[Bèta wiskunde] huiswerk- en vragentopic

quote:

Op zaterdag 27 september 2008 10:15 schreef Borizzz het volgende:
(daar ben ik weer met complexe getallen!)

Het complexe getal e^iy ligt op de eenheidscirkel. Dit werd voor mij inzichtelijk als je bedenkt dat het argument van dit getal y radialen is, en de modulus 1 is. Dit komt door de afspraak dat e^x+iy = e^x[cos(y) + isin(y)].

Dat is strikt genomen geen 'afspraak', hoewel e^z soms inderdaad zo wordt gedefinieerd. Didactisch vind ik dat niet aan te bevelen, want zo komt het wel erg uit de lucht vallen en wordt het voor studenten niet inzichtelijk waarom je een e-macht met een imaginaire exponent zou willen verbinden met goniometrische functies.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 27-09-2008 23:39:08 ]

Tja; ik doe een vak complexe analyse en het staat zo in mijn dictaat. Dus vandaar dat ik het op die manier vertel....

Nu heb ik problemen met het vinden van modulus en argumenten bij e-machten


| e^iz | = | e^i(x+iy) | = | e^y-ix | = | e^y [ cos(x) - isin(x)]| = e^y volgens mij.... want cos² +sin2 =1

de vergelijking die ik op moet lossen is e^iz = 2 +2i
dus dan vond ik e^y = sqrt(8)
en y = ln(sqrt(8))

Voor de argumenten vind ik
arg (2+2i ) = 0,25 Pi + k2Pi
arg (e^y-ix = x + k2Pi

dus y=ln(sqrt(8))
x= 1/4 Pi

en dat geeft als oplossing z= 0,25Pi + i (ln(sqrt(8)) + k2Pi )

waar zit de fout...

[ Bericht 18% gewijzigd door Borizzz op 28-09-2008 13:55:16 ]

heey,

we hebben nu net de substitutieregel bij integreren gehad
ik snap er alleen helemaal niets van. Het boek is in het Engels, dat vind ik ook erg lastig en de leraar gaat echt heel snel er doorheen. kan het niet echt bijbenen dus

maar daarom wilde ik eigenlijk vragen of hier iemand was die het me uit kan leggen....
ik snap helemaal niet wat ze aan het doen zijn? en waarom die d(u) erbij komt etc....

ik hoop dat iemand me kan helpen
alvast bedankt in ieder geval!!

okeej het voorbeeld is
integraal van 2x wortel (1+x^2) dx

- stap 1 dit kunnen we blijkbaar niet normaal oplossen (?) dus substitutieregel
- we maken het deel onder het wortel teken u dus u= 1+x^2 (snap ik dus al niet, want waarom doen we dit?)
- we differentieren u=1+x^2. Dat wordt du = 2x dx (waarom komt die dx er nou achter?)

okeej dit is ff genoeg in 1 post wat ik niet begrijp =P

okeej tot nu toe snap ik je , dank je wel!

- nu nemen de ze volgende stap, door te integreren en dan weer voor die u de x in te vullen (snap ik)
- maar nu gaan ze controleren wat ze hebben gedaan of dat wel mag ?? (waarom, moet dit altijd, en waarom zou hiet niet kloppen??)
- en dan zeggen ze dat normaal gesproken deze methode werkt als de functie de vorm heeft van:
integraal van f (g(x)) * g`(x) *dx (maar het voorbeeld heeft deze vorm toch helemaal niet?)

Ik doe 5 havo en het onderwerp is nu de normale verdeling. De leraar is nieuw en doet alles volgens het boek en wilt mijn methode niet accepteren. Ik gebruik de solver: eqn: normalcdf(L,R,M,S)-0;
(links, rechts, gemiddelde, sigma - oppervlakte.)
Vervolgens vul ik in wat ik weet en wat ik niet weet doe ik solve. Dit werkt veel sneller. Bijvoorbeeld doet de leraar y1 = normalcdf(L,R,M,x) en dan Y2 de oppervlakte, schat het venster, plot de grafiek en doet dan intersect.
Gewoon eigenwijs doen en vragen naar mijn rechten of is dit zonde van de moeite?
Btw, ik gebruik een TI-84 plus.

ooh jaah!
snap het nu wel helemaal
echt bedankt!!

goede daad verricht jij, vandaag

quote:

Op zondag 28 september 2008 15:14 schreef GlowMouse het volgende:
Beide methoden zijn even juist. Jouw methode vind ik niet slechter dan die van de docent en omgekeerd. Het zijn echter wel slechte methodes; op het vwo gaat het al iets beter.

