SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Wat wil je dan?quote:Op woensdag 1 juli 2009 14:41 schreef Washington het volgende:
[..]
Daar heb ik bar weinig ervaring mee. Met sigma's ben ik ook slecht.
Ik weet wel ongeveer wat ik wil, maar weet niet hoe ik het moet uitwerken.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Nu, dan heb je twee zaken nodig: Een basisgeval, en een inductiehypothese. Kun je die formuleren?quote:
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
n=1 is mijn basisgeval. Ik heb laten zien dat dit klopt.
Nu n + 1:
Zo? Maar wat nu?
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:25:44 ]
Nu n + 1:
Zo? Maar wat nu?
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:25:44 ]
Nu treedt je inductiehypothese in werking. De truc is namelijk, en dat is essentieel, dat je nu wilt bewijzen dat als het geldt voor n dat het dán ook geldt voor n + 1. Dus bij deze stap wil je het voor n + 1 bewijzen, maar dan mag je dus aannemen dat het voor n inderdaad geldt. Als je dat gegeven toepast, dan kun je de som vereenvoudigen.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
We beginnen dus hiermee:
En splitsen nu de som, de laatste twee termen halen we eruit, om het zo te zeggen:
Nu echter kun je je inductie-hypothese toepassen. Je neemt namelijk aan dat voor n de gelijkheid al geldt, dus je kunt nu stellen dat je:
kunt toepassen, dat doen we dus, en we krijgen daarom:
Dat kunnen we even uitwerken:
Dus:
n + 1 = n + 1
Dat klopt.
Kortom, je hebt nu bewezen dat als het voor n geldt, dat het dan ook voor n+1 geldt. Met het basisgeval, n = 1, is nu je bewijs rond. Immers uit dit basisgeval en bovenstaande volgt dat het ook voor n = 2 geldt, en daar weer uit voor n = 3, enzovoort.
[ Bericht 0% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:25:48 ]
En splitsen nu de som, de laatste twee termen halen we eruit, om het zo te zeggen:
Nu echter kun je je inductie-hypothese toepassen. Je neemt namelijk aan dat voor n de gelijkheid al geldt, dus je kunt nu stellen dat je:
kunt toepassen, dat doen we dus, en we krijgen daarom:
Dat kunnen we even uitwerken:
Dus:
n + 1 = n + 1
Dat klopt.
Kortom, je hebt nu bewezen dat als het voor n geldt, dat het dan ook voor n+1 geldt. Met het basisgeval, n = 1, is nu je bewijs rond. Immers uit dit basisgeval en bovenstaande volgt dat het ook voor n = 2 geldt, en daar weer uit voor n = 3, enzovoort.
[ Bericht 0% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:25:48 ]
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Waar ik van een uitdrukking met som-teken naar n - (2n + 1) + (2n + 2) ga?
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Dat is hele truc van inductief bewijzen. Je zet een inductiebewijs namelijk zo op:
1) Basisstap (voor n = 1)
2) Inductiestap: Als het voor n geldt, dan geldt het ook voor n + 1.
(2) is dus de crux. Je zou ook kunnen zeggen: Aangenomen dat het voor n geldt, dán geldt het ook voor n + 1. In het bewijs voor stap 2 kun je dus aannemen dat de gelijkheid in het geval van n al geldt. En dat is wat ik doe.
Ik heb dus deze uitdrukking:
Mijn aanname is dat:
inderdaad geldt. En als ik dat toepas, dan krijg ik:
n - (2n + 1) + (2n + 2)
Dat lijkt misschien een beetje raar, want hoe heb ik nu echt wat bewezen? Zit ik niet gewoon aan te nemen wat ik moet bewijzen? Het antwoord daarop is Nee maar dat is alleen omdat je stap (1) hebt. Stap (2) op zich is niet voldoende als bewijs.
Want ik heb alleen nog maar bewezen dat als het voor een zekere n geldt (ik kan het niet vaak genoeg zeggen) dat het dan ook voor (n + 1) geldt. Dus stel het geldt voor n = 10, dan ook voor n = 11. (En dus dan ook voor n = 12).
En daarom heb ik stap 1 nodig. Dat is namelijk je beginnetje. Dan zeg je: Aha, kijk, het geldt inderdaad voor n = 1, dus mag ik op basis van (2) concluderen dat het voor n = 2 geldt. En dan kan mag ik op basis van (2) concluderen dat het voor n = 3 geldt, en zo kun je doorgaan natuurlijk.
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:25:54 ]
1) Basisstap (voor n = 1)
2) Inductiestap: Als het voor n geldt, dan geldt het ook voor n + 1.
(2) is dus de crux. Je zou ook kunnen zeggen: Aangenomen dat het voor n geldt, dán geldt het ook voor n + 1. In het bewijs voor stap 2 kun je dus aannemen dat de gelijkheid in het geval van n al geldt. En dat is wat ik doe.
