Ik ben erg benieuwd naar reacties op het artikeltje. Is het duidelijk wat er uiteengezet wordt, of is er geen touw aan vast te knopen? Moeten bepaalde punten beter uitgelegd worden? Missen er misschien nog begrippen die uitleg verdienen? Spui uwe gedachten erover!
Hieronder de huidige versie:
KWANTUMMECHANICA
Inleiding
Naast de Relativiteitstheorie is de Kwantummechanica één van de pijlers van de moderne fysica. In dit artikel zal geprobeerd worden een algemeen beeld te schetsen van de theorie, zonder al te veel in detail te treden.
Het is misschien goed om direct aan het begin Richard Feynman aan te halen met zijn uitspraak "Ik denk dat ik veilig kan zeggen dat niemand de Kwantummechanica begrijpt". Of, zoals David Griffiths in de inleiding van zijn boek schrijft: "Het doel van de boek is u te leren hoe u Kwantummechanica doet". Het is namelijk zo dat voorspellingen van de theorie heel goed met experimentele metingen overeenkomen, echter met betrekking tot de vraag waarom dit zo is, tast men nog steeds in het duister.
Een beetje geschiedenis
In tegenstelling tot bijvoorbeeld de al eerder genoemde Relativiteitstheorieën, waar Einstein in zijn eentje verantwoordelijk voor is, is voor de Kwantummechanica niet één enkele persoon te noemen die alle lof verdient. Het begon allemaal rond 1925, met Schrödinger, Heisenberg, Born, Dirac en anderen. Op dat moment kon men met de theorie van Bohr enkel voorspellingen doen over atomen en ionen met één elektron. En hoewel het model van Bohr al een hele stap vooruit was ten opzichte van klassieke theorieën over het atoom, wist men dat er een meer algemene aanpak nodig was om ook voorspellingen te kunnen doen over meer complexe atomen. De oplossing kwam dus in de vorm van de Kwantummechanica en deze kwam in het begin op veel mensen nogal wonderlijk over. Maar al snel bleek dat de theorie goede voorspellingen kon doen, en tot op de dag van vandaag zijn zelfs de opmerkelijkste conclusies van de theorie juist gebleken.
Basisbegrippen
De Golffunctie
Hoewel al in 1905 bekend was dat golven soms deeltjeskenmerken vertonen, duurde het tot 1924 voordat men het golfkarakter van deeltjes ontdekte. De man hierachter was De Broglie, en hoewel Einstein en Planck in 1905 op veel weerstand stuitten toen ze opperden dat golven zich als deeltjes kunnen gedragen, werd De Broglie's theorie al snel aanvaard. Dit idee van golf-deeltjedualiteit werd het startpunt van de ontwikkeling van de Kwantummechanica.
Het golfkarakter van een deeltje of lichaam wordt doorgaans uitgedrukt in de golffunctie Psi, die an sich geen fysische betekenis heeft. Zijn waarde absoluut gekwadrateerd is echter rechtevenredig met de kans om het deeltje op een bepaalde tijd en plaats aan te treffen, en dat is een van de manieren waarop de functie gebruikt wordt, zoals zal blijken in het volgende paragraafje.
De Schrödingervergelijking
Een belangrijke vergelijking uit de Kwantummechanica is de Schrödingervergelijking. De tijdsafhankelijke variant in drie dimensies is als volgt gedefinieerd:
i h d/dt(Psi) = - h/2m [d2/dx2(Psi) + d2/dy2(Psi) + d2/dy2(Psi)] + U Psi,
waar i het complexe getal is, gedefinieerd als de vierkantswortel uit (-1), h gelezen moet worden als ‘h-streep', de constante van Planck gedeeld door tweemaal Pi, en Psi de eerdergenoemde golffunctie is. Verder is d/dt een tijdsafgeleide en is d2/dx2 de tweede afgeleide naar de plaatscoördinaat x.
De algemene werkwijze met de Schrödingervergelijking is dat als de potentiële-energiefunctie U van het deeltje eenmaal bekend is, men de vergelijking oplost naar Psi, en zo uitspraken kan doen over de kansdichtheid |Psi|2 van het deeltje op een bepaalde plaats x, y, z en een tijdstip t.
Het onzekerheidsprincipe
Een bekend idee uit de Kwantummechanica is het door Heisenberg geformuleerde Onzekerheidsprincipe. In zijn simpelste vorm zegt het dat het onmogelijk is om van een deeltje tegelijk zijn positie en zijn impuls (dwz massa maal snelheid) te bepalen. Met andere woorden, hoe preciezer je de impuls van een deeltje weet te bepalen, des te onzekerder wordt zijn positie, en vice versa. In formulevorm komt het er dan op neer dat het product van de onzekerheid in de positie, delta x, en die in de impuls, delta p altijd groter of gelijk is aan een constante (de constante van Planck gedeeld door 4 maal Pi).
Dit Principe kan geïllustreerd worden door middel van het volgende voorbeeld. Stel, we hebben een elektron die we willen ‘bekijken'. We gebruiken hiervoor licht van een bepaalde golflengte labda, en uit het gereflecteerde licht kunnen we dan onze informatie halen. Dit licht bestaat uit fotonen die een bepaalde impuls hebben (namelijk h/labda). Om het elektron te ‘zien' zal een foton tegen het elektron moeten botsen, en reflecteren. Het probleem is echter dat hierdoor de impuls van het elektron zal veranderen, en wel met een hoeveelheid evenredig aan de impuls van het foton. Willen we de impuls van het foton zo klein mogelijk maken, en zodoende de elektronimpuls zo min mogelijk verstoren, dan zullen we de golflengte labda van het foton zo groot mogelijk moeten maken. Echter, deze labda is ook een maat voor de onzekerheid in de bepaling van de positie van het elektron. Immers, hoe groter de golflengte van het licht wordt, hoe moeilijker het wordt een heel klein deeltje waar te nemen. De conclusie is dus dat je slecht één van de twee grootheden zo exact mogelijk kunt bepalen.
Einstein, uit wiens intuïtie de Relativiteitstheorie was ontsproten, was nogal sceptisch over dit alles. Het kon er bij hem niet in dat je niets meer met absolute zekerheid kon meten (Onzekerheidsprincipe), maar dat in plaats daarvan alles om waarschijnlijkheden leek te draaien (golffuncties). Hij vatte dit samen in de inmiddels gevleugelde uitdrukking "God dobbelt niet". Ook schijnt hij tijdens een lezing van Heisenberg over zijn Principe opgemerkt te hebben: "Wonderlijk, wat voor ideeën de jonge mensen hebben tegenwoordig. Maar ik geloof er geen woord van".
Kwantumgetallen: Spin
Veel eigenschappen van elementaire deeltjes worden in de kwantummechanica beschreven door de zogeheten kwantumgetallen. Deze zijn altijd heel- of halftallig, dus nemen altijd de waarden 0, +/- 1/2, +/- 1, etc aan. Door deze kwantumgetallen zijn veel kwantummechanische grootheden dus niet continu (als in: ze kunnen elke willekeurige waarde aannemen) maar gekwantiseerd oftewel discreet.
Een voorbeeld van zo'n gekwantiseerde eigenschap is ‘spin' (overigens is deze eigenschap ontdekt door de Nederlanders Goudsmit en Uhlenbeck, wat hen een Nobelprijs opleverde). Spin is een wat vaag begrip, aangezien het om een fundamentele eigenschap gaat, die verder moeilijk voor te stellen is. Het is te vergelijken met de omwenteling van een planeet om zijn as, naast de omwenteling om zijn ster. Zo ook heeft een elektron een extrinsiek hoekmoment L, wat overigens ook gekwantiseerd is en wat te maken heeft met de beweging van het elektron rond de atoomkern; en daarnaast een intrinsiek hoekmoment S (de spin) wat een beetje analoog is aan de omwenteling van een planeet om zijn as. Deze laatste vergelijking is echter niet helemaal juist aangezien men het elektron als een structuurloos puntdeeltje beschouwd, en het dus zinloos is om te spreken van een omwenteling om zijn eigen as.
De grootte S van het intrinsieke hoekmoment is gegeven door
S = h wortel[s(s + 1)]
waar h wederom gelezen moet worden als de eerdergenoemde ‘h-streep', en s het spin-kwantumgetal is. Deze s heeft voor elektronen altijd de waarde 1/2.
Voor de z-component van het spin-hoekmoment van een elektron dat zich in een in de z-richting georiënteerd magneetveld bevindt, geldt
Sz = ms h.
Het zogenaamde magnetische kwantumgetal ms kan (2s + 1) waarden aannemen: van –s tot +s met stapjes van 1. In het geval van elektron resulteert dit in de waarden ms = +1/2 en ms = -1/2. Er zijn dus twee mogelijke oriëntaties van de spin: Sz = + h/2 ("spin up") en Sz = - h/2 ("spin down").
Voorbeelden en Toepassingen
Schrödingers Kat
Een bekende ‘paradox' uit de Kwantummechanica staat bekend onder de naam ‘Schrödingers Kat'. Hierin wordt een kat in een kamer geplaatst, samen met een hels mechanisme: in een Geigerteller zit een kleine hoeveelheid radioactief materiaal, zo klein dat er binnen een uur misschien een atoom vervalt, maar met een even grote waarschijnlijkheid gebeurt dit niet. Wanneer er een atoom vervalt, wordt dit gedetecteerd door de teller, die een kleine hamer activeert, welke op zijn beurt een potje cyanide kapotslaat.
Als men een uur wacht, is er dus een kans van 50 procent dat er een verval heeft plaatsgevonden, en de kat vergiftigd is. Er is echter een even grote kans dat de kat nog leeft. De golfvergelijking van de kat zou schematisch de volgende vorm hebben:
Psi = A (Psilevend + Psidood)
waar A een hier niet zo belangrijke normalisatieconstante is. Oftewel: de kat is levend noch dood, maar verkeert in een superpositie van beide. Pas als een waarnemer door het raampje kijkt, wordt de kat gedwongen één van de twee toestanden aan te nemen: dood of levend. Blijkt de kat dood te zijn, dan was het de waarnemer die dat veroorzaakte, slechts door te kijken!
Schrödinger en de meeste andere natuurkundigen beschouwen het als onzin dat een macroscopisch object zoals een kat zich in een superpositie van twee toestanden kan bevinden, en dat de observatie van de waarnemer er voor zorgt dat hij één van beiden aanneemt.
De verklaring ligt in het feit dat een macroscopisch systeem zich statistisch gezien nooit in een lineaire combinatie van toestanden kan bevinden. Een elementair deeltje, een microscopisch systeem, kan dit wel. Een macroscopisch object echter is opgebouwd uit ongeveer 1023 van die elementaire deeltjes, en zijn golffunctie zal dan ook een gigantisch complexe combinatie zijn van de individuele golffuncties. Hierdoor is het erg onwaarschijnlijk dat al die deeltjes samen zo'n simpele lineaire combinatie van toestanden aannemen.
Het Stern-Gerlach Experiment
Het nu volgende stukje tekst beschrijft een experiment dat de al eerder beschreven kwantisatie van eigenschappen van deeltjes nog eens mooi illustreert.
De heren Stern en Gerlach stuurden een geconcentreerde bundel zilveratomen, afkomstig uit een oven, door een inhomogeen magneetveld en lieten het daarna op een scherm vallen. Deze zilveratomen hebben een zogenaamd magnetisch moment en zijn daarom te beschouwen als kleine kompasnaaldjes, die de neiging hebben zich te oriënteren naar het magneetveld. Als een zilveratoom in zijn grondtoestand zit, hangt dit magnetische moment af van de spin van slechts één van zijn elektronen. Aangezien het magneetveld inhomogeen is, ondervinden beide ‘polen' van de kompasnaald niet een gelijke kracht, en hangt de resulterende kracht op de naald dus af van zijn oriëntatie ten opzichte van het veld.
Zonder het magneetveld zou er slecht een punt op het scherm te zien zijn, doordat alle atomen simpelweg in een rechte lijn naar het scherm schieten. Wordt het magneetveld echter ingeschakeld, dan ondervindt elk atoom een kracht, afhankelijk van de oriëntatie van zijn magnetisch moment. Afhankelijk van de grootte van die kracht zal het atoom dus verder van het midden van het scherm terechtkomen.
Klassiek gezien zou men verwachten dat elke willekeurige oriëntatie van magnetische momenten mogelijk is, en dat er dus een streep op het scherm zichtbaar zou zijn. Volgens de kwantummechanica is het magnetisch moment zoals gezegd echter afhankelijk van de elektronspin, en zal het slechts twee waarden kunnen aannemen, corresponderend met "spin-up" en "spin-down". Op het scherm zouden dus slechts twee punten zichtbaar moeten zijn. En dit is ook daadwerkelijk wat Stern en Gerlach waarnamen!
[ Bericht 0% gewijzigd door Maethor op 05-03-2005 14:35:02 ]
Als je geen hogere wis- en natuurkunde heb gehad, is daar niks van te begrijpen. En eerlijk gezegd intresseert het me ook totaal niet.
quote:Op zaterdag 5 maart 2005 14:29 schreef whosvegas het volgende:
Lang verhaal, alleen jammer van dat wiskunde geneuzel.
Als je geen hogere wis- en natuurkunde heb gehad, is daar niks van te begrijpen. En eerlijk gezegd intresseert het me ook totaal niet. En het lijkt me hier ook niet nodig, wat me belangerijker lijkt is dat iedereen die zich er in wil verdiepen het kan begrijpen. Met een uitzondering, Rudeonline
quote:Ik ben het niet met je eens dat je hogere wis- of natuurkunde nodig hebt om het te begrijpen. Mijn bedoeling was een algemeen artikeltje te schrijven waar in de belangrijkste begrippen van de kwantummechanica aan bod komen. In overleg met een moderator is er voor gekozen om hier en daar ook een formule te noemen. Zonder op die formules te letten blijft het verhaal mijns inziens duidelijk, en ik denk dat de formules, die overigens vrij simpel zijn (behalve dan misschien die van Schrödinger, maar die dient volledig ter illustratie, want mag eigenlijk niet ontbreken in een dergelijk artikel) het geheel nog iets duidelijker maken.Op zaterdag 5 maart 2005 14:29 schreef whosvegas het volgende:
Lang verhaal, alleen jammer van dat wiskunde geneuzel.
