[Centraal] Bèta huiswerk en vragen topic

Scheikunde vraagje:
Geef de massa-, energie- en volumebalans van waterstof verkregen door duurzame energie.

Nou is scheikunde al niet mijn sterkste vak en de docent zegt dat het zo simpel is, maar ik kan het nergens vinden.

_{zie je wel, valt best mee}

vanochtend tentamen kansrekening gehad. Heb volgens mij wel gehaald wat ik moest halen (een 5). Waren voornamelijk vragen in de vorm van: laat zien dat ... gelijk is aan ... En als je daar dan op uitkomt, dan zal je berekening ook wel goed zijn (is mijn redenatie).

Heb alleen wel één vraag waar ik niet zeker van wist of ik em goed heb. Blijf moeite houden met dat specifieke onderwerp. Het gaat om het volgende,

X₁, X₂, X₃, ... zijn onafhankelijke stochasten uniform verdeeld op (0,1). Definieer nu:

Y_n = min X_i, voor 1<= i <=n

Wat is de verdelingsfunctie van Y_n?

Ik heb het volgende gedaan:

P(Y_n <= y) = P(min X_i <= y) = P(X₁ <=y, X₂ <=y,..., X_n <=y ) = P(X₁ <=y)*P(X₂ <=y)***P(X_n <=y)

= [f_X(x)]ⁿ
= 1ⁿ
= 1

Dus Y_n is uniform verdeeld op (0,1). Klopt dit???

Helaas, dat klopt niet. De tweede gelijkheid gaat niet op (P(min Xi <= y) = P(X1 <=y, X2 <=y,..., Xn <=y )).
Verderop gaat het nog een keer fout omdat je voor die kansen niet de pdf maar de cdf nodig hebt.

Uit mijn hoofd is 1-[1-F(y)]ⁿ wel goed om de CDF van min Xi te krijgen. Dat is 1 minus de kans dat ze allemaal groter zijn dan y. Het complement van 'allemaal groter dan y' is immers 'tenminste eentje kleiner dan y'.

Er bestaat trouwens een algemene formule om de pdf van iedere order statistic (de i-de order statistic is het i-de element dat je zou krijgen wanneer je alle stochasten op een rij zou zetten van klein naar groot) te vinden. Die is te vinden op wikipedia.

[ Bericht 4% gewijzigd door GlowMouse op 04-07-2007 14:11:31 ]

tvp

Ik ben een beetje bezig met de inverse van functies te berekenen en opzich lukt dat wel aardig. Echter heb ik nu een 2e graads functie voor me waarbij het me niet lukt....Dit heb ik zelf geprobeerd:

y = x^2 - 2x + 2
x = y^2 - 2y + 2
x-2 = y^2 -2y
wortel(x-2) = y-2y
wortel(x-2) = y(1-2) nu beide kanten door (1-2), oftewel -1 delen
wortel(x-2)/-1 = y

Dus bij mij is het antwoord y_inverse = wortel(x-2)/-1

Maar dit klopt uiteraard niet (ik heb zelf wat getallen bij beide ingevuld en zo). Volgens Maple is het correcte antwoord 1+wortel(x-1)...

Waar oh waar maak ik een domme fout?

[ Bericht 1% gewijzigd door H4ze op 05-07-2007 15:52:53 ]

x-2 = y^2 -2y
wortel(x-2) = y-2y

Deze stap klopt niet volgens mij.

Bedenk ook dat het vinden van de inverse niet zal lukken wanneer de functie op alle reële getallen is gedefinieerd. Bijvoorbeeld voor zowel x=0 als x=2 heb je dat y=2. De inverse van 2 zou dus zowel 0 als 2 kunnen zijn. Omdat de inverse een functie is, zul je tussen een van twee moeten kiezen.

quote:

Op donderdag 5 juli 2007 15:43 schreef TC03 het volgende:
x-2 = y^2 -2y
wortel(x-2) = y-2y

Deze stap klopt niet volgens mij.

Ik heb het idee dat de volgorde anders moet? eerst die -2y weg en dan pas wortel trekken? Helaas kom ik er ook dan nog niet uit

quote:

Op donderdag 5 juli 2007 15:57 schreef GlowMouse het volgende:
Bedenk ook dat het vinden van de inverse niet zal lukken wanneer de functie op alle reële getallen is gedefinieerd. Bijvoorbeeld voor zowel x=0 als x=2 heb je dat y=2. De inverse van 2 zou dus zowel 0 als 2 kunnen zijn. Omdat de inverse een functie is, zul je tussen een van twee moeten kiezen.

Hmm dus dat geldt voor deze functie idd. Maar heeft dit feit al invloed om de manier waarop ik de inverse moet zoeken? Als ik er uiteindelijk 2 heb gevonden is het verder tamelijk simpel om te kijken welke de juiste is lijkt me.

quote:

Hmm dus dat geldt voor deze functie idd. Maar heeft dit feit al invloed om de manier waarop ik de inverse moet zoeken? Als ik er uiteindelijk 2 heb gevonden is het verder tamelijk simpel om te kijken welke de juiste is lijkt me.

