Stel dat je blauw-harige dwergjes hebt (B) en de rest heeft wit haar (W). Als er ééntje blauw is klopt het verhaal. Bij twee ook nog: de twee blauwen zien elkaar maar weten niet of ze zelf blauw zijn. Als de eerste dag niemand zijn hand opsteekt, weten ze dat er twee zijn. Alle andere witten zouden pas hun hand opsteken als ook de tweede dag niemand zijn hand opsteekt. Maar neem nu de situatie dat je drie B's hebt. De eerste dag steekt niemand zijn hand op, maar daarna kan je niet zeggen wie de derde B is.
Of wel?
quote:Waarom haal je je post weg?Op donderdag 28 april 2005 00:08 schreef Sidekick het volgende:
Pamela Hemelrijk....
quote:Maar daar zit het hem; als je weet dat het er meer dan twee zijn is het niet meer logisch om de eerste dag van één of twee personen uit te gaan.Op donderdag 28 april 2005 00:07 schreef ExtraWaskracht het volgende:
Niet iedereen kan denken dat hij nummertje 3 'is',omdat de rest juist 3 mannetjes met blauw haar zien. Zij zouden dus denken dat ze mogelijk op dag 4 hun hand omhoog zouden moeten steken. Het klopt dus wel.
quote:
quote:En iets met blauwharige dwergjes.Inductie is het natuurkundig verschijnsel waarbij in een gesloten stroomkring elektrische spanning wordt opgewekt wanneer een geleider zich bevindt in een veranderend magnetisch veld of wanneer een geleider beweegt in een magnetisch veld.
quote:Jawel, want je weet dat die twee het niet kunnen weten op dag 1.Op donderdag 28 april 2005 00:13 schreef sizzler het volgende:
[..]
Maar daar zit het hem; als je weet dat het er meer dan twee zijn is het niet meer logisch om de eerste dag van één of twee personen uit te gaan.
quote:Dan is het dus toch wat ik op school geleerd heb. Ik zie alleen de connectie met de dwergjes niet.Op donderdag 28 april 2005 00:14 schreef sizzler het volgende:
[..]
[..]
En iets met blauwharige dwergjes.
quote:Ik bedacht me net dat het om de echte Pamela Hemelrijk ging.
quote:Maar wie steekt de eerste hand op? Hoe weet je dat jij een van de blauwe bent?Op donderdag 28 april 2005 00:15 schreef ExtraWaskracht het volgende:
[..]
Jawel, want je weet dat die twee het niet kunnen weten op dag 1.
quote:Stel nu dat n het werkelijk aantal blauwen is.Op donderdag 28 april 2005 00:27 schreef sizzler het volgende:
[..]
Maar wie steekt de eerste hand op? Hoe weet je dat jij een van de blauwe bent?
Dan weet jij als jij blauw bent dat het er n-1 of n zijn. De rest denkt dat het er n of n + 1 zijn. Je steekt dus een dag eerder je hand op dan de andere niet-blauwen potentieel zouden doen, je ziet immers ook minder blauwen dan dat de niet-blauwen doen.
quote:Jawel, maar je weet niet van tevoren dat anderen hun hand niet opsteken.Op donderdag 28 april 2005 00:33 schreef ExtraWaskracht het volgende:
[..]
Stel nu dat n het werkelijk aantal blauwen is.
Dan weet jij als jij blauw bent dat het er n-1 of n zijn. De rest denkt dat het er n of n + 1 zijn. Je steekt dus een dag eerder je hand op dan de andere niet-blauwen potentieel zouden doen, je ziet immers ook minder blauwen dan dat de niet-blauwen doen.
Stel dat er vijf blauwe zijn en vijf witte. Hoe weet je dan dat je de vijfde blauwe bent als de rest sowieso niet zijn hand opsteekt?
alhoewel...hmmm..morgen kijk ik er nogeens naar, volgens mij kan het toch wel...
quote:Voordat je er morgen nog naar kijkt toch maar even een antwoord:Op donderdag 28 april 2005 00:57 schreef sizzler het volgende:
[..]
Jawel, maar je weet niet van tevoren dat anderen hun hand niet opsteken.
Stel dat er vijf blauwe zijn en vijf witte. Hoe weet je dan dat je de vijfde blauwe bent als de rest sowieso niet zijn hand opsteekt?
alhoewel...hmmm..morgen kijk ik er nogeens naar, volgens mij kan het toch wel...