Als je geen hogere wis- en natuurkunde heb gehad, is daar niks van te begrijpen. En eerlijk gezegd intresseert het me ook totaal niet.
Maar voor mijn gevoel heeft het artikel een hoog populair wetenschappelijk gehalte en kunnen een paar formules geen kwaad.quote:Was het niet Hawking die in het Heelal het volgende schreef: "Elke formule kost je de helft van je lezers."Op zaterdag 5 maart 2005 14:41 schreef Maethor het volgende:
Nou ja, als iedereen vind dat het niveau te hoog ligt, trek ik me er wel wat van aan natuurlijk.
Verder heb ik weinig op of aan te merken.
Tevens terugvindpost voor latere nadere beschouwing.
quote:Dat hangt helemaal van je publiek af. Als je echt een lekenpubliek hebt, moet je inderdaad geen formules gebruiken. Nu kun je natuurlijk aankomen met 'ja maar het Fok!publiek is een stelletje kwantummechanische leken!' maar ik denk dat mensen die totaal geen natuurkundige of wiskundige achtergrond of interesse hebben sowieso al niet de moeite nemen om het artikel te lezen.Op zaterdag 5 maart 2005 14:50 schreef Karboenkeltje het volgende:
Was het niet Hawking die in het Heelal het volgende schreef: "Elke formule kost je de helft van je lezers."
[ Bericht 100% gewijzigd door Maethor op 05-03-2005 14:58:50 (dubbel) ]
Verder moedig ik zulke topics alleen maar aan
quote:"Ietwat"!?!? Die kutdingen hebben mij een studie gekost!Op zaterdag 5 maart 2005 14:58 schreef Haushofer het volgende:
Tja, misschien dat de vorm van de Schrodinger vergelijking ietwat gecompliceerd aanziet
Sorry, ik ben in een melige slowchatbui maar ik ga nu weg.
quote:Dat is 'm in één dimensie. Misschien is het beter om de driedimensionale uit het artikel te vervangen door de ééndimensionale? Of een algemene tweede plaatsafgeleide (laplaciaan) ipv uitschrijven in drie componenten? Ziet het er misschien iets minder angstaanjagend uit.Op zaterdag 5 maart 2005 14:58 schreef Haushofer het volgende:
--- plaatje van de Schrödingervergelijking ---
Die formule beschrijft dus stationare oplossingen. Ik kan zo gauw niet de volledige vinden.
Wat dat ding dus doet, is via zogenaamde operatoren de kinetische en potentiele energie van een deeltje verkrijgen. Dit is dus gelijk aan de totale energie. En het grappige is, dat als je zo'n operator op die golffunctie psi laat werken, dat dat altijd gelijk is aan een getal maal die psi !
quote:Doel je op het vak 'Differentiaal- en Integraalrekening' als selectieprocedure bij menig bètastudie?Op zaterdag 5 maart 2005 15:01 schreef Karboenkeltje het volgende:
"Ietwat"!?!? Die kutdingen hebben mij een studie gekost!
Ik denk dat het beter is dat mensen die daar erg veel moeite mee hebben, zich direct aan het begin van de studie realiseren dat het beter is wat anders te gaan doen, dan een eind verderop.Maar nogmaals, de Schrödingervergelijking staat er puur ter illustratie tussen, dus wie dat wil mag m vergeten.
Ik open er wel een topic over.
[ Bericht 87% gewijzigd door Pietverdriet op 05-03-2005 15:31:36 ]
quote:Ja, die dingen zijn evil en satanisch. Nou ja, als ik eerlijk ben is het gewoon mijn eigen luiheid die me de kop kostte. Integreren was toch net iets te lastig om "zomaar" op te pikken (zoals mij gewoon was).Op zaterdag 5 maart 2005 15:07 schreef Maethor het volgende:
[..]
Doel je op het vak 'Differentiaal- en Integraalrekening' als selectieprocedure bij menig bètastudie?
quote:Dat weet ik niet, ik wil alleen maar aangeven dat een (groot) deel van de mensen op Fok er niet veel van zal/wil begrijpen.Op zaterdag 5 maart 2005 14:39 schreef Maethor het volgende:
[..]
Ik ben het niet met je eens dat je hogere wis- of natuurkunde nodig hebt om het te begrijpen.
quote:Dat je soms niet aan wiskundig geneuzel ontkomt ben ik met je eens. Maar dat bij een artikel over qm standaard formules horen, dat is onzin. In "Het heelal" van Stephen Hawking staat ook geen enkele formule. Dat is omdat dat boek bedoelt is om een groot publiek kennis te laten maken met kosmonologie. Schrijf je een artikel of een boek voor studenten of wetenschappers, dan hoor je natuurlijk wiskunde te gebruiken. Het is dus maar net wat voor publiek je wilt bereiken.Mijn bedoeling was een algemeen artikeltje te schrijven waar in de belangrijkste begrippen van de kwantummechanica aan bod komen. In overleg met een moderator is er voor gekozen om hier en daar ook een formule te noemen. Zonder op die formules te letten blijft het verhaal mijns inziens duidelijk, en ik denk dat de formules, die overigens vrij simpel zijn (behalve dan misschien die van Schrödinger, maar die dient volledig ter illustratie, want mag eigenlijk niet ontbreken in een dergelijk artikel) het geheel nog iets duidelijker maken.
quote:Pagina 7: E = m c2Op zaterdag 5 maart 2005 16:43 schreef whosvegas het volgende:
In "Het heelal" van Stephen Hawking staat ook geen enkele formule.
quote:Nou ja, ik heb weinig kaas gegeten van wiskunde en natuurkunde vroeger op school. Maar toch intresseerd qm me.Op zaterdag 5 maart 2005 14:57 schreef Maethor het volgende:
[..]
Dat hangt helemaal van je publiek af. Als je echt een lekenpubliek hebt, moet je inderdaad geen formules gebruiken. Nu kun je natuurlijk aankomen met 'ja maar het Fok!publiek is een stelletje kwantummechanische leken!' maar ik denk dat mensen die totaal geen natuurkundige of wiskundige achtergrond of interesse hebben sowieso al niet de moeite nemen om het artikel te lezen.
quote:Nou ja een dan
quote:In de QM ga je uit van een golffunctie psi. Dat is dus bijvoorbeeld een deeltje. Die psi is complex, en is dus niet waarneembaar. Nou heb je in de wiskunde zoiets als operatoren. Een voorbeeld van een operator is d/dx, of 6. Die kun je loslaten op een functie f. Dus dat wordt in het eerste geval df/dx,en in het tweede geval 6*f.Op zaterdag 5 maart 2005 16:50 schreef Alicey het volgende:
Kun je misschien in taal die blondjes begrijpen uitleggen wat ongeveer de strekking van die grote formule is? (Misschien een paar concrete voorbeelden/resultaten ervan)?
Een grootheid als energie, of impuls verkrijg je nu door een geschikte operator op die golffunctie los te laten. De energie-operator in de QM blijkt als volgt te zijn:
i*h*d/dt.
Een tijdsafgeleide dus.
Als je deze op een golffunctie loslaat, krijg je de totale energie. i is dan Sqrt(-1), een imaginair getal! En h is de constante van Planck, maar lees daar h-streep voor; je deelt nog ff door 2*pi. Dus
i*h*d(PSI)/dt geeft jouw de totale energie van een bepaalde PSI.
De operator van de impuls blijkt
-i*h* d/dx
te zijn. Dus een plaatsafgeleide! Nou is klassiek gezien de kinetische energie 1/2*m*v2. Dit kun je ook schrijven als p2/2m, want p=m*v.
Nu had je een uitdrukking voor p, als operator. Dus de kinetische energie-operator is
p2/2m = (-h2/2m)*d2/dx2.
Dit is een tweede afgeleide naar de plaats !
De potentiaal is een extern veld, en je psi hangt dus niet van V af. Als je nou alle termen bij elkaar gooit, en bedenkt dat "totale energie"= "kinetische energie" + " potentiele energie", dan snap je de Schrodinger vergelijking ook beter: het zegt gewoon bovenstaande, maar dan in operatorvorm. Want nogmaals, een grootheid verkrijg je door een operator te laten werken op PSI. En bij een potentiaal vermenigvuldig je gewoon je PSI met de potentiaal V.
PSI is niet waarneembaar, en het heeft een tijdje geduurd voordat de fysische interpretatie ervan duidelijk was. Born kwam met het volgende idee: Die PSI is een golffunctie. Om nou de kans te krijgen dat een deeltje zich tussen x1 en x2 bevindt, neem je de oppervlakte van |PSI|2 tussen x1 en x2. Dus een deeltje is het meest waarschijnlijk aanwezig op de plaats waar die |PSI|2 het grootst is.
Waarom dat PSI gekwadrateerd is, is op zich logisch; dat geeft je altijd een reeel getal, omdat PSI zelf complex is. En complexe dingen zijn nou eenmaal niet echt meetbaar.
quote:Ik begrijp wel wat je hiermee bedoelt, maar het klopt niet. Je neemt namelijk niet het kwadraat van PSI, maar het kwadraat van de norm van PSI. Terwijl de norm van PSI ook al reëel en dus meetbaar is. Het kwadraat van PSI hoeft zeker niet reëel te zijn. Ik denk dat een 'logische' verklaring voor het kwadraat niet te vinden is, zonder gewoon in de formules te duiken. En dan zie je in het begin al dat alles om L2-functies draait, en dan is het kwadraat logisch vanwege het normbegrip in L2. Maar dat is niet iets om in een niet-wiskundige FAQ te zetten denk ik...Waarom dat PSI gekwadrateerd is, is op zich logisch; dat geeft je altijd een reeel getal, omdat PSI zelf complex is. En complexe dingen zijn nou eenmaal niet echt meetbaar.
Dus óf je beargumenteert het stukje, óf je haalt het weg!
Zie mij eens lef hebben door zulke eisen te stellen aan een moderator
quote:Er staat nu een rood kruisje achter je naam!Op zaterdag 5 maart 2005 19:07 schreef Pie.er het volgende:
Zie mij eens lef hebben door zulke eisen te stellen aan een moderator
.Lijkt me wel belangrijk om dat ook duidelijk naar voren te laten komen in je FAQ
.quote:Dat wordt wel eens gedacht, maar dat is dus niet juist, vandaar de FAQ.Op zaterdag 5 maart 2005 19:10 schreef Lemmeb het volgende:
Quantummechanica, joh da's gewoon veredelde kansberekening
quote:Voorbeeldje. Stel ik neem de harmonische oscillator in de grondtoestand. Daarvan ga je de energie meten. Wat denk je dat je krijgt, een spreiding of een welgedefinieerde energie?Op zaterdag 5 maart 2005 19:10 schreef Lemmeb het volgende:
Quantummechanica, joh da's gewoon veredelde kansberekening
Lijkt me wel belangrijk om dat ook duidelijk naar voren te laten komen in je FAQ
quote:Jawel joh gekkie, dat is het wel. Maar het is inderdaad nog zoveel meerOp zaterdag 5 maart 2005 19:13 schreef Alicey het volgende:
[..]
Dat wordt wel eens gedacht, maar dat is dus niet juist, vandaar de FAQ.
.quote:Da's in mijn ogen statistische mechanica en geen kwantumOp zaterdag 5 maart 2005 19:17 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Voorbeeldje. Stel ik neem de harmonische oscillator in de grondtoestand. Daarvan ga je de energie meten. Wat denk je dat je krijgt, een spreiding of een welgedefinieerde energie?
.quote:Je hebt gelijk. Maar ik wou het een beetje plausibel maken,en eigenschappen van complexe getallen wat achterwege laten. Hoewel deze natuurlijk enorm belangrijk zijn in de QM. Ik heb overigens wel de norm | | er neergezetOp zaterdag 5 maart 2005 19:07 schreef Pie.er het volgende:
[..]
Ik begrijp wel wat je hiermee bedoelt, maar het klopt niet. Je neemt namelijk niet het kwadraat van PSI, maar het kwadraat van de norm van PSI. Terwijl de norm van PSI ook al reëel en dus meetbaar is. Het kwadraat van PSI hoeft zeker niet reëel te zijn. Ik denk dat een 'logische' verklaring voor het kwadraat niet te vinden is, zonder gewoon in de formules te duiken. En dan zie je in het begin al dat alles om L2-functies draait, en dan is het kwadraat logisch vanwege het normbegrip in L2. Maar dat is niet iets om in een niet-wiskundige FAQ te zetten denk ik...
Dus óf je beargumenteert het stukje, óf je haalt het weg!
Zie mij eens lef hebben door zulke eisen te stellen aan een moderator
Nou, ok, voor de genen die het interesseerd: je functie PSI moet altijd kwadratisch integreerbaar zijn, oftewel de oppervlakte van |PSI|2 moet eindig zijn. Wiskundig zeg je dan dat PSI in
L2 moet zitten, waarbij L2 de verzameling van alle functies is waarvan de oppervlakte van het kwadraat niet oneindig is. Dan kun je deze normaliseren, oftewel op 1 stellen. Het gaat immers om een deel van het oppervlak ten opzichte van de totale oppervlakte. Wiskundig kun je stellen dat dat je een complete inprodukt ruimte wilt om in te werken. Een Hilbert-ruimte.
quote:Kun je klassiek gezien de energiewaarden (n+1/2)h*w verkrijgen? Denk zelf van niet. Nou ja, is verder ook niet relevant voor dit topic. Dit topic is bedoeld voor mensen die er wat meer over willen weten zonder al teveel wiskundig geouwehoer.Op zaterdag 5 maart 2005 19:20 schreef Lemmeb het volgende:
[..]
