2 wiskundige weetjes

quote:

Op woensdag 10 mei 2017 11:07 schreef Munktar het volgende:

[..]

Je vergeet bij 0,333333 de infinitesimal op te tellen dan klopt deze wiskundige onzin (Wiskunde is geavanceerd liegen tot je berekening klopt)

Verder is 1+2+3+4+... -1/12

ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12

Als je nou es een 'bewijs' hiervoor kunt geven vanuit een tekstboek ipv een blog of yt-video

quote:

Op zaterdag 13 mei 2017 19:32 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Dat klopt, het is beroerde notatie.

En ik maar denken dat dat serieus bedoeld was. Dat verklaart een hoop!

quote:

Op zaterdag 13 mei 2017 19:32 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Dat klopt, het is beroerde notatie.

Tel es nul erbij op, dan krijg je

0+1+2+3+...= -1/12

en neem het verschil tussen beide reeksen. Dan krijg je dat 1+1+1+1+...=0. Tel hierbij 0 op, nm weer het verschil tussen beide reeksen en je krijgt 1=0.

Zou dat nou kloppen?

Zie ook KLB / Mensen die denken dat 3÷3 1 is.

Heeft niets met notatie te maken, maar met
ex falso sequitur quodlibet

Het bewijs start met de reeks 1-1+1-1+1-1 ..... etc.
"we weten niet of het oneindige even of oneven is, dus we nemen het gemiddelde"

Het heeft alles met notatie te maken. Die -1/12 is de waarde van de analytisch uitgebreide zeta-functie waarmee je die reeks representeert. Dat wordt in die 'identiteit' met een simpel = teken opgeschreven, wat voor de verwarring zorgt.

Het bewijs met behulp van reeksmanipulatie is verder volgens mij incorrect, maar wat intuitief toch tot diezelfde -1/12 komt. Dat is wat Ramanujan ook heeft gedaan, maar eerlijk gezegd ken ik alleen die analytische uitbreiding (die gebruik je ook in de natuurkunde voor regularisatie).

Waarom formeel incorrecte manipulaties op een divergerende reeks wel tot de juiste analytische uitbreiding leiden, begrijp ik overigens ook niet helemaal.

In die video wordt, met alle respect, gewoon gebruik gemaakt van een goochelaarstruc.

quote:

Op zondag 14 mei 2017 09:43 schreef Haushofer het volgende:
Het heeft alles met notatie te maken. Die -1/12 is de waarde van de analytisch uitgebreide zeta-functie waarmee je die reeks representeert. Dat wordt in die 'identiteit' met een simpel = teken opgeschreven, wat voor de verwarring zorgt.

Het bewijs met behulp van reeksmanipulatie is verder volgens mij incorrect, maar wat intuitief toch tot diezelfde -1/12 komt. Dat is wat Ramanujan ook heeft gedaan, maar eerlijk gezegd ken ik alleen die analytische uitbreiding (die gebruik je ook in de natuurkunde voor regularisatie).

Wat je doet is bij de reeks a1 +a2+ ....
een Zeta functie definiëren



Toegepast op de reeks 1+2+3+.... dan is

Zeta(0) = -1/12

Dat is dus niet de som van die reeks.
In de literatuur wordt idd het = teken gebruikt

In het bewijs wordt gebruik gemaakt van de mogelijk additieve eigenschap van Zeta
dus Zeta (r1 + r2) = Zeta(r1) + Zeta(r2) waar r1 en r2 oneindige reeksen voorstellen, maar dat is i.h.a. niet waar, maar door slim gekozen optellingen toevallig hier wel.

quote:

Op zondag 14 mei 2017 11:54 schreef Oud_student het volgende:

[..]

Wat je doet is bij de reeks a1 +a2+ ....
een Zeta functie definiëren

[ afbeelding ]

Toegepast op de reeks 1+2+3+.... dan is

Zeta(0) = -1/12

Dat is dus niet de som van die reeks.
In de literatuur wordt idd het = teken gebruikt

Nee, je slaat een aantal stappen over die juist voor de verwarring zorgen.