Weet je toevallig ook of dit fout gerekend wordt op het examen? En over dat vwo, welke methode wordt daar gebruikt? Iig bedankt voor je antwoord.

quote:

Op zondag 28 september 2008 17:48 schreef GlowMouse het volgende:
Bij het vwo normaliseren ze de normaal verdeelde grootheid. Door de verwachting eraf te trekken en te delen door de standaardafwijking krijg je een grootheid die normaal verdeeld is met mu=0 en standaardafwijking = 1. Met die eigenschap kun je alle varianten oplossen.

Als de grafische oplossing van je docent goedgerekend wordt, wordt jouw oplossing ook goedgerekend.

Dus vwo gebruikt gebruikt zelf een formule en niet normalcdf als ik het goed begrijp. Bedankt voor je antwoord. Voel ik me toch wat sterker tegenover mijn leraar.

Ik ben op zoek naar de modulus en argument van -e³.
Argument moet zijn Pi, omdat -e³ op de negatieve reele as ligt.
maar de modulus.. ik raak steeds hierbij een beetje in de war. e^iy ligt op de eenheidscirkel, dus die modulus moet 1 zijn. Maar hoe vind ik dit getal uberhaupt ergens,,,??

In een andere opdracht staat dat als z=-1 en w=-1; dan log(z) + log(w) = 2i Pi. Maar de log uti een negatief getal bestaat toch niet?

Verder kwam ik tegen dat | z| * [ cos(arg(z)) + isin(arg(z))] gelijk zou moeten zijn aan Re(z) +Im(z) = z.
Kan iemand dit toelichten?

[ Bericht 20% gewijzigd door Borizzz op 28-09-2008 21:02:07 ]

Maar wat is de modulus van -e³ ? En hoe kom ik daar bij... dat het op de reele as ligt had ik ook wel bedacht.
Verder is mij niet duidelijk waarom | z| * [ cos(arg(z)) + isin(arg(z))] gelijk is aan Re(z) + Im (z).

quote:

Op zondag 28 september 2008 20:34 schreef Borizzz het volgende:
Ik ben op zoek naar de modulus en argument van -e³.

Argument moet zijn Pi, omdat -e³ op de negatieve reele as ligt.

Dit is, zoals je zelf al opmerkt, gewoon een reëel getal. De modulus is dus simpelweg de absolutie waarde. Dit is voor complexe nummers een generalisatie van de modulus voor reële getallen. Je mag er van mij (e³ + 0i) van maken, maar het komt op hetzelfde neer, de modulus is |-e³| = e³; volgens mij proberen ze je een beetje in de war te brengen met Eulers formule. Maar die is vooral handig als de exponent imaginair is, en dat is hier niet zo.

quote:

maar de modulus.. ik raak steeds hierbij een beetje in de war. e^iy ligt op de eenheidscirkel, dus die modulus moet 1 zijn. Maar hoe vind ik dit getal uberhaupt ergens,,,??

Je kunt natuurlijk Eulers formule invullen, en dan krijg je: e^iy = cos(y) + i sin(y); dan pas je de formule van de absolute waarde toe, en dan krijg je dat |cos(y) + i sin(y)| = sqrt(cos(y)² + sin(y)²) = sqrt(1) = 1.

quote:

In een andere opdracht staat dat als z=-1 en w=-1; dan log(z) + log(w) = 2i Pi. Maar de log uti een negatief getal bestaat toch niet?

