[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op vrijdag 20 september 2013 11:57 schreef Riparius het volgende:

[..]

Uiteraard heb ik nog 'ergens' links voor je. Veel meer dan je ooit zou kunnen doorwerken voor je aankomende tentamen. Alleen begrijp ik niet zo goed wat je daar nu mee hoopt te bereiken. Gezien je totale gebrek aan kennis ga je dit nooit op tijd bijspijkeren voor je tentamen, daar ben je nu al veel te laat mee. Ik begrijp verder ook niet waarom ze voor toelating tot jouw studie alleen Wiskunde A vragen en dan kennelijk toch het boek van Adams & Essex voorschrijven, daar zit echt iets helemaal niet goed. Ik hoef later in ieder geval geen pilletje van jou, dat weet ik nu al zeker.

Verder heb ik een beetje de indruk dat je denkt dat je het wel gaat redden door een paar websites door te nemen. Nou, dat is niet zo. Dat is net zo iets als denken dat je een voetballer kunt worden door alleen maar wedstrijden op TV te bekijken. Wiskunde kun je echt alleen maar leren door het te doen. Daarom raad ik hierboven ook aan om al het online materiaal dat je wil gaan gebruiken te printen en er dan mee aan de slag te gaan. Gewoon achter een buro, met pen en papier, in alle rust, zonder afleidingen van welke aard dan ook.

Dit gezegd zijnde heb ik nog wel wat materiaal dat ik je kan aanbevelen. Algemene cursussen die bedoeld zijn om wiskunde deficiënties van beginnende studenten weg te werken vind je bijvoorbeeld hier en hier. Zoek je speciaal iets voor goniometrie dan zou je hier eens mee kunnen beginnen of deze inleidende cursus (engelstalig) kunnen doorwerken. Er is ook een kosteloos boek (engelstalig) met de schoolstof goniometrie dat verspreid wordt onder de GNU Free Documentation License, en dat boek vind je hier.

Nou, dit is dus precies de reden dat ik het niet zo handig vind om dingen online te vragen. Ik vraag om hulp met wat wiskunde-opgaven en ik krijg een hele preek over hoe triest het wiskundeonderwijs is in NL en hoe gruwelijk laat ik wel niet ben met calculus en dat het me toch niet gaat lukken. Ik moet je even uit een droom helpen; calculus is een steunvak bij deze studie, zeker geen hoofdvak en al helemaal niet zo relevant als jij doet overkomen, dus even gas terug. Genoeg andere onderwerpen waar ik misschien juist heel goed in ben (weet jij veel ).

Point being: niet zo hoog van de toren blazen als iemand je simpel wat vraagt betreffende het vak, niet je mening.

quote:

Op zondag 22 september 2013 19:58 schreef Borizzz het volgende:
cd

Oke, dit was dus de eerste post van FOK! door mijn 15-maanden oude zoon.

quote:

Op zondag 22 september 2013 20:42 schreef Broodje_Koe het volgende:

[..]

Nou, dit is dus precies de reden dat ik het niet zo handig vind om dingen online te vragen.

Ik denk dat je het verrekte handig vindt, maar dat je er moeite mee hebt om dan vervolgens en plein public geconfronteerd te worden met het feit dat je er praktisch niets aan doet om je deficiënties weg te werken.

quote:

Ik vraag om hulp met wat wiskunde-opgaven en ik krijg een hele preek over hoe triest het wiskundeonderwijs is in NL en hoe gruwelijk laat ik wel niet ben met calculus en dat het me toch niet gaat lukken.

Je vraagt inderdaad hulp, maar uit je vragen bleek ook pijnlijk duidelijk dat je nog zo goed als niets van de stof begreep. En dan zijn wat summiere aanwijzingen nutteloos, en ben je alleen gebaat met adviezen om je studie serieuzer aan te pakken en met adviezen over de manier waarop je dat zou kunnen doen. En die adviezen heb ik gegeven. Ik wijs er ook nog even op dat ik de enige ben geweest die hier in dit topic gehoor heeft gegeven aan je vraag naar nuttige linkjes.

quote:

Ik moet je even uit een droom helpen; calculus is een steunvak bij deze studie, zeker geen hoofdvak en al helemaal niet zo relevant als jij doet overkomen, dus even gas terug.

