SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
with(numtheory);sigma(49);quote:Op zondag 20 juli 2008 12:54 schreef GlowMouse het volgende:
Aggh, ik helemaal een Excel-slide gemaakt om snel sigma(n) uit te kunnen rekenen, pas ik het aan voor grote getallen, vergeet ik dat op één plek. Ik zie nu ook waar die somrij vandaan komt
[..]
in maple volstaat hoor
Ik zit op een regenachtige dag op m'n werk dus is er geen zak te doen, en toen bedacht ik mij het volgende...
A - Er zijn evenveel even als oneven getallen, bewijs:
2 4 6 8 10 12 14 16 enz.
Dit zijn alle even getallen. Trek van elk getal in deze reeks 1 af:
1 3 5 7 9 11 13 15 enz.
Elk getal in de bovenste reeks kan je koppelen aan 1 in de onderste reeks, conclusie, evenveel
B - Alle gehele getallen zijn opgebouwd uit even en oneven getallen, waarvan er van elk evenveel zijn
C - Er zijn evenveel even als gehele getallen, bewijs:
2 4 6 8 10 12 14 16 enz.
Noem het eerste getal 1, het tweede getal 2, het derde 3, enz. Conclusie, er zijn evenveel even als
gehele getallen.
Dit is dan toch uiteindelijk een tegenspraak? Waar ga ik de fout in?
A - Er zijn evenveel even als oneven getallen, bewijs:
2 4 6 8 10 12 14 16 enz.
Dit zijn alle even getallen. Trek van elk getal in deze reeks 1 af:
1 3 5 7 9 11 13 15 enz.
Elk getal in de bovenste reeks kan je koppelen aan 1 in de onderste reeks, conclusie, evenveel
B - Alle gehele getallen zijn opgebouwd uit even en oneven getallen, waarvan er van elk evenveel zijn
C - Er zijn evenveel even als gehele getallen, bewijs:
2 4 6 8 10 12 14 16 enz.
Noem het eerste getal 1, het tweede getal 2, het derde 3, enz. Conclusie, er zijn evenveel even als
gehele getallen.
Dit is dan toch uiteindelijk een tegenspraak? Waar ga ik de fout in?
Daar is helemaal geen tegenspraak in te bespeurenquote:Op zondag 20 juli 2008 17:47 schreef McGilles het volgende:
Ik zit op een regenachtige dag op m'n werk dus is er geen zak te doen, en toen bedacht ik mij het volgende...
A - Er zijn evenveel even als oneven getallen, bewijs:
2 4 6 8 10 12 14 16 enz.
Dit zijn alle even getallen. Trek van elk getal in deze reeks 1 af:
1 3 5 7 9 11 13 15 enz.
Elk getal in de bovenste reeks kan je koppelen aan 1 in de onderste reeks, conclusie, evenveel
B - Alle gehele getallen zijn opgebouwd uit even en oneven getallen, waarvan er van elk evenveel zijn
C - Er zijn evenveel even als gehele getallen, bewijs:
2 4 6 8 10 12 14 16 enz.
Noem het eerste getal 1, het tweede getal 2, het derde 3, enz. Conclusie, er zijn evenveel even als
gehele getallen.
Dit is dan toch uiteindelijk een tegenspraak? Waar ga ik de fout in?
. Een oneindige verzameling kan even veel elementen bevatten als een verzameling die daarin zit.Dat maakt oneindige verzamelingen zo fundamenteel verschillend van eindige.
(Ik weet er maar heel weinig van, maar dat soort vraagstukken is een heel aparte tak van de wiskunde, met begrippen als overaftelbaarheid, keuze-axioma,...)
Tja, ik vind het maar lastig.quote:Op zondag 20 juli 2008 17:56 schreef zuiderbuur het volgende:
[..]
Daar is helemaal geen tegenspraak in te bespeuren
Dat maakt oneindige verzamelingen zo fundamenteel verschillend van eindige.