Is de complexe logaritme behandeld? Want die kan ‘meer’. Maar, ik weet niet in hoeverre dit behandeld is. Ik denk dat je beter kunt zeggen ‘heeft geen reëele oplossing’. En dat zie je ook. Dus zolang je alleen met reële getallen werkt, is er geen oplossing inderdaad, maar daarom ben je nu ook met complexe getallen bezig. Het idee is natuurlijk gewoon dat voor de reële logaritme geldt dat als e^x = y, dat dan log(y) = x moet gelden. Dus, merk eerst op dat omdat z = w, je gewoon zegt 2log(z) = 2i Pi, ofwel, log(z) = i Pi. Je komt hier eigenlijk op vanuit e^{i Pi} = -1. Omdat dit geldt, is het ook ‘logisch’ dat voor een complex logaritme geldt dat i Pi = log(-1). Het is in feite weer een generalisatie. Je kunt er ook op komen door beide zijden te exponentiëren, dus: log(-1) = i Pi, dan zal dus ook wel gelden exp(log(-1)) = exp(i Pi), dus -1 = exp(i Pi); en dat laatste is het geval. Maar, de complexe logaritme is wel iets lastiger nog, het is niet echt een functie.

quote:

Verder kwam ik tegen dat | z| * [ cos(arg(z)) + isin(arg(z))] gelijk zou moeten zijn aan Re(z) +Im(z) = z.
Kan iemand dit toelichten?

Ik denk dat je bedoelt Re(z) + i * Im(z), want Im(z) pakt weliswaar het imaginaire deel, maar is zelf reëel!, maar enfin. Dit is gewoon de polaire vorm van het complexe getal die hier geconverteerd wordt naar de reële vorm. In polaire vorm schrijf je een getal als (r, φ), met r de straat en φ de hoek. Die hoek is natuurlijk arg(z), en r = |z|. Om die uitdrukking terug te rekenen naar cartesische vorm, zie je dat de x waarde gelijk is aan r cos(φ) en de y waarde aan r sin(φ) – en die y-waarde is het imaginaire deel. Dat kun je op Wikipedia anders nalezen.

Ja, de complexe logaritme is behandeld. Bedankt; het is alweer een stuk duidelijker.
Voor nu ga ik er mee stoppen; morgen nog maar eens goed bekijken. En dan het laatste onderdeel: integreren.

oke ik heb ook een vraag over wiskunde namelijk:

bereken p uit p = p*g^2-1

is er iemand met een idee hoe ik dit doe en hoe ik deze netjes uitwerk?

bij voorbaad dank martin

quote:

Op maandag 29 september 2008 21:21 schreef MartyMarty het volgende:
oke ik heb ook een vraag over wiskunde namelijk:

bereken p uit p = p*g^2-1

is er iemand met een idee hoe ik dit doe en hoe ik deze netjes uitwerk?

bij voorbaad dank martin

Nu een wat zinniger versie:

p = p*g² - 1

Breng p*g² naar de andere kant:

p - p*g² = - 1

Haal p buiten haakjes:

p(1 - g²) = -1

Deel links en rechts door (1 - g²)



_{GlowMouse: Klopt het dat jouw TeX-site niet meer werkt?}

Op zich vind ik het niet zo erg om dit voor te doen, maar het helpt veel meer als je zelf zegt waar je vastloopt, of wat je hebt geprobeerd. Want als je de oplossing ziet, zeg je altijd ‘ohja’.

[ Bericht 21% gewijzigd door Iblis op 29-09-2008 22:39:28 (Van onzin naar zin.) ]

quote:

Op maandag 29 september 2008 22:27 schreef GlowMouse het volgende:
Iblis, wat krijg je precies als je door p deelt rechts?

Oh, de schaamte. Ik verbeter m'n post direct even. Ik moet wel zeggen dat ik afgeleid was, maar dan nog is het niet goed te praten.

quote:

Op maandag 29 september 2008 23:02 schreef GlowMouse het volgende:
De tex-site werkt inderdaad niet omdat de harddisk waarop hij stond stuk is. Er zijn geen backups (niet mijn keuze), wat voor dit script niet zo'n probleem is, maar er zal nog wel door een bedrijf geprobeerd worden zoveel mogelijk data van de schijf te redden. Tot die tijd heb ik er een werkend iets opgezet dat de oude site naadloos vervangt, het kan best een maand of langer duren tot de oude weer terugkomt.

Oh, dan blijf ik wel Maple-stijl-console-uitvoer wiskunde maken in code-tags.

quote:

Op maandag 29 september 2008 23:20 schreef GlowMouse het volgende:
http://betahw.mine.nu/ werkt toch gewoon nu?

