[Centraal] Bèta huiswerk en vragen topic

Scheikunde vraagje:
Geef de massa-, energie- en volumebalans van waterstof verkregen door duurzame energie.

Nou is scheikunde al niet mijn sterkste vak en de docent zegt dat het zo simpel is, maar ik kan het nergens vinden.

_{zie je wel, valt best mee}

vanochtend tentamen kansrekening gehad. Heb volgens mij wel gehaald wat ik moest halen (een 5). Waren voornamelijk vragen in de vorm van: laat zien dat ... gelijk is aan ... En als je daar dan op uitkomt, dan zal je berekening ook wel goed zijn (is mijn redenatie).

Heb alleen wel één vraag waar ik niet zeker van wist of ik em goed heb. Blijf moeite houden met dat specifieke onderwerp. Het gaat om het volgende,

X₁, X₂, X₃, ... zijn onafhankelijke stochasten uniform verdeeld op (0,1). Definieer nu:

Y_n = min X_i, voor 1<= i <=n

Wat is de verdelingsfunctie van Y_n?

Ik heb het volgende gedaan:

P(Y_n <= y) = P(min X_i <= y) = P(X₁ <=y, X₂ <=y,..., X_n <=y ) = P(X₁ <=y)*P(X₂ <=y)***P(X_n <=y)

= [f_X(x)]ⁿ
= 1ⁿ
= 1

Dus Y_n is uniform verdeeld op (0,1). Klopt dit???

Helaas, dat klopt niet. De tweede gelijkheid gaat niet op (P(min Xi <= y) = P(X1 <=y, X2 <=y,..., Xn <=y )).
Verderop gaat het nog een keer fout omdat je voor die kansen niet de pdf maar de cdf nodig hebt.

Uit mijn hoofd is 1-[1-F(y)]ⁿ wel goed om de CDF van min Xi te krijgen. Dat is 1 minus de kans dat ze allemaal groter zijn dan y. Het complement van 'allemaal groter dan y' is immers 'tenminste eentje kleiner dan y'.

Er bestaat trouwens een algemene formule om de pdf van iedere order statistic (de i-de order statistic is het i-de element dat je zou krijgen wanneer je alle stochasten op een rij zou zetten van klein naar groot) te vinden. Die is te vinden op wikipedia.

[ Bericht 4% gewijzigd door GlowMouse op 04-07-2007 14:11:31 ]

tvp

Ik ben een beetje bezig met de inverse van functies te berekenen en opzich lukt dat wel aardig. Echter heb ik nu een 2e graads functie voor me waarbij het me niet lukt....Dit heb ik zelf geprobeerd:

y = x^2 - 2x + 2
x = y^2 - 2y + 2
x-2 = y^2 -2y
wortel(x-2) = y-2y
wortel(x-2) = y(1-2) nu beide kanten door (1-2), oftewel -1 delen
wortel(x-2)/-1 = y

Dus bij mij is het antwoord y_inverse = wortel(x-2)/-1

Maar dit klopt uiteraard niet (ik heb zelf wat getallen bij beide ingevuld en zo). Volgens Maple is het correcte antwoord 1+wortel(x-1)...

Waar oh waar maak ik een domme fout?

[ Bericht 1% gewijzigd door H4ze op 05-07-2007 15:52:53 ]

x-2 = y^2 -2y
wortel(x-2) = y-2y

Deze stap klopt niet volgens mij.

Bedenk ook dat het vinden van de inverse niet zal lukken wanneer de functie op alle reële getallen is gedefinieerd. Bijvoorbeeld voor zowel x=0 als x=2 heb je dat y=2. De inverse van 2 zou dus zowel 0 als 2 kunnen zijn. Omdat de inverse een functie is, zul je tussen een van twee moeten kiezen.

quote:

Op donderdag 5 juli 2007 15:43 schreef TC03 het volgende:
x-2 = y^2 -2y
wortel(x-2) = y-2y

Deze stap klopt niet volgens mij.

