Het heelal

quote:

Op vrijdag 19 januari 2007 18:08 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Omdat symmetrieen ons een heleboel structuur laten zien Behoudswetten bijvoorbeeld ( lading, impuls, energie, impulsmoment etc ) zijn allemaal gevolgen van symmetrieen. Verder wordt de vorm van je vergelijkingen beperkt door symmetrieen, en is het dus makkelijker om je vergelijkingen af te leiden.

Je hebt zoiet als QED ( quantum electrodynamica ). Die beschrijft het elektromagnetisme op atomaire schaal, met behulp van velden. Het is een zogenaamde quantumveldentheorie. Daarin zitten bepaalde symmetrieen. Het blijkt, dat als je aanneemt dat die symmetrieen gelden, dat je dan een bepaalde vectorfunctie nodig hebt in je vergelijkingen, en die blijkt die elektromagnetische velden te genereren ! Die krachtvelden zijn dus het gevolg van die symmetrieen. Ze zijn als het ware de "correcties" in je vergelijkingen om die symmetrie te laten gelden.

Nou wil je met behulp van die quantumvelden ook die andere krachten beschrijven. Die symmetrieen van zonet, dat zijn hele algemene symmetrieen. Je kunt dus bekijken wat er gebeurt als je ze ook voor die andere krachten aanneemt. Met andere woorden: je stelt dat die symmetrieen van QED niet toevallig waren, maar een algemene structuur aanduiden. Na een heuleboel gereken blijk je ook weer van die termen te krijgen, en daarmee kun je ook weer heel mooi je krachten beschrijven !

Met die symmetrieen blijk je dus heel erg mooi je interacties in te kunnen voeren

Machtig is dat. Moet je je voorstellen dat je de eerste bent die zoiets ontdekt (QED was Feynman geloof ik).

De kracht van symmetrieën is dus dat symmetrieën een kracht kunnen beschijven...

P.S.
Wat is nou precies een IJKsymmetrie ?

quote:

Op vrijdag 19 januari 2007 18:22 schreef Agno_Sticus het volgende:

[..]

Machtig is dat. Moet je je voorstellen dat je de eerste bent die zoiets ontdekt (QED was Feynman geloof ik).

De kracht van symmetrieën is dus dat symmetrieën een kracht kunnen beschijven...

Ja, da's wel een mooie Maar dus niet alleen krachten, maar ook behoudswetten

quote:

P.S.
Wat is nou precies een IJKsymmetrie ?

Haaa, ijksymmetrieen

Dat begint bij Maxwell. De Maxwellvergelijkingen beschrijven het elektrische, en het magnetische veld. Nou blijkt met behulp van wat vectoranalyse, dat je een "fundamenteler" veld kunt opschrijven: de vectorpotentiaal. Het elektrische en magnetische veld kun je hierin uitdrukken. Eigenlijk is dit dus een soort unificatie van de elektrische en magnetische kracht. Alleen, er is 1 eigenaardigheid aan dat veld. Stel, ik heb een elektromagnetisch veld. Dan kan ik uitrekenen wat voor vectorpotentiaal daar bij hoort. Als ik nou de afgeleide van een willekeurige functie bij die vectorpotentiaal optel, en weer het bijbehorende elektromagnetische veld uitrekenen, dan gebeurt er iets bijzonders: ik krijg exact hetzelfde elektromagnetische veld terug ! Aangezien die afgeleide willekeurig was, kan ik bij 1 bepaald elektromagnetisch veld ( wat je kunt meten ! ) oneindig veel verschillende vectorpotentialen vinden !

Die vectorpotentiaal is dus niet meetbaar, maar meer een handig wiskundig veld. Tenminste, in de klassieke fysica ( in de quantumfysica wordt het nog een stukje subtieler, maar dat even terzijde ). Maar wat blijkt? Je kunt in een fatsoenlijke quantumtheorie van het elektromagnetisme, zoals QED, niet om die vectorpotentiaal heen. Dat ding is dus kennelijk wel erg belangrijk ! In de 19e eeuw waren er genoeg fysici die die vectorpotentiaal flauwekul vonden, dat ding was immers niet meetbaar. Het elektromagnetische veld was volgens hen het enige relevante. Ze hadden es moeten weten...

