Op woensdag 28 oktober 2009 06:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

Er zit om te beginnen een fout in je uitdrukking voor y''. De coëfficiënt van x² moet (A-6D) zijn. Uitwerken levert dan:

(1) y'' + 2y' + y = (6Dx + 2A)∙e^-x,

Zodat je vindt:

(2) D = 1/6 en A = 0

Dat merkte ik ook toen ik het later nog eens op papier probeerde. Ik dacht alleen dat ik hem weer fout had gedaan omdat B en C weggevallen waren uit de vergelijking(hier kom ik op terug) en had het eigenlijk al opgegeven.
Dat je ineens meer coëfficienten nodig hebt dan er in het rechterlid voorkomen is waarschijnlijk de strik in deze vraag en is er denk ik tussengestopt om je wakker te houden.

quote:

(B en C vallen weg). En inderdaad is

(3) y = (1/6)∙x³∙e^-x

een particuliere oplossing van je inhomogene DV.

Als B en C wegvallen uit de vergelijking, is het dan niet zo dat je voor deze variabelen elke mogelijke waarde in kan vullen en B en C moet laten staan om de meest generale oplossing te krijgen?
(Ik weet niet of ik het in dit topic erbij gezet heb, maar de opgave was oorspronkelijk een 'initial value problem')

De laatste methode die je beschreef heb ik nog niet gehad, maar heb ik doorgelezen (en snap eigenlijk niet alles), maar zal ik bewaren voor als iets dergelijks nog aan bod komt.

quote:

Op woensdag 28 oktober 2009 14:08 schreef Hondenbrokken het volgende:
[..]

Als B en C wegvallen uit de vergelijking, is het dan niet zo dat je voor deze variabelen elke mogelijke waarde in kan vullen en B en C moet laten staan om de meest generale oplossing te krijgen?

Dat zijn dan dus ook precies de oplossingen van de homogene vergelijking.

http://img94.imageshack.us/img94/625/img344.jpg

1a. en 1b. heb ik makkelijk opgelost. Door de 'z' uit te rekenen.
Nu moet ik bij 1c. de formule omdraaien.

Dat heb ik gedaan door uit de standaardnormale tabel het getal te pakken dat het dichtst bij de 10% komt. 1,28 is dat in mijn optiek (1 - 0.8997 = 0,01003 =10,03%) Als ik dan de formule invul: ..... - 6000 / 500 = 1,28 Komt het ontbrekende getal uit op 6640 branduren. Dit zijn volgens het antwoordenboek echter 5 uren te kort. Wat doe ik fout?

Integreren:


4t


zou kunnen zijn:


2t²


maar ook

t⁴


Maar toch is het wat anders hoe kan dat nou.

10,03 is geen 10.

t⁴ kan het nooit zijn. De afgeleide daarvan is namelijk 4t³
2t² is het wel want de afgeleide daarvan is 4t. (+ evt. constante)

Ken je de regel:
f(x) = xⁿ
f'(x) = n*x^n-1

quote:

Op woensdag 28 oktober 2009 16:15 schreef -J-D- het volgende:
t⁴ kan het nooit zijn. De afgeleide daarvan is namelijk 4t³
2t² is het wel want de afgeleide daarvan is 4t. (+ evt. constante)

Ken je de regel:
f(x) = xⁿ
f'(x) = n*x^n-1

Okay het is tijd voor een pauze denk ik, ik zit nu al moeilijk te doen om de simpelste dingen

quote:

Op woensdag 28 oktober 2009 16:15 schreef thabit het volgende:
10,03 is geen 10.

Nee, maar 1,29 > 0,9015 is ook geen 10.... toch?

100%- 90,15 % = 9,85 %

Dus 6645 hoort bij de beste 9,85% lampen?

p.s. jullie helpen me wel ontzettend! Het ene na het andere kwartje valt!

quote:

Op woensdag 28 oktober 2009 16:20 schreef Iblis het volgende:

[..]

Als zij op 6645 uitkomen hebben ze dus (6645 - 6000)/500 = 1,29 gekozen… ik weet de precieze reden daar niet voor.

Jouw antwoord is natuurlijk net iets te laag, maar 1,29 is duidelijk te hoog. Misschien dat zij als redenatie hebben ‘1,28 is nog te laag, want het moet minder dan 10% zijn, dus daarom pakken we 1,29’.

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Duidelijk ja

Hoe los ik vraag 3a. en 3b. op?

Het draait en kraakt bij me

quote:

Op woensdag 28 oktober 2009 16:55 schreef Iblis het volgende:

[..]

Wat heb je al gedaan?

52-56 / 2.2 = -1,82 = 0.0344

en

56-56 / 2,2 = 0 = 0.50

Maarja, ik weet het eigenlijk niet

quote:

Op woensdag 28 oktober 2009 12:08 schreef thabit het volgende:

[..]

Dat zullen er altijd eindig veel zijn. Je zoekt namelijk eigenlijk naar rationale punten op andere krommen: ofwel y⁴=x³+Ax+B ofwel y² = x⁶+Ax²+B. Dit zijn krommen van hoger geslacht (3 in het eerste geval en 2 in het tweede geval). De stelling van Faltings zegt dat er altijd eindig veel rationale punten op een kromme van geslacht >= 2 liggen. Hoe je die punten vervolgens moet vinden, is weer een hele andere tak van sport en in de meeste gevallen gewoon onbekend, hoewel je in dit geval misschien nog wat kan doen met het gegeven dat de beide krommen een niet-constante afbeelding naar een elliptische kromme toelaten.

Is er een leesbare bron (boek, site,..) over rationale punten op krommen van de vorm y⁴=x³+Ax+B of y² = x⁶+Ax²+B of de meer eigenschappen/technieken die gebruik maken van die niet constante afbeelding van die krommen naar een elliptische kromme? Het lijkt me leuk om hier over te lezen.

quote:

Op woensdag 28 oktober 2009 20:45 schreef Optimistic1 het volgende:

[..]

Is er een leesbare bron (boek, site,..) over rationale punten op krommen van de vorm y⁴=x³+Ax+B of y² = x⁶+Ax²+B of de meer eigenschappen/technieken die gebruik maken van die niet constante afbeelding van die krommen naar een elliptische kromme? Het lijkt me leuk om hier over te lezen.

Ik weet niet of er bronnen zijn die dit van A tot Z behandelen, maar je zou kunnen zoeken op: Chabauty method.