Ik heb het idee dat de volgorde anders moet? eerst die -2y weg en dan pas wortel trekken? Helaas kom ik er ook dan nog niet uit

quote:

Op donderdag 5 juli 2007 15:57 schreef GlowMouse het volgende:
Bedenk ook dat het vinden van de inverse niet zal lukken wanneer de functie op alle reële getallen is gedefinieerd. Bijvoorbeeld voor zowel x=0 als x=2 heb je dat y=2. De inverse van 2 zou dus zowel 0 als 2 kunnen zijn. Omdat de inverse een functie is, zul je tussen een van twee moeten kiezen.

Hmm dus dat geldt voor deze functie idd. Maar heeft dit feit al invloed om de manier waarop ik de inverse moet zoeken? Als ik er uiteindelijk 2 heb gevonden is het verder tamelijk simpel om te kijken welke de juiste is lijkt me.

quote:

Hmm dus dat geldt voor deze functie idd. Maar heeft dit feit al invloed om de manier waarop ik de inverse moet zoeken? Als ik er uiteindelijk 2 heb gevonden is het verder tamelijk simpel om te kijken welke de juiste is lijkt me.

Wat bedoel je met juist?

quote:

k heb het idee dat de volgorde anders moet? eerst die -2y weg en dan pas wortel trekken? Helaas kom ik er ook dan nog niet uit

Ken je de abc-formule?

Stel je hebt een vlakke figuur F met symmetriegroep S en stel a is een isometrie.
Dan geldt: de symmetriegroep van de figuur aF is gelijk aan de met S geconjugeerde ondergroep aSa^-1.
Ik vraag me af waarom dit geldt. Hoe zou ik moeten beginnen om dit te bewijzen ? S is een ondergroep van I₂(R). Dit lijkt me een begin, maar ik weet niet hoe ik verder moet.
Alvast bedankt!

Laat eerst maar zien dat Sym(aF) de groep aSa^-1 bevat, i.e. voor alle s in Sym(F) moet je laten zien dat asa^-1 in Sym(aF) zit. Daarna kun je de omgekeerde inclusie bewijzen door in je argument F door aF en a door a^-1 te vervangen.

Ik loop tegen een heel elementair probleem aan.

In een financieel tijdreeks onderzoek ben ik bezig de parameters van een verdeling te schatten voor het zgn. "leverage" effect. De afgelopen paar jaar zijn er een aantal onderzoeken geweest die uitwijzen dat dit effect heel goed door middel van een negatieve exponentiele verdeling gemodelleerd kan worden. Dat wil zeggen: f(x) = -A exp(-dx) (A>0, d>0).

Ik heb via trial-en-error (heerlijk, afgestudeerd zijn en dat dus gewoon mogen doen ) al bepaald dat voor mijn data de parameters ongeveer A = 50 en d = 0.10 zijn. Ik wil echter een betrouwbare schatter hebben en die dacht ik "even" via Maximum Likelihood te bepalen.

De likelihood functie heb ik afgeleid als zijnde L(A, d) = (-A)^n * exp(-d*n*x_gem), en is volgens mij correct.

Ik kan hier echter niets mee: er is geen verband tussen A en x in deze functie, waardoor de "optimale" waarde van A (die L maximaliseert) per definitie oneindig of nul zal zijn, afhankelijk van n even of oneven.

Ik doe overduidelijk iets fout... maar wat? Alvast bedankt!

Je kansdichtheid is negatief, dat lijkt me sowieso fout.
Het gaat fout omdat de support van de verdeling (interval waarop de kansdichtheid positief is) afhangt van de keuze van A en d.

Moet je kansdichtheid niet λexp(-λx) zijn (op [0,inf) )? 1/(x-streep) zou dan ML-schatter zijn.

[ Bericht 14% gewijzigd door GlowMouse op 06-07-2007 22:07:28 ]

Nee, het is niet de "gewone" exponentiele verdeling, echt specifiek diegene die ik gegeven heb.