Da's in mijn ogen statistische mechanica en geen kwantum
quote:Ohja da's waar. Maar wat ik wil zeggen is dat je wellicht meer bereikt, denk ik, door er ook gewoon wat gemeenplaatsen doorheen te gooien. Niet al te serieus zegmaarOp zaterdag 5 maart 2005 19:27 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Kun je klassiek gezien de energiewaarden (n+1/2)h*w verkrijgen? Denk zelf van niet. Nou ja, is verder ook niet relevant voor dit topic. Dit topic is bedoeld voor mensen die er wat meer over willen weten zonder al teveel wiskundig geouwehoer.
.quote:Ik dacht dat operatoren +, -, *, of / warenEen voorbeeld van een operator is d/dx, of 6
bovenstaande symbolen zijn toch operanden
quote:En dat heeft de oplage van [i]Het Heelal/i] gehalveerd, zegt 'ie ook ergens in zijn voorwoord. Maar voor degenene die geintereseerd zijn in kwantummechanica: De herziene en geilustreerde editie van het heelal is prima leesbaar, en met inderdaad maar één formule.
¤27,95 bij bol
quote:Tja, kwestie van naamgeving. De term operator kom je altijd tegen in boeken over QM. En dan weet je natuurlijk wel dat je het niet over +,- of / hebt.Op zaterdag 5 maart 2005 19:41 schreef whosvegas het volgende:
[..]
Ik dacht dat operatoren +, -, *, of / waren
bovenstaande symbolen zijn toch operanden
Mooi gedaan Maethor en zeker niet te wiskundig.
Hier nog ff de plaats&tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking.
De eerste term (tijdsafgeleide) is dus de operator die de totale energie geeft.
De tweede term (rechterkant = teken) dat dat gelijk is aan de kinetische operator op PSI, plus de potentiele operator op PSI. Die laatste is gewoon een vermenigvuldiging.
De derde term (meest rechtse term) zegt dat dit hele ding gelijk is aan een getal maal PSI, en dat geldt voor alle grootheden die je kunt waarnemen: een operator op PSI geeft altijd een getal maal PSI. Zo'n getal noemen ze een eigenwaarde, een bekend fenomeen in de lineaire algebra. De PSI die erbij hoort, noem je dan een eigenvector.
Er wordt dus constant gesproken over tijds-afhankelijke en tijds-onafhankelijke vergelijkingen. Waarom is dat boeiend?
Je gaat er in eerste instantie van uit, dat PSI een vermenigvuldig is van 2 functies, bijvoorbeeld f*g. Hier is f alleen tijds-afhankelijk, en g alleen plaatsafhankelijk. Dus je aanname is: PSI ( x,t) = f(t)*g(x).Op het eerste gezicht lijkt dit vrij beperkend. Maar wat blijkt: Elke oplossing van de Schrodingervergelijking is te schrijven als een combinatie van zulke functies ! Die aanname is dus erg belangrijk.
Nou ja, ik hoop dat er zo een beetje door de formule heen kan worden geprikt. Misschien dat er dan strax wat andere dingen kunnen worden besproken. Spin ofzo
[ Bericht 2% gewijzigd door Haushofer op 06-03-2005 10:14:28 ]
quote:Goed idee.
Is het begrip 'spin' een beetje duidelijk geworden?
Een voorbeeld / toepassing of iets dergelijks?
Ik vind dat je in de grondtekst in woorden moet kunnen uitleggen wat een theorie inhoudt en dat je dan in de bijlagen eventueel nog dieper erop in kunt gaan voor de mensen die er echt in geinteresseerd zijn en wat hogere wiskunde / natuurkunde hebben gehad.
just my 2 cents
quote:Jazeker. Een bekend voorbeeld is de 1 dimensionale "doos". Een lijnstuk, met aan beide kanten een oneindige potentiaal. Dus tussen twee bepaalde punten is de potentiaal V=0, en buiten deze punten is de potentiaal oneindig. Dus PSI is daar 0. En daarvoor kun je de Schrodingervergelijking heel makkelijk oplossen.Op zondag 6 maart 2005 13:02 schreef pfaf het volgende:
Is het ook mogelijk dat er iets concreets met de Schrödingervergelijking 'voorgedaan' kan worden?
Een voorbeeld / toepassing of iets dergelijks?
Wat heel interessant is, is de koppeling tussen Newtoniaanse mechanica en de Quantummechanica. De formules blijken heel veel overeenkomsten te bevatten, waarbij de QM dan in termen van verwachtingswaarden rekent, en de Newtoniaanse mechanica in termen van concrete waarden.
quote:Goed dat je het zegt. Ik spreek voor mezelf als ik zoiets moeilijk in kan schatten, en ik denk dat Maethor dat ook een beetje heeftOp zondag 6 maart 2005 15:26 schreef DionysuZ het volgende:
wat een boel wiskundig geneuzel. De meeste mensen hebben geen IDEE wat je nou probeert te zeggen en vinden het geheel moeilijker lezen (wat het dan ook is door die formules en de uitleg hiervan), en voor die mensen is de FAQ toch bedoeld?
Ik vind dat je in de grondtekst in woorden moet kunnen uitleggen wat een theorie inhoudt en dat je dan in de bijlagen eventueel nog dieper erop in kunt gaan voor de mensen die er echt in geinteresseerd zijn en wat hogere wiskunde / natuurkunde hebben gehad.
just my 2 cents
Ik denk zelf dat bij een idee als QM de formules eigenlijk heel belangrijk zijn. Want echt begrijpen, dat doe je niet. Het wiskundige apparaat is in de QM erg belangrijk, want dat is het enige wat echt logisch is. En ik dacht dat de formules hier niet zo bijzonder lastig waren, het was meer om een idee te kweken hoe het ongeveer inmekaar steekt. Hoe je er precies mee rekent is natuurlijk niet belangrijk.
In woorden:
Uit experimenten blijkt dat elementaire deeltjes golfeigenschappen hebben, en deeltjeseigenschappen. Je kunt een elementair deeltje dus beschrijven alsof het een erg klein "knikkertje" is, zonder innerlijke afmetingen. Maar het heeft ook golfeigenschappen. In het 2-spleten experiment zie je bijvoorbeeld dat licht'deeltjes' elkaar kunnen uitdoven of versterken. Om dat te beschrijven heb je golven nodig.
Nou is een golf iets totaal anders dan een deeltje. Van een deeltje kun je goed de positie bepalen, van een golf niet. Een deeltje kan een ander deeltje niet "uitdoven", een golf kan dat wel bij een andere golf. Dit zorgt voor een ietwat "rare" beschrijving van elementaire deeltjes. Het zorgt oa voor het onzekerheidsprincipe van Heisenberg. Dat zegt dat je bepaalde grootheden, zoals plaats en impuls, niet allebei exact kunt meten. Dit geldt ook voor energie en tijd. En nog voor andere grootheden. Met "raar" bedoel ik "tegen je intuitie in". Want je verwacht dat een elementair deeltje of een deeltje, of een golf is. Maar het is dus beide.
Het blijkt dat je vaak niet meer over "scherpgepiekte" waarden van grootheden kunt spreken, maar van verwachtingswaarden. Dus een deeltje heeft niet meer een welbepaalde plaats x, maar een verwachtingswaarde <x>. Je weet vaak alleen de kans dat een deeltje ergens aanwezig is. Of een bepaalde impuls heeft. Of een bepaalde energie. Die kans wordt gegeven door de golffunctie PSI, die al eerder werd genoemd. Een deeltje wordt dan weergegeven door die PSI. Hieruit kun je alle informatie halen, zoals plaats, energie, impuls etc. En je kunt afleiden dat die PSI aan een bepaalde vergelijking moet voldoen, de zogenaamde Schrodingervergelijking. Die beschrijft de energie van een deeltje in termen van die PSI.
Een heel cruciaal gevolg van dit alles is ook, dat de opvatting over meten erg anders wordt.
Stel, je gaat een auto "meten". Je kijkt bijvoorbeeld op de snelweg, en je meet de snelheid. Dan kun je je afvragen: zou die auto ook voorbij zijn gekomen als ik niet had gemeten? MAW: heeft mijn meting invloed op die auto? Je verstand zegt van niet, en dat is ook niet zo raar. Want meten betekent eigenlijk: straling erop smijten, straling weer terugkrijgen, en daar informatie uit halen.
En nu ga je bv een elektron meten. Je smijt er straling op. Maar een elektron is zo klein, dat die straling de toestand verandert ! Je kunt dus niet iets meten zonder de toestand ook te veranderen ! Als je het elektron niet zou meten, is het maar zeer de vraag of het er ook uberhaupt zou zijn als je niet zou meten ! Raar ej? Bij die auto geldt ook, dat hoe meer je van die auto weet, hoe meer grootheden je kunt berekenen. Als je bv de plaats weet, en de tijd, kun je de impuls uitrekenen. In de QM is het net andersom: als je de impuls gaat meten, kun je niet meer de plaats meten, en andersom !
En dan een laatste rariteit. Stel, je meet de spin van een deeltje. Wat dat precies is, is niet belangrijk, maar voor een elektron kan deze 2 waarden aannemen. Klassiek zou je denken, dat voor de meting het elektron ook al in een bepaalde toestand zit. Maar in de QM is dit totaal anders: het elektron bevindt zich in beide tegelijk ! Dit noemen ze superpositie Als jij meet, laat je deze superpositie naar 1 van de 2 toestanden storten, en de kansen daarop kun je uitrekenen. Maar je kunt dus van 1 meting niet zeggen of deze toestand 1 of toestand 2 gaat opleveren, alleen de kansen. Dit idee leidde al gauw tot de befaamde kat van Schrodinger.
[ Bericht 3% gewijzigd door Haushofer op 06-03-2005 21:51:04 ]
dank u Haushofer 
. Nou vind ik het gedeelte met formules zelf niet zo heel erg, aangezien mijn studie nogal erg veel wiskunde inhoudt. Maar kan me voorstellen dat iemand die geen beta opleiding doet er moeite mee heeft en al snel denkt van: laat ook maar, snap het toch niet. ), en dat daarom een formule geen kwaad kon. Overigens gaat het hier wel om de formule in QM natuurlijk. Dat wil zeggen, in niet-relativistische QM. (donker lachje komt op de achtergrond, muhahaha) Ik dacht dat het wel aardig zou zijn om te laten zien hoe zo'n ding nou ongeveer werkt. Overigens zijn voorbeelden van de Schrodingervergelijking altijd wiskundig. Het beschrijft niets meer dan de vergelijking waaraan een deeltje moet voldoen om te bestaan. En daar kun je legio voorbeelden van geven, maar die zijn allemaal erg technisch.
quote:Jazeker. Het is natuurlijk niet mijn bedoeling een FAQ door jullie strot te stampen die geschreven is zoals het mij het beste is; vandaar ook dit feedbacktopic.Op zondag 6 maart 2005 19:59 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Goed dat je het zegt. Ik spreek voor mezelf als ik zoiets moeilijk in kan schatten, en ik denk dat Maethor dat ook een beetje heeft
Als ik weer eens wat tijd over heb zal ik proberen een en ander nog wat beter toe te lichten, en het is misschien ook niet verkeerd de extra stukjes die voornamelijk door Haushofer in dit topic gepost zijn, er ook in te integreren.
De formules blijven echter gewoon staan, want ik ben het met Haushofer eens wat betreft de rol van wiskunde in de kwantummechanica: veel dingen worden juist puur wiskundig beschreven, en zijn moeilijk in woorden uit te leggen (zie ook mijn kwootjes aan het begin van de FAQ).
quote:Inderdaad. Dus het is de vraag of het niet te ver gaat om een expliciet voorbeeld te geven van een berekening met de Schrödingervergelijking. Het wordt onvermijdelijk wiskundig, en in de huidige FAQ wordt al kort ingegaan op de algemene werkwijze.Op zondag 6 maart 2005 20:23 schreef Haushofer het volgende:
Overigens zijn voorbeelden van de Schrodingervergelijking altijd wiskundig. Het beschrijft niets meer dan de vergelijking waaraan een deeltje moet voldoen om te bestaan. En daar kun je legio voorbeelden van geven, maar die zijn allemaal erg technisch.
Dit is m.i. het grote 'probleem' met het uitleggen van QM aan leken: je hebt snel wiskunde nodig. Het is de kunst een evenwicht te vinden: te veel formules schrikken af en verduidelijken niets, maar aan de andere kant zijn een paar formules wel nodig om een en ander duidelijker te maken.
Het is daarom denk ik ook niet te voorkomen dat zo'n inleiding in de QM een iets minder groot publiek kan bereiken dan iets over relativiteit of klassieke mechanica oid.
Wisundig gezien ben ik zwak onderlegd, dus een formule als die van schrödinger, daar kan ik niks mee, zo op de manier als deze geschreven is...
Een legenda kan vaak al de helft verduidelijken.
V kan zijn Volt/Volume/Velocity...
De betekenis van V kan dus verschillen bij verschillende vergelijkingen.
Als je zelf regelmatig met dat soort formules werkt, weet je op den duur intuitief hoe je bepaalde eenheden moet interpreteren. Echter, wanneer je bijv. (k)MLO'er bent (en dus beperkt opgeleid qua Wk), wordt het best verwarrend...
Dit zie ik altijd bij dit soort topics (ook bij andere fora zoals W&L op GoT) en het zou denk ik al heel erg helpen om een mooie legenda onder elke vergelijking bij te voegen.
Kheb zo al heel wat geleerd zonder formules te kunnen interpreteren, maar echt doorgronden is ontzettend moeilijk, voor zover dat al mogelijk is wanneer je überhaupt niet in dat vakgebied zit.