Wat bedoel je met juist?

quote:

k heb het idee dat de volgorde anders moet? eerst die -2y weg en dan pas wortel trekken? Helaas kom ik er ook dan nog niet uit

Ken je de abc-formule?

Stel je hebt een vlakke figuur F met symmetriegroep S en stel a is een isometrie.
Dan geldt: de symmetriegroep van de figuur aF is gelijk aan de met S geconjugeerde ondergroep aSa^-1.
Ik vraag me af waarom dit geldt. Hoe zou ik moeten beginnen om dit te bewijzen ? S is een ondergroep van I₂(R). Dit lijkt me een begin, maar ik weet niet hoe ik verder moet.
Alvast bedankt!

Laat eerst maar zien dat Sym(aF) de groep aSa^-1 bevat, i.e. voor alle s in Sym(F) moet je laten zien dat asa^-1 in Sym(aF) zit. Daarna kun je de omgekeerde inclusie bewijzen door in je argument F door aF en a door a^-1 te vervangen.

Ik loop tegen een heel elementair probleem aan.

In een financieel tijdreeks onderzoek ben ik bezig de parameters van een verdeling te schatten voor het zgn. "leverage" effect. De afgelopen paar jaar zijn er een aantal onderzoeken geweest die uitwijzen dat dit effect heel goed door middel van een negatieve exponentiele verdeling gemodelleerd kan worden. Dat wil zeggen: f(x) = -A exp(-dx) (A>0, d>0).

Ik heb via trial-en-error (heerlijk, afgestudeerd zijn en dat dus gewoon mogen doen ) al bepaald dat voor mijn data de parameters ongeveer A = 50 en d = 0.10 zijn. Ik wil echter een betrouwbare schatter hebben en die dacht ik "even" via Maximum Likelihood te bepalen.

De likelihood functie heb ik afgeleid als zijnde L(A, d) = (-A)^n * exp(-d*n*x_gem), en is volgens mij correct.

Ik kan hier echter niets mee: er is geen verband tussen A en x in deze functie, waardoor de "optimale" waarde van A (die L maximaliseert) per definitie oneindig of nul zal zijn, afhankelijk van n even of oneven.

Ik doe overduidelijk iets fout... maar wat? Alvast bedankt!

Je kansdichtheid is negatief, dat lijkt me sowieso fout.
Het gaat fout omdat de support van de verdeling (interval waarop de kansdichtheid positief is) afhangt van de keuze van A en d.

Moet je kansdichtheid niet λexp(-λx) zijn (op [0,inf) )? 1/(x-streep) zou dan ML-schatter zijn.

[ Bericht 14% gewijzigd door GlowMouse op 06-07-2007 22:07:28 ]

Nee, het is niet de "gewone" exponentiele verdeling, echt specifiek diegene die ik gegeven heb.

Op zich moet het niet veel uitmaken: ik kan immers al mijn data spiegelen, de parameters voor een positieve exponentiele verdeling f(x) = A exp (dx) schatten en er dan een minnetje voor zetten - maar dan blijf ik hetzelfde probleem houden. Plaatje met mijn trial-en-error lijn:



De ML schatter (1/x_gem) voor de gewone verdeling geeft trouwens λ = -0.24, hetgeen niet correct kan zijn, maar goed, daar is de verdeling dan ook λexp(-λx).

quote:

Op zich moet het niet veel uitmaken: ik kan immers al mijn data spiegelen, de parameters voor een positieve exponentiele verdeling f(x) = A exp (dx) schatten en er dan een minnetje voor zetten

Een kansdichtheid voldoet aan de eigenschappen dat hij niet-negatief is voor iedere x, en over het hele domein tot 1 integreert. Jouw f(x) = -A exp(-dx) doet dat niet voor positieve A. Ik denk dus dat jouw definitie van de negatieve exponentiële verdeling niet klopt. Ik zie nu ook dat je het minnetje voor zowel de A als de d weglaat. Voor de d moet hij uiteraard wel staan.
Wanneer je dat minnetje weglaat, valt A=0 vast af. Bij A=inf krijg je dat de kansdichtheid maar op een heel klein interval positief is (omdat f tot 1 moet integreren), zodat iedere waarneming buiten de support van f valt en de likelihoodbijdrage 0 is.


