[Bèta wiskunde] huiswerk- en vragentopic

Ik kom er niet uit hoe ik de volgende functie op 0 kan stellen. ivm met snijpunten op de x as.

9x² - x ³ - 36 = 0

Tips zijn zeer welkom.

quote:

Op maandag 13 oktober 2008 20:41 schreef Robin__ het volgende:
Ik kom er niet uit hoe ik de volgende functie op 0 kan stellen. ivm met snijpunten op de x as.

9x² - x ³ - 36 = 0

Tips zijn zeer welkom.

Dat is een derdegraadsvergelijking. Ben je bekend met de formules van Cardano?

quote:

Op maandag 13 oktober 2008 20:41 schreef Robin__ het volgende:
Ik kom er niet uit hoe ik de volgende functie op 0 kan stellen. ivm met snijpunten op de x as.

9x² - x ³ - 36 = 0

Tips zijn zeer welkom.

Is het de bedoeling dat je deze met de hand oplost? Of op je grafische rekenmachine? Want de uitkomsten zijn niet bepaald 'mooi'.

quote:

Op maandag 13 oktober 2008 20:49 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is een derdegraadsvergelijking. Ben je bekend met de formules van Cardano?

Nee. Ik snap er dan ook niets van.

Boek even bekeken, de formules van cardano staan niet in de wiskunde boeken die ik heb, dus dat lijkt me niet de bedoeling. Ik hoor morgen wel hoe het zit, vermoed een druk fout.. of 'enthousiasme' van mn wiskunde leraar zoals ie dat dan noemt.

Kon het alleen niet uitstaan :p maar heeft niet heel veel haast.. maar was toch wel benieuwt. (maarja zonder de kennis van die formules zal ik van de uitwerking ook weinig snappen denk ik)

had op grm idd gezien dat het geen mooie getalen waren.. helaas waren ze wel reeel bij de opgave .

quote:

Op maandag 13 oktober 2008 21:30 schreef Robin__ het volgende:

[..]

Nee. Ik snap er dan ook niets van.

Boek even bekeken, de formules van Cardano staan niet in de wiskunde boeken die ik heb, dus dat lijkt me niet de bedoeling. Ik hoor morgen wel hoe het zit, vermoed een druk fout.. of 'enthousiasme' van m'n wiskunde leraar zoals ie dat dan noemt.

Lijkt me allebei sterk. Maar als je op een middelbare school zit is het inderdaad niet waarschijnlijk dat er van je verwacht wordt dat je cubische vergelijkingen oplost.

quote:

Kon het alleen niet uitstaan :p maar heeft niet heel veel haast.. maar was toch wel benieuwd. (maar ja zonder de kennis van die formules zal ik van de uitwerking ook weinig snappen denk ik).

Dat moet je nooit zeggen van jezelf natuurlijk. Kijk maar even hier.

quote:

had op grm idd gezien dat het geen mooie getallen waren.. helaas waren ze wel reëel bij de opgave .

De discriminant van de gereduceerde vergelijking z³ - 27z - 18 = 0 is negatief, dus je vergelijking heeft inderdaad drie reële wortels.

quote:

Op maandag 13 oktober 2008 21:40 schreef Riparius het volgende:

[..]

Lijkt me allebei sterk. Maar als je op een middelbare school zit is het inderdaad niet waarschijnlijk dat er van je verwacht wordt dat je cubische vergelijkingen oplost.
[..]

Dat moet je nooit zeggen van jezelf natuurlijk. Kijk maar even hier.
[..]

De discriminant van de gereduceerde vergelijking z³ - 27z - 18 = 0 is negatief, dus je vergelijking heeft inderdaad drie reële wortels.

dit boek word alle gebruikt voor de propedeuse wiskunde, twijfel er niet aan dat het in het volgende boek staat.