Ik hoef helemaal niet uit de droom te worden geholpen, ik ben klaarwakker. Ik heb me verbaasd over het feit dat voor jouw studie alleen Wiskunde A wordt gevraagd als toelatingseis, maar dat men dan wel het boek van Adams & Essex gebruikt. Daar zit iets helemaal scheef, en ik denk dat de keuze voor dit boek een indicatie is dat calculus bij jouw studie toch een grotere rol zal spelen dan je nu wenst aan te nemen.

quote:

Genoeg andere onderwerpen waar ik misschien juist heel goed in ben (weet jij veel ).

Als dat zo is dan krijg je de komende jaren genoeg gelegenheid om dat te laten zien.

quote:

Point being: niet zo hoog van de toren blazen als iemand je simpel wat vraagt betreffende het vak, niet je mening.

Aan een 'simpele' antwoorden op 'simpele' vragen heb je niets als je nog bijna niets van de stof begrijpt. Daarom heb ik geprobeerd om aan te geven wat je naar mijn idee nu het beste zou kunnen doen en tevens geprobeerd je irreële verwachtingen (namelijk dat je je aankomende tentamen zult gaan halen) wat naar beneden bij te stellen.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 22-09-2013 23:56:17 ]

quote:

Op zondag 22 september 2013 22:31 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Nu is het een vergelijking met 2 onbekenden. Stel je nu eens voor dat je n vergelijkingen met n onbekenden hebt, dan gaat het met de hand niet meer lukken voor een wat grotere n. Dan stel je een matrix op en die (laat) je vegen.

Result of solution using Gauss-Jordan elimination

Your matrix

№ X1 X2 b
1 -3 3 -9
2 -5 2 8
3 -6 -3 51

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Solution set:

x1 = -14/3
x2 = -23/3

Even onthouden dit, kan wel eens van pas komen. Bedankt.

quote:

Op zondag 22 september 2013 11:11 schreef hijdiegaapt het volgende:

[..]

Allereerst bedankt voor deze uitgebreide uitleg!

Het begint iets duidelijker te worden. De tweede helft van je uitleg snap ik wel redelijk.
Helaas denk ik dat je mijn kennis van vectoren een beetje overschat hebt, eigenlijk maak ik hier voor het eerst kennis met vectoren.
Ik dacht dat vectoren gewoon weer een andere manier van noteren voor een rechte lijn was.

Na wat googelen ben ik wel wat wijzer geworden, maar ik heb geen idee hoe ik de door jouw genoemde vectoren moet tekenen. Ik begrijp niet wat je bedoelt met termen als vaste vector en inproduct.

Nogmaals bedankt voor de moeite die je er in steekt!

Vectoren kun je opvatten als gerichte lijnstukken met een beginpunt en een eindpunt, het zijn geen lijnen. Dat zou toch in je boek aan de orde moeten zijn gekomen omdat je anders ook niet duidelijk kunt maken wat je moet verstaan onder de som en het verschil van twee vectoren en wat je je moet voorstellen bij de vermenigvuldiging van een vector met een scalar (een reëel getal). En dit alles heb je weer nodig om te begrijpen wat een vectorvoorstelling van een rechte lijn nu eigenlijk is en hoe deze samenhangt met een parametervoorstelling in cartesische coördinaten van een rechte lijn.

Ik begrijp dat je mijn uitleg niet kunt volgen als je niet weet wat een inproduct van twee vectoren is. Gewoonlijk wordt het inproduct behandeld voordat men het begrip normaalvector van een rechte lijn introduceert, omdat het verband tussen de kentallen van een normaalvector van een rechte lijn en de coëfficiënten van een cartesische vergelijking van die lijn dan evident is, zoals ik heb laten zien. In jouw boek gebeurt dat kennelijk niet, en daarom komen normaalvectoren van rechte lijnen in de behandeling zoals die in jouw boek wordt gegeven eigenlijk volkomen uit de lucht vallen. Dat is niet goed, want op deze manier veroorzaakt het begrip normaalvector eerder verwarring dan dat het wat verheldert, dat blijkt wel uit jouw vragen. Ik kan je aanraden eens te beginnen met het doornemen van dit Wikipedia artikel over vectoren.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-09-2013 00:01:42 ]

quote:

Op zondag 22 september 2013 23:22 schreef Rezania het volgende:

[..]

Even onthouden dit, kan wel eens van pas komen. Bedankt.

De oplossing met matrices is natuurlijk prima, en als je veel variabelen hebt en een lineair stelsel door een computerprogramma wil laten oplossen is dit de aangewezen weg, maar ik denk ook dat de kans op fouten bij een uitwerking met pen en papier van een stelsel met slechts enkele variabelen hierbij groter is dan bij de eenvoudige methode die ik heb aangegeven.