Met f(x) = A exp(-dx) voor x>=c, 0 voor x<c kun je de waarde van c bepalen:
integraal[c tot inf]Aexp(-d*x) dx = [-A/d * exp(-d*x)]^inf_c = A/d * exp(-d*c) = 1, ofwel c=log(d/(1-A))/d.
De kansdichtheid kan nu geschreven worden als f(x) = A*exp(-d*x) 1_{[log(d/(1-A))/d,inf)}(x) met 1 de indicatorfunctie (1_[a,b](x) = 1 als x in [a,b], 0 anders).
De likelihoodfunctie wordt: L(A,d; x) = Aⁿ*exp(-n*d*x_gem)*1_{[log(d/(1-A))/d,inf)}(x)

Helaas laat die zich slecht met de hand maximaliseren.

[ Bericht 5% gewijzigd door GlowMouse op 06-07-2007 22:36:08 ]

Okee, ik snap je punt. Wat ik dan niet snap is dat de volgende formule in één van mijn artikelen staat:



Wordt negatieve exponentiele verdeling genoemd - rho is negatief.

Ik heb op dat moment reeds schattingen voor alle parameters behalve theta en alpha; met behulp van een schatting voor A en d (= alpha) kan ik derhalve een schatting voor theta maken. Hetgeen in het in het onderzoek dat ik als referentie gebruik ook gebeurt - ze vertellen alleen niet hoe ze de "fit" maken.

Begrijp ik je goed dat je me aanraadt de gegevens te spiegelen?

Overigens is het vreemd dat men twee elementaire termen, verdeling en functie, door elkaar haalt (zo ook ik )

[ Bericht 28% gewijzigd door Knakker op 06-07-2007 23:02:08 ]

quote:

Begrijp ik je goed dat je me aanraadt de gegevens te spiegelen?

Ik spiegel niks. Maar ik zag dat je x-streep negatief is. Negatieve waarnemingen komen niet voor in de kansverdelingen die je hebt genoemd. Wel kun je de kansdichtheidsfunctie spiegelen in de x-as, je krijgt dan f(x)=λexp(λx) voor x<=0, 0 voor x>0, of met iets meer vrijheid f(x)=A*exp(d*x) voor x<=c, 0 voor x>c. De afleiding voor de kansdichtheid gaat dan verder analoog aan het rekenwerk in mijn vorige post.
In je plaatje zie ik trouwens niet wat index en dj_i voorstellen, ik heb wel een vermoeden, maar dan zie ik niet wat die lijn betekent.

quote:

Helaas laat die zich slecht met de hand maximaliseren.

Daar hebben we computers voor! Ontzettend bedankt, ik zal het proberen. Mijn werkdag hier in Colombia loopt nu tegen z'n einde dus ik kom hier maandag op terug.

Achtergrond informatie. Ik ben moe (vrijdagmiddag, einde werkdag enzo ) dus mijn beschrijving zal best wat wiskundige inconsistenties bevatten.

ik heb een tijdsreeks met daarin de dagelijkse "return" van de Dow Jones index. Nu wil ik het gedrag van deze tijdsreeks R(t) reproduceren door middel van een zgn. "Stochastic Volatility" model (een verfijning van het aloude en bekende model van Black & Scholes). SV modellen bestaan veelal uit twee stochastische differentiaal vergelijkingen: één voor de return zelf, dR(T) = sigma(t)*dW1(t), en een tweede voor het volatiliteitsproces, voor welke een héle hoop opties zijn. Voor de SDE die mijn volatiliteitsproces beschrijft, dsigma(t), heb ik voor het zgn. mean-reverting Ornstein-Uhlenbeck proces gekozen, d.w.z: dsigma(t) = alpha(sigma(t)-theta)+k*dW2(t). (W1,W2) is een twee-dimensionaal Wiener-proces zodanig dat de correlatie tussen W1 en W2 rho is.

Waarom specifiek het O-U proces? Ten eerste omdat het relatief simpel is en tóch aan alle veronderstellingen, die er op dit moment m.b.t. marktgedrag in de financieringtheorie zijn, voldoet. Het grote probleem met SV (zo ook de O-U variant) modellen was altijd dat meestal niet voor alle parameters gesloten uitdrukkingen konden worden bepaald, waardoor men aan (bijv. MCMC) simulatie overgeleverd was. Totdat twee Spanjaarden (Masoliver en Perelló) in een recent artikel (mei 2006) de bovenstaande formule voor het leverage effect aantoonden, zodat met een "fit" door een schatting voor de leverage functie (die 5 jaar eerder door een Fransman (Bouchaud) was geintroduceerd) voor álle parameters een gesloten uitdrukking bestaat. En is dan is reproductie veel makkelijker en flexibeler.

Het leverage-effect is de correlatie tussen stochastische variantie op tijd t+T en de return op tijd t, en kan benaderd worden via de tijdreeks dmv

.

De index op het plaatje is de T, de dj_l is de bovenstaande berekening en de "fit" van de verdeling staat toe dat we schatting voor de laatste parameter kunnen maken.