Ik zou zweren dat ik vandaag tweemaal geprobeerd hebt, en dat ik tweemaal een timeout kreeg; simpelweg door in de link in de OP te klikken. Nu werkt het inderdaad.

quote:

Op maandag 29 september 2008 23:25 schreef GlowMouse het volgende:
Ja omdat ik het net gerepareerd heb

Aaah, duh! Ik ben wel helder zeg vanavond.

Glowmouse: gister was niet mijn meest heldere dag.
Je hebt volkomen gelijk

Bereken de afgeleide van:
y = 6x * 4^0.3x+2

Iemand?

-edit-
Uitwerkingen geeft:

y = 4^{0.3x + 2} = 4^u met u = 0.3x + 2
dy/du = 4 ^u * ln 4
du/dx = 0.3

dy/du * du/dx = 4^u * ln 4 * 0.3 = 0.3 * 4^{0.3x + 2} * ln 4

Dus y = 6x * 4^0.3x+2 geeft
dy/dx = 6 * 4^0.3x+2 + 6x * 0.3 * 4^{0.3x + 2} * ln 4 = 6 * 4^0.3x+2 + 1.8x * 4^0.3x+2 * ln 4

Het eerste gedeelte begrijp ik wel, alleen het vetgedrukte kom ik maar niet uit..

[ Bericht 45% gewijzigd door fakk3L op 01-10-2008 17:19:03 ]

quote:

Op woensdag 1 oktober 2008 16:53 schreef fakk3L het volgende:
Bereken de afgeleide van:
y = 6x * 4^0.3x+2

Iemand?

-edit-
Uitwerkingen geeft:

y = 4^{0.3x + 2} = 4^u met u = 0.3x + 2
dy/du = 4 ^u * ln 4
du/dx = 0.3

dy/du * du/dx = 4^u * ln 4 * 0.3 = 0.3 * 4^{0.3x + 2} * ln 4

Dus y = 6x * 4^0.3x+2 geeft
dy/dx = 6 * 4^0.3x+2 + 6x * 0.3 * 4^{0.3x + 2} * ln 4 = 6 * 4^0.3x+2 + 1.8x * 4^0.3x+2 * ln 4

Het eerste gedeelte begrijp ik wel, alleen het vetgedrukte kom ik maar niet uit..

Het vetgedrukte deel is toch gewoon een toepassing van de productregel voor differentiëren?

Als je hebt:

h(x) = f(x)∙g(x)

Dan is:

h'(x) = f'(x)∙g(x) + f(x)∙g'(x)

Excuses voor achterlijkheid. Bedankt, toch die regels nog maar eens doornemen!

De limiet van y-> 1 van (y^2-1) / i*(y-1)
ik herleid dat tot y+1 / i en dat mondt uit op -2i. Klopt dit? In het antwoordenboek staat -i als limiet.
...

Ik kwam laatst een raadseltje tegen:
Er is ergens een gang met 1000 kastjes waarvan de deurtjes dichtzitten, heel toevallig zijn er ook 1000 mensen. Deze mensen doen een kastje open als het kastje dicht is, en dicht als het kastje open is.
Afijn, persoon 1 gaat langs alle kastjes, persoon twee langs ieder 2e kastje (2, 4, 6, ...). Persoon 3 langs ieder derde kastje (3, 6, 9, ...). Je begrijpt het wel.
Nu was de vraag hoeveel kastjes er open zijn aan het einde.

Ik had het ff snel in n klein programmatje gegooid en ik kwam uit op 31, nu wilde ik wel eens weten of dat ook klopte, en waarom het dan zo is. Ik heb beredeneerd waarom het zo zou moeten zijn, en nu wil ik weten of mijn beredering ook klopt, of dat het onzin is.