1) Allereerst is er de Riemann zetafunctie, laten we die f(s) noemen, uitgedrukt in een reeks. Er geldt dat de reële waarde van s groter moet zijn dan 1, Re(s)>1, omdat de reeks anders niet convergeert. Het domein wordt dus gegeven door alle complexe getallen s waarvoor geldt Re(s)>1.
2) Maar in de complexe analyse is er een manier om het domein van een functie uit te breiden. Dit heet analytische voortzetting, en levert een uniek antwoord op. Dit is erg belangrijk, en een voorbeeld van hoe conforme invariantie van het complexe vlak functies beperkt, in tegenstelling tot b.v. functies gedefinieeërd op de reële rechte. Dat maakt complexe analyse ook zo'n bijzonder vakgebied.
3) Anyway, zo'n analytische voortzetting breidt dus het domein van de de functie, en daarmee de functie zelf, op een unieke wijze uit. Zo ook bij de zetafunctie f(s). In deze analytische voorzetting mag je nu bijvoorbeeld s=-1 invullen, een waarde die voor de analytische voortzetting niet in het domein lag! De analytische voortzetting van f(s) geeft hier echter een keurig, eindig antwoord voor: -1/12.
4) En dan komt het verwarrende: mensen gaan weer terugwerken. Ze gaan die analytische voortzetting van f(s) weer schrijven in termen van de oorspronkelijk reeks. Dat is flauwekul, want in die oorspronkelijke reeks levert de waarde s=-1 een oneindig antwoord op. De reeks wordt dan namelijk 1+2+3+4+... Maar omdat die analytische voortzetting een uniek antwoord oplevert, gunnen sommige mensen zichzelf de vrijheid om deze divergerende reeks ook de waarde -1/12 mee te geven, en schrijven

1+2+3+4+... = -1/12

5) Vervolgens gaan ze dat met dubieuze manipulaties op de reeks zelf proberen recht te breien. Wat ze eigenlijk bedoelen met 1+2+3+4+... = -1/12, is "wanneer we de reeks opvatten als de analytisch-voortgezette zeta-functie met argument s=-1, dan krijgen we -1/12. Allemaal leuk en wel, maar die reeks is natuurlijk nog steeds knoerthard oneindig. Het is de analytisch voortgezette functie die de waarde -1/12 oplevert.

Dit is overigens een schitterend voorbeeld van wetenschap onnodig mystiek maken. Het is op youtube zo ongeveer het wiskundige analagon van uitspraken in de natuurkunde als "er ontstaan en vergaan constant deeltjes in het kwantumvacuüm" of "er kan een universum uit het niets ontstaan" of andere flauwekul.

quote:

In het bewijs wordt gebruik gemaakt van de mogelijk additieve eigenschap van Zeta
dus Zeta (r1 + r2) = Zeta(r1) + Zeta(r2) waar r1 en r2 oneindige reeksen voorstellen, maar dat is i.h.a. niet waar, maar door slim gekozen optellingen toevallig hier wel.

Dat ken ik verder niet.

Ik vind het overigens best als mensen beweren dat 1+2+3+4+...=-/1/12, maar dan geldt blijkbaar ook dat

0+1+2+3+4+5... = -1/12 + 0 =-1/12,

en ook

(1+2+3+4+...) - (0+1+2+3+4+5... ) = 1+1+1+1+1+1+... = 0, en blijkbaar ook

0+1+1+1+1+... =0+ 0 = 0, en dus blijkbaar ook

(1+1+1+1+1+1+...) - (0+1+1+1+1+... ) = 1 = 0- 0,

oftewel 1=0. Oneindige reeksen kun je herschikken zoals je wilt.

Het bewijs op youtube was dan ook als grap bedoeld, gebruikmakend van de idd brakke en in mijn ogen onjuist gebruik van het = teken.
En iid zodra je stelt dat 1+2+3+.... = -1/12 dan kun je alles bewijzen.

1+2+3+.... = -1/12 => "de maan is van groene kaas" is een correct statement

quote:

Op maandag 15 mei 2017 11:15 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Nee, je slaat een aantal stappen over die juist voor de verwarring zorgen.