Ik denk dat je probleem vooral zit in een gebrek aan basale algebraïsche vaardigheden, want je beweerde dat ook substitueren weinig opleverde en gaf vervolgens een vergelijking die niet klopte. Toch gaat het ook met substitutie heel eenvoudig. De eerste vergelijking luidt

14 + 3t = 5 + 3s

Als we hier van beide leden 14 aftrekken en vervolgens beide leden delen door 3, dan hebben we

t = s − 3

oftewel

s = t + 3

Nu kun je één van deze beide betrekkingen invullen in de tweede (of derde) voorwaarde, en dan krijg je een lineaire vergelijking in uitsluitend s resp. uitsluitend t, die je uiteraard weer eenvoudig op kunt lossen.

quote:

Op maandag 23 september 2013 00:43 schreef Riparius het volgende:

[..]

De oplossing met matrices is natuurlijk prima, en als je veel variabelen hebt en een lineair stelsel door een computerprogramma wil laten oplossen is dit de aangewezen weg, maar ik denk ook dat de kans op fouten bij een uitwerking met pen en papier van een stelsel met slechts enkele variabelen hierbij groter is dan bij de eenvoudige methode die ik heb aangegeven.

Ik denk dat je probleem vooral zit in een gebrek aan basale algebraïsche vaardigheden, want je beweerde dat ook substitueren weinig opleverde en gaf vervolgens een vergelijking die niet klopte. Toch gaat het ook met substitutie heel eenvoudig. De eerste vergelijking luidt

14 + 3t = 5 + 3s

Als we hier van beide leden 14 aftrekken en vervolgens beide leden delen door 3, dan hebben we

t = s − 3

oftewel

s = t + 3

Nu kun je één van deze beide betrekkingen invullen in de tweede (of derde) voorwaarde, en dan krijg je een lineaire vergelijking in uitsluitend s resp. uitsluitend t, die je uiteraard weer eenvoudig op kunt lossen.

Dat was een typefout zie ik nu. Ik had ook gewoon s=t+3 op papier staan. Maar het probleem was dus dat ik niet verder keek dan mijn neus lang was en alleen substitutie op de eerste vergelijking toepaste.

quote:

Op maandag 23 september 2013 07:10 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Nu al een grotere kwaliteitsuser dan jij.

quote:

Op zondag 22 september 2013 20:43 schreef Borizzz het volgende:

[..]

Oke, dit was dus de eerste post van FOK! door mijn 15-maanden oude zoon.

Als 1 jarige een bijdrage leveren in het wiskunde topic.

quote:

Op zondag 22 september 2013 20:42 schreef Broodje_Koe het volgende:

[..]

Nou, dit is dus precies de reden dat ik het niet zo handig vind om dingen online te vragen. Ik vraag om hulp met wat wiskunde-opgaven en ik krijg een hele preek over hoe triest het wiskundeonderwijs is in NL en hoe gruwelijk laat ik wel niet ben met calculus en dat het me toch niet gaat lukken. Ik moet je even uit een droom helpen; calculus is een steunvak bij deze studie, zeker geen hoofdvak en al helemaal niet zo relevant als jij doet overkomen, dus even gas terug. Genoeg andere onderwerpen waar ik misschien juist heel goed in ben (weet jij veel ).

Point being: niet zo hoog van de toren blazen als iemand je simpel wat vraagt betreffende het vak, niet je mening.

Door hier weer op te reageren bevestig ik wel een beetje je punt dat op internet dingen vragen veel gedoe oplevert, maar je als je dingen leest die je niet bevallen, hoef je er niet op te reageren. Uiteindelijk wordt je hier gewoon prima geholpen hoor, misschien wel beter dan als je iets aan een docent IRL vraagt. Bovendien kunnen die ook gewoon een preek beginnen, en dat lijkt me een stuk vervelender dan een post op internet. Je wordt niet gedwongen om reacties helemaal te lezen.