Ik was zelf idd ook al naar wikipedia gegaan om te kijken wat het was, maar snel weg geklikt.. ik heb ook nog andere vakken te doen vanavond

quote:

Op maandag 13 oktober 2008 21:53 schreef Robin__ het volgende:

[..]

dit boek wordt alleen gebruikt voor de propedeuse wiskunde, twijfel er niet aan dat het in het volgende boek staat.

Ik was zelf idd ook al naar wikipedia gegaan om te kijken wat het was, maar snel weg geklikt.. ik heb ook nog andere vakken te doen vanavond

Even heel snel dan . Herleid je vergelijking tot de standaardvorm

x³ - 9x² + 36 = 0

De meest algemene vorm van een cubische vergelijking is

ax³ + bx² + cx + d = 0

In jouw geval is dus a=1, b=-9, c=0 en d=36.

Ga nu naar deze site, vul de waarden van a,b,c,d in en voila, wortels berekend met Cardano!

Soms kom je wel eens een derde graadsvergelijking tegen die die rationele wortels heeft, en die kun je met eenvoudig proberen vinden, omdat ze de vorm p/q hebben waar p een echte deler van a₀ moet zijn, en q een deler van a_n, gesteld dat je polynoom de vorm a_n xⁿ + ... + a₀ heeft. Maar dat gaf bij deze duidelijk geen oplossingen.

Riparius, zou je

quote:

Als je substituties gaat uitvoeren bij integralen kun je beter met differentialen werken, dan zie je beter wat je doet.

Je substitutie is z = eit, dus dan is dz/dt = i∙eit = i∙z en dus dt/dz = -i∙z-1 en dus dt = -i∙z-1∙dz.

Je integreert de functie f(z) = -i∙(z+1)2 / (z∙(z2 + 4z + 1)) langs de eenheidscirkel, dus de volgende stap is dan te kijken welke polen van deze functie er binnen de eenheidscirkel liggen en dan de residuen bepalen voor elk van deze polen.

Eens wat nader willen verklaren? Ik werk reele integralen wel uit met differentialen, maar ik kan de stappen die jij neemt bij complexe integralen niet zo snel achterhalen. Het dictaat dat ik heb doet het niet op jouw manier, maar toch wil ik deze wel begrijpen. Want jouw methode lijkt me universeler; je kunt een reele integraal ook wel via een andere parametrisering berekenen in plaats van alleen maar via de eenheidscirkel.

quote:

Op dinsdag 14 oktober 2008 20:00 schreef Borizzz het volgende:
Riparius, zou je
[..]

Eens wat nader willen verklaren?

Ja hoor, met plezier. Heb je trouwens de integraal wel uit kunnen rekenen? Ik heb het ook even uitgewerkt en ik kom op

2π∙(1 - (1/3)∙√3)

quote:

Ik werk reële integralen wel uit met differentialen, maar ik kan de stappen die jij neemt bij complexe integralen niet zo snel achterhalen. Het dictaat dat ik heb doet het niet op jouw manier, maar toch wil ik deze wel begrijpen. Want jouw methode lijkt me universeler; je kunt een reële integraal ook wel via een andere parametrisering berekenen in plaats van alleen maar via de eenheidscirkel.

De substitutiemethode werkt voor reële en complexe integralen eigenlijk op dezelfde manier (en dus ook wanneer je door een substitutie een reële integraal verandert in een complexe integraal).

Wanneer je een substitutie uitvoert, dan verandert niet alleen de naam van de variabele (bijvoorbeeld van t naar z, zoals in jouw opgave), maar ook de integratiegrenzen veranderen mee. Wanneer een integraal door een substitutie een reële integraal blijft dan verandert een interval, zeg [a,b], waarover je integreert (met de oorspronkelijke variabele) in een interval [p,q] met de nieuwe variabele. Maar bij complexe integralen integreer je niet over een interval, maar langs een curve in het complexe vlak. Wanneer dat een curve is met een begin- en eindpunt, dan spreekt men meestal van een pad, en wanneer het een gesloten curve is die zichzelf niet oversnijdt, is het gebruikelijk om van een contour te spreken.