(Ik weet er maar heel weinig van, maar dat soort vraagstukken is een heel aparte tak van de wiskunde, met begrippen als overaftelbaarheid, keuze-axioma,...)
Ik dacht, stel dat ik het aantal even getallen 'a' noem, dan is het aantal oneven getallen ook 'a'. Dus het aantal elementen in de verzameling, gehele getallen is '2a'. Nu zegt stelling 'C' dat er evenveel even getallen bestaan als gehele getallen, maar 2a is niet gelijk aan a.
Al die rekenregels zijn niet meer geldig als je niet meer "echte" getallen bezig bent!quote:Op zondag 20 juli 2008 18:01 schreef McGilles het volgende:
[..]
Tja, ik vind het maar lastig.
Ik dacht, stel dat ik het aantal even getallen 'a' noem, dan is het aantal oneven getallen ook 'a'. Dus het aantal elementen in de verzameling, gehele getallen is '2a'. Nu zegt stelling 'C' dat er evenveel even getallen bestaan als gehele getallen, maar 2a is niet gelijk aan a.
Nee, daar kwam ik ook achterquote:Op zondag 20 juli 2008 18:13 schreef zuiderbuur het volgende:
[..]
Al die rekenregels zijn niet meer geldig als je niet meer "echte" getallen bezig bent!
Er is geen tegenspraak, zoals hier al is opgemerkt, omdat je met oneindige verzamelingen van doen hebt. Op een soortgelijke manier kun je ook aantonen dat er 'evenveel' rationale getallen als gehele getallen zijn, terwijl dat voor ons 'gevoel' niet klopt omdat de verzameling Z van de gehele getallen een deelverzameling is van de verzameling Q van rationale getallen. Deze verzamelingen zijn aftelbaar, terwijl bijv. de verzameling R van reële getallen niet aftelbaar is. Met Cantor wordt de machtigheid van aftelbare verzamelingen aangeduid met א0 en die van de verzameling reële getallen met א1 (De indices moeten rechts van de alef staan, maar dat lukt me nu even niet, de editor is too smart for its own good).quote:Op zondag 20 juli 2008 17:47 schreef McGilles het volgende:
Ik zit op een regenachtige dag op m'n werk dus is er geen zak te doen, en toen bedacht ik mij het volgende...
A - Er zijn evenveel even als oneven getallen, bewijs:
2 4 6 8 10 12 14 16 enz.
Dit zijn alle even getallen. Trek van elk getal in deze reeks 1 af:
1 3 5 7 9 11 13 15 enz.
Elk getal in de bovenste reeks kan je koppelen aan 1 in de onderste reeks, conclusie, evenveel
B - Alle gehele getallen zijn opgebouwd uit even en oneven getallen, waarvan er van elk evenveel zijn
C - Er zijn evenveel even als gehele getallen, bewijs:
2 4 6 8 10 12 14 16 enz.
Noem het eerste getal 1, het tweede getal 2, het derde 3, enz. Conclusie, er zijn evenveel even als
gehele getallen.
Dit is dan toch uiteindelijk een tegenspraak? Waar ga ik de fout in?
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 20-07-2008 22:12:44 ]
Zij G de ondergroep van S7 voortgebracht door a = (1 2 3 4 5 6 7) en b = (1 2 4)(3 6 5). Wat is het kleinste natuurlijke getal n waarvoor een injectief homomorfisme G -> Sn bestaat?
Dor dat element a zal de orde van G deelbaar zijn door zeven. n! zal dus moeten deelbaar zijn door G en bijgevolg ook door zeven. Dus moet n minstens zeven zijn?quote:Op maandag 21 juli 2008 18:38 schreef spinor het volgende:
Zij G de ondergroep van S7 voortgebracht door a = (1 2 3 4 5 6 7) en b = (1 2 4)(3 6 5). Wat is het kleinste natuurlijke getal n waarvoor een injectief homomorfisme G -> Sn bestaat?
