SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Dat weet ik niet, maar laten we daar van uit gaan.quote:Op donderdag 29 mei 2008 15:34 schreef GlowMouse het volgende:
Weet je dat de verwachting lineair is? Dus E(X+Y) = E(X) + E(Y), zelfs als X en Y afhankelijk zijn?
Dan is de rest dus eenvoudig: (X-4)² = X² - 8X + 16, en probeer de rest zelf maar.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Verrek, 3.25, klopt, is het juiste antwoord.quote:Op donderdag 29 mei 2008 15:52 schreef GlowMouse het volgende:
Dan is de rest dus eenvoudig: (X-4)² = X² - 8X + 16, en probeer de rest zelf maar.
Maar hoe ben je bij die vergelijking gekomen? Dat zou ik graag nog even willen weten.
Vraag statistische mechanica:
Een quantum systeem bestaat uit K onderscheidbare subsystemen. Het k-de subsysteem heeft als energie spectrum: En[sub]k[/sub]=epsilon*nk2 met nk=0,1,2,3....
Bereken het aantal energie eigenwaarden met energie lager dan E, dus Omega(E) voor het geval E >> epsilon.
Omega(E) is gedefineerd als 1/ hkK! * integraal ( stapfunctie (E - H) )dkn) met H de Hamiltoniaan van het systeem.
Ik kom er even niet meer uit...
Een quantum systeem bestaat uit K onderscheidbare subsystemen. Het k-de subsysteem heeft als energie spectrum: En[sub]k[/sub]=epsilon*nk2 met nk=0,1,2,3....
Bereken het aantal energie eigenwaarden met energie lager dan E, dus Omega(E) voor het geval E >> epsilon.
Omega(E) is gedefineerd als 1/ hkK! * integraal ( stapfunctie (E - H) )dkn) met H de Hamiltoniaan van het systeem.
Ik kom er even niet meer uit...
Is er een algebraische manier om te laten zien dat f=x^4-6x+3 geen nulpunt heeft op de eenheidscirkel?
Ik weet dat je met bijv de stelling van Rouché kunt laten zien dat er precies 1 nulpunt is in de eenheidscirkel en daarna ook dat er geen punt is op de eenheidscirkel.
Via algebra dacht ik het volgende: als f een nulpunt heeft op eenheidscirkel dan is dat nulpunt geen reeel getal want -1 en 1 zijn geen nulpunten. Dus het nulpunt is complex en zijn geconjugeerde is dus ook een nulpunt. Vanaf nu weet ik niet meer, de som van de nulpunten is 0 en het product is 3, ik dacht dat dit misschien zou leiden tot tegenspraak (door te afschatten ofzo).
Kan iemand een slim idee geven?
dank je!
Ik weet dat je met bijv de stelling van Rouché kunt laten zien dat er precies 1 nulpunt is in de eenheidscirkel en daarna ook dat er geen punt is op de eenheidscirkel.
Via algebra dacht ik het volgende: als f een nulpunt heeft op eenheidscirkel dan is dat nulpunt geen reeel getal want -1 en 1 zijn geen nulpunten. Dus het nulpunt is complex en zijn geconjugeerde is dus ook een nulpunt. Vanaf nu weet ik niet meer, de som van de nulpunten is 0 en het product is 3, ik dacht dat dit misschien zou leiden tot tegenspraak (door te afschatten ofzo).
Kan iemand een slim idee geven?
dank je!
verlegen :)
f(0)=3 en f(1)=-2, dus er moet een nulpunt tussen 0 en 1 zijn. Het product van de twee complex geconjugeerde nulpunten op de eenheidscirkel is 1, dus het product van de twee reele nulpunten is 3. Maar dat betekent dat er een reeel nulpunt > 3 moet zijn. Nu is het wel duidelijk dat f(x)=x(x^3-6)+3 positief is voor x>3, tegenspraak.
Hallo,
ik ben gisteren in een discussie verwikkeld geraakt over kwadratische/symmetrische bilineaire vormen.
Het ging over de techniek met eigenwaarden om een orthonormale basis te maken ten opzichte waarvan de symmetrische bilineaire vorm gediagonaliseerd wordt.
