[Bčta] 'Huiswerk- en vragentopic'

quote:

Op woensdag 20 februari 2008 22:13 schreef GlowMouse het volgende:
C vroeg je gisteren ook al: ∫sqrt(1-x˛)dx = x*sqrt(1-x˛) - 1/2* ∫ x/sqrt(1-x˛)dx (partieel integreren met f'(x) = 1).

Ik kom daar niet op uit;
als je f'=1 neemt volgt f=x
g=sqrt(1-x^2) en g'=2x/2(sqrt(1-x^2) en dus g'=x/sqrt(1-x^2)

dan moet je een nieuwe integraal uitrekenen van x^2/sqrt(1-x^2) dx en ben je alleen maar verder van huis.

[ Bericht 10% gewijzigd door Borizzz op 21-02-2008 10:22:32 ]

ik ben wel uit f(x) = sin(x+sin(x)) gekomen.
Als deze getekend wordt zie je dat f(x) puntsymmetrisch is in O.
Dus het antwoord van de integraal (van -10 tot 10) is 0.

Enig probleem is nog de integraal bij f(x)=sqrt(1-x^2). Er zijn twee uitwerkingen gegeven die ik niet tot op het einde kan volgen...

quote:

Op donderdag 21 februari 2008 14:56 schreef Borizzz het volgende:
ik ben wel uit f(x) = sin(x+sin(x)) gekomen.
Als deze getekend wordt zie je dat f(x) puntsymmetrisch is in O.
Dus het antwoord van de integraal (van -10 tot 10) is 0.

Enig probleem is nog de integraal bij f(x)=sqrt(1-x^2). Er zijn twee uitwerkingen gegeven die ik niet tot op het einde kan volgen...

Misschien heb je wat aan deze site:

SOS math , en in het bijzonder

Goniometrische substitutie

Staan hele handige dingen op Om jouw voorbeeldje erbij te pakken:

∫ [1-x²]^1/2 dx.

Je ziet een wortel-teken en een kwadraat, dus dan zou ik een goniometrische substitutie proberen. Neem x(t) = sin(t), dx= cos(t)dt. Dan wordt je integraal

∫ [1-sin² t ] ^1/2 cos(t)dt

En dit is, gebruikende dat sin² + cos² = 1, gelijk aan

∫ cos³tdt

Deze kun je op verschillende manieren oplossen; uitschrijven als complexe e-macht of simpelweg een simpele goniometrische relatie gebruiken. Daarna schrijf je het weer om naar x. Vergeet niet je integratiegrenzen mee te transformeren

Volgens mij heb je gelijk dat die partiele integratie niet goed gaat. Als er alleen een x bijkwam kon je natuurlijk gewoon de substitutie u=x² maken, maar nu zit je al met een x² in de teller van je tweede integraal na partiele integratie.

Even expliciet die partiele integratie:

∫ ug' = ug| -∫ u'g

Als ik u = (1-x²)^1/2 neem en g'=1, dan

u'= -x/(1-x²))^1/2)

g=x

Dus ∫ (1-x²)^1/2 dx = x*(1-x²)^1/2 + ∫ x²/(1-x²)^1/2 dx

Nou kun je die tweede integraal denk ik wel weer met nog een partiele integratie oplossen: neem

u =x

g'= x/(1-x²)^1/2

Die tweede kun je weer oplossen met de substitutie z(x) = 1-x², dz = -2x, maar dan krijg je weer een integraal die gaat als 1/(1-x²)^3/2... dus dat schiet ook niet op. Ik denk dat ik wat over het hoofd zie

quote:

Op donderdag 21 februari 2008 14:56 schreef Borizzz het volgende:
ik ben wel uit f(x) = sin(x+sin(x)) gekomen.
Als deze getekend wordt zie je dat f(x) puntsymmetrisch is in O.
Dus het antwoord van de integraal (van -10 tot 10) is 0.

Enig probleem is nog de integraal bij f(x)=sqrt(1-x^2). Er zijn twee uitwerkingen gegeven die ik niet tot op het einde kan volgen...

Dat je moest integreren van -10 tot 10 heb je er volgens mij niet bij gezegd.

quote:

Op donderdag 21 februari 2008 16:14 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Misschien heb je wat aan deze site:

SOS math , en in het bijzonder

Goniometrische substitutie

Staan hele handige dingen op Om jouw voorbeeldje erbij te pakken:

∫ [1-x²]^1/2 dx.