Wanneer we dus een reële integraal door een substitutie veranderen in een complexe integraal, dan verandert het (reële) interval van de oorspronkelijke integraal in een pad, of een contour. In jouw opgave liep de reële integraal over het interval [0, 2π]. Nu heb je een substitutie z = e^it uitgevoerd, en als je t laat lopen van 0 tot 2π, dan doorloopt z dus éénmaal de eenheidscirkel tegen de wijzers van de klok in, en dat is dan de contour van onze nieuwe complexe integraal. Het is dus niet zo dat je het pad zomaar zelf kunt kiezen, dat wordt (in dit geval) bepaald door de substitutie die je hebt gekozen.

Er zijn ook ingewikkelder situaties mogelijk waarbij je bijvoorbeeld een interval langs de reële as (van je oorspronkelijke reële integraal) gaat aanvullen tot een gesloten curve, omdat je dan de residuenstelling kunt toepassen, maar dat was hier niet aan de orde.

Substitutie bij integralen zorgt vaak voor verwarring, omdat er eigenlijk twee verschillende manieren zijn die meestal niet goed uit elkaar worden gehouden.

De eerste manier is dat je de oorspronkelijke variabele gaat vervangen door een uitdrukking in een nieuwe variabele.

Stel we hebben een functie f(x) en F(x) is een primitieve van f, dan heb je volgens de hoofdstelling van de integraalrekening:

(1) ∫_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)

Stel nu verder dat we een (reële) substitutie x = g(z) uitvoeren, waarbij g(z) dus een uitdrukking in z is. Stel verder dat p en q twee getallen zijn zodanig dat:

(2) a = g(p) en b = g(q)

Nu is volgens de kettingregel de afgeleide van F(g(z)) gelijk aan F'(g(z))∙g'(z), en aangezien F' = f is dat gelijk aan f(g(z))∙g'(z). Dus is, weer volgens de hoofdstelling van de integraalrekening:

(3) ∫_p^q f(g(z))g'(z)dz = F(g(q)) - F(g(p))

Maar volgens (2) is F(g(q)) - F(g(p)) gelijk aan F(b) - F(a) en dus gelijk aan de integraal in (1), zodat we vinden:

(4) ∫_a^b f(x)∙dx = ∫_p^q f(g(z))∙g'(z)∙dz, a = g(p) en b = g(q)

Dit is de substitutieregel voor reële integralen (die mutatis mutandis ook geldig is voor complexe integralen). Je ziet dat er voor een integraalsubstitutie drie dingen moeten gebeuren:

(a) vervanging van x door g(z) (een uitdrukking in een nieuwe variabele)
(b) vervanging van dx door g'(z)∙dz
(c) aanpassing van de grenzen van het interval waarover je integreert.

Stap (b) is makkelijker te onthouden als je werkt met de differentiaalnotatie voor een afgeleide. Als je hebt x = g(z), dan kun je de afgeleide g'(z) ook noteren als dx/dz, dus

(5) dx/dz = g'(z)

En dus:

(6) dx = g'(z)∙dz

Eigenlijk is dit een formalisme, omdat 'losse' differentialen oneindig kleine grootheden zijn, maar het voordeel is dat je zo makkelijk kunt onthouden dat je dx moet vervangen door g'(z)∙dz.

Maar nu terug naar jouw opgave. In jouw geval verving je niet de oorspronkelijke variabele door een uitdrukking in een nieuwe variabele, maar juist het omgekeerde, je introduceerde een nieuwe variabele, die zelf is uit te drukken in de oude variabele, en dat is een andere manier van substitueren. Dus, je deed niet een substitutie van het type:

(7) x = g(z),

maar een substitutie van het type:

(8) z = h(x)

In dit geval is dz/dx = h'(x) en dus dx/dz = 1/h'(x) en dus dx = dz/h'(x). Nu moet je de oude variabele wel kwijt zien te raken, dus dit soort substituties werkt alleen goed als je h'(x) ook in z uit kunt drukken.