Er werd geponeerd dat dat net zo goed ging over eindige velden.
Ik had daar toch mijn bedenkingen bij. Orthonormaal is toch iets heel raars bij eindige velden, want daar heb je geen "inproduct". (Vectoren zullen er loodrecht op zichzelf staan, ook al zijn ze niet nul)
Als voorbeeld zou ik de matrix aanhalen
2 1
1 3
in het eindig veld over vijf elementen. Met diagonalisatie via eigenwaarden zal dit hier toch niet lukken?
Bijvraag: waarom doen mensen zo vaak alsof diagonalisatie van een symmetrische bilineaire vorm altijd met eigenwaarden moet? Het kan met eigenwaarden, maar dan is je eindresultaat ook een orthonormale basis ten opzichte van een inproduct dat in feite niet intrinsiek is.
Wat denken jullie hier allemaal van?
ik ben gisteren in een discussie verwikkeld geraakt over kwadratische/symmetrische bilineaire vormen.
Het ging over de techniek met eigenwaarden om een orthonormale basis te maken ten opzichte waarvan de symmetrische bilineaire vorm gediagonaliseerd wordt.
Er werd geponeerd dat dat net zo goed ging over eindige velden.
Ik had daar toch mijn bedenkingen bij. Orthonormaal is toch iets heel raars bij eindige velden, want daar heb je geen "inproduct". (Vectoren zullen er loodrecht op zichzelf staan, ook al zijn ze niet nul)
Als voorbeeld zou ik de matrix aanhalen
2 1
1 3
in het eindig veld over vijf elementen. Met diagonalisatie via eigenwaarden zal dit hier toch niet lukken?
Bijvraag: waarom doen mensen zo vaak alsof diagonalisatie van een symmetrische bilineaire vorm altijd met eigenwaarden moet? Het kan met eigenwaarden, maar dan is je eindresultaat ook een orthonormale basis ten opzichte van een inproduct dat in feite niet intrinsiek is.
Wat denken jullie hier allemaal van?
Een inproduct is een positief definiete functie VxV -> F (met V de vectorruimte en F het lichaam) waarvoor geldt dat hij lineair is in de eerste coordinaat: <ru + sv,w> = r<u,w> + s<v,w> (r en s scalair). Voor F=R of F=C wordt bovendien geëist dat hij (geconjugeerd) symmetrisch is, maar dat hebben we hier niet nodig (die definitie moest ik even nazoeken ja 
). Bij eindige velden zijn er dus genoeg inproducten te definieren, dat is geen probleem. Zolang char(F)!=2 zijn er twee klassen van inproducten, en binnen een klasse zijn dezelfde vectoren orthogonaal (een inproduct voor elke klasse is te vinden door te nemen als inproduct <x,y> = xTAx met A=I of A = I met één 1 vervangen door een niet-kwadraat).
Dat vectoren loodrecht op zichzelf staan is ook geen probleem. Zo'n vector heeft zelfs een naam, dat is een isotropische vector.
Veel hiervan kun je nalezen in Advanced Lineair Algebra van Steven Roman.
). Bij eindige velden zijn er dus genoeg inproducten te definieren, dat is geen probleem. Zolang char(F)!=2 zijn er twee klassen van inproducten, en binnen een klasse zijn dezelfde vectoren orthogonaal (een inproduct voor elke klasse is te vinden door te nemen als inproduct <x,y> = xTAx met A=I of A = I met één 1 vervangen door een niet-kwadraat).Dat vectoren loodrecht op zichzelf staan is ook geen probleem. Zo'n vector heeft zelfs een naam, dat is een isotropische vector.
Veel hiervan kun je nalezen in Advanced Lineair Algebra van Steven Roman.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Dat van die isotrope vectoren wist ik wel hoor, ik werk er bijna dagelijks mee. 
Ik ben akkoord met alles wat je zegt, behalve misschien dat van die inproducten (dat je die positiviteit enkel eist bij R en C)
Ik zit echter nog steeds met mijn vragen/onzekerheid nu.
Het punt is dat je bij eindige velden altijd wel isotrope vectoren hebt (vanaf dimensie drie dan...)
Wat denk je van dat voorbeeld?