Over spin...: Wil ik toch wel weten wat dat nu is, of anders gezegd: Wat is de functie van spin in een deeltje? Als een electron van spin wisselt, heeft dit weerslag op chemische of fysische eigenschappen, of is het slechts een energietoestand welke alleen betrekking heeft op dat ene electron?
quote:Ik ben het hier toch echt mee eens. Ik vind mezelf niet echt een wiskunde-n00b, maar ik vind het wel altijd prettig om te weten waarom iets volgens een bepaalde formule werkt, in woorden zeg maar.Op maandag 7 maart 2005 06:38 schreef brammus het volgende:
Als het gaat om formules kan ik maar 1 ding zeggen: Legenda!
Wisundig gezien ben ik zwak onderlegd, dus een formule als die van schrödinger, daar kan ik niks mee, zo op de manier als deze geschreven is...
Een legenda kan vaak al de helft verduidelijken.
Maethor, denk je dat het je lukt om de jip-en-janneke-uitleg van Haushofer op een mooie manier in de FAQ te verwerken?
)Wil ook even zeggen dat ik nog altijd de spelling 'quantum' prefereer boven 'kwantum'. Dat laatste doet me zoveel denken aan zo'n 3e-rangs meubel-dump-bedrijf
quote:Het is tegelijkertijd wel een tvp en niet een tvp.Op maandag 7 maart 2005 10:38 schreef Doffy het volgende:
*quantum tvp* (waarvan dus niet 100% duidelijk kan zijn dat hier een tvp staat...
quote:Ik moet eerlijk zeggen dat ik dat ook wel heb.. Maar kw in plaats van qu is tegenwoordig modern, net zoals woorden die je met een c hoort te schrijven tegenwoordig met een k te schrijven.Wil ook even zeggen dat ik nog altijd de spelling 'quantum' prefereer boven 'kwantum'. Dat laatste doet me zoveel denken aan zo'n 3e-rangs meubel-dump-bedrijf
quote:Tru. Nog es voor de duidelijkheid: De V is de potentiele energie. De m is de massa van het deeltje. De i is Sqrt(-1), dus een imaginair getal. De h is de constante van planck, maar dan wel gedeeld door 2*pi. De d/dx is een plaats afgeleide, de d/dt de tijdsafgeleide. De vergelijking zegt dus niets anders als: Totale energie ve toestand = (kinetische energie + potentiele energie) ve toestand = een constante keer die toestand.Op maandag 7 maart 2005 06:38 schreef brammus het volgende:
Als het gaat om formules kan ik maar 1 ding zeggen: Legenda!
Wisundig gezien ben ik zwak onderlegd, dus een formule als die van schrödinger, daar kan ik niks mee, zo op de manier als deze geschreven is...
Een legenda kan vaak al de helft verduidelijken.
V kan zijn Volt/Volume/Velocity...
De betekenis van V kan dus verschillen bij verschillende vergelijkingen.
Als je zelf regelmatig met dat soort formules werkt, weet je op den duur intuitief hoe je bepaalde eenheden moet interpreteren. Echter, wanneer je bijv. (k)MLO'er bent (en dus beperkt opgeleid qua Wk), wordt het best verwarrend...
quote:Het bleek uit experimenten dat alleen het hoekmoment L niet genoeg was voor een volledige beschrijving van een deeltje. Klassiek is die L=mvr, of p*r, waarbij r een straal is. Hierbij wordt altijd een analogie gemaakt met de kunstschaatser: als deze draait, heeft ze een bepaalde L. Als ze nou haar armen uitzwaait, draait ze langzamer dan als ze haar armen inhoudt. Dat komt omdat L behouden blijft. En een kleinere r moet dus zorgen voor een grotere v, want m blijft gelijk.Over spin...: Wil ik toch wel weten wat dat nu is, of anders gezegd: Wat is de functie van spin in een deeltje? Als een electron van spin wisselt, heeft dit weerslag op chemische of fysische eigenschappen, of is het slechts een energietoestand welke alleen betrekking heeft op dat ene electron?
Nou kun je ook een klassieke analogie trekken met spin, maar dit is verraderlijk: het wordt strax omgezet naar QM, en daar kun je je geen beeld van maken ! Maar voor de duidelijkheid.
De aarde draait om de zon. De L is dan dus m*v*r, met m de massa, v de snelheid, en r de afstand aarde-zon. Maar ze draait ook om haar eigen as. Dit kun je zien als een soort "spin", vaak aangeduid met de letter S. Deze term is nodig om het totale moment uit te rekenen. Het totale hoekmoment wordt dan gegeven door J, waarbij J=L+S.
Uit experimenten met deeltjes bleek, dat je de uitkomsten alleen kon verklaren als je aannam dat elk deeltje ook zo'n spin heeft. Maar deze is voor een deeltje altijd gelijk ! Het bleek ook dat deze S waarden kan aannemen van 0,1/2,1,3/2,2.......*h. Zo heeft een elektron S=1/2, een foton S=1 etc.
Wat ook erg belangrijk is, is dat deeltjes met halftallige spin zich erg anders gedragen dan deeltjes met heeltallige spin. Die eersten noemen ze fermionen, die tweede bosonen. Het blijkt dat fermionen nooit dezelfde quantumgetallen kunnen hebben, wat zoveel wil zeggen als dat ze nooit dezelfde toestand kunnen krijgen. In een atoom zal elk elektron dus een andere toestand hebben, oftewel een ander setje quantumgetallen. Dit resulteert in de bekende schillen, die je misschien met scheikunde hebt gehad.
Bosonen hebben hier geen last van, die kunnen prima allemaal in dezelfde toestand zitten. Een voorbeeld is een laserstraal: allemaal fotonen met dezelfde frequentie en energie. En fotonen hebben S=1, dus dat zijn bosonen.
Een ander voorbeeld is supergeleiding. Normaal zijn elektronen fermionen, met S=1/2. Maar bij lage temperaturen vormen 2 elektronen 1 paar, een zogenaamd Cooper-paar. En worden ze als het ware 1 deeltje, met een heeltallige spin. Nu kunnen ze allemaal wel in dezelfde energietoestand zitten, en bij een lage temperatuur zal deze energietoestand erg laag zijn. Er kan dus geen energie aan deze elektronen worden onttrokken, en je hebt supergeleiding.
Het gedrag van deeltjes, en hun spin hangen dus erg nauw samen !
quote:"Legenda's" zijn inderdaad heel belangrijk, al ben ik daar volgens mij niet helemaal aan voorbij gegaan:Op maandag 7 maart 2005 06:38 schreef brammus het volgende:
Als het gaat om formules kan ik maar 1 ding zeggen: Legenda!
quote:Wat is hier dan precies mis mee? Te beknopt? Misschien is het inderdaad beter om het meer in woorden uit te leggen. De uitleg wordt dan minder exact, maar wel beter begrijpbaar.Uit de FAQ::
waar i het complexe getal is, gedefinieerd als de vierkantswortel uit (-1), h gelezen moet worden als ‘h-streep', de constante van Planck gedeeld door tweemaal Pi, en Psi de eerdergenoemde golffunctie is. Verder is d/dt een tijdsafgeleide en is d2/dx2 de tweede afgeleide naar de plaatscoördinaat x.
quote:Dat leek me zelf ook wel een goed idee idd. Zo gauw ik wat tijd heb zal ik een poging doen.Op maandag 7 maart 2005 09:27 schreef Alicey het volgende:
Maethor, denk je dat het je lukt om de jip-en-janneke-uitleg van Haushofer op een mooie manier in de FAQ te verwerken?
quote:Ik eigenlijk ook. Maar mijn bedoeling was zoveel mogelijk Nederlands te gebruiken, en ik denk dat de officiele Nederlandse spelling 'kwantum' is.Op maandag 7 maart 2005 10:38 schreef Doffy het volgende:
Wil ook even zeggen dat ik nog altijd de spelling 'quantum' prefereer boven 'kwantum'. Dat laatste doet me zoveel denken aan zo'n 3e-rangs meubel-dump-bedrijf
Dat is een beetje technisch verhaal, maar het komt op het volgende neer: klassiek zou je die S kunnen interpreteren als hoe ze om haar eigen as draait. Maar als je nou een rotatieoperator invoert, en je gaat kijken hoe vaak zo'n elektron moet draaien om 360 graden te draaien, dan kom je op tweemaal uit.....dus klassiek gezien moet een elektron 720 graden draaien om 1 rondje te draaien. En dat is raar. Het verhaal wordt nog vreemder als je bedenkt dat in de QM een deeltje zonder afmetingen wordt genomen. Dus zo'n deeltje kan al bij voorbaat niet "om haar eigen as draaien" of iets dergelijks. Je kunt spin dan nog wel wat vergelijken met de massa: het is een intrinsieke eigenschap, die voor alle deeltjes hetzelfde is. Ik hoop dat zo ook wat duidelijk wordt waarom de QM erg tegen je intuitie indruist.
Je kunt overigens met een andere vergelijking aantonen, dat S zich ook daadwerkelijk als een hoekoment gedraagt. De Schrodingervergelijking beschrijft eigenlijk alleen spinloze deeltjes, en je moet dus je vergelijking uitbreiden naar iets wat dat wel doet (voor geinteresseerden: de Klein-Gordon vergelijking) En in die vergelijking kun je dan weer aantonen dat J=S+L behouden blijft, en dus zijn S en L dezelfde grootheid: een hoekmoment.
quote:Is niets mis mee, maar als je zoals ik niet een academische inslag hebt, dan leest een formule vaak als een brij, omdat je niet altijd weet te interpreteren wat een element in een vergelijking betekent.Op maandag 7 maart 2005 12:12 schreef Maethor het volgende:
"Legenda's" zijn inderdaad heel belangrijk, al ben ik daar volgens mij niet helemaal aan voorbij gegaan:
Wat is hier dan precies mis mee? Te beknopt? Misschien is het inderdaad beter om het meer in woorden uit te leggen. De uitleg wordt dan minder exact, maar wel beter begrijpbaar.
Voor jou is dit min of meer gesneden koek, maar ik lees wat je schrijft, en zie ineens Pi in je uitleg voorbij komen, die nergens in de vergelijking te vinden is... Dan weet ik niet meer hoe ik de formule moet toepassen...
Even een voorbeeldje van hoe ik een vergelijing voor het verkrijgen van oppervlakte zou op- en beschrijven:
A=LB
Kan je wel zeggen: dat A m(kwadraat) voorstelt en L lengte en B = breedte.
Dit klopt, maar echt duidelijk is het niet...
Dit is al volgens mij veel meer te begrijpen:
A = L * B
A= Oppervlakte in meterkwadraat
L= Lengte in meters
B= Breedte in meters
Zo kan je in een oogopslag zien wat er bedoeld wordt.
Natuurlijk besef ik ook wel dat vergelijkingen als die in de quantummechanica niet effe makkelijk te beschrijven zijn, zodat nono's als ik het probleemloos zullen begrijpen, maar het levert wel veel meer inzicht op; en naar mijn idee is dat het halve werk in deze materie
Desalniettemin, vind ik dit soort discussies altijd dik smullen
Thnx voor de moeite om deze dikke brij vam QM enigszins inzichtelijk te maken; Knowledge = Power!
quote:Idd, zo kan ik het min of meer beredeneren en aanvoelen en lijkt het net of ik het ga begrijpenOp maandag 7 maart 2005 11:59 schreef Haushofer een mooi verhaal...
Over die spin: Is dat dan ook de reden waarom electronen meestal in paren in schillen voorkomen?
+1/2 en -1/2 levert een "neutrale" toestand op?
[ Bericht 1% gewijzigd door brammus op 07-03-2005 18:21:32 (Domme fout hersteld :P) ]
quote:Ik zal nog even bekijken hoe ik het legendaprobleem ga aanpakken.Op maandag 7 maart 2005 18:12 schreef brammus het volgende:
Even een voorbeeldje van hoe ik een vergelijing voor het verkrijgen van oppervlakte zou op- en beschrijven:
quote:Nou, het cruciale hier is dus het Pauli uitsluitingsprincipe. Twee deeltjes met exact dezelfde eigenschappen kunnen niet in dezelfde toestand zitten. Elektronen hebben spin plus of minus 1/2 en de enige mogelijkheid om er twee in een toestand te krijgen is dus als ze verschillende spin hebben.Over die spin: Is dat dan ook de reden waarom electronen meestal in paren in schillen voorkomen?
+1/2 en -1/2 levert een "neutrale" toestand op?
.Edit:
en natuurlijk jullie, WFL'ers, voor de feedback!Komtie:
KWANTUMMECHANICA
Inleiding
Naast de Relativiteitstheorie is de Kwantummechanica één van de pijlers van de moderne fysica. In dit artikel zal geprobeerd worden een algemeen beeld te schetsen van de theorie, zonder al te veel in detail te treden.
Het is misschien goed om direct aan het begin Richard Feynman aan te halen met zijn uitspraak "Ik denk dat ik veilig kan zeggen dat niemand de Kwantummechanica begrijpt". Of, zoals David Griffiths in de inleiding van zijn boek schrijft: "Het doel van de boek is u te leren hoe u Kwantummechanica doet". Het is namelijk zo dat voorspellingen van de theorie heel goed met experimentele metingen overeenkomen, echter met betrekking tot de vraag waarom dit zo is, tast men nog steeds in het duister.
Een beetje geschiedenis
In tegenstelling tot bijvoorbeeld de al eerder genoemde Relativiteitstheorieën, waar Einstein in zijn eentje verantwoordelijk voor is, is voor de Kwantummechanica niet één enkele persoon te noemen die alle lof verdient. Het begon allemaal rond 1925, met Schrödinger, Heisenberg, Born, Dirac en anderen. Op dat moment kon men met de theorie van Bohr enkel voorspellingen doen over atomen en ionen met één elektron. En hoewel het model van Bohr al een hele stap vooruit was ten opzichte van klassieke theorieën over het atoom, wist men dat er een meer algemene aanpak nodig was om ook voorspellingen te kunnen doen over meer complexe atomen. De oplossing kwam dus in de vorm van de Kwantummechanica en deze kwam in het begin op veel mensen nogal wonderlijk over. Maar al snel bleek dat de theorie goede voorspellingen kon doen, en tot op de dag van vandaag zijn zelfs de opmerkelijkste conclusies van de theorie juist gebleken.