Zoals ik zei heeft die QED een bepaalde symmetrie. Dat is dus net die ijksymmetrie. Als ik de vectorpotentiaal verander, en het veld van het elektron ( of een ander deeltje wat je met QED kunt beschrijven ) ook op een bepaalde manier, dan verandert er niks aan de fysische situatie. Ik kan dat dus ook omdraaien: ik leg die symmetrie op als zijnde fundamenteel, en om die vergelijkingen goed te houden, heb ik een extra functie nodig. De vectorpotentiaal

Dat kun je dus ook voor de andere 2 krachten doen; de zwakke kernkracht en de sterke kernkracht zijn ook "ijktheorieen". Alleen zijn die symmetrieen wat lastiger dan die van QED ( dat heeft met die eerder genoemde groepen te maken; in QED heb je te maken met zogenaamde Abelse groepen, en in de andere 2 gevallen met niet-Abelse groepen. Abelse groepen zijn qua structuur eenvoudiger )

Die Ijksymmetrieen zijn erg belangrijk ( ik stip het nog maar es aan ) Ook kun je je berekening zo checken: na een uur rekenen kun je voor de grap die vectorpotentiaal met een ijktransformatie veranderen. Je eindresultaat mag dan niet veranderen.

Overigens, dit idee van symmetrieen gebruiken komt van Yang en Mills. Yang heeft er naar eigen zeggen al als student over nagedacht, en het kwam telkens maar weer terug. Op een gegeven moment heeft hij het uitgewerkt, en dat bleek dus erg succesvol te zijn

Feynman heeft inderdaad ook erg veel aan QED meegewerkt. Hij heeft de zogenaamde Feynmandiagrammen uitgevonden. Dat zijn tekeningetjes die wiskundige termen van interacties voorstellen. Dat laat je veel makkelijker rekenen. Daarvoor waren er wel andere methodes, maar die waren erg complex. Hij heeft die interacties beschreven met zogenaamde padintegralen. Ik geloof dat zijn thesis een tijdje terug in boekvorm is uitgebracht

quote:

Op vrijdag 19 januari 2007 19:30 schreef Haushofer het volgende:
Overigens, dit idee van symmetrieen gebruiken komt van Yang en Mills. Yang heeft er naar eigen zeggen al als student over nagedacht, en het kwam telkens maar weer terug. Op een gegeven moment heeft hij het uitgewerkt, en dat bleek dus erg succesvol te zijn

Feynman heeft inderdaad ook erg veel aan QED meegewerkt. Hij heeft de zogenaamde Feynmandiagrammen uitgevonden. Dat zijn tekeningetjes die wiskundige termen van interacties voorstellen. Dat laat je veel makkelijker rekenen. Daarvoor waren er wel andere methodes, maar die waren erg complex. Hij heeft die interacties beschreven met zogenaamde padintegralen. Ik geloof dat zijn thesis een tijdje terug in boekvorm is uitgebracht

Yang en Ying als gezamelijke uitvinders had ik eigenlijk nog symmetrischer gevonden !

Enfin, volgens mij heeft Feynman zelfs de Nobelprijs gewonnen voor zijn bijdragen aan QED.

Dat van die ijktheorieën moet ik nog even rustig een paar keer overlezen. Het klinkt allemaal logisch maar ik wordt telkens toch weer op het verkeerde been gezet door de terminologie (in combinatie met mijn gebrekkige wiskundige kennis van Groepen en Vectoren ). Voorbeeldje:

quote:

Als ik nou de afgeleide van een willekeurige functie bij die vectorpotentiaal optel, en weer het bijbehorende elektromagnetische veld uitrekenen, dan gebeurt er iets bijzonders: ik krijg exact hetzelfde elektromagnetische veld terug

Waarom nou weer de afgeleide ergens bijtellen en niet gewoon een willekeurig functie? Ik bedoel of ik nou 2x of x² of 1/3x³ neem, elke afgeleide kan ik terug integreren naar een hogere functie. Waarom niet gewoon de functie erbij optellen ?

Het klopt precies wat je vertelde over de vectorpotentiaal, Haushofer! Op Wiki vond ik het volgende:

(...)Misschien lijkt het werken met potentialen slechts een handigheidje om berekeningen makkelijker te maken. Vooral door de ijkvrijheid en de soms negatieve waarde van de potentiaal lijkt dit aannemelijk. Daarom zou men kunnen denken dat de potentiaal niet echt fysieke 'realiteit' is, maar een soort wiskundige constructie — het veld of de kracht is het werkelijke verschijnsel. Dat is in de klassieke mechanica wel vol te houden, maar in de kwantummechanica komen verschijnselen voor die op het tegendeel duiden. Bij interferentie van licht dat door een dubbele spleet valt, ontstaat een patroon van strepen. Het neerzetten van een dunne buis waarin een magnetisch veld loopt, verandert dat patroon, zelfs als dat veld nergens door de lichtstralen heen loopt. Dit zogeheten Aharonov-Bohm-effect kan verklaard worden doordat de magnetische vectorpotentiaal wél door de baan van het licht heen loopt. Dat betekent dat de potentiaal wel degelijk een fysische realiteit heeft, misschien nog wel meer dan het magnetische veld.(...)