Het antwoord is dat de vijf witten ieder vijf blauwen zien. De vijf blauwen zien ieder echter vier blauwen. Daardoor steken de blauwen hun hand een dag eerder op dan dat de witten potentieel zouden doen.
Je kan trouwens niet echt zeggen dat je "de vijfde blauwe" zou zijn .. je bent dan gewoon 1 van de 5, net als de rest; je komt er allemaal op hetzelfde moment achter.
Eén dwerg met blauw haar = 1 dag, want er is er tenminste één, en dat moet hij zelf dan wel zijn als niemand anders de hand opsteekt (foutje: hij ziet niemand met blauw haar, er moet er één zijn, dus hijzelf)
.
Twee dwergen met blauw haar = 2 dagen, de eerste dag wordt er geen hand op gestoken, ondanks dat voor beide dwergen duidelijk is dat er tenminste één met blauw haar is. Eén dwerg ziet dat een andere dwerg met blauw haar zijn hand niet opsteekt, daardoor wordt het hem duidelijk dat de andere dwerg met hetzelfde dilemma worstelt als hijzelf. Er zijn immers géén andere dwergen met blauw haar. Beide dwergen zien er ieder één met blauw haar, elkaar dus.
Op dag twee steken beiden de hand op.
.
Drie dwergen = drie dagen, de derde dwerg kan redelijkwijs verwachten dat de twee dwergen die hij ziet op de tweede dag de hand op steken, geheel volgens de voorgaande redenering. Dat gebeurt niet, alle drie de dwergen denken dit namelijk en steken de hand niet op in de verwachting dat de andere twee dat wel zouden doen.
De gevolgtrekking is dat er dus een derde dwerg met blauw haar moet zijn, de derde dag gaan er drie handen omhoog. enz enz.
[ Bericht 1% gewijzigd door Godslasteraar op 28-04-2005 01:22:19 ]
quote:Als ik het goed heb onthouden van de lessen Statistiek: inductie is het bewijzen een recursieve oplossingsmethode. Bij recursie ga je herhaaldelijk het probleem via dezelfde methode reduceren tot een kleiner probleem. In dit voorbeeld stel je dat 15 blauwharigen hetzelfde probleem is als 14 blauwharigen een dag later. En dat is hetzelfde als 13 blauwharigen 2 dagen later. Dit tot aan je 1 overhoudt, en de oplossing duidelijk is. Dat is dus de n-1 methode.
Bij inductie kijk je eerst naar n=1, en je gaat na of voor n+1 dit ook geldt. Dat doet Hemelrijk dus in haar column.
De eerste drie dwergen zijn dus blauw, maar weten het nog niet van hunzelf. Dwerg D weet het ook nog niet.
Dwerg A, B en C zullen wachten totdat de twee andere dwergen, waarvan ze kunnen zien dat ze blauw zijn, hun hand opsteken. Uit het duidelijke voorbeeld in de column van maar in totaal twee blauwe dwergen zal dat na 1 dag gebeuren. Maar tot hun eigen verbazing zien ze allemaal dat de twee andere dwergen hun hand niet opsteken na 1 dag. Dwerg A, B en C weten dus dat er drie blauwen moeten zijn. Dwerg A ziet Dwerg D (t/m een oneindig aantal dwergen natuurlijk) die niet blauw is, dus weet hij dat hij ook blauw is. Dwerg B en C komen gelijktijdig tot dezelfde conclusie, en steken dus gelijktijdig hun hand omhoog.
Sizzler, je stelt dat Dwerg D ook zou kunnen denken dat hij de derde dwerg is, maar Dwerg D ziet al 3 andere blauwen, dus kan hij dat niet denken. Hij zou eventueel de vierde kunnen zijn, maar hij is aan het wachten op de goede dag om te concluderen of er daadwerkelijk 4 zijn. Aangezien de drie al hun hand opstaken komt er geen nieuwe dag mee.
Ik hoop dat dit hele verhaal een beetje duidelijk is.
Bij het toepassen van inductie maak je gebruik van het regelmastige karakter van natuurlijke getallen. Eerst bewijs je dat een stelling geldt bij x=1, dan bewijs je dat een stelling - als je aanneemt dat die geldt voor x=n - ook geldig is voor x=n+1. Daarna kun je de conclusie trekken dat de stelling geldt voor alle natuurlijke getallen.