Basisbegrippen
De Golffunctie
Hoewel al in 1905 bekend was dat golven soms deeltjeskenmerken vertonen, duurde het tot 1924 voordat men het golfkarakter van deeltjes ontdekte. De man hierachter was De Broglie, en hoewel Einstein en Planck in 1905 op veel weerstand stuitten toen ze opperden dat golven zich als deeltjes kunnen gedragen, werd De Broglie's theorie al snel aanvaard. Dit idee van golf-deeltjedualiteit werd het startpunt van de ontwikkeling van de Kwantummechanica.
Het golfkarakter van een deeltje of lichaam wordt doorgaans uitgedrukt in de golffunctie Psi, die an sich geen fysische betekenis heeft. Zijn waarde absoluut gekwadrateerd is echter rechtevenredig met de kans om het deeltje op een bepaalde tijd en plaats aan te treffen, en dat is een van de manieren waarop de functie gebruikt wordt, zoals zal blijken in het volgende paragraafje.
De Schrödingervergelijking
Een belangrijke vergelijking uit de Kwantummechanica is de Schrödingervergelijking:
De meest linkse term zegt in woorden: neem de tijdsafgeleide van de golffunctie Psi en vermenigvuldig met i en h. Het getal i is hier het complexe getal, gedefinieerd door de vierkantswortel uit -1. h moet gelezen worden als h-streep, de constante van Planck gedeeld door tweemaal pi. Eigenlijk is dit niet zomaar een vermenigvuldiging: het gaat hier om een zogenaamde operator die op de golffunctie werkt. Deze specifieke operator blijkt, als hij wordt losgelaten op de golffunctie, de totale energie op te leveren.
Zo zijn er meer operatoren in de kwantummechanica: de impuls bijvoorbeeld werkt door middel van de operator -i h d/dx. Klassiek weten we dat de impuls gegeven wordt door p = m v, en kinetische energie als 1/2 m v2 = p2/2m. Stoppen we hier de kwantummechanische impulsoperator in, dan krijgen we (-h2/2m) d2/dx2. En deze operator zien we in de eerste term rechts van het is-gelijkteken werken op Psi.
De tweede term rechts is simpel een potentiaalfunctie vermenigvuldigd met Psi. Dit is een externe functie en dus niet afhankelijk van Psi (in de zin dat er afgeleiden naar Psi in voorkomen). De precieze functie hangt af van het probleem waar je naar kijkt.
Na het tweede is-gelijkteken staat een hoofdletter H met een dakje erop, vermenigvuldigd met Psi. Deze H is een zogenaamde eigenwaarde en wordt in dit speciale geval de Hamiltoniaan genoemd. Een eigenwaarde is eigenlijk niets anders dan een constante: als je de eerder genoemde operatoren op Psi loslaat, krijg je diezelfde Psi terug, maal een constante.
Conclusie: de Schrödingervergelijking zegt niets anders: de totale energie van een deeltjestoestand is gelijk aan de kinetische- plus de potentiële energie ervan en is ook gelijk aan een constante maal die toestand.
De algemene werkwijze met de Schrödingervergelijking is dat als de potentiële-energiefunctie V van het deeltje eenmaal bekend is, men de vergelijking oplost naar Psi, en zo uitspraken kan doen over de kansdichtheid |Psi|2 van het deeltje op een bepaalde plaats x, y, z en een tijdstip t.
Het onzekerheidsprincipe
Een bekend idee uit de Kwantummechanica is het door Heisenberg geformuleerde Onzekerheidsprincipe. In zijn simpelste vorm zegt het dat het onmogelijk is om van een deeltje tegelijk zijn positie en zijn impuls (dwz massa maal snelheid) te bepalen. Met andere woorden, hoe preciezer je de impuls van een deeltje weet te bepalen, des te onzekerder wordt zijn positie, en vice versa. In formulevorm komt het er dan op neer dat het product van de onzekerheid in de positie, delta x, en die in de impuls, delta p altijd groter of gelijk is aan een constante (voor de liefhebbers: de constante van Planck gedeeld door 4 maal Pi).
Dit Principe kan geïllustreerd worden door middel van het volgende voorbeeld. Stel, we hebben een elektron die we willen ‘bekijken'. We gebruiken hiervoor licht van een bepaalde golflengte labda, en uit het gereflecteerde licht kunnen we dan onze informatie halen. Dit licht bestaat uit fotonen die een bepaalde impuls hebben (namelijk h/labda). Om het elektron te ‘zien' zal een foton tegen het elektron moeten botsen, en reflecteren. Het probleem is echter dat hierdoor de impuls van het elektron zal veranderen, en wel met een hoeveelheid evenredig aan de impuls van het foton. Willen we de impuls van het foton zo klein mogelijk maken, en zodoende de elektronimpuls zo min mogelijk verstoren, dan zullen we de golflengte labda van het foton zo groot mogelijk moeten maken. Echter, deze labda is ook een maat voor de onzekerheid in de bepaling van de positie van het elektron. Immers, hoe groter de golflengte van het licht wordt, hoe moeilijker het wordt een heel klein deeltje waar te nemen. De conclusie is dus dat je slecht één van de twee grootheden zo exact mogelijk kunt bepalen.
Einstein, uit wiens intuïtie de Relativiteitstheorie was ontsproten, was nogal sceptisch over dit alles. Het kon er bij hem niet in dat je niets meer met absolute zekerheid kon meten (Onzekerheidsprincipe), maar dat in plaats daarvan alles om waarschijnlijkheden leek te draaien (golffuncties). Hij vatte dit samen in de inmiddels gevleugelde uitdrukking "God dobbelt niet". Ook schijnt hij tijdens een lezing van Heisenberg over zijn Principe opgemerkt te hebben: "Wonderlijk, wat voor ideeën de jonge mensen hebben tegenwoordig. Maar ik geloof er geen woord van".
Kwantumgetallen: Spin
Veel eigenschappen van elementaire deeltjes worden in de kwantummechanica beschreven door de zogeheten kwantumgetallen. Deze zijn altijd heel- of halftallig, dus nemen altijd de waarden 0, +/- 1/2, +/- 1, etc aan. Door deze kwantumgetallen zijn veel kwantummechanische grootheden dus niet continu (als in: ze kunnen elke willekeurige waarde aannemen) maar gekwantiseerd oftewel discreet.
Een voorbeeld van zo'n gekwantiseerde eigenschap is ‘spin' (overigens is deze eigenschap ontdekt door de Nederlanders Goudsmit en Uhlenbeck, wat hen een Nobelprijs opleverde). Spin is een wat vaag begrip, aangezien het om een fundamentele eigenschap gaat, die verder moeilijk voor te stellen is. Het is te vergelijken met de omwenteling van een planeet om zijn as, naast de omwenteling om zijn ster. Zo ook heeft een elektron een extrinsiek hoekmoment L, wat overigens ook gekwantiseerd is en wat te maken heeft met de beweging van het elektron rond de atoomkern; en daarnaast een intrinsiek hoekmoment S (de spin) wat een beetje analoog is aan de omwenteling van een planeet om zijn as. Deze laatste vergelijking is echter niet helemaal juist aangezien men het elektron als een structuurloos puntdeeltje beschouwd, en het dus zinloos is om te spreken van een omwenteling om zijn eigen as.
De grootte S van het intrinsieke hoekmoment is gegeven door
S = h wortel[s(s + 1)]
waar h wederom gelezen moet worden als de eerdergenoemde ‘h-streep', en s het spin-kwantumgetal is. Deze s heeft voor elektronen altijd de waarde 1/2.
Voor de z-component van het spin-hoekmoment van een elektron dat zich in een in de z-richting georiënteerd magneetveld bevindt, geldt
Sz = ms h.
Het zogenaamde magnetische kwantumgetal ms kan (2s + 1) waarden aannemen: van –s tot +s met stapjes van 1. In het geval van elektron resulteert dit in de waarden ms = +1/2 en ms = -1/2. Er zijn dus twee mogelijke oriëntaties van de spin: Sz = + h/2 ("spin up") en Sz = - h/2 ("spin down").
Voorbeelden en Toepassingen
Fermionen, uitsluiting en schillen
Misschien denk je nu: allemaal leuk en aardig, die spin, maar zien we daar ook nog wat van terug in de gewone wereld? Nou, jazeker.
Het is hier misschien gepast om even in te gaan op twee categorieën deeltjes: de fermionen en de bosonen, vernoemd naar de beroemde natuurkundigen Enrico Fermi en Satyendra Bose. Het onderscheid tussen beide deeltjesklassen is dat fermionen halftallige spin hebben (1/2, 3/2, ...) en bosonen heeltallige (1, 2, ..). Daarnaast is er met fermionen nog iets specifieks aan de hand: ze voldoen aan het zogenaamde Uitsluitingsprincipe, voor het eerst geformuleerd door Wolfgang Pauli. Dit principe stelt dat er geen twee fermionen met dezelfde kwantumgetallen in dezelfde toestand kunnen zitten. Oftewel, twee ononderscheidbare deeltjes kunnen niet in één toestand zitten. Dit resulteert in de welbekende schillenstructuur van elektronen in atomen. Want elektronen zijn fermionen, en wel met een spin van 1/2.
Bosonen hebben dit probleem niet. Dit is zichtbaar in bijvoorbeeld een laserstraal, die bestaat uit fotonen die allemaal dezelfde frequentie en energie hebben. Dit is toegestaan omdat fotonen een spin van 1 hebben en dus bosonen zijn.
Schrödingers Kat
Een bekende ‘paradox' uit de Kwantummechanica staat bekend onder de naam ‘Schrödingers Kat'. Hierin wordt een kat in een kamer geplaatst, samen met een hels mechanisme: in een Geigerteller zit een kleine hoeveelheid radioactief materiaal, zo klein dat er binnen een uur misschien een atoom vervalt, maar met een even grote waarschijnlijkheid gebeurt dit niet. Wanneer er een atoom vervalt, wordt dit gedetecteerd door de teller, die een kleine hamer activeert, welke op zijn beurt een potje cyanide kapotslaat.
Als je een uur wacht, is er dus een kans van 50 procent dat er een verval heeft plaatsgevonden, en de kat vergiftigd is. Er is echter een even grote kans dat de kat nog leeft. De golfvergelijking van de kat zou schematisch de volgende vorm hebben:
Psi = A (Psilevend + Psidood)
waar A een hier niet zo belangrijke normalisatieconstante is. Oftewel: de kat is levend noch dood, maar verkeert in een superpositie van beide. Pas als een waarnemer door het raampje kijkt, wordt de kat gedwongen één van de twee toestanden aan te nemen: dood of levend. Blijkt de kat dood te zijn, dan was het de waarnemer die dat veroorzaakte, slechts door te kijken!
Schrödinger en de meeste andere natuurkundigen beschouwen het als onzin dat een macroscopisch object zoals een kat zich in een superpositie van twee toestanden kan bevinden, en dat de observatie van de waarnemer er voor zorgt dat hij één van beiden aanneemt.
De verklaring ligt in het feit dat een macroscopisch systeem zich statistisch gezien nooit in een lineaire combinatie van toestanden kan bevinden. Een elementair deeltje, een microscopisch systeem, kan dit wel. Een macroscopisch object echter is opgebouwd uit ongeveer 1023 van die elementaire deeltjes, en zijn golffunctie zal dan ook een gigantisch complexe combinatie zijn van de individuele golffuncties. Hierdoor is het erg onwaarschijnlijk dat al die deeltjes samen zo'n simpele lineaire combinatie van toestanden aannemen.
Het Stern-Gerlach Experiment
Het nu volgende stukje tekst beschrijft een experiment dat de al eerder beschreven kwantisatie van eigenschappen van deeltjes nog eens mooi illustreert.
De heren Stern en Gerlach stuurden een geconcentreerde bundel zilveratomen, afkomstig uit een oven, door een inhomogeen magneetveld en lieten het daarna op een scherm vallen. Deze zilveratomen hebben een zogenaamd magnetisch moment en zijn daarom te beschouwen als kleine kompasnaaldjes, die de neiging hebben zich te oriënteren naar het magneetveld. Als een zilveratoom in zijn grondtoestand zit, hangt dit magnetische moment af van de spin van slechts één van zijn elektronen. Aangezien het magneetveld inhomogeen is, ondervinden beide ‘polen' van de kompasnaald niet een gelijke kracht, en hangt de resulterende kracht op de naald dus af van zijn oriëntatie ten opzichte van het veld.
Zonder het magneetveld zou er slecht een punt op het scherm te zien zijn, doordat alle atomen simpelweg in een rechte lijn naar het scherm schieten. Wordt het magneetveld echter ingeschakeld, dan ondervindt elk atoom een kracht, afhankelijk van de oriëntatie van zijn magnetisch moment. Afhankelijk van de grootte van die kracht zal het atoom dus verder van het midden van het scherm terechtkomen.
Klassiek gezien zou men verwachten dat elke willekeurige oriëntatie van magnetische momenten mogelijk is, en dat er dus een streep op het scherm zichtbaar zou zijn. Volgens de kwantummechanica is het magnetisch moment zoals gezegd echter afhankelijk van de elektronspin, en zal het slechts twee waarden kunnen aannemen, corresponderend met "spin-up" en "spin-down". Op het scherm zouden dus slechts twee punten zichtbaar moeten zijn. En dit is ook daadwerkelijk wat Stern en Gerlach waarnamen!
Met dank aan de WFL'ers voor waardevolle feedback, en in het speciaal Haushofer voor zijn verduidelijkingen die in dit artikel zijn opgenomen!