1) Allereerst is er de Riemann zetafunctie, laten we die f(s) noemen, uitgedrukt in een reeks. Er geldt dat de reële waarde van s groter moet zijn dan 1, Re(s)>1, omdat de reeks anders niet convergeert. Het domein wordt dus gegeven door alle complexe getallen s waarvoor geldt Re(s)>1.
2) Maar in de complexe analyse is er een manier om het domein van een functie uit te breiden. Dit heet analytische voortzetting, en levert een uniek antwoord op. Dit is erg belangrijk, en een voorbeeld van hoe conforme invariantie van het complexe vlak functies beperkt, in tegenstelling tot b.v. functies gedefinieeërd op de reële rechte. Dat maakt complexe analyse ook zo'n bijzonder vakgebied.
3) Anyway, zo'n analytische voortzetting breidt dus het domein van de de functie, en daarmee de functie zelf, op een unieke wijze uit. Zo ook bij de zetafunctie f(s). In deze analytische voorzetting mag je nu bijvoorbeeld s=-1 invullen, een waarde die voor de analytische voortzetting niet in het domein lag! De analytische voortzetting van f(s) geeft hier echter een keurig, eindig antwoord voor: -1/12.
4) En dan komt het verwarrende: mensen gaan weer terugwerken. Ze gaan die analytische voortzetting van f(s) weer schrijven in termen van de oorspronkelijk reeks. Dat is flauwekul, want in die oorspronkelijke reeks levert de waarde s=-1 een oneindig antwoord op. De reeks wordt dan namelijk 1+2+3+4+... Maar omdat die analytische voortzetting een uniek antwoord oplevert, gunnen sommige mensen zichzelf de vrijheid om deze divergerende reeks ook de waarde -1/12 mee te geven, en schrijven

1+2+3+4+... = -1/12

5) Vervolgens gaan ze dat met dubieuze manipulaties op de reeks zelf proberen recht te breien. Wat ze eigenlijk bedoelen met 1+2+3+4+... = -1/12, is "wanneer we de reeks opvatten als de analytisch-voortgezette zeta-functie met argument s=-1, dan krijgen we -1/12. Allemaal leuk en wel, maar die reeks is natuurlijk nog steeds knoerthard oneindig. Het is de analytisch voortgezette functie die de waarde -1/12 oplevert.

Mee eens, had geen zin om het allemaal op te schrijven

quote:

Dit is overigens een schitterend voorbeeld van wetenschap onnodig mystiek maken. Het is op youtube zo ongeveer het wiskundige analagon van uitspraken in de natuurkunde als "er ontstaan en vergaan constant deeltjes in het kwantumvacuüm" of "er kan een universum uit het niets ontstaan" of andere flauwekul.

Ook mee eens. Voor veel mensen is "de wetenschap" een vervanging voor het geloof,
Gelovigen denken dat er een grens is aan het menselijke kennen en vertrouwen op god.
Wetenschapsgelovigen denken dat alles verklaard is door de wetenschap of verklaard zal worden.

Ik zie het eerder als een autoriteitsargument bij iets dat intuitief slecht te begrijpen is
.

De manipulaties die ze daar als goochelaarstruuk gebruiken, zijn natuurlijk allemaal manipulaties die je op s-reeksen kunt toepassen. Niet elke manipulatie voldoet daaraan: 1+2+3+... = 0+1+2+3+... is geen manipulatie die je op s-reeksen kunt toepassen.

1-1+1-1+1-1+... is bijvoorbeeld de reeks 1^-s - (1/2)2^-s + (1/3)3^-s - ... geëvalueerd in s=-1. Als je deze reeks uitwerkt staat er ζ(s+1)(1-2^-s), en die is inderdaad 1/2 in s=-1 (na analytische voortzetting).

