quote:
Okee. Nou kijk, als je een getal, bijvoorbeeld 1, deelt door een priemgetal, bijvoorbeeld 7, dan krijg je een repeterende breuk. Dat geldt voor alle priemgetallen behalve voor 2 en 5. Dat komt omdat dat de priemfactoren zijn van de basis van ons talstelsel, namelijk 10.
Voor de rest: repeterende breuk. Altijd. 1/7 = 0,142857142857142857142... in handige notatie 0,/142857/
Het mooie daarvan is dat deze string precies 6 cijfers lang is. Dat is logisch. Waarom is dat logisch? Omdat een priemgetal behalve zichzelf geen delers heeft, en je dus op 6 verschillende manieren "in die repeterende string moet kunnen springen". Dat ziet er dan als volgt uit:
1/7 = 0,/142857/
2/7 = 0,/285714/
3/7 = 0,/428571/
4/7 = 0,/571428/
5/7 = 0,/714285/
6/7 = 0,/857142/ en tenslotte
7/7 = 1
Is dat niet prachtig?
Nou is 7 een vrij voorbeeldig priemgetal, aangezien het maar 1 string ontwikkelt, die precies "zichzelf -1" lang is. 13 wordt al wat lastiger. Als je namelijk gaat delen door 13, dan zie je dat er al na 6 cijfers gerepeteerd wordt
1/13 = 0,/076923/
Maarrrrr
2/13 = 0,/153846/
oftewel: 13 ontwikkelt 2 strings van elk 6 cijfers lang. EN dat klopt ook, want die bieden samen 2 * 6 = 12 instappunten, precies wat nodig is (13 - 1).
En de grap is dat voor elk priemgetal geldt dat het "zichzelf - 1" instappunten nodig heeft. Alleen het is mij nog niet gelukt (anders dan door trial & error) om uit te vissen hoeveel verschillende strings van welke lengte een bepaald priemgetal ontwikkelt. 2113 ontwikkelt bijvoorbeeld 1 enkele string van 2112 cijfers lang, terwijl 37 12 verschillende strings van 3 cijfers lang ontwikkelt. En ja, ik heb alle priemgetallen onder de 10.000 met behulp van Excel getest. Floating point ga weg