Of mis ik iets?
Dat was ook wat ik dacht, maar ik was bang dat ik iets over het hoofd zag... het leek te simpel ofzo.quote:Op maandag 21 juli 2008 18:59 schreef zuiderbuur het volgende:
[..]
Dor dat element a zal de orde van G deelbaar zijn door zeven. n! zal dus moeten deelbaar zijn door G en bijgevolg ook door zeven. Dus moet n minstens zeven zijn?
Of mis ik iets?
Andere vraag:
Hoe bepaal ik de conjugatieklassen van G?
Op gelijke noemer zetten.quote:Op maandag 21 juli 2008 20:25 schreef nickybol het volgende:
1/(a-3)-1/(a+3)=6/a^2-9
Hoe? Hoe moet ik op dat antwoord komen?
In het algemeen moet je bij zo'n som :
a/b + c/d dit doen :
a*d/(b*d) +(b*c)/(d*b)
Beginnen met het sommetje correct over te nemen. En dan de breuken gelijknamig maken. Eigenlijk is dat lagere school werk (maar ja die bestaat geloof ik ook al niet meer...).quote:Op maandag 21 juli 2008 20:25 schreef nickybol het volgende:
1/(a-3)-1/(a+3)=6/a^2-9
Hoe? Hoe moet ik op dat antwoord komen?
Ach ja, op de universiteit hebben wat oudere docenten het ook nog wel eens over 'partieel integreren van de middelbare school' en 'vegen van een stelsel als op de middelbare school'. Valt weinig aan te doen verder
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Is daar dan iets fout aan als ze dat zeggen?quote:Op maandag 21 juli 2008 22:21 schreef GlowMouse het volgende:
Ach ja, op de universiteit hebben wat oudere docenten het ook nog wel eens over 'partieel integreren van de middelbare school' en 'vegen van een stelsel als op de middelbare school'. Valt weinig aan te doen verder
Zij zullen het ongetwijfeld op de middelbare school gehad hebben, en dat toont aan dat de middelbareschoolstof aan verandering onderhevig is. In de genoemde gevallen hier is dat bijzonder slecht, maar er zijn helaas mensen die daar anders over denken. En aangezien die het voor het zeggen hebben, moeten we er maar mee om leren gaanquote:Op maandag 21 juli 2008 22:25 schreef zuiderbuur het volgende:
[..]
Is daar dan iets fout aan als ze dat zeggen?
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
O, bij ons zijn stelsels en partieelbreuken bij integratie verplichte stof in respectievelijk het voorlaatste en het laatste jaar van de middelbare school.quote:Op dinsdag 22 juli 2008 01:37 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
Zij zullen het ongetwijfeld op de middelbare school gehad hebben, en dat toont aan dat de middelbareschoolstof aan verandering onderhevig is. In de genoemde gevallen hier is dat bijzonder slecht, maar er zijn helaas mensen die daar anders over denken. En aangezien die het voor het zeggen hebben, moeten we er maar mee om leren gaan
Is dit geen Vlaams-Nederlandse spraakverwarring? (partial integration ofwel integration by parts vs. partial fractions).quote:Op dinsdag 22 juli 2008 11:39 schreef zuiderbuur het volgende:
[..]
O, bij ons zijn stelsels en partieelbreuken bij integratie verplichte stof in respectievelijk het voorlaatste en het laatste jaar van de middelbare school.
Neen, gewoon ik die al heel de tijd te vlug wil lezen.quote:Op dinsdag 22 juli 2008 20:12 schreef Riparius het volgende:
[..]
Is dit geen Vlaams-Nederlandse spraakverwarring? (partial integration ofwel integration by parts vs. partial fractions).
Maar het maakt niet uit, want zowel integratie via partieelbreuken als partiële integratie waren verplicht op het einde van de middelbare school bij ons.( Ik zat wel in een richting met acht uren wiskunde per week.) Is dat anders bij jullie?