Je ziet een wortel-teken en een kwadraat, dus dan zou ik een goniometrische substitutie proberen. Neem x(t) = sin(t), dx= cos(t)dt. Dan wordt je integraal

∫ [1-sin² t ] ^1/2 cos(t)dt

En dit is, gebruikende dat sin² + cos² = 1, gelijk aan

∫ cos³tdt

Deze kun je op verschillende manieren oplossen; uitschrijven als complexe e-macht of simpelweg een simpele goniometrische relatie gebruiken. Daarna schrijf je het weer om naar x. Vergeet niet je integratiegrenzen mee te transformeren

Volgens mij heb je gelijk dat die partiele integratie niet goed gaat. Als er alleen een x bijkwam kon je natuurlijk gewoon de substitutie u=x² maken, maar nu zit je al met een x² in de teller van je tweede integraal na partiele integratie.

Dit gaat niet helemaal goed, die cos³t klopt niet.

Substitutie x = sin t geeft dx/dt = cos t en dan krijgen we:

∫ cos²t∙dt

Deze integraal kun je verder behandelen door gebruik te maken van de identiteit:

cos 2t = 2∙cos² t - 1, dus:

cos²t = ½ + ½∙cos 2t

edit: lamazittuh.

[ Bericht 22% gewijzigd door harrypiel op 21-02-2008 20:58:01 ]

quote:

Op donderdag 21 februari 2008 16:33 schreef Haushofer het volgende:
Even expliciet die partiele integratie:

∫ ug' = ug| -∫ u'g

Als ik u = (1-x²)^1/2 neem en g'=1, dan

u'= -x/(1-x²))^1/2)

g=x

Dus ∫ (1-x²)^1/2 dx = x*(1-x²)^1/2 + ∫ x²/(1-x²)^1/2 dx

Nou kun je die tweede integraal denk ik wel weer met nog een partiele integratie oplossen

Dit gaat al een eind in de goede richting, maar nu moet je x²/(1-x²)^1/2 opvatten als het product van x en x/(1-x²)^1/2. Zie je dat?

Ik heb de vergelijking x²+y²-4x-6y+14=0
Via het andwoordenboek weet ik dat ik dit via kwadraatafsplitsing kan opschrijven als
(x-2)²+(y-3)²=-1

Als ik dit zie, snap ik dat je aan x²+y²-4x-6y+14=0 kunt komen. Maar zie ik alleen de vergelijking lukt het me niet om het kwadraat af te splitsen.

Kan iemand mij dit eens uitleggen?

quote:

Op donderdag 21 februari 2008 21:29 schreef tankertuig het volgende:
Ik heb de vergelijking x²+y²-4x-6y+14=0
Via het andwoordenboek weet ik dat ik dit via kwadraatafsplitsing kan opschrijven als
(x-2)²+(y-3)²=-1

Als ik dit zie, snap ik dat je aan x²+y²-4x-6y+14=0 kunt komen. Maar zie ik alleen de vergelijking lukt het me niet om het kwadraat af te splitsen.

Kan iemand mij dit eens uitleggen?

Heel eenvoudig. Je maakt gebruik van het merkwaardig product

(a+b)² = a² + 2ab + b²

Nemen we eerst de termen met x. Hier heb je:

x² - 4x

Halveer de coëfficient van x en kwadrateer dit, dan heb je 4, en dus ook:

x² - 4x + 4 = (x-2)²

Op dezelfde wijze heb je:

y² - 6y + 9 = (y-3)²

Het idee is nu dat je

x² + y² - 4x - 6y + 14 = 0

Herschrijft als:

(x² - 4x + 4) + (y² - 6y + 9) +1= 0

En dit kun je dan schrijven als:

(x-2)² + (y-3)² + 1 = 0

okee... zoals het hier staat lijkt het me simpel. maar dan probeer ik het volgende:

x²+y²+4x-2y+1=0

dus als ik het doe zoals jij zei krijg ik

(x²+4x+4)+(y²-2y+1)+1=0
(x+2)²+(y+1)²+1=0

Maar volgens mij is dit niet goed. Wat doe ik hier fout?

quote:

Op donderdag 21 februari 2008 22:08 schreef tankertuig het volgende:
okee... zoals het hier staat lijkt het me simpel. maar dan probeer ik het volgende:

x²+y²+4x-2y+1=0

dus als ik het doe zoals jij zei krijg ik

(x²+4x+4)+(y²-2y+1)+1=0
(x+2)²+(y+1)²+1=0

Maar volgens mij is dit niet goed. Wat doe ik hier fout?