Dat renormaliseren via s-reeksen is wel een mooi principe vind ik. Je komt het zowel in de getaltheorie als in de mathematische fysica tegen, een verrassend verband tussen twee ogenschijnlijk ongerelateerde vakgebieden.

quote:

Op maandag 15 mei 2017 13:52 schreef thabit het volgende:
De manipulaties die ze daar als goochelaarstruuk gebruiken, zijn natuurlijk allemaal manipulaties die je op s-reeksen kunt toepassen. Niet elke manipulatie voldoet daaraan: 1+2+3+... = 0+1+2+3+... is geen manipulatie die je op s-reeksen kunt toepassen.

1-1+1-1+1-1+... is bijvoorbeeld de reeks 1^-s - (1/2)2^-s + (1/3)3^-s - ... geëvalueerd in s=-1. Als je deze reeks uitwerkt staat er ζ(s+1)(1-2^-s), en die is inderdaad 1/2 in s=-1 (na analytische voortzetting).

Dat renormaliseren via s-reeksen is wel een mooi principe vind ik. Je komt het zowel in de getaltheorie als in de mathematische fysica tegen, een verrassend verband tussen twee ogenschijnlijk ongerelateerde vakgebieden.

Ik ben niet bekend met die term "s-reeks", maar vermoed dat het tegenover Cauchy-reeksen staat? Waar kan ik daarover meer vinden?

Een aardige thesis over zeta-regularisatie is

https://www.google.nl/url(...)EF54lzDInaQMOe-mYMhQ

van Robles.Levert idd mooie bruggetjes op. Je komt het al tegen bij bosonische snaartheorie Maar zover ik weet wordt in de natuurkunde dit soort regularisatie uitgevoerd mbv analytische voortzetting. Wellicht dat je jouw s-reeksen tegenkomt in kwantumveldentheorieen, waar zelfs renormaliseerbare theorieen amplitudes opleveren waarvan de afzondelijke elementen convergeren, maar de reeks zelf uiteindelijk divergeert. Zie bv ook

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dyson_series

[ Bericht 10% gewijzigd door Haushofer op 15-05-2017 16:18:48 ]

quote:

Op maandag 15 mei 2017 16:11 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Ik ben niet bekend met die term "s-reeks", maar vermoed dat het tegenover Cauchy-reeksen staat? Waar kan ik daarover meer vinden?

Ik denk niet dat het een bestaande term is. . Ik doelde daarmee gewoon op Dirichletreeksen ∑a_nn^-s of algemener ∑f(ω)|ω|^-s, waar ω een of ander rooster doorloopt. Die convergeren vaak in een of ander rechterhalfvlak, maar zijn in veel interessante gevallen (al dan niet vermoedelijk) analytisch voortzetbaar naar heel C.

quote:

Een aardige thesis over zeta-regularisatie is

https://www.google.nl/url(...)EF54lzDInaQMOe-mYMhQ

van Robles.Levert idd mooie bruggetjes op. Je komt het al tegen bij bosonische snaartheorie

Grappig. Veel van wat daarin staat kom je ook in de getaltheorie tegen.

quote:

Op maandag 15 mei 2017 13:52 schreef thabit het volgende:
(...)

Dat renormaliseren via s-reeksen is wel een mooi principe vind ik. Je komt het zowel in de getaltheorie als in de mathematische fysica tegen, een verrassend verband tussen twee ogenschijnlijk ongerelateerde vakgebieden.

Een hele mooie "visueel intuïtieve" uitleg van de unieke wijze van analytisch continueren van de zetafunctie is te vinden in in dit geweldige youtube filmpje. .

De hele serie van 3Blue1Brown vond ik overigens uiterst leerzaam (in elk geval voor een niet grondig wiskundig onderlegd iemand, zeg maar "crackpot", als mijzelf). Met name hun didactische insteek om op de intuïtie achter een idee te focussen, leidde bij mij al tot tal van Aha-Erlebnisse :-) Ben overigens benieuwd wat begenadigde docenten als Thabit en Haushofer van deze benadering vinden!