Je kunt het inderdaad niet rechtstreeks meten, maar wel het bestaan van een vectorpotentiaal indirect aantonen.

quote:

Op vrijdag 19 januari 2007 19:54 schreef Agno_Sticus het volgende:

[..]

Yang en Ying als gezamelijke uitvinders had ik eigenlijk nog symmetrischer gevonden !

Gemiste kans Ik geloof wel dat Alpher en Bethe es een artikel hebben geschreven over straling, en dat ze toen Gamov hebben gevraagd om ook als auteur op het artikel te komen. Zodat de auteurs Alpher, Bethe en Gamov waren

quote:

Dat van die ijktheorieën moet ik nog even rustig een paar keer overlezen. Het klinkt allemaal logisch maar ik wordt telkens toch weer op het verkeerde been gezet door de terminologie (in combinatie met mijn gebrekkige wiskundige kennis van Groepen en Vectoren ). Voorbeeldje:
[..]

Waarom nou weer de afgeleide ergens bijtellen en niet gewoon een willekeurig functie? Ik bedoel of ik nou 2x of x² of 1/3x³ neem, elke afgeleide kan ik terug integreren naar een hogere functie. Waarom niet gewoon de functie erbij optellen ?

Daarvoor moet je wat vectoranalyse kennen

Die vectorpotentiaal kun je zien als een 4-dimensionale vector. De eerste component noemt men ook wel de scalarpotentiaal, en de andere 3 componenten noemt men dan ook wel weer es de vectorpotentiaal ( beetje verwarrend, maar in de klassieke fysica werk je met gewone 3 dimensionale vectoren, en in relativistische theorieen met 4-dimensionale vectoren) . Die 3-dimensionale vector-potentiaal noem ik ff A, die scalarpotentiaal noem ik A⁰, en de 4-dimensionale vectorpotentiaal noem ik A^u. Alles wat dikgedrukt is, is dus een 3-dimensionale vector.

Dus hebben we: A^u={A⁰,A } , waarbij u=0,1,2 of 3.

Nou is het elektrische veld E gedefinieerd als

E = -grad(A⁰ ) - dA /dt

Dat elektrische veld is dus 3-dimensionaal. Die grad staat hier voor de gradient {d/dx,d/dy,d/dz}.

Het magnetische veld B is gedefinieerd als B = grad x A . Die x staat voor het standaard uitproduct tussen 2 vectoren. B is dus ook een 3-dimensionale vector.

Dat je dit kunt opschrijven voor zo'n A^u volgt dus rechtstreeks uit de Maxwellvergelijkingen. Als je nou de volgende transformatie doet:

A --> A + grad (y)

A⁰ --> A⁰-dy/dt,

met y een scalaire functie van de plaats en de tijd ( dus y=y(t,x) ) dan blijven de velden hetzelfde. Dat komt omdat grad x grady = 0, en omdat de gradient van een tijdsafgeleide van een functie hetzelfde is als de tijdsafgeleide van de gradient van een functie ( de volgorde van differentieren maakt niks uit ! ). Ik weet niet hoe bekend je hiermee bent, maar je zou het es kunnen proberen om die getransformeerde velden in je E en B veld in te vullen. Je moet dan wel even weten wat een gradient en een uitproduct enzo is. Je zult zien dat de velden niet veranderen

Wat dan de truuk is, is om die y(t,x) zo te kiezen dat je berekeningen zo makkelijk mogen worden. Dat noemen ze "Gauge-fixing".

quote:

Op vrijdag 19 januari 2007 20:55 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Gemiste kans Ik geloof wel dat Alpher en Bethe es een artikel hebben geschreven over straling, en dat ze toen Gamov hebben gevraagd om ook als auteur op het artikel te komen. Zodat de auteurs Alpher, Bethe en Gamov waren
[..]

Daarvoor moet je wat vectoranalyse kennen

Die vectorpotentiaal kun je zien als een 4-dimensionale vector. De eerste component noemt men ook wel de scalarpotentiaal, en de andere 3 componenten noemt men dan ook wel weer es de vectorpotentiaal ( beetje verwarrend, maar in de klassieke fysica werk je met gewone 3 dimensionale vectoren, en in relativistische theorieen met 4-dimensionale vectoren) . Die 3-dimensionale vector-potentiaal noem ik ff A, die scalarpotentiaal noem ik A⁰, en de 4-dimensionale vectorpotentiaal noem ik A^u. Alles wat dikgedrukt is, is dus een 3-dimensionale vector.

