abonnement bol.com Unibet Coolblue
pi_170238676
quote:
0s.gif Op zaterdag 15 april 2017 12:28 schreef heyrenee het volgende:

Ik zou dit volgens mij moeten kunnen, maar ik kom gewoon niet uit (4) Prove that the matrix A only has one real number eigenvalue.

Ik vind
[ afbeelding ]

met karakteristieke vergelijking λ3 = λ2 + λ + 1

Ik weet dat er drie oplossingen zijn en dat niet-reële oplossingen toegevoegd complex zijn, dus dat er één of drie reële oplossingen zijn als er geen meervoudige wortels zijn. Ik heb alleen geen idee hoe ik kan laten zien dat er maar één reële oplossing is.
Dit is uiteraard gewoon de karakteristieke vergelijking van je recursieve betrekking. Als je iets weet over kubische vergelijkingen is dit niet moeilijk. Herleiden op nul geeft

\lambda^3\,-\,\lambda^2\,-\,\lambda\,-\,1\,=\,0

De som van de wortels van deze vergelijking is 1, dus als we een substitutie μ = λ − ⅓ oftewel λ = μ + ⅓ uitvoeren dan krijgen we een kubische vergelijking in μ waarvan de som van de wortels 0 is zodat de kwadratische term ontbreekt. Na herleiding heb je dan

\mu^3\,-\,\frac{4}{3}\mu\,-\,\frac{38}{27}\,=\,0

Nu heeft een gereduceerde kubische vergelijking z3 + pz + q = 0 met reële coëfficiënten één reële en twee (toegevoegd) complexe wortels als de discriminant (p/3)3 + (q/2)2 positief is, en aangezien (−4/9)3 + (−38/54)2 = 11/27 heeft bovenstaande vergelijking in μ en daarmee ook je vergelijking in λ dus inderdaad één reële wortel.

Een andere manier is om het linkerlid van je vergelijking in λ herleid op 0 op te vatten als een functie van λ en te kijken naar de eerste afgeleide

\frac{\mathrm d}{\mathrm d\lambda}(\lambda^3\,-\,\lambda^2\,-\,\lambda\,-\,1)\,=\,3\lambda^2\,-\,2\lambda\,-\,1

Welnu, de eerste afgeleide heeft twee nulpunten λ = −1/3 en λ = 1, en met behulp van de tweede afgeleide

\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d\lambda^2}(\lambda^3\,-\,\lambda^2\,-\,\lambda\,-\,1)\,=\,6\lambda\,-\,2

stel je dan vast dat de uitdrukking

\lambda^3\,-\,\lambda^2\,-\,\lambda\,-\,1

een locaal maximum van −22/27 aanneemt voor λ = −1/3 en een locaal minimum van −2 voor λ = 1. Beide locale extrema hebben hetzelfde teken (ze zijn beide negatief) en daaruit volgt inderdaad weer dat bovenstaande uitdrukking in λ slechts één reëel nulpunt kan hebben.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 15-04-2017 15:19:53 ]
abonnement bol.com Unibet Coolblue
Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:
(afkorting, bv 'KLB')