Overigens zijn deze dwergen wel slim, maar dan weer niet slimst. Ze kunnen zichzelf namelijk sorteren en er sneller (1 dag) achter komen of ze zelf blauw haar hebben of niet.
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 29-04-2005 08:40:42 ]
quote:Ik heb inderdaad het gevoel dat je het stuk niet goed gelezen hebt.Op donderdag 28 april 2005 00:57 schreef sizzler het volgende:
[..]
alhoewel...hmmm..morgen kijk ik er nogeens naar, volgens mij kan het toch wel...
quote:Wikipedia
A judge makes two statements to a condemned prisoner:
You will be hanged at noon one day next week, Monday through Friday.
The choice of day will be a surprise to you, in that you won't know the day of the hanging until the executioner knocks on your cell door at noon that day.
The prisoner reflects on these statements, and then smiles. If the hanging were on Friday, then it wouldn't be a surprise in the sense announced. For he would know by Thursday night that he was going to be hanged on Friday, since no hanging had yet occurred and only one day was left. So the hanging can't be on Friday.
But then the hanging can't be on Thursday either. If it were, then it wouldn't be a surprise either. For he would know on Wednesday night that he was going to be hanged on Thursday, since no hanging had yet occurred and only two days were left, one of which (Friday) he already knows is impossible. So a Thursday hanging is impossible too. Similar reasoning shows that the hanging can't be on Wednesday, Tuesday or even Monday! He returns to his cell confident in his safety.
The next week, the executioner knocks on his door at noon on Wednesday - an utter surprise. Everything the judge said has come true, but where is the flaw in the prisoner's reasoning?
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 | Dw = { Verzameling dwergen } [(x,y) | 0 < x < N /\ (y = wit \/ y=blauw)] M = { Aantal blauwharige dwergen } (#x : (x,y) in Dw : y = blauw) Vn = { Verzameling vingers } [(x,y) | 0 < x < N /\ y = omlaag] Pre: { 0 < M <= N /\ N > 0 } Dwerg := 1; Aantal := 0; Dag := 0; { Neem ZietAantalBlauw: (#x : (x,y) in Dw /\ x != Dwerg : y = blauw) } { Neem ZietAantalVingers: (#x : (x,y) in Vn /\ x != Dwerg : y = omhoog) } do (Aantal < M) -> { Het aantal dwergen met de vingers omhoog zijn niet het aantal dwergen met blauwe haren } do (Dwerg <= N) -> if (ZietAantalBlauw - ZietAantalVingers = Dag) -> { De dwerg ziet een aantal vingers, gelijk aan aantal blauwen } { Dwerg trekt conclusie: ik heb blauw } Vn.Dwerg := omhoog; Aantal++; [] (ZietAantalBlauw - ZietAantalVingers > Dag) -> { De dwerg ziet een aantal vingers, minder dan aantal blauwen } { Dwerg trekt conclusie: ik heb geen blauw } skip; fi Dwerg++; od Dag++; od |
klopt ie?[ Bericht 3% gewijzigd door DionysuZ op 28-04-2005 19:58:07 ]
ff dat ding in elkaar geplempt zal wel nix van kloppen maar goed 
[ Bericht 98% gewijzigd door DionysuZ op 28-04-2005 19:42:33 ]
Echter de zin die fout gaat: "Etcetera tot in het oneindige".
Dat trekken de smurfen niet, want ze hebben niet het eeuwig leven.
quote:
nerd
quote:
quote:Duidelijk. Maar ik blijf het onbehagelijke gevoel hebben dat het toch niet klopt. De dwergen kunnen aan de dag afzien hoeveel blauwen er zijn. Maar daar zit hem volgens mij de crux:Op donderdag 28 april 2005 01:56 schreef Sidekick het volgende:
[...]