Ik ga morgen met het uitgereikte materiaal geprint en al aan de slag. Ik begrijp zelf ook niet waarom ze wiskunde A instromers wel aannemen gezien het feit calculus voortborduurt op wiskunde B onderwerpen. Als ik dat had geweten had ik deze studiekeuze wel heroverwogen. Maar goed, ik ben er nu eenmaal aan begonnen, dan kan ik het net zo goed proberen ook

quote:

Op woensdag 25 september 2013 01:29 schreef Broodje_Koe het volgende:
Ik ga morgen met het uitgereikte materiaal geprint en al aan de slag. Ik begrijp zelf ook niet waarom ze wiskunde A instromers wel aannemen gezien het feit calculus voortborduurt op wiskunde B onderwerpen. Als ik dat had geweten had ik deze studiekeuze wel heroverwogen. Maar goed, ik ben er nu eenmaal aan begonnen, dan kan ik het net zo goed proberen ook

Gewoon je best doen en er hard voor werken. Het lijkt me dat ze niet voor niks wiskunde A'ers toelaten. Als die gemiddeld genomen de studie niet halen, dan kost ze dat alleen maar geld. Riparius heeft natuurlijk gelijk dat je er laat mee bent, maar laat je daardoor niet uit het veld slaan .

Ze zullen het niveau van de examens wel aanpassen aan de doelgroep maar dan nog is het raar dat ze dit boek gebruiken als ze dat eindniveau nastreven. Ik vind het trouwens wel behoorlijk naïef dat hij niet wist dat hij wat wiskunde zou krijgen.

Hoe reken je de extreme punten van zowel een berg als dalparabool uit?

Bijv van:
x ² +x -20 =0

Is -20 laagste punt?
Met -b/2a kwam ik op een andere waarde(-20,25).
Klopt dat?

Ik had:
Verschil tussen de nulpunten 9 omdat 5 = -4 +x
9/2 = 4,5
4,5 + -4 = 0,5

Laagste dalpunt is (1/2, -77/4)

Ik kwam ook een keer op een waarde van -20,25 via gr.

[ Bericht 4% gewijzigd door wiskundenoob op 27-09-2013 16:41:46 ]

quote:

Op vrijdag 27 september 2013 15:34 schreef wiskundenoob het volgende:
Hoe reken je de extreme punten van zowel een berg- als een dalparabool uit?

Als je geen gebruik maakt van differentiaalrekening, dan kun je voor het berekenen van het extremum (minimum of maximum) van een kwadratische functie gebruik maken van het feit dat de grafiek van een kwadratische functie een parabool is met een verticale symmetrie-as.

Hebben we de kwadratische functie

f(x) = ax² + bx + c

dan is de grafiek hiervan een parabool met als symmetrie-as de lijn met vergelijking

x = −b/2a

Is a > 0 dan is de grafiek een dalparabool en dan neemt f(x) voor x = −b/2a een minimum aan. Is daarentegen a < 0, dan is de grafiek een bergparabool en neemt f(x) voor x = −b/2a dus een maximum aan.

De waarde van het aangenomen extremum is altijd −D/4a, dus

f(−b/2a) = −D/4a

waarbij

D = b² − 4ac

de discriminant is van de kwadratische veelterm ax² + bx + c. De discriminant bepaalt hoeveel reële nulpunten de functie f(x) = ax² + bx + c heeft, en daarmee ook of de parabool die de grafiek is van deze functie de x-as snijdt (D > 0), raakt (D = 0) of geheel boven of onder de x-as ligt (D < 0).

quote:

Bijv van:
x ² + x - 20 = 0

Is -20 laagste punt?

Nee, want je kunt het minimum van een kwadratische veelterm niet bepalen door simpelweg x = 0 te nemen. Let bovendien op de juiste terminologie. Hier geef je een kwadratische vergelijking terwijl je in feite vraagt naar het minimum van de kwadratische functie f(x) = x² + x − 20. Dat is wat anders.

quote:

Met -b/2a kwam ik op een andere waarde.
Klopt dat?

Ja, want zoals gezegd kun je het minimum of maximum niet bepalen door simpelweg x = 0 te nemen. En als je iets eerst op een verkeerde manier uitrekent en dan op een correcte manier, is het niet zo vreemd als je twee verschillende uitkomsten krijgt toch?

quote:

Verschil tussen de nulpunten 9 omdat 5 = -4 +x

Dat mag je om te beginnen niet zo slordig opschrijven. De kwadratische veelterm x² + x − 20 heeft de nulpunten x₁ = −5 en x₂ = +4. Je mag ook zeggen dat de functie f(x) = x² + x − 20 twee nulpunten heeft of dat de kwadratische vergelijking x² + x − 20 = 0 twee reële oplossingen heeft.

quote:

9/2 = 4,5
4,5 + -4 = 0,5
Laagste dalpunt is (1/2, 77/4)

Ik kwam ook een keer op een waarde van 20,25 via gr.