Wijziging : misschien moet ik toch iets meer verduidelijken waar voor mij de moeilijkheid ligt.
Om te beginnen heb je bij reële symmetrische matrices enkel reële eigenwaarden, wat niet het geval zal zijn bij eindige velden.
Als je in het reële geval dan gaat bewijzen dat je kan diagonaliseren, dan neem je een vectorrechte Wopgespannen door een eigenvector, en je beschouwt de vectorruimte als de orthogonale directe som van W en Wperp. Dan ga je verder met inductie in die Wperp.
Daar zit een subtiele stap in, namelijk dat de ruimte de orthogonale directe som is van W en Wperp. Dat is enkel zo als W en Wperp elkaar triviaal snijden, en dat is omdat vectoren die niet nul zijn, niet loodrecht op zichzelf kunnen staan.
En dat is nu net wat gebeurt in dat voorbeeld, je eigenvectoren van nul (de enige eigenwaarde) staan loodrecht op zichzelf.....
Een volgende probleem is dat je hier niet zo maar eventjes van een orthogonale basis naar een orthonormale basis kan. In het reële geval normeren we gewoon, maar die vierkantswortel nemen gaat ook niet altijd in het eindige geval.
Begrijp je een beetje mijn bedenkingen bij dit alles?
[ Bericht 46% gewijzigd door zuiderbuur op 31-05-2008 14:59:12 ]
Ik ben akkoord met alles wat je zegt, behalve misschien dat van die inproducten (dat je die positiviteit enkel eist bij R en C) Ik zit echter nog steeds met mijn vragen/onzekerheid nu.
Het punt is dat je bij eindige velden altijd wel isotrope vectoren hebt (vanaf dimensie drie dan...)
Wat denk je van dat voorbeeld?
Wijziging : misschien moet ik toch iets meer verduidelijken waar voor mij de moeilijkheid ligt.
Om te beginnen heb je bij reële symmetrische matrices enkel reële eigenwaarden, wat niet het geval zal zijn bij eindige velden.
Als je in het reële geval dan gaat bewijzen dat je kan diagonaliseren, dan neem je een vectorrechte Wopgespannen door een eigenvector, en je beschouwt de vectorruimte als de orthogonale directe som van W en Wperp. Dan ga je verder met inductie in die Wperp.
Daar zit een subtiele stap in, namelijk dat de ruimte de orthogonale directe som is van W en Wperp. Dat is enkel zo als W en Wperp elkaar triviaal snijden, en dat is omdat vectoren die niet nul zijn, niet loodrecht op zichzelf kunnen staan.
En dat is nu net wat gebeurt in dat voorbeeld, je eigenvectoren van nul (de enige eigenwaarde) staan loodrecht op zichzelf.....
Een volgende probleem is dat je hier niet zo maar eventjes van een orthogonale basis naar een orthonormale basis kan. In het reële geval normeren we gewoon, maar die vierkantswortel nemen gaat ook niet altijd in het eindige geval.
Begrijp je een beetje mijn bedenkingen bij dit alles?
[ Bericht 46% gewijzigd door zuiderbuur op 31-05-2008 14:59:12 ]
Ja ik zie het probleem. Aan het diagonaliseren kan ik zelf niet zoveel bijdragen, bij het normaliseren wellicht wel. De norm is gedefinieerd als sqrt(<x,x>). Tussendoor: in Z/5Z geldt dat 1²=1 en 4²=1, dus hoe is sqrt(1) gedefinieerd?
We nemen het inproduct met I. Bij tweedimensionale vectoren over Z/5Z krijg je een probleem. De enige kwadraten zijn 0, 1 en 4 (waarbij x²=0 alleen x=0 als oplossing heeft). Er moet voor een orthonormale vector [x y] gelden dat x²+y²=1 of x²+y²=4 (afhankelijk van het antwoord op bovenstaande wortelvraag). Dat kan slechts als x=0 of y=0. Oh maar dan is de diagonalisering wel erg flauw, want omdat (met A=PTDP) P inverteerbaar moet zijn, kan P geschreven worden als [a 0; 0 b] of als [0 a; b 0] (of zbda als I), zodat de oorspronkelijke matrix A een diagonaalmatrix moet zijn (mag ook over de andere diagonaal).