Even concreet: Je substitutie was z = e^it, dan is dz/dt = i∙e^it en dus dt/dz = -i∙e^-it, maar hiervoor kunnen we ook schrijven dt/dz = -i∙z^-1 en dus dt = -i∙z^-1∙dz. Zo zie je dus dat je bij de substitutie dt moet vervangen door -i∙z^-1∙dz.

Het komt er eigenlijk op neer dat je bij de bovenstaande substitutieregel (4) werkt van rechts naar links. Of bekijk het eens zo: je substitutie was:

(9) z = e^it

Maar dan is it = ln(z) en dus

(10) t = -i∙ln(z)

En daarmee ben je terug bij een substitutie van het eerste type (ik laat het feit dat de complexe logaritme meerwaardig is nu even rusten). Uiteraard komen beide op hetzelfde neer. Voor de afgeleide van t naar z in (10) vind je:

(11) dt/dz = -i∙z^-1

En dus: dt = -i∙z^-1dz, precies zoals we hadden gevonden door uit te gaan van z = e^it. De methode met de 'losse' differentialen werkt dus bij beide typen substituties en behoedt je zo voor fouten.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 16-10-2008 03:41:16 ]

Ik zal morgen nog eens opgaven maken adh van een subsitutie; en ik zal posten hoe het volgens het dictaat gaat. Want om een integraal van f(z)dz gelijk te stellen aan f(z) * iz voelt teveel als een truc; die me waarschijnlijk wel het tentamen door zal gaan helpen, maar ja... ik ben alleen tevreden als ik het ook begrijp. Ik snap aleeen niet waarom het dictaat subsitutie in het geheel niet noemt.
Maar bedankt tot zover!

quote:

Op dinsdag 14 oktober 2008 21:53 schreef Borizzz het volgende:
Ik zal morgen nog eens opgaven maken adh van een subsitutie; en ik zal posten hoe het volgens het dictaat gaat. Want om een integraal van f(z)dz gelijk te stellen aan f(z) * iz voelt teveel als een truc; die me waarschijnlijk wel het tentamen door zal gaan helpen, maar ja... ik ben alleen tevreden als ik het ook begrijp. Ik snap aleeen niet waarom het dictaat subsitutie in het geheel niet noemt.
Maar bedankt tot zover!

Tja, als je in een integraal e^it vervangt door z (om even bij je opgave te blijven) dan voer je toch echt een substitutie uit. Ik zou niet weten hoe je dat anders zou willen noemen, en het is ook een heel gangbare methode om integralen te berekenen. Als je toegang hebt tot Usenet kan ik je wel een paar geschikte boeken of dictaten aanraden die min of meer de stof omvatten die je nu kennelijk moet bestuderen.

Ik moet nu ong. de volgende onderwerpen beheersen:
werken met compl. getallen (x+iy, e-macht en poolvorm), geconjugeerde z, complexe functies, differentieren, complexe e-macht, complexe logaritme, complexe sinus en cosinus en de integraalrekening.
Vooral dat laatste heb ik nog wat moeite mee (residuenstelling).
Dus als je extra materiaal hebt, graag! Maar het moet dan wel tot deze stof behoren. Vanwege het tentamen (over 3 weken) wil ik het even bij deze onderdelen laten.
Jan van de Craats heeft overigens over complexe getallen ook een werk gemaakt (gratis te downloaden):
http://staff.science.uva.nl/~craats/CGnieuw.pdf
Alleen treedt hij soms buiten de stof, en op integraalrekening gaat hij (helaas niet in).

quote:

Op dinsdag 14 oktober 2008 22:38 schreef Borizzz het volgende:
Ik moet nu ong. de volgende onderwerpen beheersen:
werken met compl. getallen (x+iy, e-macht en poolvorm), geconjugeerde z, complexe functies, differentieren, complexe e-macht, complexe logaritme, complexe sinus en cosinus en de integraalrekening.
Vooral dat laatste heb ik nog wat moeite mee (residuenstelling).
Dus als je extra materiaal hebt, graag! Maar het moet dan wel tot deze stof behoren. Vanwege het tentamen (over 3 weken) wil ik het even bij deze onderdelen laten.
Jan van de Craats heeft overigens over complexe getallen ook een werk gemaakt (gratis te downloaden):
http://staff.science.uva.nl/~craats/CGnieuw.pdf
Alleen treedt hij soms buiten de stof, en op integraalrekening gaat hij (helaas niet in).