[ Bericht 0% gewijzigd door Maethor op 07-03-2005 22:09:16 (vergeet ik iets heel belangrijks) ]
quote:Massa wordt in de QM niet wezenlijk anders behandeld als in de klassieke zin. De grootheid m komt nu voor in operatoren maar dat is erg analoog aan bijvoorbeeld de klassieke uitdrukking voor impuls, waar ook de massa in voorkomt.Op maandag 7 maart 2005 22:10 schreef Pietverdriet het volgende:
Maar, euh wat is massa nu?
Of begrijp ik je vraag verkeerd?
quote:Tja, dan kom je op het hypothetische "higgs-boson"uit: een soort veld wat op elk deeltje koppelt, en wat daarop een bepaalde massa krijgt. Waarom deeltjes een bepaalde massa hebben ed is niet uit te rekenen; je kunt zoiets alleen maar meten. Als iemand bijvoorbeeld puur theoretisch de massa van een elektron zou kunnen uitrekenen, zou die gegarandeerd zijn voor een NobelprijsOp maandag 7 maart 2005 22:26 schreef Pietverdriet het volgende:
Euh, ja, ik bedoel niet hoe massa zich gedraagt, maar wat het is, waarom deeltjes massa hebben.
Misschien dat er es kan worden besproken waarom&waar de QM en de algemene relativiteit elkaar zo ontzettend tegenspreken.
Daarvoor eerst nog iets over het onzekerheidsprincipe. Dit geldt namelijk ook voor de energie en de tijd. De opvatting hiervan is wat subtiel, want wat is de "tijd"van een deeltje? De volgende opvatting blijkt gerechtvaardigt te zijn: Het blijkt, dat die tijd de duur van een proces aangeeft. Hoe korter een proces, des te meer onzekerheid is er over de energie. Dit kun je schrijven als
dE*dt>h
waarbij dE en dt de onzekerheden in E en t zijn, ( standaarddeviaties voor de statistici onder ons) Dit zegt eigenlijk het volgende: als je je tijd maar kort genoeg neemt, kun je de onzekerheid in de energie groot maken. Op die manier kun je eigenlijk "energie lenen" uit het vacuum. Hoe langer je dit doet, des te minder energie zul je kunnen lenen. Dit spreekt echter het behoud van energie niet tegen, want die gaat immers uit van een nauwkeurig bepaalde energie ! Dus in een vacuum zal er op grote schaal geen deeltjes zijn, en zal de energie 0 zijn. Maar hoe verder je 'inzoomt', des te meer zul je erachter komen dat er constant deeltjes worden gemaakt en weer worden geannihileerd, zodanig dat de gemiddelde energie 0 is, maar dat er om deze 0-waarde heen wordt geschommeld.
De algemene rel.theorie zegt, dat een leeg stuk ruimte-tijd, zonder energie, vlak is. Want de kromming is evenredig aan de hoeveelheid energie/massa. En dit verandert niet als je heel erg op dat stuk ruimte-tijd gaat inzoomen, want de ART zegt niets over quantummechanische processen. Maar het onzekerheidsprincipe stelt dat er weldegelijk deeltjes aanwezig zijn, en deze zullen ook daadwerkelijk de ruimte-tijd krommen ! Op erg kleine schaal zal deze kromming zo sterk zijn, dat je een theorie nodig hebt die quantummechanische processen op gekromde ruimte-tijd stukken beschrijft. En dat schijnt ontzettend moeilijk te zijn.
Overigens, voor wie twijfelt aan die "imaginaire deeltjes",die zomaar worden gecreeerd en weer worden geannihileerd: hun effect wordt gemeten, en de eerste die dat deed was de heer Casimir, een Nederlander. Google maar es "Casimir effect"
[ Bericht 0% gewijzigd door Haushofer op 09-03-2005 10:49:49 ]
quote:Ik zou zweren dat er wat extra characters in die 0% stonden.
quote:Alles is voor iedereen 100% duidelijkOp woensdag 9 maart 2005 10:25 schreef Haushofer het volgende:
Zakt de FAQ nou langzaam in de vergetelheid?
* Maethor klopt zichzelf op borst
Maar serieus: kom op met de kritiek!
quote:Ik ben het er niet helemaal mee eens hoe je hier het woord grootte gebruikt. Wat jij hier bedoeld met grootte zijn eigenlijk de eigenwaarden van de S2 en de Sz operator. Dit is naar mijn mening dus echt wat anders dan de grootte van een operator, waaronder ik onder grootte de norm van de operator veronderstel.Op maandag 7 maart 2005 22:07 schreef Maethor het volgende:
Kwantumgetallen: Spin
.....
De grootte S van het intrinsieke hoekmoment is gegeven door
S = h wortel[s(s + 1)]
waar h wederom gelezen moet worden als de eerdergenoemde ‘h-streep', en s het spin-kwantumgetal is. Deze s heeft voor elektronen altijd de waarde 1/2.
Voor de z-component van het spin-hoekmoment van een elektron dat zich in een in de z-richting georiënteerd magneetveld bevindt, geldt
Sz = ms h.
Wat jij dus zegt dat Sz = ms h klopt dus eigenlijk niet. Het moet echt zijn dat Sz X = ms h X, want je operator is dus echt niet gelijk aan ms h, alleen als je de operator loslaat op een golffunctie krijg je dezelfde golfunctie terug vermenigvuldigd met de desbetreffende eigenwaarde.
Wat jij hier beschrijft kan ik mischien voor anderen nog wat duidelijker maken. De eigenwaarden van een fysische observabele, die in de QM gerepresenteerd wordt door een operator, zijn de mogelijke meetwaarden die je uit een experiment kan krijgen mocht je de desbetreffende observabele gaan meten. Als je de toestand waarin zich het desbetreffende deeltje zich bevind uitschrijft in termen van de basis van eigenvectoren van je operator, is de norm in het kwadraat van de coefficient van een eigenvector gelijk aan de kans om de eigenwaarde te meten die bij de desbetreffende eigenvector hoort.
Voorbeeld: Stel je hebt een algemene spin toestand X geschreven in de basis van eigenvectoren van je Sz operator. De eigenvectoren van de Sz operator zijn precies de spin up en spin down toestanden, met eigenwaarden respectievelijk h/2 en -h/2. Dus geldt dat:
X = a X+ + bX-.
Hieruit kan je zien dat de kans om h/2 te meten gelijk is aan |a|2 en de kans om -h/2 te meten gelijk is aan |b|2 met natuurlijk |a|2 + |b|2 = 1.
[ Bericht 5% gewijzigd door Pietjuh op 10-03-2005 10:34:22 ]
Het gaat hier om eigenfunctie's en eigenwaarden. Nog maar es een subtiel schopje. De schrodingervergelijking werkt met scalar-functies, dat wil zeggen: functies die onveranderlijk blijven na een "rotatie". Maar hoe kun je zoiets als spin daarmee beschrijven? Want die spin heeft een richting, en is weldegelijk rotatie-afhankelijk.
En als je goed naar de Schrodingervergelijking kijkt, zie je dat dat ding niet relativistisch kan zijn: je kunt er geen 4-vectoren mee beschrijven, want de ordes van de afgeleides zijn voor de plaats en tijd verschillend.
Conclusie: de Schrodingervergelijking geldt alleen voor spinloze, niet relativistische deeltjes. Meneer Klein en meneer Gordon hadden dit ook door, en hebben de zogenaamde relativistische vergelijking opgesteld, de Klein-Gordon vergelijking. Schrodinger had dit ook gedaan, maar aarzelde net te lang om dit te publiceren.
En dan die spin: daar heeft Dirac zich over gebogen, en kwam uiteindelijk met de befaamde Diracvergelijking, de vergelijking die antimaterie introduceerde. Want de Dirac-vergelijking kent ook negatieve oplossingen.
Slordig. In de volgende versie zal ik het aanpassen.Het moet dus iets zijn als:
S |s ms] = h wortel[s(s + 1)] |s ms]
waar S de spinoperator is en |s ms] een toestand gekarakteriseerd door de quantumgetallen s en ms. Dit is dus een eigenwaardenprobleem, waar h maal wortel[s(s + 1)] de eigenwaarde is van de operator S. (Dit laatste verklaart misschien een beetje de korte schrijfwijze).
Maar goed, misschien doet bovenstaande vergelijking weer wat de abacadabrisch aan, dus we kunnen ook iets doen als Pietjuh suggereert:
S Psi = h wortel[s(s + 1)] Psi
Ga verder gewoon zo door met z'n allen.
quote:Ja die kende ik al (Haus en ik hebben die nog gebruikt voor een practicumverslagOp donderdag 10 maart 2005 22:20 schreef pfaf het volgende:
Maethor: http://www.astronet.ru/db/latex2gif/
) maar dan moet ik die plaatjes eerst ergens permanent hosten ofzo, en da's even een probleem. quote:Tenzij jij bewijzen hebt, zou ik je adviseren om een wat genuanceerdere mening hier te botvieren. Jij denkt dat het onzin is. Of dat waar is of niet... tja. In mijn beleving klopt het wel... ik hou niet zo van wiskundige formulesOp zaterdag 5 maart 2005 14:58 schreef Haushofer het volgende:
Dat elke formule de helft van je lezers kost, is onzin
quote:Wiskundige formules begrijp ik meestal wel als er een duidelijk verhaaltje bij staat. Dat begeleidende verhaaltje kun je wel aan Haushofer overlaten, dus in die zin vind ik de reactie van Haushofer niet vreemd.Op zondag 13 maart 2005 20:21 schreef Shark.Bait het volgende:
[..]
Tenzij jij bewijzen hebt, zou ik je adviseren om een wat genuanceerdere mening hier te botvieren. Jij denkt dat het onzin is. Of dat waar is of niet... tja. In mijn beleving klopt het wel... ik hou niet zo van wiskundige formules
quote:ik begrijp wiskundige formules ook snel, met een begeleidend verhaaltje nog wat beter. Maar je verhaaltje kan nog zo goed zijn, als er een formule bijstaat zijn er echt veel mensen (heb ik in mijn directe omgeving veel gemerkt) die gewoon afhaken juist OMDAT er een formule bijstaat. Ik denk persoonlijk ook, waarom een formule? Ik bedoel, jah je kunt er mooi dingen mee uitrekenen en de technische mensen makkelijk wat uitleggen, maar uitleggen kan ook ZONDER formule.. zonder hem überhaupt te vermelden. Dat moet gewoon kunnen, en dat is vaak een uitdaging.Op zondag 13 maart 2005 20:30 schreef Alicey het volgende:
[..]
Wiskundige formules begrijp ik meestal wel als er een duidelijk verhaaltje bij staat. Dat begeleidende verhaaltje kun je wel aan Haushofer overlaten, dus in die zin vind ik de reactie van Haushofer niet vreemd.
Bij de quantummechanica is dat misschien lastig, maar moet ook kunnen
quote:En als je nou uit Maxwell's vergelijkingen de golf-vergelijking uitrekekent, wat is dat precies psi?Op zaterdag 5 maart 2005 14:58 schreef Haushofer het volgende:
Tja, misschien dat de vorm van de Schrodinger vergelijking ietwat gecompliceerd aanziet, maar verder is er weinig wiskundig geneuzel,lijkt me. Dat elke formule de helft van je lezers kost, is onzin; het is mooi om es te zien hoe zo'n vergelijking eruit ziet, ook al begrijp je niet helemaal hoe zo'n ding werkt. Jammer dat we hier geen Latex hebben.
[afbeelding]
Verder moedig ik zulke topics alleen maar aan
quote:Het zou misschien wel in het algemeen misschien een goed idee zijn om een FAQ te splitsen. Zeg maar de uitleg zonder lastige wiskunde, en dan in een bijlage nog formules voor degenen die daarop zitten te wachten.Op maandag 14 maart 2005 00:10 schreef DionysuZ het volgende:
[..]
ik begrijp wiskundige formules ook snel, met een begeleidend verhaaltje nog wat beter. Maar je verhaaltje kan nog zo goed zijn, als er een formule bijstaat zijn er echt veel mensen (heb ik in mijn directe omgeving veel gemerkt) die gewoon afhaken juist OMDAT er een formule bijstaat. Ik denk persoonlijk ook, waarom een formule? Ik bedoel, jah je kunt er mooi dingen mee uitrekenen en de technische mensen makkelijk wat uitleggen, maar uitleggen kan ook ZONDER formule.. zonder hem überhaupt te vermelden. Dat moet gewoon kunnen, en dat is vaak een uitdaging.
Bij de quantummechanica is dat misschien lastig, maar moet ook kunnen
quote:Maar hier staat toch ook genoeg tekst waarbij het begrijpen van zo'n formule helemaal niet belangrijk is? De principes van de theorie zijn hier denk ik aardig niet-wiskundig uitgelegd.Op maandag 14 maart 2005 00:10 schreef DionysuZ het volgende:
[..]
ik begrijp wiskundige formules ook snel, met een begeleidend verhaaltje nog wat beter. Maar je verhaaltje kan nog zo goed zijn, als er een formule bijstaat zijn er echt veel mensen (heb ik in mijn directe omgeving veel gemerkt) die gewoon afhaken juist OMDAT er een formule bijstaat. Ik denk persoonlijk ook, waarom een formule? Ik bedoel, jah je kunt er mooi dingen mee uitrekenen en de technische mensen makkelijk wat uitleggen, maar uitleggen kan ook ZONDER formule.. zonder hem überhaupt te vermelden. Dat moet gewoon kunnen, en dat is vaak een uitdaging.
Bij de quantummechanica is dat misschien lastig, maar moet ook kunnen
Zo'n formule is leuk voor mensen die iets dieper in de beta-hoek zitten.
quote:deze dus:Op maandag 14 maart 2005 06:56 schreef -Pepe- het volgende:
[..]