Dus hebben we: A^u={A⁰,A } , waarbij u=0,1,2 of 3.

Nou is het elektrische veld E gedefinieerd als

E = -grad(A⁰ ) - dA /dt

Dat elektrische veld is dus 3-dimensionaal. Die grad staat hier voor de gradient {d/dx,d/dy,d/dz}.

Het magnetische veld B is gedefinieerd als B = grad x A . Die x staat voor het standaard uitproduct tussen 2 vectoren. B is dus ook een 3-dimensionale vector.

Dat je dit kunt opschrijven voor zo'n A^u volgt dus rechtstreeks uit de Maxwellvergelijkingen. Als je nou de volgende transformatie doet:

A --> A + grad (y)

A⁰ --> A⁰-dy/dt,

met y een scalaire functie van de plaats en de tijd ( dus y=y(t,x) ) dan blijven de velden hetzelfde. Dat komt omdat grad x grady = 0, en omdat de gradient van een tijdsafgeleide van een functie hetzelfde is als de tijdsafgeleide van de gradient van een functie ( de volgorde van differentieren maakt niks uit ! ). Ik weet niet hoe bekend je hiermee bent, maar je zou het es kunnen proberen om die getransformeerde velden in je E en B veld in te vullen. Je moet dan wel even weten wat een gradient en een uitproduct enzo is. Je zult zien dat de velden niet veranderen

Wat dan de truuk is, is om die y(t,x) zo te kiezen dat je berekeningen zo makkelijk mogen worden. Dat noemen ze "Gauge-fixing".

Geniaal. Dank voor je uitleg. Ik kan helaas maar bepaalde delen volgen, maar ik geloof dat ik begrijp waarom je een afgeleide functie erbij moet tellen.

Even in lekentaal jouw eerste post recapitulerend:
* EM-veld (A) -> bereken vectorpotentiaal (A) -> tel er iets bij - > bereken EM-veld -> hé, EM-veld(A) !
* dus: vectorpotentiaal(A) + willekeurige afgeleide functie = EM-veld(A)
* dus: bij EM-veld(A) hoort een oneindig aantal vectorpotentialen (A + whatever)

Mag je dan aannemen dat de oneindige verzameling vectorpotentialen die bij EM-veld A hoort, nooit overlapt met andere oneindige verzamelingen potentialen die bijvoorbeeld bij EM-velden B, C, D etc. horen? Maw. zijn deze verzamelingen "disjunct" ? Als dat zo is, hoe kunnen die verzamelingen dan oneindig zijn ?

Ik kwam op Wiki onder "magnetic potential" het volgende tegen:

"In special relativity, the magnetic potential joins with the electric potential into the electromagnetic potential. This may be done by joining a scalar electric potential with a vector magnetic potential or by joining a scalar magnetic potential with a vector electric potential. Either way, the final result must have 4 dimensions. The former method is more popular because the scalar electric potential is widely familiar as voltage and because "the concept of vector electric potential is just too weird to exist in the same universe as decent common-sense folks."

Weet jij wat er met die laatste zin bedoeld wordt ?

quote:

Op zaterdag 20 januari 2007 00:50 schreef Agno_Sticus het volgende:

[..]

Even in lekentaal jouw eerste post recapitulerend:
* EM-veld (A) -> bereken vectorpotentiaal (A) -> tel er iets bij - > bereken EM-veld -> hé, EM-veld(A) !
* dus: vectorpotentiaal(A) + willekeurige afgeleide functie = EM-veld(A)
* dus: bij EM-veld(A) hoort een oneindig aantal vectorpotentialen (A + whatever)

Ja. Met afgeleide bedoel ik dan dus een gradient; als je die scalaire functie even f(t,x,y,z) noemt, dan is de gradient daarvan dus {df/fx,df/fy,df/dz} Ik zie dat die keuze voor y als scalaire functie wat onhandig gekozen is . Dat whatever is dus niet helemaal willekeurig; het moet wel de gradient van een scalaire functie zijn.

quote:

Mag je dan aannemen dat de oneindige verzameling vectorpotentialen die bij EM-veld A hoort, nooit overlapt met andere oneindige verzamelingen potentialen die bijvoorbeeld bij EM-velden B, C, D etc. horen? Maw. zijn deze verzamelingen "disjunct" ? Als dat zo is, hoe kunnen die verzamelingen dan oneindig zijn ?