OK. Dat tentamen wordt echt een eitje (sorry, couldn't resist). Het boekje van Van de Craats ken ik. Hij heeft ook een oude versie op zijn site staan waar iets dieper op de zaken wordt ingegaan, daar komen bijvoorbeeld wel complexe logaritmen aan bod. Qua boeken of dictaten zou je deze even als PDF op kunnen pikken van Usenet:

An Introduction to Complex Analysis For Engineers - M. Alder (1997)

Complex Analysis - K. Houston (2003)

En misschien: Introduction to Complex Analysis [Lecture notes] - W. Chen (2003)

Er zijn betere (en moeilijkere) boeken, bijvoorbeeld de klassieker van Ahlfors of het boek van Freitag en Busam, maar die geven veel te veel voor jouw doel. Voor welke opleiding is dit eigenlijk?

Och met t tentamen komt t wel goed hoor
Projectieve meetkunde van een half jaar terug werd ook een 9; dus een voldoende voor dit vak moet er wel in zitten. Ik werk erg igg hard genoeg voor. Ik denk dat ik nu rond de 70/80% procent beheers en als je ook bedenkt dat ik vanaf 0 in complexe analyse moest beginnen... heb ik toch al een aardige vordering gemaakt.
Opleiding die ik doe is master wiskunde in tilburg. Nog 1 jaar te gaan....

Riparius, ik snap jouw methode nu helemaal.
Het komt er kortweg op neer dat je een reele integraal ombouwt tot een contourintegraal, en alle gevolgen van de substitutie hierin betrekt. En dan braaf omschrijven.
dus bijv. wordt een reele integraal van f(x)dx omgezet in complexe f(z)dz. En dan via residuen de uitkomst bepalen. Als de residuen er niet zijn is de uitkomst gelijk aan 0.

Nu nog een z^2 + 3iz -1 =0 oplossen. Ik wilde dit doen met kwadraat afsplitsen, maar dat lukt me nog niet goed. Iemand die me wat op wel kan helpen?

Nou ja ik vind
z^2 + 3iz -1 = 0
(z+1,5i)^2 +1,25 =0
(z+1,5i)^2 = -1,25
en dan kom ik niet verder.

Oke, maar ik zocht een mooiere oplossing
Sorry; had je een PM gestuurd. Niet gezien nog... ik ga ff kijken

Vraagje:

Hoe herschrijf ik de formule D=10*log ((4.9*10^5)/r²)
in de vorm D=A+B*log r

volgens mij moet je even hier kijken:

http://www.wisfaq.nl/showfaq3.asp?Id=3107

quote:

Op woensdag 15 oktober 2008 14:27 schreef Borizzz het volgende:
Oke, maar ik zocht een mooiere oplossing

z = i∙(-3/2 + ½∙√5) of z = i∙(-3/2 - ½∙√5)

Heb je trouwens die opgave over absolute waarden nog op kunnen lossen? Ik zag bij het teruglezen van dit topic (te laat dus) dat Glowmouse een verkeerde voorwaarde geeft voor de gelijkheid van |a + b| en |a| + |b|.

Ik heb nu de hele stof gehad; en ga morgen beginnen met een samenvatting over de hele stof. Dan kom ik die dingen vanzelf weer tegen. Maar vlg mij had ik het antwoord daarop idd al gevonden.
Maar hoofdstuk 1 is inmiddels vrij simpel geworden nu ik wat verder ben in de complexe analyse. Toch een mooi resultaat