En als je nou uit Maxwell's vergelijkingen de golf-vergelijking uitrekekent, wat is dat precies psi?
?
quote:Ej, ik dacht dat ik hier al op had gereageerd, maar mn post is weg. Nou ja, je haalt hier dingen doormekaar. Je kunt wel een elektromagnetisch veld introduceren, maar dan moet je iets meer afweten van de bijbehorende potentiaal, de zogenaamde vectorpotentiaal. Die ku je dan in je Schrodingervergelijking verwerken. Die vergelijking die jij hier neer zet, is niets meer dan de golfvergelijking die je kunt afleiden voor je elektrisch veld. En zoiets kun je natuurlijk ook voor je magnetisch veld doen. Maar dat zijn hele andere golffuncties dan die PSI. Jouw gequote Maxwell vergelijking is de differentiaalvergelijking voor het elektrische veld, en in de Quantum Mechanica heb je de Schrodingervergelijking voor PSI. Om maar es wat verschillen te noemen:
-De golffunctie die uit de Maxwell vergelijking komt kun je waarnemen, PSI niet
-De Maxwellvergelijkingen zijn deterministisch, oftewel: werken niet met kansen. De QM wel.
-De Maxwell vergelijkingen zijn consistent met de relativiteitstheorie, de Schrodingervergelijking niet.
Misschien is het wat verwarrend omdat beide vergelijkingen golven beschrijven, maar er is dus niet zo gauw een link te leggen tussen deze twee.
quote:jahjahOp maandag 14 maart 2005 10:47 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Maar hier staat toch ook genoeg tekst waarbij het begrijpen van zo'n formule helemaal niet belangrijk is? De principes van de theorie zijn hier denk ik aardig niet-wiskundig uitgelegd.
Zo'n formule is leuk voor mensen die iets dieper in de beta-hoek zitten.
ik vind hem ook prachtig hoor. Het was dan ook meer een reactie op die post van alicey en waar zij op reageerde dan commentaar op de faq"kansdichtheid |Psi|2 van het deeltje op een bepaalde plaats x, y, z en een tijdstip t." had ik nog niet gelezen. maar is het toch niet een soort potentiaal (wiskundig gezien)?
En wat is is de 2e formule precies? (E,V zijn dat het electrisch veld en potentiaal??)Wordt met d/dx niet de divergentie bedoelt voor x en y en z?
quote:Je bedoelt de Schrodingervergelijking? Die E is de Energie, en niet het elektrisch veld ! Je hebt namelijk ook een V in die vergelijking, en dat is de potentiaal. Dus als je een elektrisch veld zou hebben, zou je deze V zo kunnen kiezen dat je een potentiaal hebt die een elektrisch veld opwekt. En d/dx is gewoon de afgeleide van PSI naar x. Vaak wordt dit met een driehoekje-op-de-kop aangegeven, die ze dan de "del-operator"noemen. Maar dat zijn gewoon plaatsafgeleides.Op dinsdag 15 maart 2005 17:11 schreef -Pepe- het volgende:
ok interessant;
"kansdichtheid |Psi|2 van het deeltje op een bepaalde plaats x, y, z en een tijdstip t." had ik nog niet gelezen. maar is het toch niet een soort potentiaal (wiskundig gezien)?
En wat is is de 2e formule precies? (E,V zijn dat het electrisch veld en potentiaal??)Wordt met d/dx niet de divergentie bedoelt voor x en y en z?
En of PSI een potentiaal is....ik denk niet dat je dat zo moet zien. Die PSI is gewoon een golffunctie, een toestand van een deeltje, en niet een potentiaal. Een potentiaal is iets wat een energetisch veld opwekt, en dat is hier niet het geval.
quote:Ja dat bedoelde ik eigenlijk, had niet het woord divergentie moeten gebruiken natuurlijk. Maar het is (miereneukend) dus eigenlijk d/dx, d/dy, d/dz.Op dinsdag 15 maart 2005 21:27 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Vaak wordt dit met een driehoekje-op-de-kop aangegeven, die ze dan de "del-operator"noemen. Maar dat zijn gewoon plaatsafgeleides.
quote:Interessante definitie. zou energetisch eruit halen, zie zwaartekracht(of noem je dat ook energetisch?).En of PSI een potentiaal is....ik denk niet dat je dat zo moet zien. Die PSI is gewoon een golffunctie, een toestand van een deeltje, en niet een potentiaal. Een potentiaal is iets wat een energetisch veld opwekt, en dat is hier niet het geval.
Wiskundigere definitie zou zijn laplaciaan (del^2) van iets = 0/constant.
quote:Zwaartekracht moet je er zeker niet bij gaan halen. Daar zegt de QM namelijk erg weinig over. Voor die potentiaal kun je dus moeilijk een zwaartekrachtspotentiaal nemen. En dat is ook niet zinnig, want die kun je eigenlijk in 99 van de 100 gevallen verwaarlozen ( reken voor de grap es de klassieke verhouding tussen de Coulomb-kracht en de zwaartekracht tussen een proton en een elektron uit in een waterstof atoom )Interessante definitie. zou energetisch eruit halen, zie zwaartekracht(of noem je dat ook energetisch?).
Wiskundigere definitie zou zijn laplaciaan (del^2) van iets = 0/constant.
Maar hoe zit het nu eigenlijk met de "snaartheorie"? Daar heb ik wel eens wat over gehoord, maar dat was allemaal een beetje wazig. Misschien dat wat slimme mensen hier een beetje meer licht op kunnen werpen
quote:Tja, die snaartheorie....ik heb in hierboven wat posts neergezet, waar de algemene rel.theorie en de QM ( de 2 "basistheorieen" in de fysica) elkaar tegenspreken. De snaartheorie is een poging om die tegenspraken weg te werken. Door te zeggen dat deeltjes eigenlijk snaartjes zijn. Dat snaaridee gaat terug naar de jaren 60, toen men voor andere wisselwerkingen snaarmodellen wouden opstellen. Maar dat gaat misschien een beetje ver om dat hier allemaal toe te lichten. Ben iig blijk dat je wijzer bent gewordenOp woensdag 16 maart 2005 12:52 schreef Merovingian het volgende:
Hmm best interessant die quantum mechanica... Ik ben al een stuk wijzer geworden
Maar hoe zit het nu eigenlijk met de "snaartheorie"? Daar heb ik wel eens wat over gehoord, maar dat was allemaal een beetje wazig. Misschien dat wat slimme mensen hier een beetje meer licht op kunnen werpen
quote:Misschien ook wel niet. Try meOp woensdag 16 maart 2005 13:13 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Maar dat gaat misschien een beetje ver om dat hier allemaal toe te lichten.
quote:Nou, ik doelde meer op het idee dat dat misschien wat offtopic zou worden. Maar ik kan je wel een hele mooie site erover geven:
Snaren
Je kunt hier op Teleac niveau en op universitair niveau antwoorden krijgen op je vragen.
En voor een specifiek antwoord op je vraag:
Waarom snaren?
Maar zoals je kunt lezen was het snaarmodel oorspronkelijk ontwikkeld voor de sterke wisselwerking: het desbetreffende model bleek een model te zijn die snaren beschrijft op quantumniveau. Later bleek dat het model misschien wel geschikt was om gravitonen te beschreven ( met spin=2 ).
quote:Ik dacht dat we het over de definitie van een potentiaal hadden (dat zwaartekrachtspotentialen geen electrisch veld creeren ed), niet specifiek over QM..(daar weet ik ook niet veel over, goed topic daaromOp woensdag 16 maart 2005 09:55 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Zwaartekracht moet je er zeker niet bij gaan halen. Daar zegt de QM namelijk erg weinig over. Voor die potentiaal kun je dus moeilijk een zwaartekrachtspotentiaal nemen. En dat is ook niet zinnig, want die kun je eigenlijk in 99 van de 100 gevallen verwaarlozen ( reken voor de grap es de klassieke verhouding tussen de Coulomb-kracht en de zwaartekracht tussen een proton en een elektron uit in een waterstof atoom )
). Was het niet zo dat ze aan de hand vh verschil tussen die coulomb kracht en zwaartekracht op het idee zijn gekomen van weak en strong forces?quote:Nee, want de zwakke en sterke wisselwerkingen zijn 2 krachten op zich.Op woensdag 16 maart 2005 23:15 schreef -Pepe- het volgende:
[..]
Was het niet zo dat ze aan de hand vh verschil tussen die coulomb kracht en zwaartekracht op het idee zijn gekomen van weak en strong forces?
_____________________________________________________________________________________
KWANTUMMECHANICA
Inleiding
Naast de Relativiteitstheorie is de Kwantummechanica één van de pijlers van de moderne fysica. In dit artikel zal geprobeerd worden een algemeen beeld te schetsen van de theorie, zonder al te veel in detail te treden.
Het is misschien goed om direct aan het begin Richard Feynman aan te halen met zijn uitspraak "Ik denk dat ik veilig kan zeggen dat niemand de Kwantummechanica begrijpt". Of, zoals David Griffiths in de inleiding van zijn boek schrijft: "Het doel van de boek is u te leren hoe u Kwantummechanica doet". Het is namelijk zo dat voorspellingen van de theorie heel goed met experimentele metingen overeenkomen, echter met betrekking tot de vraag waarom dit zo is, tast men nog steeds in het duister.
Een beetje geschiedenis
In tegenstelling tot bijvoorbeeld de al eerder genoemde Relativiteitstheorieën, waar Einstein in zijn eentje verantwoordelijk voor is, is voor de Kwantummechanica niet één enkele persoon te noemen die alle lof verdient. Het begon allemaal rond 1925, met Schrödinger, Heisenberg, Born, Dirac en anderen. Op dat moment kon men met de theorie van Bohr enkel voorspellingen doen over atomen en ionen met één elektron. En hoewel het model van Bohr al een hele stap vooruit was ten opzichte van klassieke theorieën over het atoom, wist men dat er een meer algemene aanpak nodig was om ook voorspellingen te kunnen doen over meer complexe atomen. De oplossing kwam dus in de vorm van de Kwantummechanica en deze kwam in het begin op veel mensen nogal wonderlijk over. Maar al snel bleek dat de theorie goede voorspellingen kon doen, en tot op de dag van vandaag zijn zelfs de opmerkelijkste conclusies van de theorie juist gebleken.
Basisbegrippen
De Golffunctie
Hoewel al in 1905 bekend was dat golven soms deeltjeskenmerken vertonen, duurde het tot 1924 voordat men het golfkarakter van deeltjes ontdekte. De man hierachter was De Broglie, en hoewel Einstein en Planck in 1905 op veel weerstand stuitten toen ze opperden dat golven zich als deeltjes kunnen gedragen, werd De Broglie's theorie al snel aanvaard. Dit idee van golf-deeltjedualiteit werd het startpunt van de ontwikkeling van de Kwantummechanica.
Het golfkarakter van een deeltje of lichaam wordt doorgaans uitgedrukt in de golffunctie Psi, die an sich geen fysische betekenis heeft. Zijn waarde absoluut gekwadrateerd is echter rechtevenredig met de kans om het deeltje op een bepaalde tijd en plaats aan te treffen, en dat is een van de manieren waarop de functie gebruikt wordt, zoals zal blijken in het volgende paragraafje.
De Schrödingervergelijking
Een belangrijke vergelijking uit de Kwantummechanica is de Schrödingervergelijking:
De meest linkse term zegt in woorden: neem de tijdsafgeleide van de golffunctie Psi en vermenigvuldig met i en h. Het getal i is hier het complexe getal, gedefinieerd door de vierkantswortel uit -1. h moet gelezen worden als h-streep, de constante van Planck gedeeld door tweemaal pi. Eigenlijk is dit niet zomaar een vermenigvuldiging: het gaat hier om een zogenaamde operator die op de golffunctie werkt. Deze specifieke operator blijkt, als hij wordt losgelaten op de golffunctie, de totale energie op te leveren.
Zo zijn er meer operatoren in de kwantummechanica: de impuls bijvoorbeeld werkt door middel van de operator -i h d/dx. Klassiek weten we dat de impuls gegeven wordt door p = m v, en kinetische energie als 1/2 m v2 = p2/2m. Stoppen we hier de kwantummechanische impulsoperator in, dan krijgen we (-h2/2m) d2/dx2. En deze operator zien we in de eerste term rechts van het is-gelijkteken werken op Psi.
De tweede term rechts is simpel een potentiaalfunctie vermenigvuldigd met Psi. Dit is een externe functie en dus niet afhankelijk van Psi (in de zin dat er afgeleiden naar Psi in voorkomen). De precieze functie hangt af van het probleem waar je naar kijkt.
Na het tweede is-gelijkteken staat een hoofdletter H met een dakje erop, vermenigvuldigd met Psi. Deze H is een zogenaamde eigenwaarde en wordt in dit speciale geval de Hamiltoniaan genoemd. Een eigenwaarde is eigenlijk niets anders dan een constante: als je de eerder genoemde operatoren op Psi loslaat, krijg je diezelfde Psi terug, maal een constante.
Conclusie: de Schrödingervergelijking zegt niets anders: de totale energie van een deeltjestoestand is gelijk aan de kinetische- plus de potentiële energie ervan en is ook gelijk aan een constante maal die toestand.
De algemene werkwijze met de Schrödingervergelijking is dat als de potentiële-energiefunctie V van het deeltje eenmaal bekend is, men de vergelijking oplost naar Psi, en zo uitspraken kan doen over de kansdichtheid |Psi|2 van het deeltje op een bepaalde plaats x, y, z en een tijdstip t.
Het onzekerheidsprincipe
Een bekend idee uit de Kwantummechanica is het door Heisenberg geformuleerde Onzekerheidsprincipe. In zijn simpelste vorm zegt het dat het onmogelijk is om van een deeltje tegelijk zijn positie en zijn impuls (dwz massa maal snelheid) te bepalen. Met andere woorden, hoe preciezer je de impuls van een deeltje weet te bepalen, des te onzekerder wordt zijn positie, en vice versa. In formulevorm komt het er dan op neer dat het product van de onzekerheid in de positie, delta x, en die in de impuls, delta p altijd groter of gelijk is aan een constante (voor de liefhebbers: de constante van Planck gedeeld door 4 maal Pi).