Prachtig om de vruchtbare kruisbestuiving te zien tussen de twee deelgebieden natuurkunde en de pure wiskunde, maar het gaat ook ook wel eens fout. Heb met grote interesse deze spannende discussie op Math StackExchange gevolgd, over een mogelijk natuurkundig bewijs voor de Riemann hypothese (o.b.v. de zgn, Hilbert-Polya of Berry-Keating conjecture). https://math.stackexchang(...)a-new-line-of-attack

Uiteindelijk worden er behoorlijk harde noten gekraakt en wordt de het natuurkundigen, die (toch best wel voorzichtig en netjes) een mogelijke benadering van het probleem gepubliceerd hadden, verweten waarom ze niet eventjes op hun Universiteit bij hun pure-wiskunde collega's langsgelopen waren. Zij hadden hen immers al snel op enige "irrepairable issues" in het "bewijs" kunnen wijzen.

[ Bericht 30% gewijzigd door Agno op 15-05-2017 20:47:11 ]

quote:

Op maandag 15 mei 2017 18:51 schreef thabit het volgende:

[..]

Ik denk niet dat het een bestaande term is. . Ik doelde daarmee gewoon op Dirichletreeksen ∑a_nn^-s of algemener ∑f(ω)|ω|^-s, waar ω een of ander rooster doorloopt. Die convergeren vaak in een of ander rechterhalfvlak, maar zijn in veel interessante gevallen (al dan niet vermoedelijk) analytisch voortzetbaar naar heel C.

[..]

Grappig. Veel van wat daarin staat kom je ook in de getaltheorie tegen.

Ah, ok, dat verklaart mijn gefaalde Google-pogingen

Zoals ik het begrijp van b.v. John Baez (tussen 2:20 en 3:00),


heeft Euler, "niet gehinderd door indoctrinatie van Dirichlet en Abel", al dit soort reekmanipulaties al in de 18e eeuw gedaan en kwam hij op de 'identiteit' 1+2+3+...=-1/12 uit. De pdf van zijn presentatie,

https://www.google.nl/url(...)oGgxsBso34oQ&cad=rja

behandelt dit op slide 6,7 en 8. Kun je me uitleggen of een link geven waarom dit soort 'los uit de pols'-manipulaties a la Euler exact dezelfde antwoorden geven voor dit soort reeksen als analytische voortzetting? Je gaf al een hint, maar ik zou dit beter willen begrijpen

John Baez heeft trouwens erg veel leuke artikelen, boeken en praatjes gegeven over mathematische fysica; zo heeft hij ook een boek over knopentheorie en ijktheorieën geschreven. Dit praatje vind je misschien ook wel aardig

quote:

Op maandag 15 mei 2017 20:22 schreef Agno het volgende:

[..]

Een hele mooie "visueel intuïtieve" uitleg van de unieke wijze van analytisch continueren van de zetafunctie is te vinden in in dit geweldige youtube filmpje.

Visualizing the Riemann zeta function and analytic continuation

.

De hele serie van 3Blue1Brown vond ik overigens uiterst leerzaam (in elk geval voor een niet grondig wiskundig onderlegd iemand, zeg maar "crackpot", als mijzelf). Met name hun didactische insteek om op de intuïtie achter een idee te focussen, leidde bij mij al tot tal van Aha-Erlebnisse :-) Ben overigens benieuwd wat begenadigde docenten als Thabit en Haushofer van deze benadering vinden!

Prachtig om de vruchtbare kruisbestuiving te zien tussen de twee deelgebieden natuurkunde en de pure wiskunde, maar het gaat ook ook wel eens fout. Heb met grote interesse deze spannende discussie op Math StackExchange gevolgd, over een mogelijk natuurkundig bewijs voor de Riemann hypothese (o.b.v. de zgn, Hilbert-Polya of Berry-Keating conjecture). https://math.stackexchang(...)a-new-line-of-attack

Uiteindelijk worden er behoorlijk harde noten gekraakt en wordt de het natuurkundigen, die (toch best wel voorzichtig en netjes) een mogelijke benadering van het probleem gepubliceerd hadden, verweten waarom ze niet eventjes op hun Universiteit bij hun pure-wiskunde collega's langsgelopen waren. Zij hadden hen immers al snel op enige "irrepairable issues" in het "bewijs" kunnen wijzen.