[ Bericht 20% gewijzigd door Knakker op 06-07-2007 23:29:57 ]

Leuk, zo'n econometrisch model op de vrijdagavond. Ik ben ook econometrist (in opleiding, op de helft), maar besliskunde trekt me toch meer dan de kwantitieve financiering.
Neem je in de noemer nou aan dat de verwachting van de return 0 is voor ieder aandeel?

Ik heb de beschrijving maar even wat verfijnd en accurater gemaakt.

[Toevoeging]
Nee, de verwachting van r(t) is zelfs nul. Maar E[r(t)^2] is de variantie, en die is strikt positief.

r(t) slaat op het aandeel dat je bestudeert, dus ik doelde meer op dat de verwachte return 0 is, wat je ook bestudeert. En daarom vind ik het zo'n vreemde aanname, want risicovrij is er al een hogere return te behalen.

Zeg, GlowMouse, laat je ook nog eens wat te beantwoorden over aan de anderen? .

@Knakker, mag ik je vragen wat voor functie je precies bekleedt, is er een specifieke functietitel voor? Ik ben nl. een financieel wiskundige die bijna klaar is met z'n promotie [onderwerp is het bepalen van de waarde van game opties (een uitbreiding van standaard Amerikaanse opties) in marktmodellen aangedreven door semimartingalen in continue tijd] en ben op zoek naar werk in de industrie. En eigenlijk is het stukje wiskunde wat jij hier beschrijft precies van het leuke type (kwantitatief) onderzoek waar ik me graag verder mee zou willen bezighouden. Ik heb de nodige reacties via banensites gehad maar ik vind het aan de hand van de functiebeschrijvingen verdomde lastig om me een goed beeld te vormen van wat het nu daadwerkelijk inhoudt en in het bijzonder dus ook of er voldoende van dat soort leuk onderzoek bijhoort.

Ik heb mezelf verkeerd uitgedrukt: in het SV model is E[R(t)] nul (logisch: de enige stochast in de SDE, het Wiener proces, heeft een verwachting van 0). Het gemiddelde -en dus de "verwachting" - van mijn tijdsreeks r(t) is iets van 0.0009 ofzo (niet bij de hand). Vanwege simpliciteit en omdat mijn analyse zich louter op modellering van de variantie richt, heb die niet meegenomen in het SV model.

keesjeislief: Ik kan je helaas niet helpen, want ik werk niet in die sector - ik heb een hele andere taak. Econometrie als vakgebied -laat staan de financiele econometrie- bestaat hier in Colombia eigenlijk niet. Omdat de economische vakgroep van de uni waar ik werk haar kennis (vooral op toegepast vlak) wat wil verruimen, hebben ze mij gevraagd (via via) een financieel econometrische analyse van een reeks Colombiaanse aandelenprijzen te maken, aan de hand waarvan ik dan de vakgroep hier ga onderwijzen in een aantal gangbare technieken (bijv GARCH, maar ook SV). Mijn onderzoek zal ook op nationaal niveau gepubliceerd worden maar dat is meer als "promotie" naar andere universiteiten toe, want wat ik doe schijnt nogal revolutionair hier te zijn ofzo

Mijn specialisatie was OR (logistiek) -heb natuurlijk wel een paar kwantitieve financierings- en dynamische econometrievakken gehad- dus dit is veelal ook nieuw voor mij. Maar vanwege mijn econometrische achtergrond is het voor mij allemaal veel makkelijker te doorgronden en de essentie eruit te halen dan voor hen (veelal "gewone" economen), dus vandaar. Over een aantal maanden ga ik terug naar Nederland en dan wil ik níets meer met econometrie specifiek te maken hebben

Ik heb van alles geprobeerd middels ML (ook de functie die GlowMouse hierboven gaf) maar dat gaf allerlei rare problemen (mijn pdf blijft namelijk negatieve waarden houden...). Toen heb ik besloten het hele ML gebeuren maar te vergeten en het véél simpeler aan te pakken: minimaliseren van de kwadratische afwijking - gewoon Least Squares dus.

Heb de functie f(x) = som((x[t]+A*exp(-d*t))^2, t=1:T) geminimaliseerd m.b.v. de computer, en daar kwam een uitstékende "schatter" uit (A = 39.9, d = 0.11). Klaar

_{En als ze het niet goed vinden zoeken ze zelf amar een andere manier.}

Met mijn methode is het als het goed is onmogelijk negatieve waarden bij de pdf te krijgen zolang je eist dat d>0 en A>0. Kun je de waarnemingen ergens online zetten zodat ik zelf wat kan proberen?

In je ML-functie staat trouwens nog steeds exp(-dt), wat op positieve waarnemingen duidt. Op (-inf,c] krijg je nu namelijk een oneindig grote oppervlakte onder de pdf (op [53.6,inf) krijg je wel ongeveer 1).