denkfouten voorbehouden
We nemen het inproduct met I. Bij tweedimensionale vectoren over Z/5Z krijg je een probleem. De enige kwadraten zijn 0, 1 en 4 (waarbij x²=0 alleen x=0 als oplossing heeft). Er moet voor een orthonormale vector [x y] gelden dat x²+y²=1 of x²+y²=4 (afhankelijk van het antwoord op bovenstaande wortelvraag). Dat kan slechts als x=0 of y=0. Oh maar dan is de diagonalisering wel erg flauw, want omdat (met A=PTDP) P inverteerbaar moet zijn, kan P geschreven worden als [a 0; 0 b] of als [0 a; b 0] (of zbda als I), zodat de oorspronkelijke matrix A een diagonaalmatrix moet zijn (mag ook over de andere diagonaal).
denkfouten voorbehouden
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Dit maakt geen deel uit van mijn kritiek. Want in het reële getal heb je dit ook als je een basis opstelt, je kan delen door de vierkantswortel of zijn tegengestelde. Bij eindige velden kan je gewoon kiezen...ALS er een wortel is. En het is nu net dat laatste wat niet altijd het geval is.quote:Op zaterdag 31 mei 2008 15:52 schreef GlowMouse het volgende:
Ja ik zie het probleem. Aan het diagonaliseren kan ik zelf niet zoveel bijdragen, bij het normaliseren wellicht wel. De norm is gedefinieerd als sqrt(<x,x>). Tussendoor: in Z/5Z geldt dat 1²=1 en 4²=1, dus hoe is sqrt(1) gedefinieerd?
Mag ik daaruit besluiten dat je mij gelijk geeft dat niet elke symmetrische matrix over een eindig veld (met oplosbare karakteristieke veelterm over dat veld, want ik wil niet flauw doen..) een orthonormale basis heeft ten opzichte waarvan hij een diagonaalvorm heeft.quote:We nemen het inproduct met I. Bij tweedimensionale vectoren over Z/5Z krijg je een probleem. De enige kwadraten zijn 0, 1 en 4 (waarbij x²=0 alleen x=0 als oplossing heeft). Er moet voor een orthonormale vector [x y] gelden dat x²+y²=1 of x²+y²=4 (afhankelijk van het antwoord op bovenstaande wortelvraag). Dat kan slechts als x=0 of y=0. Oh maar dan is de diagonalisering wel erg flauw, want omdat (met A=PTDP) P inverteerbaar moet zijn, kan P geschreven worden als [a 0; 0 b] of als [0 a; b 0] (of zbda als I), zodat de oorspronkelijke matrix A een diagonaalmatrix moet zijn (mag ook over de andere diagonaal).
denkfouten voorbehouden
Ik blijf het raar vinden dat men zo verslaafd is aan die techniek van diagonalisatie (los van het veld
). Het is veel meer dan wat je meestal wil, en de prijs laat zich dan ook doorrekenen (je probleem wordt een eigenwaardeprobleem...)
Het was meer een vraag omdat ik het zelf niet wist dan kritiek.quote:Op zaterdag 31 mei 2008 18:09 schreef zuiderbuur het volgende:
Dit maakt geen deel uit van mijn kritiek. Want in het reële getal heb je dit ook als je een basis opstelt, je kan delen door de vierkantswortel of zijn tegengestelde. Bij eindige velden kan je gewoon kiezen...ALS er een wortel is. En het is nu net dat laatste wat niet altijd het geval is.
Ja. Die matrix van jou was een voorbeeld: omdat hij gedefinieerd is over Z/5Z en geen diagonaalmatrix is, heeft hij geen orthonormale basis heeft ten opzichte waarvan hij een diagonaalvorm heeft.quote:Mag ik daaruit besluiten dat je mij gelijk geeft dat niet elke symmetrische matrix over een eindig veld (met oplosbare karakteristieke veelterm over dat veld, want ik wil niet flauw doen..) een orthonormale basis heeft ten opzichte waarvan hij een diagonaalvorm heeft.