Here goes,
als een kastje aan het einde dicht is, zijn er dus een even aantal personen langs dit kastje geweest. Als het kastje open is, dan zijn er dus een oneven aantal mensen langsgeweest. Hoeveel mensen een kastje langsgaan ligt dus aan de hoeveelheid gehele delers van de positie van het kastje.
vb: kastje 6, persoon 1, 2, 3 en 6 zullen dit kastje bezoeken, en dus is het kastje dicht. Want het is een even aantal personen.
Hoeveel kastjes zijn er met een oneven aantal gehele delers? Hiervoor gebruiken we de priemfactorisatie van een getal, de factorisatie is van de vorm d₁^e1 × d₂^e2 × ... × d_n^en. De hoeveelheid gehele delers is gelijk aan het product p = (e₁ + 1)(e₂ + 1) ... (e_n + 1). Dit getal kan alleen oneven zijn als iedere e_i even is, want immers even × even = even, even × oneven = even & oneven × oneven = oneven. En dus moet iedere e_i even zijn, als er een of meerdere e_i oneven zouden zijn, dan is de uitkomst van het product p ook even.
Welke getallen voldoen aan de eis dat e_i even is? Neem een willekeurig getal n, als je iedere exponent e_i met 2 vermenigvuldigd dan krijg je een nieuw getal n'. Dit getal voldoet aan de eis dat iedere e_i even is, want even × (on)even = even en dus heeft n' een oneven aantal gehele delers. n' is een kwadraat van n, aangezien iedere exponent met 2 vermenigvuldigd is.
Kwadraten voldoen dus aan deze eis, zijn er ook andere getallen met een oneven aantal delers?
Stel zon getal bestaat, noem het k.
Als k een oneven aantal gehele delers heeft, dan zijn alle exponenten e_i dus ook even, maar als dit zo is dan zou je de wortel kunnen nemen van k door alle exponenten door 2 te delen. Dus er bestaan geen k.

Nouja goed je kan dus de wortel uit 1000 nemen om te kijken hoeveel van die kwadraten er dan zijn, en dat blijkt 31 komma nogwat te zijn en dat klopt met wat ik eerder vond..

Ik ben verder geen wiskundige, maar kan iemand naar mijn redenering kijken? Zou leuk zijn als het klopt

Klopt helemaal. .

Ik denk dat je het iets sneller kunt zien dan middels de priemfactorisatie. Als je een deler ‘x’ hebt van het getal ‘g’, dan heb je ook een deler ‘y’ met y = g/x; alle delers komen dus in paartjes: b.v. bij 6 (1,6) en (2,3). Alleen als g een kwadraat is kun je hebben x = y, en daarmee een oneven aantal delers.

Het sleutelinzicht is denk ik echter om te bedenken dat je een oneven aantal delers nodig hebt.

quote:

Op donderdag 2 oktober 2008 06:49 schreef thabit het volgende:
Klopt helemaal. .

quote:

Op donderdag 2 oktober 2008 08:46 schreef Iblis het volgende:
Ik denk dat je het iets sneller kunt zien dan middels de priemfactorisatie. Als je een deler ‘x’ hebt van het getal ‘g’, dan heb je ook een deler ‘y’ met y = g/x; alle delers komen dus in paartjes: b.v. bij 6 (1,6) en (2,3). Alleen als g een kwadraat is kun je hebben x = y, en daarmee een oneven aantal delers.

Het sleutelinzicht is denk ik echter om te bedenken dat je een oneven aantal delers nodig hebt.

baas boven baas zullen we maar zeggen

Hallo. Ik heb een moeilijkheid bij het vinden van een geschikte parametrisering bij het integreren van een complexwaardige functie langs een boog.

Het voorbeeld: ik zie een grafiek met daarin een boog. De boog start in de oorsprong, dan een deel van een cirkel met als hoogste punt 3+2i, en iets voorbij de 6 snijdt de boog de reeele as weer.

De parametrisering die ik moest vinden moest zijn z(t) = t + i + e^-it. met t op het interval [0,5Pi - 2,5Pi].

De vraag is eigenlijk of iemand een geschikte methode heeft om een goede parametrisering te vinden.

quote:

Op vrijdag 3 oktober 2008 17:41 schreef Borizzz het volgende:
Hallo. Ik heb een moeilijkheid bij het vinden van een geschikte parametrisering bij het integreren van een complexwaardige functie langs een boog.

Het voorbeeld: ik zie een grafiek met daarin een boog. De boog start in de oorsprong, dan een deel van een cirkel met als hoogste punt 3+2i, en iets voorbij de 6 snijdt de boog de reële as weer.

De parametrisering die ik moest vinden moest zijn z(t) = t + i + e^-it. met t op het interval [0,5Pi - 2,5Pi].

De vraag is eigenlijk of iemand een geschikte methode heeft om een goede parametrisering te vinden.

Dit is zo niet te beantwoorden. In plaats van het antwoordenboekje over te schrijven kun je beter de oorspronkelijke opgave hier neer zetten.