Ik ben ook groot fan van 3blue1brown inderdaad; ik gaf de link hier,

KLB / Mensen die denken dat 3÷3 1 is.

ook al. Hij laat erg mooi zien in die video hoe conforme invariantie van het complexe vlak de analytische voortzetting uniek maakt.

Op je stackexchange staat ook commentaar van Strogatz, iemand wiens boeken naar mijn idee ook fantastisch zijn. Ik heb laatst zijn boek over Dynamische Systemen en Chaostheorie voor een vak gebruikt, en het was simpelweg een verademing.

quote:

Op maandag 8 mei 2017 16:31 schreef SecretPret het volgende:
Heb ik vandaag geleerd. Ja ik ben een amateur

1. 3/3 = 0.999999999... = 1

2. Een driehoek bestaat uit oneindig veel hoeken (right?) Een hoek bereken je met graden. Aangezien de hoeken van een cirkel stomp zijn is het onmogelijk dat een cirkel 360 graden is. Een cirkel is dan infinity graden.

Bewijs voor 1:
1/3 = 0.33333...
2/3 = 0.66666...
3/3 = 0.99999... = 1

Leuk he?

Nee.
1/3≈0,3333333333
3/3=1

quote:

Op dinsdag 16 mei 2017 09:12 schreef Pietverdriet het volgende:

[..]

Nee.
1/3≈0,3333333333
3/3=1

en nee

1/3 = 0,333...

1/3 is inderdaad niet 0,3333333333

quote:

Op maandag 15 mei 2017 11:15 schreef Haushofer het volgende:
Dit is overigens een schitterend voorbeeld van wetenschap onnodig mystiek maken. Het is op youtube zo ongeveer het wiskundige analagon van uitspraken in de natuurkunde als "er ontstaan en vergaan constant deeltjes in het kwantumvacuüm" of "er kan een universum uit het niets ontstaan" of andere flauwekul.

Alhoewel het min of meer inherent is aan fysica om in vroeg stadium van nieuwe theorieën nogal losjes om te gaan met de wiskunde. Wiskundige rigoureusheid komt soms pas eeuwen later.

quote:

Op dinsdag 16 mei 2017 20:06 schreef yarnamc het volgende:

[..]

Alhoewel het min of meer inherent is aan fysica om in vroeg stadium van nieuwe theorieën nogal losjes om te gaan met de wiskunde. Wiskundige rigoureusheid komt soms pas eeuwen later.

Ja, maar dat is iets anders dan heuristische interpretaties presenteren als solide ontologie.

quote:

Op woensdag 17 mei 2017 07:28 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Ja, maar dat is iets anders dan heuristische interpretaties presenteren als solide ontologie.

Anderzijds denk ik niet dat ontologie en fysica veel met elkaar te maken hebben. In welke zin heeft een elektron meer bestaansrecht dan een virtueel deeltje bijvoorbeeld? Of een divergente Dysonreeks?

Bovendien bestaan er vaak, binnen een vakgebied in de fysica, equivalente theorieën (i.e. zelfde voorspellingskracht) met totaal verschillende ontologische concepten.

[ Bericht 5% gewijzigd door yarnamc op 18-05-2017 20:05:01 ]

quote:

Op donderdag 18 mei 2017 19:58 schreef yarnamc het volgende:

[..]

Anderzijds denk ik niet dat ontologie en fysica veel met elkaar te maken hebben. In welke zin heeft een elektron meer bestaansrecht dan een virtueel deeltje bijvoorbeeld? Of een divergente Dysonreeks?

Bovendien bestaan er vaak, binnen een vakgebied in de fysica, equivalente theorieën (i.e. zelfde voorspellingskracht) met totaal verschillende ontologische concepten.

Dat ben ik zeer met je oneens. Een 'elektron' (reëel, neem ik aan) kun je meten, een virtueel deeltje is slechts een boekhoudhulp om een berekening te organiseren. Divergente Dysonreeksen hebben te maken met het feit dat kwantumveldentheorieën vaak formeel niet wiskundig bestaan. Als (theoretisch) natuurkundige moet je je afvragen wat je nou precies beschrijft met datgene wat je op papier krabbelt.