Wat stelt x[t] in je ML-functie trouwens voor, dat je het bij de pdf optelt en minimaliseert?
_{Keesje, als er weer een vraag komt zal ik hem een dag voor je met rust laten Het topic staat in mijn RSS-reader, dus meestal reageer ik vrij snel.}

x[t] zijn de waarnemingen, t uit {1, 2, ..., 100} en -Aexp(-dt) de negatieve exponentiele functie, met t discreet (hetzelfde domein), waarvan ik A en d wil bepalen zodat-ie zo goed mogelijk door de waarnemingen gaat. De kwadratische afwijking is (x[t]--Aexp(-dt))^2 = (x[t]+Aexp(-dt))^2. Sommeren over t=1:100, door een minimaliseerder gooien die A en d voor me bepaalt en klaar is Knakker.

De serie staat hier... mocht je andere waarden voor A en d vinden, laat het even weten

@Knakker: Ah, ok, jammer .

@GlowMouse: Ach welnee, het was slechts een grapje omdat jij steeds binnen no time lijkt te reageren, ik lees dit topic ook veel te weinig en de mensen hier mogen zich in hun handjes knijpen dat zo'n kundig persoon steeds zo snel reageert .

Bij een kleinstekwadratenschatter, als ik me er al wat voor kan stellen bij parameters van kansverdelingen, zou je denk ik het (geschaalde) histogram zo dicht mogelijk bij de pdf laten liggen. Wat je nu doet, klopt helemaal niet. Je pdf is nog steeds negatief, maar los daarvan zijn de waarnemingen geheel onafhankelijk, dus zou de t-de waarneming net zo goed de (t+c)-de kunnen zijn, de relatie met -Aexp(-dt) is er dus niet.

Ik heb de data in Matlab ingeladen, en wat parameters geschat. De pdf is f(x)=A*exp(dt) voor t<=c, 0 voor t>c (A,d>0). Via integraal[-inf tot c] f(x)dx=1 kom je op c=log(d/A)/d. De pdf kan dus geschreven worden als f(x) = A*exp(dt)*1_{(-inf, log(d/A)/d]}.
In matlab functies definieren:

quote:

function y = custpdf(x, A, d)
y = A*exp(d*x).*indicator([-inf log(d/A)/d], x);

function y = indicator(A,x)
y = x >= A(1) & x <= A(2);

Daarna is het een kwestie van parameters schatten:

quote:

data=xlsread('DowJonesleverage.xls');
fhandle = @custpdf;
options = statset('FunValCheck', 'off');
warning off;
mle(data, 'pdf', fhandle, 'start', [0.01; 0.1], 'options', options)

Startwaarden 0.01 en 0.1 zijn zo gekozen dat er een positieve likelihood is, anders werkt de maximizer niet. Als ML-schatters komt eruit A=0.0249, d=0.0540.
Of de kansverdeling nou zo goed gemodelleerd kan worden met de negatieve exponentiële verdeling weet ik niet. Oordeel zelf aan de hand van onderstaande plaatjes, waarvan de vorm identiek zou moeten zijn:

(histogram, deel y-waarden door 100 voor vergelijking met pdf)

(pdf)

[ Bericht 5% gewijzigd door GlowMouse op 11-07-2007 01:13:36 ]

De hele crux zit hem erin dat het helemaal geen kansverdeling betreft waarvan we de parameters willen weten, maar louter een "gewone" negatieve exponentiele functie waarvan we twee coefficienten willen bepalen. De klassieke fout van te snel te werk willen gaan zonder eerst goed te kijken: ik ben dusdanig gewend dat overal parameters voor kansverdelingen geschat moeten worden a.d.h.v. data, dat ik ook hier aannam dat dat moest gebeuren. Hetgeen niet zo is.

Overigens, wat ik heb gedaan is wel degelijk correct. LS is niets anders dan het bepalen van de coefficienten van de fit (mijn negatieve exponentiele functie) d.m.v. het minimaliseren van de kwadratische afstand tussen de fit en de data. De discrete waarden van mijn negatieve exponentiele functie en de data zijn onafhankelijk, dus de LS schatter is gewoon valide.

In dat geval bestaat er helemaal geen ML-schatter, en ben je op LS aangewezen.

Klein bezwaar bij deze aanpak is dat je alle positieve waarnemingen (30%) niet goed kunt verklaren. Wanneer de langetermijnverwachting 0 is, is dit niet zo'n groot probleem.

Ik heb zeer slechte wiskunde op school (meest alpha richting die er is), en wil nu een vraagstukje oplossen. Het gaat zo:

Je gooit 5 dobbelstenen, en je hebt 5 combo's die je kunt maken. (Als je dus met alle of sommige van de dobbelstenen een combinatie kunt vormen heb je die combo gemaakt)

De combo's zijn :

1, 4, 6, 3, 1
5, 4, 6, 3, 3
5, 2, 3
5, 3, 5, 3 2
6, 1, 3, 5, 3

De volgorde maakt dus niets uit.
Ik weet dat je zo met permutaties etc. moet gaan rekenen, maar dat heb ik dus nog niet gehad. Ik ben nu bezig met het uitrekenen (nouja, proberen) van de individuele kansen, maar ik moet nog heel wat bijleren. Uiteindelijk moet ik dit uitrekenen:

Wat is de kans dat iemand tenminste een combo gooit als hij met 5 dobbelstenen gooit ?