Precies weet ik het niet, maar toen ik op school zat wel, dat kwam beide aan bod in het laatste jaar. Maar dat is wel heel lang geleden hoor. Toen ik enkele jaren geleden nog iemand bijles gaf kwam het geen van beide meer aan de orde. Geen wonder dat veel mensen in de grensstreek hun kinderen tegenwoordig naar Vlaamse scholen sturen ...
Op het gebied van wiskunde is het in sommige richting misschien beter dan in de Nederlandse scholen, maar laat ons zeggen dat de afgeleide hier bij ons ook negatief is.quote:Op dinsdag 22 juli 2008 20:22 schreef Riparius het volgende:
Precies weet ik het niet, maar toen ik op school zat wel, dat kwam beide aan bod in het laatste jaar. Maar dat is wel heel lang geleden hoor. Toen ik enkele jaren geleden nog iemand bijles gaf kwam het geen van beide meer aan de orde. Geen wonder dat veel mensen in de grensstreek hun kinderen tegenwoordig naar Vlaamse scholen sturen ...
Mijn leraar klaagde in mijn laatste jaar dat ze nog veel meer integralen moesten kennen, en ook oefeningen deden op partieelbreuken met een noemer van bijvoorbeeld graad vijf.... ondertussen zou het een perverse orgie geworden zijn waarin alles op maat van het rekentoestel gaat.
Aan de universiteit is het gelukkig nog niet zo ver bij ons. In de laatste twee van mjin universitaire opleiding wist ik maar amper waar ik mijn rekentoestel gelaten had.
Op de lagere school hielden wij ons bezig met "realistisch rekenen" en meer van dat soort onzin...met als gevolg dat ik nu een heleboel knoppen kan indrukken op de grafische rekenmachine, maar niets weet van basiswiskunde.quote:Op maandag 21 juli 2008 22:12 schreef Riparius het volgende:
[..]
Beginnen met het sommetje correct over te nemen. En dan de breuken gelijknamig maken. Eigenlijk is dat lagere school werk (maar ja die bestaat geloof ik ook al niet meer...).
Op jouw manier kom ik uit op ((2a+6)/(a^2-9))-((a-3)/(a^2-9))=(a+9)/(a^2-9)=9/(a-9), maar dat is natuurlijk niet goed. Wat doe ik fout?quote:Op maandag 21 juli 2008 20:41 schreef zuiderbuur het volgende:
[..]
Op gelijke noemer zetten.
In het algemeen moet je bij zo'n som :
a/b + c/d dit doen :
a*d/(b*d) +(b*c)/(d*b)
Ja, dat is mij maar al te goed bekend. Veel kinderen die nu van de lagere school komen weten kennelijk niet eens hoe je 1/6 + 1/3 = 1/2 met potlood en papier uitrekent. De Amsterdamse hoogleraar Jan van de Craats heeft daar al heel wat over geschreven, lees bijvoorbeeld op zijn website maar eens zijn stuk Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen.quote:Op dinsdag 22 juli 2008 21:13 schreef nickybol het volgende:
[..]
Op de lagere school hielden wij ons bezig met "realistisch rekenen" en meer van dat soort onzin...met als gevolg dat ik nu een heleboel knoppen kan indrukken op de grafische rekenmachine, maar niets weet van basiswiskunde.
Klopt, ik ben nu bezig uit zijn boek "Basisboek wiskunde". Goed boek, maar een beetje weinig uitleg, daarom vraag ik jullie hier af en toe.quote:Op dinsdag 22 juli 2008 21:31 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ja, dat is mij maar al te goed bekend. Veel kinderen die nu van de lagere school komen weten kennelijk niet eens hoe je 1/6 + 1/3 = 1/2 met potlood en papier uitrekent. De Amsterdamse hoogleraar Jan van de Craats heeft daar al heel wat over geschreven, lees bijvoorbeeld op zijn website maar eens zijn stuk Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen.