Stel dat er 10 dwergen zijn. Vijf blauw en vijf wit. 1 dwerg weet niet of hij blauw of wit is. Daar zou hij dus achter kunnen komen door de dag waarop het niet anders kan. De eerste dag zal er alleen iemand zijn hand omhoog steken als hij zeker weet dat hij de enige is. Maar dat gebeurt sowieso niet want iedereen weet al dat er meerdere blauwen zijn. Je kan dus niet meer zeggen dat er twee blauwen zouden zijn indien de tweede dag wel dwergen hun hand opsteken. Daarom is de dagtelling geen maatstaf meer om het aantal blauwen te bepalen. Tenzij iedereen er vanuit gaat dat de dagtelling gewoon bij 1 begint, wat gelijk zou staan voor 1 blauwe dwerg, en de tweede dag dat niemand zijn hand opsteekt voor twee blauwe dwergen staat. Maar dat is wel een erg onzekere aanname, aangezien de koning er niets over gezegd heeft en je niet kan verifiëren bij je mededwergen of ze inderdaad zo denken.
quote:Jawel, maar weten niet van elkaar dat ze de dagen gaan tellen. Dat is logisch bij 1,2 of 3 blauwen, maar niet meer relevant bij vijf blauwen. Waarom zou je die eerste dag als een 1-oplossing dag tellen als je weet dat die dag toch niet uitmaakt?Op vrijdag 29 april 2005 00:39 schreef Sidekick het volgende:
"De dwergen zijn even snugger, en als er een oplossing is, dan vinden ze hem gelijktijdig".
quote:Ze tellen geen dagen. Dat is de fout in je redenering. Als na een bepaald aantal dagen, afhankelijk van het aantal blauwharigen dat je ziet, er geen vingers omhoog gaan, kan je daar wel uit afleiden dat je zelf ook blauwharig moet zijn. Nog 1 keer op een rijtje:Op vrijdag 29 april 2005 00:48 schreef sizzler het volgende:
[..]
Jawel, maar weten niet van elkaar dat ze de dagen gaan tellen. Dat is logisch bij 1,2 of 3 blauwen, maar niet meer relevant bij vijf blauwen. Waarom zou je die eerste dag als een 1-oplossing dag tellen als je weet dat die dag toch niet uitmaakt?
We weten dat er minstens 1 blauwharige is, dat heeft de koning ze verteld. Ergo: als je als dwerg alleen witharigen ziet kan het niet anders dan dat je zelf de blauwharige bent. Je kan je vinger dus gelijk de eerste dag omhoog steken:
A. Bij 1 blauwharige is het probleem op dag 1 opgelost.
Maar nu zie je als dwerg 1 blauwharige onder de andere dwergen. Je weet dat als hij de enige is, hij alleen maar witharigen ziet en dan is volgens A. het probleem na 1 dag opgelost. Hij steekt echter zijn vinger niet de eerste dag op, en dus moet je concluderen dat de situatie van A. niet kan gelden. Er moet nog een dwerg met blauw haar zijn, en omdat je die niet ziet moet je die zelf zijn. Het probleem is opgelost en de volgende bijeenkomst (=dag) steek je je vinger op en de andere blauwharige ook. Ergo:
B. Bij 2 blauwharigen is het probleem de 2e dag opgelost.
Nu zie je twee blauwharigen. Bij B. is al beredeneerd dat op dag 2 de handen omhoog gaan. Maar dat gebeurt niet. De conclusie kan alleen maar luiden dat de situatie van B. niet van toepassing is en er dus nog een dwerg met blauw haar moet zijn. Omdat je die niet ziet moet je dat zelf zijn. Probleem opgelost, en de volgende bijeenkomst (=dag) steken alle blauwharigen hun vinger op. Dus:
C. Bij 3 blauwharigen is het probleem de 3e dag opgelost.
Nu de situatie waarin je 3 blauwharigen ziet. Je kent de redenatie hierboven ondertussen en je weet dus dat de derde dag de vingers omhoog zullen gaan, tenzij er een vierde blauwharige is. En omdat je er maar drie ziet, zal je zelf wel de vierde zijn. Conclusie:
D. Bij 4 blauwharigen is het probleem de 4e dag opgelost.
enzovoort.
quote:Op donderdag 28 april 2005 19:33 schreef DionysuZ het volgende:
had nix te doen
quote:Ik denk dat ik Sizzler's dilemma wel begrijp, het voorbeeld is volstrekt theoretisch, nog afgezien van de dwergen zelf. In een situatie met 2 of mischien ook 3 dwergen met blauw haar zal de dwerg nog wel rationeel handelen. In een situatie met laten we zeggen in één keer 20 dwergen met blauw haar is de chaos compleet. De dwerg in kwestie zal dan de dagen moeten tellen op basis van deze redenatie/inductie, intuïtief is een dergelijke situatie onoplosbaar. De vraag is dan, als alle dwergen de dagen gaan tellen, en in feite de draad kwijt zijn, of ze dan nog tot een juiste oplossing kunnen komen.Op vrijdag 29 april 2005 08:39 schreef ..-._---_-.- het volgende:
[..]