Als ik de individuele kansen zou hebben, zou ik ze dan gewoon kunnen optellen ?
Wie kan me helpen met de individuele kansen ?

EDIT: Inmiddels ontdekt dat de kans op de eerste twee combos "(5 choose 2)*3!*(1/6)^5" is. Correct toch ? Zien of ik de rest ook kan.

[ Bericht 6% gewijzigd door Secretus op 12-07-2007 15:10:40 ]

Alle uitkomsten van één experiment kun je weergeven met een cirkel van oppervlakte 1 (niet 1cm² of wat dan ook, gewoon 1). Iedere mogelijke uitkomst (hierna: gebeurtenis) van dat experiment kun je weergeven als een klein stukje oppervlakte van de cirkel. De kans op een gebeurtenis is gelijk aan zijn oppervlakte in de cirkel. Je ziet al dat de totale kans op een gebeurtenis nooit groter kan zijn dan 1.
Stel je hebt het experiment gooien met één dobbelsteen, en de gebeurtenissen 'groter dan 5' en 'groter dan 4', dan heeft die eerste een oppervlakte van 1/6, de tweede 1/3. De kans op de gebeurtenis 'groter dan 5 of groter dan 4' is nu 1/3, dus niet gewoon de som van de kansen. Door de cirkel erbij te pakken zie je direct hoe dat komt: de twee gebeurtenissen 'groter dan 5' en 'groter dan 4' overlappen, zodat de som van de oppervlakten niet gelijk is aan de oppervlakte van beide gebeurtenissen.

Je kunt individuele kansen dus optellen wanneer het gaat om kansen op gebeurtenissen binnen hetzelfde experiment (binnen dezelfde cirkel), en wanneer de gebeurtenissen elkaar uitsluiten (oppervlaktes overlappen niet).

Van individuele kansen zal ik er eentje voordoen: 5, 2, 3. Wil deze combo zich voordoen, moet je dus met een dobbelsteen 5 gooien, met eentje 2, met eentje 3, en de andere twee een willekeurige waarde.
De kans op 235xx (met x een willekeurige uitkomst) is 1/6 * 1/6 * 1/6. De kans op xx235 is ook 1/216, en ook dit stukje van de cirkel valt onder de gebeurtenis waarvan we de kans mogen bepalen. Omdat de gebeurtenissen 235xx en xx235 elkaar uitsluiten en in hetzelfde experiment plaatsvinden, mogen we de kansen hierop optellen. Omdat het erg omslachtig is alle mogelijke volgordes uit te schrijven, kun je dat handiger aanpakken: voor de 2 heb je 5 posities tot je beschikking, daarna voor de 3 nog 4 en voor de 5 nog 3. Totaal zijn er dus 5*4*3 mogelijkheden (zoekwoord: permutatie). De totale kans is dus 1/6 * 1/6 * 1/6 * 5!/2! = 10/216.

quote:

EDIT: Inmiddels ontdekt dat de kans op de eerste twee combos "(5 choose 2)*3!*(1/6)^5" is. Correct toch ? Zien of ik de rest ook kan.

(5 choose 2) is in het Nederlands uitgesproken als 5-boven-2. Maar de kans is helaas fout: 5-boven-2 * 3! = 5!/(3!*2!) * 3! = 5!/3!, terwijl je 5! permutaties hebt.

Even zien. De kans op 5,3,5,3 is dus:

(1/6)^4 * 5!/1!

?

Of moet ik hier iets speciaals doen omdat er nummers herhaald worden ?

[ Bericht 33% gewijzigd door Secretus op 12-07-2007 00:05:29 ]

Helaas, je telt nu een heleboek situaties te vaak omdat zowel de 5 als de 3 dubbel voorkomen. De situatie 3355x tel je bijvoorbeeld nu viermaal.
De vijven kun je op 10 manieren plaatsen, daarna de drieën nog op 3 manieren, totaal 30 manieren dus.

quote:

Op donderdag 12 juli 2007 00:05 schreef GlowMouse het volgende:
Helaas, je telt nu een heleboek situaties te vaak omdat zowel de 5 als de 3 dubbel voorkomen. De situatie 3355x tel je bijvoorbeeld nu viermaal.
De vijven kun je op 10 manieren plaatsen, daarna de drieën nog op 3 manieren, totaal 30 manieren dus.

Ik zie net dat het eigenlijk 5, 3, 5, 2 is

Maar ik snap niet hoe ik de vijven op 10 manieren kan plaatsen.