Het is voor veel mensen denk ik de enige techniek die ze kennen. Zelfs meneer Haemers heeft mij geen andere techniek aangeleerdquote:Ik blijf het raar vinden dat men zo verslaafd is aan die techniek van diagonalisatie (los van het veld
Daarnaast is het vinden van eigenwaardes met een computer vrij snel te doen.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Wel een goeie vraag,omdat we bij het normeren van vectoren een uitgesproken "de" vierkantswortel hebben. Bij eindige velden heeft er geen enkele een voorkeur, als er al één is. Het eerste is meer luxe dan probleem, het tweede niet.quote:Op zaterdag 31 mei 2008 18:17 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
Het was meer een vraag omdat ik het zelf niet wist dan kritiek.
[..]
quote:Ja. Die matrix van jou was een voorbeeld: omdat hij gedefinieerd is over Z/5Z en geen diagonaalmatrix is, heeft hij geen orthonormale basis heeft ten opzichte waarvan hij een diagonaalvorm heeft.
Ik weet een simpel trucje, je neemt je symmetrisch matrix A, en je plakt er die vierkante matrix I naast:quote:Het is voor veel mensen denk ik de enige techniek die ze kennen. Zelfs meneer Haemers heeft mij geen andere techniek aangeleerd
A | I
nu doe je rijoperaties en kolomoperaties om eerst alles in eerste rij en kolom (op diagonaal na) nul te maken,
en dan in de tweede kolom en rij (opnieuw op de diagonaal na)
Je rijoperaties zet je ook over op de rechterhelft, de kolomoperaties niet
Het eindresultaat is :
D | C^t ,
met C de inverteerbare overgangsmatrix en D de diagonaalmatrix zodat C^t A C = D.
Tot nu toe is alles wat ik ken van professor Haemers wel ergens met eigenwaarden, dus dat verbaast me niets.
Inderdaad, eigenwaarden zoeken is met de computer te doen, maar een goeie oefening moet zonder computer ook te doen zijn.
Verder vind ik het vooral belangrijk voor het inzicht.
Zo is het helemaal niet nodig om eigenwaarden te gaan zoeken als je enkel in de signatuur van de symmetrische vorm geïnteresserd bent.
Mocht 'ie willenquote:Op zaterdag 31 mei 2008 18:35 schreef zuiderbuur het volgende:
professor Haemers
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ik heb me er ook over verbaasd. Inmiddels bouwt hij het aantal colleges dat hij geeft af, en hij wordt al wat ouder, dus het is de vraag of het er nog van komt.quote:Op zaterdag 31 mei 2008 20:13 schreef zuiderbuur het volgende:
[..]
Ik dacht echt dat hij dat al was. Hij is toch al redelijk prominent?
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
hè daar allemaal ben nieuw kan iemand mij vertellen hoe ik hier een topic kan beginnen
wat zal ik doen
Zie de policy, en als je het dan nog niet snapt, start je maar een topic in het feedbackforum
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
quote:Op zaterdag 31 mei 2008 21:02 schreef GlowMouse het volgende:
Zie de policy, en als je het dan nog niet snapt, start je maar een topic in het feedbackforum
Op dinsdag 13 maart 2007 15:37 schreef Tha-CheF het volgende:
rudedeltadude, wie heeft nou zo'n nickname !
Op vrijdag 6 maart 2009 00:34 schreef Gabbylicious het volgende:
Rudedeltatoedeloe :W
rudedeltadude, wie heeft nou zo'n nickname !
Op vrijdag 6 maart 2009 00:34 schreef Gabbylicious het volgende:
Rudedeltatoedeloe :W
Heeft iemand hier van de java programeer taal?
Ik moet namelijk een java applet maken van een schermpje met 3 druk knopjes, als je er dan op klikt moet er iets komen te staan.
Maar bij elke knop moet er een ander letter type komen.
Kan iemand mij helpen, hier onder staat de code, maar er staat nu een tekst vak naast de knop en als ik op de knop drukt gebeurt er niks...
[ Bericht 30% gewijzigd door GlowMouse op 01-06-2008 14:36:00 (code-tags) ]
Ik moet namelijk een java applet maken van een schermpje met 3 druk knopjes, als je er dan op klikt moet er iets komen te staan.
Maar bij elke knop moet er een ander letter type komen.