Ze tellen geen dagen. Dat is de fout in je redenering. Als na een bepaald aantal dagen, afhankelijk van het aantal blauwharigen dat je ziet, er geen vingers omhoog gaan, kan je daar wel uit afleiden dat je zelf ook blauwharig moet zijn. Nog 1 keer op een rijtje:
We weten dat er minstens 1 blauwharige is, dat heeft de koning ze verteld. Ergo: als je als dwerg alleen witharigen ziet kan het niet anders dan dat je zelf de blauwharige bent. Je kan je vinger dus gelijk de eerste dag omhoog steken:
A. Bij 1 blauwharige is het probleem op dag 1 opgelost.
....................
....................
D. Bij 4 blauwharigen is het probleem de 4e dag opgelost.
enzovoort.
Als het aantal blauwharige dwergen gelijk is aan n, dan zullen zij daar na n dagen achterkomen.
Het basisgeval n=1 is eenvoudig. Als n=1, dan zal er een dwerg zijn die bij geen enkele andere dwerg blauwe haren constateert en deze dwerg concludeert dus dat hij zelf de blauwharige moet zijn.
Nu gaan we de inductiestap bewijzen. Zij m>1 en neem aan dat de uitspraak geldt voor alle n<m. Dan moeten we bewijzen dat de uitspraak geldt voor n=m. De uitspraak is een implicatie dus neem het linkerdeel aan: stel er zijn m blauwharige dwergen. Elke dwerg ziet dan zelf ofwel m blauwharige dwergen (als hij zelf niet blauwharig is) ofwel m-1 blauwharige dwergen (als hij zelf wel blauwharig is). Als een dwerg m-1 blauwharige dwergen ziet, dan kan hij bedenken dat er m blauwharige dwergen zijn als hij zelf blauwharig is en dat er m-1 blauwharige dwergen zijn als hij zelf niet blauwharig is. Maar ja, als er m-1 blauwharige dwergen zijn dan was het probleem opgelost op dag m-1, vanwege de inductiehypothese. Aangezien dat niet het geval is, kan zo'n dwerg dus bedenken dat er m blauwharige dwergen zijn en dat hij zelf dus blauwharig moet zijn.
Dit is inductie, de manier waarop het door Pam wordt uitgelegd niet.
quote:De koning zegt dat er tenminste 1 dwerg is met blauw haar. Dus als je als dwerg niemand ziet rondlopen met blauw haar dan weet je dat jij zelf blauw haar moet hebben.Op woensdag 4 mei 2005 14:15 schreef Lord_of_the_String het volgende:
mmmh, als er 1 dwergje met blauw haar is, hoe moet die dan weten of hij/zij blauw haar heeft, zonder in de spiegel te kijken? want de koning zegt het niet, en een spiegel zou flauw zijn, toch?
.quote:Of hallucinerende dwergjesOp woensdag 4 mei 2005 14:37 schreef DionysuZ het volgende:
er wordt wel geen rekening gehouden met eventueel kleurenblinde dwergen
quote:temporaalkwab epilepsiedwergjes?
quote:Is hier dan sprake van inductie in de werkelijke zin van het woord?Op donderdag 28 april 2005 16:40 schreef Mobious het volgende:
Inductie werkt niet altijd even goed. Bijvoorbeeld bij de "Unexpected Hanging Paradox".
[..]
quote:Je kunt het gebruiken om te bewijzen dat de uitspraak van de rechter met zichzelf in tegenspraak is.Op donderdag 5 mei 2005 17:27 schreef Reya het volgende:
[..]
Is hier dan sprake van inductie in de werkelijke zin van het woord?
quote:Volgensmij is er hier sprake van een zno-paradox oid, maar zeker geen inductie...Op donderdag 5 mei 2005 17:36 schreef thabit het volgende:
[..]
Je kunt het gebruiken om te bewijzen dat de uitspraak van de rechter met zichzelf in tegenspraak is.
En wat inductie betreft: het principe van inductie (dwz: het idee dat je door één dominosteen te laten vallen willekeurig lange rijen kunt laten vallen) zit zeker in de paradox verwerkt. Dus met inductie heeft het zeker te maken. Zie ook thabits opmerking.