Ik heb dus deze uitdrukking:
Mijn aanname is dat:
inderdaad geldt. En als ik dat toepas, dan krijg ik:
n - (2n + 1) + (2n + 2)
Dat lijkt misschien een beetje raar, want hoe heb ik nu echt wat bewezen? Zit ik niet gewoon aan te nemen wat ik moet bewijzen? Het antwoord daarop is Nee maar dat is alleen omdat je stap (1) hebt. Stap (2) op zich is niet voldoende als bewijs.
Want ik heb alleen nog maar bewezen dat als het voor een zekere n geldt (ik kan het niet vaak genoeg zeggen) dat het dan ook voor (n + 1) geldt. Dus stel het geldt voor n = 10, dan ook voor n = 11. (En dus dan ook voor n = 12).
En daarom heb ik stap 1 nodig. Dat is namelijk je beginnetje. Dan zeg je: Aha, kijk, het geldt inderdaad voor n = 1, dus mag ik op basis van (2) concluderen dat het voor n = 2 geldt. En dan kan mag ik op basis van (2) concluderen dat het voor n = 3 geldt, en zo kun je doorgaan natuurlijk.
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:25:54 ]
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Ah okay. Heel helder uitgelegd. 
Maar je zegt dus
omdat je 2n + 2 hebt ?
[ Bericht 2% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:25:58 ]
Maar je zegt dus
omdat je 2n + 2 hebt ?
[ Bericht 2% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:25:58 ]
Ja, ik haal een paar termen uit dat somteken dus:
Dat doe ik natuurlijk expres zo, zodat ik die vervanging daarna makkelijk kan toepassen. Ik zou er ook eentje meer of minder uit kunnen halen, maar ja, dat is niet handig.
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:26:00 ]
Dat doe ik natuurlijk expres zo, zodat ik die vervanging daarna makkelijk kan toepassen. Ik zou er ook eentje meer of minder uit kunnen halen, maar ja, dat is niet handig.
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:26:00 ]
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Als je 'm nog niet gedaan hebt:
Is ook een klassieker om met volledige inductie te bewijzen. Kun je kijken of je het begrepen hebt.
[ Bericht 0% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:26:03 ]
Is ook een klassieker om met volledige inductie te bewijzen. Kun je kijken of je het begrepen hebt.
[ Bericht 0% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:26:03 ]
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Ik zou er dan nog wel een k bij typen.quote:Op woensdag 1 juli 2009 16:05 schreef Iblis het volgende:
Als je 'm nog niet gedaan hebt:
[ afbeelding ]
Is ook een klassieker om met volledige inductie te bewijzen. Kun je kijken of je het begrepen hebt.
Gefikst!quote:
[..]
Ik zou er dan nog wel een k bij typen.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Dank voor het beantwoorden van mijn vraag met die nCR! Ik heb mijn toets met een 8,8 gehaald en heb daarmee mijn propedeuse in de zak
Blues ain't nothing but a good man feeling bad...
P !quote:Op woensdag 1 juli 2009 19:03 schreef GoodGawd het volgende:
Dank voor het beantwoorden van mijn vraag met die nCR! Ik heb mijn toets met een 8,8 gehaald en heb daarmee mijn propedeuse in de zak
Gefeliciteerd.
GO LANCE !!!
Ik zou het heel anders aanpakken. Die factor (-1)k zorgt alleen voor een alternerend teken van de termen van je som, en het aantal termen is bovendien steeds even. Je kunt de som dan ook eenvoudig herschrijven als het verschil van twee sommen van rekenkundige rijen en vervolgens de gangbare somformule voor rekenkundige rijen toepassen.quote:Op woensdag 1 juli 2009 14:41 schreef Washington het volgende:
[..]
Daar heb ik bar weinig ervaring mee. Met sigma's ben ik ook slecht.
Ik weet wel ongeveer wat ik wil, maar weet niet hoe ik het moet uitwerken.
Hoi!
Ik heb even een vraag over modulorekenen, wat waarschijnlijk heel simpel is
Als vraag heb ik:
Bereken de rest van 2^100 modulo 7. Tip: 2³ modulo 7 = 1
en
Wat is de rest van 2 * 10^10 modulo 97
Zelf heb ik al wat geprobeerd, maar ik zie niet hoe je bijvoorbeeld van die 2³ modulo 7 naar het antwoord van 2^100 modulo 7 kan komen.
Alvast bedankt!
Ik heb even een vraag over modulorekenen, wat waarschijnlijk heel simpel is
Als vraag heb ik:
Bereken de rest van 2^100 modulo 7. Tip: 2³ modulo 7 = 1
en
Wat is de rest van 2 * 10^10 modulo 97
Zelf heb ik al wat geprobeerd, maar ik zie niet hoe je bijvoorbeeld van die 2³ modulo 7 naar het antwoord van 2^100 modulo 7 kan komen.
Alvast bedankt!