Daar ging het fout. Die +4 en die +1 moeten gecompenseerd worden door hetzelfde in het rechterlid, ds

(x+2)^2 +(y-1)^2+1=4+1

quote:

Op donderdag 21 februari 2008 22:08 schreef tankertuig het volgende:
okee... zoals het hier staat lijkt het me simpel. maar dan probeer ik het volgende:

x²+y²+4x-2y+1=0

dus als ik het doe zoals jij zei krijg ik

(x²+4x+4)+(y²-2y+1)+1=0
(x+2)²+(y+1)²+1=0

Maar volgens mij is dit niet goed. Wat doe ik hier fout?

Ik had bij de vorige opgave die constante 14 opgesplitst in 4 + 9 + 1. Zoals jij het hier doet tel je bij het linkerlid 4 + 1 = 5 op. Maar als je dat links doet, dan moet je dat rechts ook doen, dus krijg je:

(x + 2)² + (y - 1)² + 1 = 5

Let ook op het minteken in de tweede term, dat deed je ook fout.

Tankertuig,

We hebben jouw uitdrukking: x^2+y^2+4x-2y+1=0

haal alle variabelen van dezelfde soort bij elkaar: x^2 +4x +y^2 -2y + 1 = 0
Wat je met de +1 doet, moet je nog even over puzzelen.
Het belangrijkste waar je je nu op moet concentreren is de variabele van graad 1 (de 4x en de -2y in ons geval).
De coefficient hiervan is namelijk een som van twee getallen a en b. Er geldt dus 4 = a+b. Kijk nu naar de variabele van graad 0, ofwel de constante factor (+1). Voor deze 1 geldt dat dit een product is van diezelfde twee getallen a en b als voorheen. We hebben dus 1 = ab en 4 = a+b. Als je handig bent met getalletjes zie je dat je hier geen gehele getallen als oplossing hebt voor a en b. Hmm. Gelukkig hebben we ook nog een andere variabele, de y. Kijken we daar dus naar, dan zien we dat er moet gelden: 1 = ab en -2 = a+b. We zien in dat er geldt a = b = -1.
We kunnen de (deel)uitdrukking y^2 -2y + 1 dus terugontbinden in (y-1)(y-1) = (y-1)^2

Voor jouw uitdrukking geldt dus: x^2 +4x +y^2 -2y + 1 = x^2 +4x + (y-1)^2 = 0

*edit* Hmm. Kzie nu dat je begint met een "verkeerde" uitdrukking. Riparius heeft het al voor je ontbonden.

We kunnen nu ook nog de x voor de haakjes halen als je wilt: x(x+4) + (y-1)^2 = 0

quote:

Op donderdag 21 februari 2008 20:35 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit gaat al een eind in de goede richting, maar nu moet je x²/(1-x²)^1/2 opvatten als het product van x en x/(1-x²)^1/2. Zie je dat?

Ja, dat zie ik, dat post ik er onder.

En ik had inderdaad een macht van cosinus teveel.

quote:

Op vrijdag 22 februari 2008 01:23 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Ja, dat zie ik, dat post ik er onder.

En ik had inderdaad een macht van cosinus teveel.