Da's een erg goeie vraag. Maar alle vectorpotentialen die op een ijktransformatie gelijk zijn, geven hetzelfde elektromagnetische veld. Ze zijn in die zin dus equivalent. Je zult dus niet 1 vectorpotentiaal met een willekeurige ijk tegenkomen die 2 verschillende elektromagnetische velden genereert. Dat kan dan prima een oneindige verzameling opleveren. Het zal dan denk ik een overaftelbare verzameling opleveren; je hebt een continuum aan verschillende vectorpotentialen, en elke vectorpotentiaal heeft een continuum aan verschillende ijk-keuzes.

quote:

Ik kwam op Wiki onder "magnetic potential" het volgende tegen:

"In special relativity, the magnetic potential joins with the electric potential into the electromagnetic potential. This may be done by joining a scalar electric potential with a vector magnetic potential or by joining a scalar magnetic potential with a vector electric potential. Either way, the final result must have 4 dimensions. The former method is more popular because the scalar electric potential is widely familiar as voltage and because "the concept of vector electric potential is just too weird to exist in the same universe as decent common-sense folks."

Weet jij wat er met die laatste zin bedoeld wordt ?

Voor statische velden is het elektrische veld de gradient van de scalaire potentiaal, en het magnetische veld nog steeds het uitproduct van de gradient met de 3-dimensionale vectorpotentiaal. Daarom associeren mensen de scalaire potentiaal vaak alleen met het elektrische veld ( en die scalaire potentiaal is dan het voltage ) , en de vectorpotentiaal vaak met het magnetische veld. Ik denk dat ze bedoelen dat je de bovengenoemde interpretatie niet kunt doorvoeren als je het elektrische veld met de 3 componente associeert van die 4-dimensionale vectorpotentiaal.

Aangezien je in de speciale relativiteitstheorie met 4-vectoren werkt, stop je deze 4 componenten in 1 vector. Deze blijkt dan onder Lorentztransformaties te transformeren. Dat moet ook, want de Maxwellvergelijkingen houden rekening met de speciale relativiteitstheorie ( best bijzonder, want ze zijn in de 19e eeuw al opgesteld ! )

Thanks Haushofer. Ik kan het volgen.

ff iets anders, maar toch gerelateerd. Ik zie dat er boven you avatar staat "Faddeev-Popov gedetermineerd". Dat intrigeerde mij omdat ik die namen ook al eerder op het web tegenkwam.

Gaat dit over de zgn Faddeev-Popov (anti)ghosts ?

Deze "geesten" schijnen geïntroduceerd te zijn om bepaalde problemen in de reeds genoeme gauge theorieën te ondervangen. Bijvoorbeeld omdat de 't Hooft/Feynman gauge een quantumveld beschrijft met twee "polarisation states". De Faddeev-Popov ghost en anti-ghost elimineren deze "unphysical polarizations".

Wat bedoel je dat ze gedetermineerd zijn? Puur wiskundig? Zijn ze gemeten? Ander bewijs?

quote:

Op zaterdag 20 januari 2007 20:02 schreef Agno_Sticus het volgende:
Thanks Haushofer. Ik kan het volgen.

ff iets anders, maar toch gerelateerd. Ik zie dat er boven you avatar staat "Faddeev-Popov gedetermineerd". Dat intrigeerde mij omdat ik die namen ook al eerder op het web tegenkwam.

Gaat dit over de zgn Faddeev-Popov (anti)ghosts ?

Deze "geesten" schijnen geïntroduceerd te zijn om bepaalde problemen in de reeds genoeme gauge theorieën te ondervangen. Bijvoorbeeld omdat de 't Hooft/Feynman gauge een quantumveld beschrijft met twee "polarisation states". De Faddeev-Popov ghost en anti-ghost elimineren deze "unphysical polarizations".

Wat bedoel je dat ze gedetermineerd zijn? Puur wiskundig? Zijn ze gemeten? Ander bewijs?

Da's een erg slechte grap over de Faddeev Popov determinant . Da's een wiskundig truukje om de zogenaamde propagator van het foton ( die je ruwweg vertelt hoe een foton van A naar B gaat ) uit te rekenen met behulp van padintegralen. Dat heb je nodig, omdat je anders over al je verschillende ijkkeuzes integreert, terwijl die allemaal dezelfde fysische situatie opleveren. Dat zorgt voor problemen. Ik kom binnenkort die ghost-states van je tegen bij mn tentamen elementaire deeltjes Daar horen de namen Faddeev en Popov ook bij