Op zich moet het niet veel uitmaken: ik kan immers al mijn data spiegelen, de parameters voor een positieve exponentiele verdeling f(x) = A exp (dx) schatten en er dan een minnetje voor zetten - maar dan blijf ik hetzelfde probleem houden. Plaatje met mijn trial-en-error lijn:



De ML schatter (1/x_gem) voor de gewone verdeling geeft trouwens λ = -0.24, hetgeen niet correct kan zijn, maar goed, daar is de verdeling dan ook λexp(-λx).

quote:

Op zich moet het niet veel uitmaken: ik kan immers al mijn data spiegelen, de parameters voor een positieve exponentiele verdeling f(x) = A exp (dx) schatten en er dan een minnetje voor zetten

Een kansdichtheid voldoet aan de eigenschappen dat hij niet-negatief is voor iedere x, en over het hele domein tot 1 integreert. Jouw f(x) = -A exp(-dx) doet dat niet voor positieve A. Ik denk dus dat jouw definitie van de negatieve exponentiële verdeling niet klopt. Ik zie nu ook dat je het minnetje voor zowel de A als de d weglaat. Voor de d moet hij uiteraard wel staan.
Wanneer je dat minnetje weglaat, valt A=0 vast af. Bij A=inf krijg je dat de kansdichtheid maar op een heel klein interval positief is (omdat f tot 1 moet integreren), zodat iedere waarneming buiten de support van f valt en de likelihoodbijdrage 0 is.


Met f(x) = A exp(-dx) voor x>=c, 0 voor x<c kun je de waarde van c bepalen:
integraal[c tot inf]Aexp(-d*x) dx = [-A/d * exp(-d*x)]^inf_c = A/d * exp(-d*c) = 1, ofwel c=log(d/(1-A))/d.
De kansdichtheid kan nu geschreven worden als f(x) = A*exp(-d*x) 1_{[log(d/(1-A))/d,inf)}(x) met 1 de indicatorfunctie (1_[a,b](x) = 1 als x in [a,b], 0 anders).
De likelihoodfunctie wordt: L(A,d; x) = Aⁿ*exp(-n*d*x_gem)*1_{[log(d/(1-A))/d,inf)}(x)

Helaas laat die zich slecht met de hand maximaliseren.

[ Bericht 5% gewijzigd door GlowMouse op 06-07-2007 22:36:08 ]

Okee, ik snap je punt. Wat ik dan niet snap is dat de volgende formule in één van mijn artikelen staat:



Wordt negatieve exponentiele verdeling genoemd - rho is negatief.

Ik heb op dat moment reeds schattingen voor alle parameters behalve theta en alpha; met behulp van een schatting voor A en d (= alpha) kan ik derhalve een schatting voor theta maken. Hetgeen in het in het onderzoek dat ik als referentie gebruik ook gebeurt - ze vertellen alleen niet hoe ze de "fit" maken.

Begrijp ik je goed dat je me aanraadt de gegevens te spiegelen?

Overigens is het vreemd dat men twee elementaire termen, verdeling en functie, door elkaar haalt (zo ook ik )

[ Bericht 28% gewijzigd door Knakker op 06-07-2007 23:02:08 ]

quote:

Begrijp ik je goed dat je me aanraadt de gegevens te spiegelen?

Ik spiegel niks. Maar ik zag dat je x-streep negatief is. Negatieve waarnemingen komen niet voor in de kansverdelingen die je hebt genoemd. Wel kun je de kansdichtheidsfunctie spiegelen in de x-as, je krijgt dan f(x)=λexp(λx) voor x<=0, 0 voor x>0, of met iets meer vrijheid f(x)=A*exp(d*x) voor x<=c, 0 voor x>c. De afleiding voor de kansdichtheid gaat dan verder analoog aan het rekenwerk in mijn vorige post.
In je plaatje zie ik trouwens niet wat index en dj_i voorstellen, ik heb wel een vermoeden, maar dan zie ik niet wat die lijn betekent.

quote:

Helaas laat die zich slecht met de hand maximaliseren.

Daar hebben we computers voor! Ontzettend bedankt, ik zal het proberen. Mijn werkdag hier in Colombia loopt nu tegen z'n einde dus ik kom hier maandag op terug.