Wat dat betreft denk ik dat het positivisme, zoals van Bohr, Mach en Heisenberg, en culminerend in Mermins "shut up and calculate" ook een negatieve stempel op de natuurkunde heeft gedrukt. Ik heb ook nooit begrepen hoe natuurkundigen ontologie los van de natuurkunde hebben kunnen zien. Inderdaad zijn er verschillende interpretaties die dezelfde voorspellingen doen. Ik denk dat als men ontologie meer aandacht had gegeven, er een heleboel kwantum-hokuspokus vermeden had kunnen worden. Persoonlijk ben ik daarom ook erg gecharmeerd van b.v. de Bohmse interpretatie, ook al heeft deze ook weer haken en ogen: de ontologie is kristalhelder, vergeleken met gedrochten als de Kopenhaagse interpretatie. Er is in die eerste geen meetprobleem, een duidelijk onderscheid tussen golf en deeltje en daarom geen halfbakken dualiteit, en je kunt duidelijk spreken over "de positie van een deeltje". Dat laatste is denk ik belangrijk, omdat elke meting in de natuurkunde terug is te brengen naar een positiemeting.

Een ander belangrijk voorbeeld van ontologie is denk ik het Loch-probleem van Einstein in zijn ART. Tegenwoordig wordt dit vaak weggelaten in tekstboeken, maar het is een probleem waar je (weet ik uit ervaring) doorgewinterde natuurkundigen goed mee in de war kunt brengen. Waarom? Omdat er zoveel nadruk wordt gelegd op rekenen en interpretatie en ontologie vaak wordt weggezet als een soort van hobbyisme. Een ander voorbeeld hiervan is Fierz-Pauli theorie en de ART. In de ART is het, na een eeuw bakkeleien, nog steeds niet helemaal helder wat nu exact de rol van algemene covariantie is (zie b.v. de discussie tussen Einstein en Kretschmann, of recenter papers op het arxiv zoals Giulini, https://arxiv.org/abs/gr-qc/0603087). In Fierz-Pauli theorie emergeert deze symmetrie op dezelfde manier als de U(1)-ijksymmetrie van QED: je wilt negatieve norm-toestanden vermijden. Algemene covariantie kan dus geen definiërende eigenschap zijn van een theorie van zwaartekracht, zoals Einstein dacht. Met een "verschillende intepretaties die dezelfde experimentele voorspellingen doen zijn fysisch niet relevant"-houding zou je hier niet achter zijn gekomen. Of wat dacht je van het concept "schijnkracht"?

Het zou mij niets verbazen als het probleem omtrent kwantumzwaartekracht en andere fundamentele problemen deels hebben te maken met het feit dat we ontologisch geen goed begrip hebben van de QM. Denk b.v. aan finetuning en de epicycels van Ptolemeus. Positivisten zouden zeggen dat het geocentrisch wereldbeeld met epicycels prima de planeetbanen kunnen beschrijven. We weten sinds Fourier dat we elke willekeurige planeetbaan aan de hemel geocentrisch kunnen verklaren door willekeurig veel hulpcirkels in te voeren.

De clou is dat het geocentrisch wereldbeeld uiteindelijk onhoudbaar bleek te zijn. Net zo is de Kopenhaagse interpretatie van de QM tegenwoordig denk ik onhoudbaar en zou ontologische opheldering wellicht een doorbraak kunnen geven in het vraagstuk omtrent kwantumzwaartekracht. En net zo dwingen finetuning-problemen in de moderne natuurkunde ons tot conceptuele vragen die we domweg met rekenen niet kunnen oplossen. Hoe kan dat ook, gegeven het feit dat het standaardmodel kwantitatief de meest succesvolle theorie uit de wetenschap is?

Kortom, elke natuurkundige zou w.m.b. ontologie serieus moeten nemen. Anders ben je vooral een veredeld boekhouder.

[ Bericht 2% gewijzigd door Haushofer op 19-05-2017 09:32:39 ]