Ik kom trouwens iets anders uit dan 10/216 als ik je voorbeeld uitreken met de rekenmachine, kan dit ? Ik kom 0,2777777777.. uit.
Bedankt voor je hulp trouwens

EDIT: De 10 manieren heb ik gevonden door ze te tekenen, denk ik. Als er 3 5'en waren, zouden er dan ook 10 manieren zijn om ze te plaatsen ? Kan ik dit ook gewoon uitrekenen door 5-boven-2 en 5-boven-3 ?

Edit II :
Dit is om 5,3,5,2 uit te rekenen

Ik heb dus 10 manieren om de 5'en te plaatsen, daarna nog maar 3 om de 3 te plaatsen, daarna nog 2 voor de 2 . 10*3*2 dus ?

Is de waarschijnlijkheid dan (1/6)^4*60 ?

(Sorry dat ik zoveel vragen stel ? )

[ Bericht 10% gewijzigd door Secretus op 12-07-2007 00:41:17 ]

0,2777... is veel te groot. Je hebt toch niet in 1 van de 4 situaties die bepaalde combo?

quote:

EDIT: De 10 manieren heb ik gevonden door ze te tekenen, denk ik. Als er 3 5'en waren, zouden er dan ook 10 manieren zijn om ze te plaatsen ? Kan ik dit ook gewoon uitrekenen door 5-boven-2 en 5-boven-3 ?

Dat klopt. In het algemeen kun je alles aanpakken met combinaties; bijvoorbeeld voor 3, 3, 5, 5 heb je 5-boven 2 * 3-boven-2 omdat je na het verdelen van de twee drieën nog 3 posities overhebt waar je 2 getallen kwijt moet. Ook bij allemaal verschillende getallen gaat dit goed: het aantal mogelijkheden voor de combo 2, 3, 5 is gelijk aan 5-boven-1 * 4-boven-1 * 3-boven-1.

quote:

Edit II :
Dit is om 5,3,5,2 uit te rekenen

Ik heb dus 10 manieren om de 5'en te plaatsen, daarna nog maar 3 om de 3 te plaatsen, daarna nog 2 voor de 2 . 10*3*2 dus ?

Is de waarschijnlijkheid dan (1/6)^4*60 ?

Klopt.

Ok, even alle proberen op te lossen

1, 4, 6, 3, 1

Ik heb 10 manieren om de 1'en te plaatsen, daarna 3 voor de 4'en, 2 voor de 6'en en 1 voor de 3'en.
De kans is dus (1/6)^5 * 60

5, 4, 6, 3, 3

idem ?

5, 2, 3

Ik heb 5 manieren om de 5'en te plaatsen, 4 om de 2'en te plaatsen, 3 voor de 3'en.
De kans is dus (1/6)^3 * 60. (Dit is wel 0,27..., dus hier zal ik iets fout hebben ?)

5,3,5,2
Ik heb dus 10 manieren om de 5'en te plaatsen, daarna nog maar 3 om de 3 te plaatsen, daarna nog 2 voor de 2 .
De kans is dus (1/6)^4*60

Hopen dat het juist is, en nu ga ik snel aan de slag om de kans om minstens één combo te halen proberen te berekenen

Ik zie in het experiment geen overlap (maar ik ben ook wiskundig blind ), dit betekent dus dat ik alles bij elkaar mag optellen ?

[ Bericht 12% gewijzigd door Secretus op 12-07-2007 01:08:07 ]

quote:

Dit is wel 0,27..., dus hier zal ik iets fout hebben ?

Nee, dat is goed. In praktijk zul je ook in ongeveer 1 van de 4 situaties die combo halen. Dat kun je zo uitproberen.

quote:

Ik zie in het experiment geen overlap (maar ik ben ook wiskundig blind ), dit betekent dus dat ik alles bij elkaar mag optellen ?

Klopt.

En dat komt uit op (volgens de afrondingsregels van het vraagstuk) 1 op 3.
(0,3395061728). Dat is 33,95061728 op 100 , en dus 1 op 2, 945454 en dus 1 op 3
Hopen dat dit nog juist is

Héél veel bedankt voor je hulp !

Optellen ga ik niet controleren, maar de aanpak klopt. Je kunt het natuurlijk snel controleren door een keer of 50 met wat dobbelsteentjes te werpen.

Ik heb vandaag meer bijgeleerd dan in een paar maanden wiskundeles
Nu kan ik met een goed gevoel naar bed

quote:

Op donderdag 5 juli 2007 15:31 schreef H4ze het volgende:
Ik ben een beetje bezig met de inverse van functies te berekenen en opzich lukt dat wel aardig. Echter heb ik nu een 2e graads functie voor me waarbij het me niet lukt....Dit heb ik zelf geprobeerd:

y = x^2 - 2x + 2
x = y^2 - 2y + 2
x-2 = y^2 -2y
wortel(x-2) = y-2y

Nee. Hoe kom je erbij dat de wortel uit (y² - 2y) gelijk zou zijn aan (y - 2y) ?