Kan iemand mij helpen, hier onder staat de code, maar er staat nu een tekst vak naast de knop en als ik op de knop drukt gebeurt er niks...
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 | import java.awt.*; import java.awt.event.*; import java.applet.*; /** * <p>Title: </p> * <p>Description: </p> * <p>Copyright: Copyright (c) 2008</p> * <p>Company: </p> * @author unascribed * @version 1.0 * * * * * */ // public class drukknop extends Applet { //declareren van het drukknopje Button knop; TextField tekstvak; Font Letter; Font Letter2; Font Letter3; //initialiseren van het drukknopje public void init() { Letter = new Font("serif", Font.PLAIN, 24); Letter2 = new Font("verdana", Font.PLAIN, 24); Letter3 = new Font("Comic sans", Font.PLAIN, 24); } { //Nieuwe knop met lettertype serif, en een tekstvak setFont( Letter ); knop = new Button(); knop.setLabel( "Dit is knop 1"); tekstvak = new TextField("dit is een tekstvak die bij knop 1 hoort",20); //toevoegen van de drukknop en tekstvak aan de applet add( knop); add (tekstvak); //Nieuwe knop setFont( Letter2 ); knop = new Button(); knop.setLabel( "Dit is knop 2"); tekstvak = new TextField("dit is een tekstvak die bij knop 2 hoort",20); //toevoegen van de drukknop en tekstvak aan de applet add( knop); add (tekstvak); //Nieuwe knop setFont( Letter3 ); knop = new Button(); knop.setLabel( "Dit is knop 3"); tekstvak = new TextField("dit is een tekstvak die bij knop 3 hoort",20); //toevoegen van de drukknop en tekstvak aan de applet add( knop); add (tekstvak); } //inwendige klasse class KnopHandler implements ActionListener { public void actionPerformed( ActionEvent e) { knop.setLabel("Bedankt voor het drukken op knop 1"); knop.setLabel("Bedankt voor het drukken op knop 2"); knop.setLabel("Bedankt voor het drukken op knop 3"); tekstvak.setText("je heb geklikt"); } } } |
[ Bericht 30% gewijzigd door GlowMouse op 01-06-2008 14:36:00 (code-tags) ]
Rise Against site.. Come join us!
PSN: MoodChange
PSN: MoodChange
a: dit is niet écht bèta - lijkt me zoquote:Op zondag 1 juni 2008 14:10 schreef Chaos-Zero het volgende:
Heeft iemand hier van de java programeer taal?
Ik moet namelijk een java applet maken van een schermpje met 3 druk knopjes, als je er dan op klikt moet er iets komen te staan.
Maar bij elke knop moet er een ander letter type komen.
Kan iemand mij helpen, hier onder staat de code, maar er staat nu een tekst vak naast de knop en als ik op de knop drukt gebeurt er niks...
b: doe je code eens in code tags
dit ziet er echt niet uitc: je bouwt wel actionlisteners maar je zegt niet waar ze naar moeten luisteren, dus zoek daar nog eventjes op
quote:In een vat komt 600 gr water van 70˚C en 200 gr ijs van 0˚C. Er zijn geen warmte verliezen naar de omgeving.Wat wordt de temperatuur van het ‘mengsel’? Hoeveel energie zou er nodig zijn om het ‘mengsel’ te verwarmen tot opnieuw 70˚C.
Zou iemand mij hiermee kunnen helpen? zou het erg op prijs stellen.quote:Een mengsel (100 mol) van 20% pentaan, 30% hexaan en 50% heptaan wordt middels distillatie, in 2 stappen, gescheiden. Het bodemproduct van de eerste stap bestaat uit 48 mol (2% pentaan, 5% hexaan en de rest heptaan). Het topproduct wordt in een tweede stap verder gescheiden. Het topproduct van de tweede stap bestaat uit 95% pentaan en 5 % hexaan. 90% van de pentaan uit het topproduct van de eerste distillatie komt ook in het topproduct van de tweede distillatie terecht.Maak een schema van het proces en nummer de stromen Bereken de grootte van de stromen Bepaal de samenstelling van het bodemproduct van de tweede distillatie
Long live music.