Nee. Je maakt hier een tekenfout. De nulpunten zijn x₁ = −5 en x₂ = 4 dus de functie neemt een extremum aan bij x = −1/2 en de waarde van dit extremum is −81/4 = −20¼, kijk maar.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 27-09-2013 17:30:09 ]

quote:

Op vrijdag 27 september 2013 16:43 schreef Riparius het volgende:
Nee, want je kunt het minimum van een kwadratische veelterm niet bepalen door simpelweg x = 0 te nemen. Let bovendien op de juiste terminologie. Hier geef je een kwadratische vergelijking terwijl je in feite vraagt naar het minimum van de kwadratische functie f(x) = x2 + x − 20. Dat is wat anders.

Als je x² + x − 20 neemt en

x(x+1) = 0

van maakt. Wat staat hier dan?

Je hebt dan x = -1 en x = 0. 2 oplossingen dus -1/2 = x

quote:

Op vrijdag 27 september 2013 17:32 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Als je x² + x − 20 neemt en

x(x+1) = 0

van maakt. Wat staat hier dan?

Je hebt dan x = -1 en x = 0. 2 oplossingen dus -1/2 = x

Leg mij eens uit hoe jij er x (x+1) =0 van maakt.

quote:

Op vrijdag 27 september 2013 17:52 schreef Borizzz het volgende:

[..]

Leg mij eens uit hoe jij er x (x+1) =0 van maakt.

-20 weglaten en dan x buiten haakjes halen.

quote:

Op vrijdag 27 september 2013 17:32 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Als je x² + x − 20 neemt en

x(x+1) = 0

van maakt. Wat staat hier dan?

Je hebt dan x = -1 en x = 0. 2 oplossingen dus -1/2 = x

Nee, hier klopt niets van. Jammer genoeg lijkt het erop alsof je al mijn uiteenzettingen over kwadraatafsplitsen al weer helemaal bent vergeten.

Je mag die constante term −20 niet buiten beschouwing laten.

Het is waar dat je in ax² + bx + c bij de eerste twee termen een x buiten haakjes kunt halen en dat je dan krijgt x(ax + b) + c, maar dit betekent niet dat x = 0 en x = −b/a de nulpunten zijn van deze kwadratische veelterm. Je kunt direct zien dat dat niet klopt: als we in de functie f(x) = ax² + bx + c de waarde x = 0 invullen, dan krijgen we f(0) = c, dus x = 0 is geen nulpunt van deze functie, tenzij c = 0.

Wat je wél kunt zeggen is dat als een kwadratische vergelijking

ax² + bx + c = 0

de oplossingen x₁ en x₂ heeft, dat voor deze oplossingen dan de volgende betrekkingen (genoemd naar Viète) gelden:

x₁ + x₂ = −b/a

x₁x₂ = c/a

Je had zelf al bedacht dat je het gemiddelde kunt nemen van de x-coördinaten van de snijpunten van de parabool met de x-as om de ligging van de verticale symmetrie-as te bepalen, en zo te vinden voor welke waarde van x de bijbehorende functie een extreme waarde aanneemt. Welnu, als er twee nulpunten x₁ en x₂ zijn, dan is het gemiddelde

(x₁ + x₂)/2 = −b/2a

en inderdaad bereikt de functie f(x) = ax² + bx + c een extreme waarde bij x = −b/2a. Dat geldt trouwens ook als er geen nulpunten zijn, maar om dat in te zien moet je gebruik maken van kwadraatafsplitsing.

quote:

Op vrijdag 27 september 2013 17:57 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, hier klopt niets van. Jammer genoeg lijkt het erop alsof je al mijn uiteenzettingen over kwadraatafsplitsen al weer helemaal bent vergeten.

Je mag die constante term −20 niet buiten beschouwing laten.

Het is waar dat je in ax² + bx + c bij de eerste twee termen een x buiten haakjes kunt halen en dat je dan krijgt x(ax + b) + c, maar dit betekent niet dat x = 0 en x = −b/a de nulpunten zijn van deze kwadratische veelterm. Je kunt direct zien dat dat niet klopt: als we in de functie f(x) = ax² + bx + c de waarde x = 0 invullen, dan krijgen we f(0) = c, dus x = 0 is geen nulpunt van deze functie, tenzij c = 0.