Je wil y oplossen uit

x-2 = y² - 2y

Dit is een vierkantsvergelijking in y. We kunnen hiervoor schrijven:

y² - 2y - (x-2) = 0

Nu mag je het weer even zelf proberen. Hint: gebruik de abc-formule.

Dankzij de hulp hier ben ik hard opgeschoten met mijn project. Nu ben ik bezig met de implementatie van het bovengenoemde SV model, en weer loop tegen het feit aan dat ik tijdens wiskunde 1 t/m 6 nooit mn aandacht erbij kon houden

Het model hierboven is continu. Voor de computersimulatie en de vergelijking met mijn tijdsreeks heb ik dus een discretisatie nodig. Nu dacht ik dat via de Euler-discretisatie te doen, en kom ik uit op het volgende:



De geschatte parameters van mijn data: α = 0.05, θ = 0.189, ρ = -0.58 en k = 1.4*10^-3. Het plotje voor Δ t = 1 en t uit {1, 2, ..., 150} resulteerde in het onderstaande: in één woord super - op de enkele piek na lijkt de variantie leuk overeen te komen met die van het echte proces.



Maar nu komt het: als ik de tijdsspan vergroot dan neemt de variantie van het simulatieproces hard af - maar dat hoort helemaal niet te kunnen!



Ik maak dus ergens een fout... is mijn discretisatie goed?

In het plaatje lijkt de variantie van met name de rode lijn juist steeds groter te worden. Maar volgens het continue-tijd model kan dat wanneer dσ(t)/dt positief is (even aannemende dat die bij de rode lijn hoort).

Afgezien daarvan lijkt me de discretisatie fout. R(t+Δt) is nu geen functie van R(t). De discretisatiemethode van Euler specifiek ken ik niet, maar ik denk dat hij hierop neerkomt:

Wiskundigen zullen het vast niet leuk vinden dat ik zomaar door dt deel

[ Bericht 14% gewijzigd door GlowMouse op 12-07-2007 19:51:28 ]

Wat wiskundigen vinden boeit me vrij weinig eerlijk gezegd - het gaat mij om de toepassing.

Het lijkt mij te kloppen dat R(t+Δt) niet van R(t) afhangt. Bekijk het vanuit het financiele perspectief: R(t+Δt) is de dagelijkse return in procenten, en die hangt níet af van de return op de vorige dag. De schommeling in de dagelijkse return wordt louter bepaald door veranderingen in de variantie σ(t) en dW1(t) (welke gecorreleerd is met dW2 uit het variantieproces).

Overigens is het natuurlijk makkelijk ff veranderd, en dat resulteert in het volgende plaatje:



Lijkt me niet correct. Nog een idee?

De reden dat die pieken op het eind niet horen terug te komen in mijn simulatie, is omdat ik éénmaal de parameters geschat heb op basis van de hele reeks. Dit omdat ik éérst wil kijken of mijn simulatie klopt.

Het is aan de persoon die de simulatie toepast om telkens te bepalen of de parameters nog een waarheidsgetrouwbeeld geven: het is veel logischer om deze te schatten over bijvoorbeeld de laatste 20 dagen - α = 0.05 in het volatiliteitsproces geeft een "mean-reversion" tijd van 1/α = 20 dagen aan). Ik denk dat ik -wanneer alles goed werkt- een iteratief proces maak waar bij elke stap de parameters opnieuw geschat worden op basis van de laatste 1/α waarnemingen o.i.d., maar dat zie ik dan wel weer.

Overigens, mocht je zelf willen klooien, is dit de code (in R, geen beschikking over Matlab helaas):



Als je geen Wiener-proces functie (rwiener hierboven) in je Matlab hebt, kun je wiener[t+1]-wiener[t] vervangen door rnorm(0,1). Let dan wél op de correlatie tussen W1 en W2!

quote:

Op donderdag 12 juli 2007 19:35 schreef GlowMouse het volgende:
In het plaatje lijkt de variantie van met name de rode lijn juist steeds groter te worden. Maar volgens het continue-tijd model kan dat wanneer dσ(t)/dt positief is (even aannemende dat die bij de rode lijn hoort).

Afgezien daarvan lijkt me de discretisatie fout. R(t+Δt) is nu geen functie van R(t). De discretisatiemethode van Euler specifiek ken ik niet, maar ik denk dat hij hierop neerkomt:
[afbeelding]
Wiskundigen zullen het vast niet leuk vinden dat ik zomaar door dt deel

He GlowMouse, je gaat hier toch niet zomaar ff door dt zitten delen he . . Wat doen die wortel(dt)'s in je discretisatieformules Knakker?