Het gaat ook als volgt als je met partiële integratie wil werken. We hadden al:

(1) ∫ (1-x²)^1/2 dx = x*(1-x²)^1/2 + ∫ x²/(1-x²)^1/2 dx

Nu geldt ook:

(1 - x²)^1/2 = (1 - x²)/(1 - x²)^1/2 = 1/(1 - x²)^1/2 - x²/(1 - x²)^1/2

En dus ook:

(2) ∫(1 - x²)^1/2dx = ∫1/(1 - x²)^1/2dx - ∫x²/(1 - x²)^1/2dx

Optellen van (1) en (2) levert dan:

(3) 2*∫(1 - x²)^1/2dx = ∫1/(1 - x²)^1/2dx + x*(1-x²)^1/2

En dus:

(4) ∫(1 - x²)^1/2dx = 1/2*∫1/(1 - x²)^1/2dx + 1/2*x*(1-x²)^1/2

De resterende integraal in het rechterlid is een standaardintegraal, arcsin x is een primitieve van 1/(1-x²)^1/2, dus vinden we:

(5) ∫(1 - x²)^1/2dx = 1/2*arcsin x + 1/2*x*(1-x²)^1/2 + C

Mja, 't is altijd even puzzelen met dit soort integralen De laatste tijd reken ik vooral met functionaalintegralen (standaardmodel) en dan ben je niet meer zo kritisch over een factor zoveel teveel. Als het beestje convergeert ben je al heul tevreden

Ik heb inmiddels al meerdere oplossingen voor de integraal van f(x)=sqrt(1-x^2) dx; bedankt.
Maar, eigenwijs als ik soms ben, heb ik de volgende methode nog niet helemaal scherp.

neem als subsitutie y=sin(t). dan volgt: dy=cos(t) dt en ook t=arcsin(t).
dus f(x)= sqrt(1-sin^2(t) = cos(t)dt
dus we zoeken int. cos^2(t) dt
Int. cos^2dt = 1-sin^2(t) dt
= (1-(0,5-0,5cos(2t)) dt
= 0,5 + 0,5cos(2t) dt
hier dan de primitieve van:
0,5t + 0,25sin(2t).
Nu komt het probleem; het terugzetten naar functie van x:
t=arcsin (x)
0,5t=0,5arcsin(x).
maar hoe kan ik de vorm 0,25sin(2t) omzetten naar functie van x?

quote:

Op zaterdag 23 februari 2008 13:44 schreef Borizzz het volgende:
Ik heb inmiddels al meerdere oplossingen voor de integraal van f(x)=sqrt(1-x^2) dx; bedankt.
Maar, eigenwijs als ik soms ben, heb ik de volgende methode nog niet helemaal scherp.

neem als subsitutie y=sin(t). dan volgt: dy=cos(t) dt en ook t=arcsin(t).
dus f(x)= sqrt(1-sin^2(t) = cos(t)dt
dus we zoeken int. cos^2(t) dt
Int. cos^2dt = 1-sin^2(t) dt
= (1-(0,5-0,5cos(2t)) dt
= 0,5 + 0,5cos(2t) dt
hier dan de primitieve van:
0,5t + 0,25sin(2t).
Nu komt het probleem; het terugzetten naar functie van x:
t=arcsin (x)
0,5t=0,5arcsin(x).
maar hoe kan ik de vorm 0,25sin(2t) omzetten naar functie van x?

Je weet
x= cos(t)
sqrt(1-x^2)=sin(t)

En dus :

x= cos(t)
sqrt(1-x^2)=sin(t)

Hoezo weet je dit? neemt y=sin(t) als substitutie.

quote:

Op zaterdag 23 februari 2008 14:00 schreef Borizzz het volgende:
x= cos(t)
sqrt(1-x^2)=sin(t)

Hoezo weet je dit? neemt y=sin(t) als substitutie.

Ik gebruik helemaal geen y, ik snap ook niet waarom jij doet.

welke subsitutie doe jij dan?

quote:

Op zaterdag 23 februari 2008 14:04 schreef Borizzz het volgende:
welke subsitutie doe jij dan?

Wel :
x= cos(t) !

[ Bericht 100% gewijzigd door Borizzz op 23-02-2008 16:44:14 ]

Oké ik heb m al; bedankt!
Er is nog wel iets anders over het bewijzen dat limieten bestaan met behulp van de limietdefinitie o<|x-a| < d dan | f(x)-L| < E (met d=delta en E=epsilon).

Hoe laat je dan zien dat de volgende limieten bestaan:
A: lim(x->2) van (x-2)/(1+x^2) =0
B: lim(x->1) van sqrt(x) = 1
C: lim(x-> 3) van x^2+x-4 = 8

Ik snap t hele systeem hiervan ook niet meer zo.

[ Bericht 89% gewijzigd door Borizzz op 23-02-2008 14:32:15 ]