Er staat enkel dit:
we bekijken een fietswiel met een straal van 1 meter waarop een ventiel zit.
Geef een parametrisering van de boog die het ventiel beschrijft als het wiel één rondje over de weg rolt.

quote:

Op vrijdag 3 oktober 2008 20:54 schreef Borizzz het volgende:
Er staat enkel dit:
we bekijken een fietswiel met een straal van 1 meter waarop een ventiel zit.
Geef een parametrisering van de boog die het ventiel beschrijft als het wiel één rondje over de weg rolt.

OK. Je kunt de baan die het ventiel beschrijft beschouwen als een samenstelling van twee bewegingen, nl. een circulaire beweging (met een constante hoeksnelheid) en een eenparige lineaire beweging langs een horizontale lijn (wiskundig gezien is het wiel is een cirkel en het ventiel is een punt op die cirkel). De straal van de cirkel is gelijk aan 1. Overigens zijn deze gegevens niet voldoende om een eenduidige parametervoorstelling te geven. Je weet bijv. niet waar het ventiel zich bevindt op tijdstip t=0 en wat de omwentelingssnelheid is. Helpt dit?

Er is nog een figuurtje bij. Het ventriel begint in 0+0i en eindigt ergens in 6+0i ongeveer.
Vreemd dat parametriseren niet behandeld werd in het college, terwijk t wel een belangrijk ding lijkt...

Ik kan ook wel even een andere som pakken:
bijvoorbeeld een complexe functie integreren langs een recht lijnstuk van 0+0i naar 2+4i en een ander lijnstuk 1+i naar 2+4i. Ik zie hier echt geen complexwaardige functie in die ik kan gebruiken voor de parametrisering...
Hoe is de aanpak hierbij.

quote:

Op vrijdag 3 oktober 2008 21:58 schreef Borizzz het volgende:
Er is nog een figuurtje bij. Het ventriel begint in 0+0i en eindigt ergens in 6+0i ongeveer.
Vreemd dat parametriseren niet behandeld werd in het college, terwijl 't wel een belangrijk ding lijkt...

Dit is gewoon een beetje analytische meetkunde, en dat had je dus al lang moeten weten. Waarschijnlijk wordt het bekend verondersteld.

Dat het ventiel eindigt even voorbij de 6 op de reële as is begrijpelijk, want de omtrek van het wiel (de cirkel) is 2π.

Beschouw eerst de parametervoorstelling van de eenheidscirkel. Die hangt samen met de definities van de goniometrische functies:

x(t) = cos t
y(t) = sin t

Wanneer je t laat lopen van 0 tot 2π wordt de eenheidscirkel eenmaal doorlopen, maar wel tegen de wijzers van de klok in. Maar je moet nu een beweging hebben met de wijzers van de klok mee, want het wiel gaat immers naar rechts op de horizontale as. Dus heb je:

x(t) = cos(-t)
y(t) = sin(-t)

Als we dit in complexe vorm brengen, dan hebben we:

z(t) = x(t) + i*y(t)

En met behulp van de formule van Euler kunnen we dit schrijven als:

z(t) = e^-it

Maar nu bevindt het middelpunt van de cirkel zich niet in (0,0) maar in (0,1), en dus moeten we er één verticale eenheid, oftewel i, bij optellen:

z(t) = i + e^-it

Maar hiermee ben je er nog niet, want bij de start bevindt het ventiel zich niet rechts maar onderaan. Kun je nu zelf verder?

Ja dit helpt wel! Bedankt! Een aantal dingen had ik zelf al wel bedacht maar de overstap naar euler niet. Daar zat m de kneep.

Een complexe functie integreren langs een recht lijnstuk van 0+0i naar 2+4i en een ander lijnstuk 1+i naar 2+4i.
Je moet dus x(t) en een y(t) vinden die samen z(t) = x(t) + iy(t) opleveren.
dus bijvoorbeeld x(t) =2t en y(t)=4t -> samen z(t) = 2t+i4t voor het eerste rechte lijnstuk op [0,1] en
x(t) = 1 + t en y(t) = 1 +3t, wat samen z(t) = 1+t + i(1+3t) geeft voor het tweede lijnstuk op [0,1]

Klopt dit een beetje?

[ Bericht 15% gewijzigd door Borizzz op 03-10-2008 23:32:40 ]