Dwergjes met blauwe haren - inductiecolumn Pamela Hemelrijk

Ik snap je punt. In deze redenatie zou iedereen nummer 3 kunnen zijn. Je weet niet of jij er 1 bent, ook al weet je dat er 3 zijn..

Niet iedereen kan denken dat hij nummertje 3 'is',omdat de rest juist 3 mannetjes met blauw haar zien. Zij zouden dus denken dat ze mogelijk op dag 4 hun hand omhoog zouden moeten steken. Het klopt dus wel.

Pamela Hemelrijk....

Maar wat is inductie nou?

quote:

Op donderdag 28 april 2005 00:08 schreef Sidekick het volgende:
Pamela Hemelrijk....

Waarom haal je je post weg?

Dit doet de deur dicht.... *Gooit half volle whisky fles in de kliko*

quote:

Op donderdag 28 april 2005 00:13 schreef sizzler het volgende:

[..]

Maar daar zit het hem; als je weet dat het er meer dan twee zijn is het niet meer logisch om de eerste dag van één of twee personen uit te gaan.

Jawel, want je weet dat die twee het niet kunnen weten op dag 1.

quote:

Op donderdag 28 april 2005 00:14 schreef sizzler het volgende:

[..]


[..]

En iets met blauwharige dwergjes.

Dan is het dus toch wat ik op school geleerd heb. Ik zie alleen de connectie met de dwergjes niet.

quote:

Op donderdag 28 april 2005 00:11 schreef -=Bioslock=- het volgende:

[..]

Waarom haal je je post weg?

Ik bedacht me net dat het om de echte Pamela Hemelrijk ging.

quote:

Op donderdag 28 april 2005 00:27 schreef sizzler het volgende:

[..]

Maar wie steekt de eerste hand op? Hoe weet je dat jij een van de blauwe bent?

Stel nu dat n het werkelijk aantal blauwen is.
Dan weet jij als jij blauw bent dat het er n-1 of n zijn. De rest denkt dat het er n of n + 1 zijn. Je steekt dus een dag eerder je hand op dan de andere niet-blauwen potentieel zouden doen, je ziet immers ook minder blauwen dan dat de niet-blauwen doen.

quote:

Op donderdag 28 april 2005 00:57 schreef sizzler het volgende:

[..]

Jawel, maar je weet niet van tevoren dat anderen hun hand niet opsteken.

Stel dat er vijf blauwe zijn en vijf witte. Hoe weet je dan dat je de vijfde blauwe bent als de rest sowieso niet zijn hand opsteekt?

_{alhoewel...hmmm..morgen kijk ik er nogeens naar, volgens mij kan het toch wel...}

Voordat je er morgen nog naar kijkt toch maar even een antwoord:

Het antwoord is dat de vijf witten ieder vijf blauwen zien. De vijf blauwen zien ieder echter vier blauwen. Daardoor steken de blauwen hun hand een dag eerder op dan dat de witten potentieel zouden doen.
_{Je kan trouwens niet echt zeggen dat je "de vijfde blauwe" zou zijn .. je bent dan gewoon 1 van de 5, net als de rest; je komt er allemaal op hetzelfde moment achter.}

Maf verhaal. Met één of twee dwergen kan ik nog wel volgen, al vind ik wel dat als een dwerg ten onrechte zijn hand op steekt er koppen moeten rollen, een beetje druk moet er zijn

Eén dwerg met blauw haar = 1 dag, want er is er tenminste één, en dat moet hij zelf dan wel zijn als niemand anders de hand opsteekt (foutje: hij ziet niemand met blauw haar, er moet er één zijn, dus hijzelf)
.
Twee dwergen met blauw haar = 2 dagen, de eerste dag wordt er geen hand op gestoken, ondanks dat voor beide dwergen duidelijk is dat er tenminste één met blauw haar is. Eén dwerg ziet dat een andere dwerg met blauw haar zijn hand niet opsteekt, daardoor wordt het hem duidelijk dat de andere dwerg met hetzelfde dilemma worstelt als hijzelf. Er zijn immers géén andere dwergen met blauw haar. Beide dwergen zien er ieder één met blauw haar, elkaar dus.
Op dag twee steken beiden de hand op.
.
Drie dwergen = drie dagen, de derde dwerg kan redelijkwijs verwachten dat de twee dwergen die hij ziet op de tweede dag de hand op steken, geheel volgens de voorgaande redenering. Dat gebeurt niet, alle drie de dwergen denken dit namelijk en steken de hand niet op in de verwachting dat de andere twee dat wel zouden doen.
De gevolgtrekking is dat er dus een derde dwerg met blauw haar moet zijn, de derde dag gaan er drie handen omhoog. enz enz.