Wat je wél kunt zeggen is dat als een kwadratische vergelijking

ax² + bx + c = 0

de oplossingen x₁ en x₂ heeft, dat voor deze oplossingen dan de volgende betrekkingen (genoemd naar Viète) gelden:

x₁ + x₂ = −b/a

x₁x₂ = c/a

Je had zelf al bedacht dat je het gemiddelde kunt nemen van de x-coördinaten van de snijpunten van de parabool met de x-as om de ligging van de verticale symmetrie-as te bepalen, en zo te vinden voor welke waarde van x de bijbehorende functie een extreme waarde aanneemt. Welnu, als er twee nulpunten x₁ en x₂ zijn, dan is het gemiddelde

(x₁ + x₂)/2 = −b/2a

en inderdaad bereikt de functie f(x) = ax² + bx + c een extreme waarde bij x = −b/2a. Dat geldt trouwens ook als er geen nulpunten zijn, maar om dat in te zien moet je gebruik maken van kwadraatafsplitsing.

Oke, een vraag die ik heb gevonden op internet.

If y= 4 + (x-3)², then y is least when x =

Het is een dalparabool omdat a > 0 dus moeten we minimum vinden.

4+ x² -6x +9 = x² -6x +13

En dan gebruiken we -b/2a om x te vinden.

-(-6/2) = 3 = x-coördinaat van het minimum

Om y te vinden vullen we x = 3 in y = 4 + (x-3)²

y = 4 + (3-3)^2 = 4

Het minimum is dus (3,4)

Antwoord op de vraag is dus 3.

Maar de uitleg die bij deze vraag staat is veel simpeler, alleen snap ik de uitleg niet:

(x-3)² = 0
x - 3 = 0
x = 3

[ Bericht 0% gewijzigd door wiskundenoob op 27-09-2013 18:45:11 ]

quote:

Op vrijdag 27 september 2013 18:37 schreef wiskundenoob het volgende:
Maar de uitleg die bij deze vraag is veel simpeler, alleen snap ik de uitleg niet:

(x-3)² = 0
x - 3 = 0
x = 3

u² heeft minimum in u = 0 (u reeel)

y = 4 + (x+3)²
4 is gewoon een constante, dus maakt niet uit voor het minimum.
Dan hou je over (x+3)² en het minimum daarvan is x - 3 = 0

-edit-
Wat je ook kan doen (algemener) is kijken naar wanneer de afgeleide 0 is, daarmee vind je een lokaal minimum of maximum.
Eigenlijk komt het hier op hetzelfde neer:
y = 4 + (x-3)^2
y' = 2(x-3) = 0
x = 3

[ Bericht 7% gewijzigd door t4rt4rus op 27-09-2013 18:57:33 ]

quote:

Op vrijdag 27 september 2013 18:37 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Oke, een vraag die ik heb gevonden op internet.

If y= 4 + (x-3)², then y is least when x =

Het is een dalparabool omdat a > 0 dus moeten we minimum vinden.

4+ x² -6x +9 = x² -6x +13

En dan gebruiken we -b/2a om x te vinden.

-6/2 = 3 = x-coördinaat van het minimum

Om y te vinden vullen we x = 3 in y = 4 + (x-3)²

y = 4 + (3-3)^2 = 4

Het minimum is dus (3,4)

Antwoord op de vraag is dus 3.

Maar de uitleg die bij deze vraag is veel simpeler, alleen snap ik de uitleg niet:

(x-3)² = 0
x - 3 = 0
x = 3

De clou is hier dat de kwadratische functie al is gegeven in een vorm die je krijgt als je kwadraatafspliting toepast. Je hebt

f(x) = (x −3)² + 4

Nu kun je inderdaad de haakjes gaan uitwerken, en dan krijg je

f(x) = x² − 6x + 13

Maar dat moet je nu juist niet doen, want daardoor maak je het jezelf alleen maar moeilijker.

Als je eens even kijkt naar de uitdrukking

(x −3)² + 4

dan zie je dat je hier een kwadraat (x −3)² hebt en een constante term + 4. Maar nu weet je dat een kwadraat (van een reëel getal) nooit negatief kan zijn. Dat wil dus zeggen dat (x −3)² nul als laagste waarde heeft, en dat die laagste waarde wordt bereikt als (x − 3) zelf nul is, en dus als x = 3. En omdat we voor onze functiewaarde 4 optellen bij (x −3)² zie je dus ook direct dat de waarde van deze functie nooit lager kan worden dan 4. De functie bereikt dus een minimum van 4 bij x = 3.