Achtergrond informatie. Ik ben moe (vrijdagmiddag, einde werkdag enzo ) dus mijn beschrijving zal best wat wiskundige inconsistenties bevatten.

ik heb een tijdsreeks met daarin de dagelijkse "return" van de Dow Jones index. Nu wil ik het gedrag van deze tijdsreeks R(t) reproduceren door middel van een zgn. "Stochastic Volatility" model (een verfijning van het aloude en bekende model van Black & Scholes). SV modellen bestaan veelal uit twee stochastische differentiaal vergelijkingen: één voor de return zelf, dR(T) = sigma(t)*dW1(t), en een tweede voor het volatiliteitsproces, voor welke een héle hoop opties zijn. Voor de SDE die mijn volatiliteitsproces beschrijft, dsigma(t), heb ik voor het zgn. mean-reverting Ornstein-Uhlenbeck proces gekozen, d.w.z: dsigma(t) = alpha(sigma(t)-theta)+k*dW2(t). (W1,W2) is een twee-dimensionaal Wiener-proces zodanig dat de correlatie tussen W1 en W2 rho is.

Waarom specifiek het O-U proces? Ten eerste omdat het relatief simpel is en tóch aan alle veronderstellingen, die er op dit moment m.b.t. marktgedrag in de financieringtheorie zijn, voldoet. Het grote probleem met SV (zo ook de O-U variant) modellen was altijd dat meestal niet voor alle parameters gesloten uitdrukkingen konden worden bepaald, waardoor men aan (bijv. MCMC) simulatie overgeleverd was. Totdat twee Spanjaarden (Masoliver en Perelló) in een recent artikel (mei 2006) de bovenstaande formule voor het leverage effect aantoonden, zodat met een "fit" door een schatting voor de leverage functie (die 5 jaar eerder door een Fransman (Bouchaud) was geintroduceerd) voor álle parameters een gesloten uitdrukking bestaat. En is dan is reproductie veel makkelijker en flexibeler.

Het leverage-effect is de correlatie tussen stochastische variantie op tijd t+T en de return op tijd t, en kan benaderd worden via de tijdreeks dmv

.

De index op het plaatje is de T, de dj_l is de bovenstaande berekening en de "fit" van de verdeling staat toe dat we schatting voor de laatste parameter kunnen maken.

[ Bericht 20% gewijzigd door Knakker op 06-07-2007 23:29:57 ]

Leuk, zo'n econometrisch model op de vrijdagavond. Ik ben ook econometrist (in opleiding, op de helft), maar besliskunde trekt me toch meer dan de kwantitieve financiering.
Neem je in de noemer nou aan dat de verwachting van de return 0 is voor ieder aandeel?

Ik heb de beschrijving maar even wat verfijnd en accurater gemaakt.

[Toevoeging]
Nee, de verwachting van r(t) is zelfs nul. Maar E[r(t)^2] is de variantie, en die is strikt positief.

r(t) slaat op het aandeel dat je bestudeert, dus ik doelde meer op dat de verwachte return 0 is, wat je ook bestudeert. En daarom vind ik het zo'n vreemde aanname, want risicovrij is er al een hogere return te behalen.

Zeg, GlowMouse, laat je ook nog eens wat te beantwoorden over aan de anderen? .

@Knakker, mag ik je vragen wat voor functie je precies bekleedt, is er een specifieke functietitel voor? Ik ben nl. een financieel wiskundige die bijna klaar is met z'n promotie [onderwerp is het bepalen van de waarde van game opties (een uitbreiding van standaard Amerikaanse opties) in marktmodellen aangedreven door semimartingalen in continue tijd] en ben op zoek naar werk in de industrie. En eigenlijk is het stukje wiskunde wat jij hier beschrijft precies van het leuke type (kwantitatief) onderzoek waar ik me graag verder mee zou willen bezighouden. Ik heb de nodige reacties via banensites gehad maar ik vind het aan de hand van de functiebeschrijvingen verdomde lastig om me een goed beeld te vormen van wat het nu daadwerkelijk inhoudt en in het bijzonder dus ook of er voldoende van dat soort leuk onderzoek bijhoort.