[ Bericht 1% gewijzigd door Godslasteraar op 28-04-2005 01:22:19 ]

quote:

Op donderdag 28 april 2005 00:11 schreef Litso het volgende:
Maar wat is inductie nou?

Als ik het goed heb onthouden van de lessen Statistiek: inductie is het bewijzen een recursieve oplossingsmethode. Bij recursie ga je herhaaldelijk het probleem via dezelfde methode reduceren tot een kleiner probleem. In dit voorbeeld stel je dat 15 blauwharigen hetzelfde probleem is als 14 blauwharigen een dag later. En dat is hetzelfde als 13 blauwharigen 2 dagen later. Dit tot aan je 1 overhoudt, en de oplossing duidelijk is. Dat is dus de n-1 methode.

Bij inductie kijk je eerst naar n=1, en je gaat na of voor n+1 dit ook geldt. Dat doet Hemelrijk dus in haar column.

En om terug te komen op de onduidelijkheid van sizzler: Stel 4 dwergen (A, B, C en D) voor, met 3 blauwharigen: Dwerg A ziet 2 blauwharigen. Dwerg B ziet ook 2 blauwharigen. Dwerg C ziet ook 2 blauwharigen en dwerg D ziet 3 blauwharigen.

De eerste drie dwergen zijn dus blauw, maar weten het nog niet van hunzelf. Dwerg D weet het ook nog niet.

Dwerg A, B en C zullen wachten totdat de twee andere dwergen, waarvan ze kunnen zien dat ze blauw zijn, hun hand opsteken. Uit het duidelijke voorbeeld in de column van maar in totaal twee blauwe dwergen zal dat na 1 dag gebeuren. Maar tot hun eigen verbazing zien ze allemaal dat de twee andere dwergen hun hand niet opsteken na 1 dag. Dwerg A, B en C weten dus dat er drie blauwen moeten zijn. Dwerg A ziet Dwerg D (t/m een oneindig aantal dwergen natuurlijk) die niet blauw is, dus weet hij dat hij ook blauw is. Dwerg B en C komen gelijktijdig tot dezelfde conclusie, en steken dus gelijktijdig hun hand omhoog.

Sizzler, je stelt dat Dwerg D ook zou kunnen denken dat hij de derde dwerg is, maar Dwerg D ziet al 3 andere blauwen, dus kan hij dat niet denken. Hij zou eventueel de vierde kunnen zijn, maar hij is aan het wachten op de goede dag om te concluderen of er daadwerkelijk 4 zijn. Aangezien de drie al hun hand opstaken komt er geen nieuwe dag mee.

Ik hoop dat dit hele verhaal een beetje duidelijk is.

Overigens communiceren de dwergen 'in gebaar' door handen op te steken en naar elkaar te kijken, iets wat in de eerste plaats al niet mogelijk was.

Inductie is een manier van bewijzen, waarbij je bewijst dat een bepaalde stelling geldt voor elk natuurlijk getal. Natuurlijke getallen kunnen gedefinieerd worden als de rekenkundige rij u_n+1= u_n+1, met u₀ = 0. Volgensmij is de reeks natuurlijke getallen officieel gedfeinieerd met vijf axioma's, maar je kunt ook gewoon zeggen dat het om alle positieve gehele getallen gaat.

Bij het toepassen van inductie maak je gebruik van het regelmastige karakter van natuurlijke getallen. Eerst bewijs je dat een stelling geldt bij x=1, dan bewijs je dat een stelling - als je aanneemt dat die geldt voor x=n - ook geldig is voor x=n+1. Daarna kun je de conclusie trekken dat de stelling geldt voor alle natuurlijke getallen.

Een voorbeeldje is de som van de eerste n getallen. Je wilt bewijzen dat dit gelijk is aan n*(n+1)/2. Vul eerst es n=1 in. Dan komt er uit de som 1, dus dat klopt. Neem nu aan dat de som van de eerste n getallen n*(n+1)/2 is, en probeer hiermee te bewijzen dat de som van de eerste (n+1) getallen gelijk is aan (n+1)*(n+1+1)/2.

Volledige inductie

quote:

Op donderdag 28 april 2005 00:57 schreef sizzler het volgende:

[..]

_{alhoewel...hmmm..morgen kijk ik er nogeens naar, volgens mij kan het toch wel...}

Ik heb inderdaad het gevoel dat je het stuk niet goed gelezen hebt.