Dit Principe kan geïllustreerd worden door middel van het volgende voorbeeld. Stel, we hebben een elektron die we willen ‘bekijken'. We gebruiken hiervoor licht van een bepaalde golflengte labda, en uit het gereflecteerde licht kunnen we dan onze informatie halen. Dit licht bestaat uit fotonen die een bepaalde impuls hebben (namelijk h/labda). Om het elektron te ‘zien' zal een foton tegen het elektron moeten botsen, en reflecteren. Het probleem is echter dat hierdoor de impuls van het elektron zal veranderen, en wel met een hoeveelheid evenredig aan de impuls van het foton. Willen we de impuls van het foton zo klein mogelijk maken, en zodoende de elektronimpuls zo min mogelijk verstoren, dan zullen we de golflengte labda van het foton zo groot mogelijk moeten maken. Echter, deze labda is ook een maat voor de onzekerheid in de bepaling van de positie van het elektron. Immers, hoe groter de golflengte van het licht wordt, hoe moeilijker het wordt een heel klein deeltje waar te nemen. De conclusie is dus dat je slecht één van de twee grootheden zo exact mogelijk kunt bepalen.
Einstein, uit wiens intuïtie de Relativiteitstheorie was ontsproten, was nogal sceptisch over dit alles. Het kon er bij hem niet in dat je niets meer met absolute zekerheid kon meten (Onzekerheidsprincipe), maar dat in plaats daarvan alles om waarschijnlijkheden leek te draaien (golffuncties). Hij vatte dit samen in de inmiddels gevleugelde uitdrukking "God dobbelt niet". Ook schijnt hij tijdens een lezing van Heisenberg over zijn Principe opgemerkt te hebben: "Wonderlijk, wat voor ideeën de jonge mensen hebben tegenwoordig. Maar ik geloof er geen woord van".
Kwantumgetallen: Spin
Veel eigenschappen van elementaire deeltjes worden in de kwantummechanica beschreven door de zogeheten kwantumgetallen. Deze zijn altijd heel- of halftallig, dus nemen altijd de waarden 0, +/- 1/2, +/- 1, etc aan. Door deze kwantumgetallen zijn veel kwantummechanische grootheden dus niet continu (als in: ze kunnen elke willekeurige waarde aannemen) maar gekwantiseerd oftewel discreet.
Een voorbeeld van zo'n gekwantiseerde eigenschap is ‘spin' (overigens is deze eigenschap ontdekt door de Nederlanders Goudsmit en Uhlenbeck, wat hen een Nobelprijs opleverde). Spin is een wat vaag begrip, aangezien het om een fundamentele eigenschap gaat, die verder moeilijk voor te stellen is. Het is te vergelijken met de omwenteling van een planeet om zijn as, naast de omwenteling om zijn ster. Zo ook heeft een elektron een extrinsiek hoekmoment L, wat overigens ook gekwantiseerd is en wat te maken heeft met de beweging van het elektron rond de atoomkern; en daarnaast een intrinsiek hoekmoment S (de spin) wat een beetje analoog is aan de omwenteling van een planeet om zijn as. Deze laatste vergelijking is echter niet helemaal juist aangezien men het elektron als een structuurloos puntdeeltje beschouwd, en het dus zinloos is om te spreken van een omwenteling om zijn eigen as.
De spinoperator, werkend op een toestand, geeft het volgende resultaat:
S Psi = h wortel[s(s + 1)] Psi
waar h wederom gelezen moet worden als de eerdergenoemde ‘h-streep', en s het spin-kwantumgetal is. Deze s heeft voor elektronen altijd de waarde 1/2. Bovenstaande vergelijking stelt dat h maal wortel[s(s + 1)] de eigenwaarde is van de operator S.
Voor de z-component van het spin-hoekmoment van een elektron dat zich in een in de z-richting georiënteerd magneetveld bevindt, geldt
Sz Psi = msh Psi.
Het zogenaamde magnetische kwantumgetal ms kan (2s + 1) waarden aannemen: van –s tot +s met stapjes van 1. In het geval van elektron resulteert dit in de waarden ms = +1/2 en ms = -1/2. Er zijn dus twee mogelijke oriëntaties van de spin: Sz = + h/2 ("spin up") en Sz = - h/2 ("spin down").
Voorbeelden en Toepassingen
Fermionen, uitsluiting en schillen
Misschien denk je nu: allemaal leuk en aardig, die spin, maar zien we daar ook nog wat van terug in de gewone wereld? Nou, jazeker.
Het is hier misschien gepast om even in te gaan op twee categorieën deeltjes: de fermionen en de bosonen, vernoemd naar de beroemde natuurkundigen Enrico Fermi en Satyendra Bose. Het onderscheid tussen beide deeltjesklassen is dat fermionen halftallige spin hebben (1/2, 3/2, ...) en bosonen heeltallige (1, 2, ..). Daarnaast is er met fermionen nog iets specifieks aan de hand: ze voldoen aan het zogenaamde Uitsluitingsprincipe, voor het eerst geformuleerd door Wolfgang Pauli. Dit principe stelt dat er geen twee fermionen met dezelfde kwantumgetallen in dezelfde toestand kunnen zitten. Oftewel, twee ononderscheidbare deeltjes kunnen niet in één toestand zitten. Dit resulteert in de welbekende schillenstructuur van elektronen in atomen. Want elektronen zijn fermionen, en wel met een spin van 1/2.
Bosonen hebben dit probleem niet. Dit is zichtbaar in bijvoorbeeld een laserstraal, die bestaat uit fotonen die allemaal dezelfde frequentie en energie hebben. Dit is toegestaan omdat fotonen een spin van 1 hebben en dus bosonen zijn.
Schrödingers Kat
Een bekende ‘paradox' uit de Kwantummechanica staat bekend onder de naam ‘Schrödingers Kat'. Hierin wordt een kat in een kamer geplaatst, samen met een hels mechanisme: in een Geigerteller zit een kleine hoeveelheid radioactief materiaal, zo klein dat er binnen een uur misschien een atoom vervalt, maar met een even grote waarschijnlijkheid gebeurt dit niet. Wanneer er een atoom vervalt, wordt dit gedetecteerd door de teller, die een kleine hamer activeert, welke op zijn beurt een potje cyanide kapotslaat.
Als je een uur wacht, is er dus een kans van 50 procent dat er een verval heeft plaatsgevonden, en de kat vergiftigd is. Er is echter een even grote kans dat de kat nog leeft. De golfvergelijking van de kat zou schematisch de volgende vorm hebben:
Psi = A (Psilevend + Psidood)
waar A een hier niet zo belangrijke normalisatieconstante is. Oftewel: de kat is levend noch dood, maar verkeert in een superpositie van beide. Pas als een waarnemer door het raampje kijkt, wordt de kat gedwongen één van de twee toestanden aan te nemen: dood of levend. Blijkt de kat dood te zijn, dan was het de waarnemer die dat veroorzaakte, slechts door te kijken!
Schrödinger en de meeste andere natuurkundigen beschouwen het als onzin dat een macroscopisch object zoals een kat zich in een superpositie van twee toestanden kan bevinden, en dat de observatie van de waarnemer er voor zorgt dat hij één van beiden aanneemt.
De verklaring ligt in het feit dat een macroscopisch systeem zich statistisch gezien nooit in een lineaire combinatie van toestanden kan bevinden. Een elementair deeltje, een microscopisch systeem, kan dit wel. Een macroscopisch object echter is opgebouwd uit ongeveer 1023 van die elementaire deeltjes, en zijn golffunctie zal dan ook een gigantisch complexe combinatie zijn van de individuele golffuncties. Hierdoor is het erg onwaarschijnlijk dat al die deeltjes samen zo'n simpele lineaire combinatie van toestanden aannemen.
Het Stern-Gerlach Experiment
Het nu volgende stukje tekst beschrijft een experiment dat de al eerder beschreven kwantisatie van eigenschappen van deeltjes nog eens mooi illustreert.
De heren Stern en Gerlach stuurden een geconcentreerde bundel zilveratomen, afkomstig uit een oven, door een inhomogeen magneetveld en lieten het daarna op een scherm vallen. Deze zilveratomen hebben een zogenaamd magnetisch moment en zijn daarom te beschouwen als kleine kompasnaaldjes, die de neiging hebben zich te oriënteren naar het magneetveld. Als een zilveratoom in zijn grondtoestand zit, hangt dit magnetische moment af van de spin van slechts één van zijn elektronen. Aangezien het magneetveld inhomogeen is, ondervinden beide ‘polen' van de kompasnaald niet een gelijke kracht, en hangt de resulterende kracht op de naald dus af van zijn oriëntatie ten opzichte van het veld.
Zonder het magneetveld zou er slecht een punt op het scherm te zien zijn, doordat alle atomen simpelweg in een rechte lijn naar het scherm schieten. Wordt het magneetveld echter ingeschakeld, dan ondervindt elk atoom een kracht, afhankelijk van de oriëntatie van zijn magnetisch moment. Afhankelijk van de grootte van die kracht zal het atoom dus verder van het midden van het scherm terechtkomen.
Klassiek gezien zou men verwachten dat elke willekeurige oriëntatie van magnetische momenten mogelijk is, en dat er dus een streep op het scherm zichtbaar zou zijn. Volgens de kwantummechanica is het magnetisch moment zoals gezegd echter afhankelijk van de elektronspin, en zal het slechts twee waarden kunnen aannemen, corresponderend met "spin-up" en "spin-down". Op het scherm zouden dus slechts twee punten zichtbaar moeten zijn. En dit is ook daadwerkelijk wat Stern en Gerlach waarnamen!
Met dank aan de WFL'ers voor waardevolle feedback, en in het speciaal Haushofer voor zijn verduidelijkingen die in dit artikel zijn opgenomen!
Ook is het jammer dat stukken over de quantumelectrodynamica en het standaardmodel ontbreken.
iets als
quote:interesseert de meeste mensen geen zak. En alhoewel ik het wel snap, interesseert het mij ook weinig. Het vertelt niet hoe mensen op die formule zijn gekomen en wat die formule inhoudt, slechts wat hij betekent. Laat die formule-shit achterwege, pleur het in een appendix ofzo.. dit is een forum waar veel leken komen en die een inleiding nodig hebben in het onderwerp.. zodra die bij het hoofdstukje Schrödinger vergelijking komen kappen ze ermee. werkelijk. Dit is gewoon interessant doenerij die alleen de ingewijden snappen, maar die verder nix uitlegt aan mensen die geen gevorderde wiskunde/natuurkunde hebben gehad. Het is inderdaad nodige stof, maar slechts voor degenen die echt er verder op in willen gaan... en dat willen leken al snel niet als ze zo'n stukje tekst lezen..Na het tweede is-gelijkteken staat een hoofdletter H met een dakje erop, vermenigvuldigd met Psi.
quote:now come on...waar h wederom gelezen moet worden als de eerdergenoemde ‘h-streep', en s het spin-kwantumgetal is. Deze s heeft voor elektronen altijd de waarde 1/2. Bovenstaande vergelijking stelt dat h maal wortel[s(s + 1)] de eigenwaarde is van de operator S.
Voor de z-component van het spin-hoekmoment van een elektron dat zich in een in de z-richting georiënteerd magneetveld bevindt, geldt
ik vind het btw erg interessant allemaal, maar net die 2 paragraafjes zijn wat minder... in mijn ogen dan he.. maar ik kan het mis hebben
quote:Tja, ik heb zelf ook moeite met het probleem. Ikzelf zou zeggen dat het toepassen van statistiek op grote objecten niet nodig is; dat zie je ook in grote groepen mensen, dat je kunt voorspellen wat ze ongeveer gaan doen. Mn docent QF2 legde het uit in de trend van "de superpositie van zoveel toestanden geeft aanleiding tot een interferentie, waardoor er 1 levenstoestand naar voren komt".Op zaterdag 19 maart 2005 23:19 schreef Koekepan het volgende:
O ja, over Schrödingers kat bestaat nog steeds wel enige controverse. Fysici die beweren dat dat wel verklaard is zijn gewoon te grote optimisten. (De verklaring die hier gegeven wordt is echt te zwak: waar ligt nu in vredesnaam de grens tussen microscopisch en macroscopisch?)
Nou ja, blijft interessant probleem
quote:Mja, misschien is het dan toch beter om het op te splitsen in een conceptueel stuk, en een aanhangsel met wat formularia en wiskundig geneuzelOp zondag 20 maart 2005 04:02 schreef DionysuZ het volgende:
.....
Dat laat ik verder aan Maethor over. In ieder geval goed dat er zulk commentaar wordt gegeven!quote:omg ik lees mijn eigen stukje es door en het komt best hard overOp zondag 20 maart 2005 10:20 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Mja, misschien is het dan toch beter om het op te splitsen in een conceptueel stuk, en een aanhangsel met wat formularia en wiskundig geneuzel
terwijl ik het niet zo hard bedoeld hadquote:Dat geeft niet. Het is alleen de vraag wat voor niveau je wilt aanhouden. Ik heb zelf een stukje relativiteit voor de FAQ geschreven, waarvan ik achteraf dacht "dat gaan niet veel mensen lezen".Op zondag 20 maart 2005 12:04 schreef DionysuZ het volgende:
[..]
omg ik lees mijn eigen stukje es door en het komt best hard over
Zal es een wat toegankelijker stukje schrijven. Maethor's artikel is goed geschreven, alleen moet je ook wat rekening houden met het publiek. En dan is het mooi dat je hier regelrechte feedback krijgt
quote:Ik kan je verzekeren dat dat niet is waarom ik een FAQ schrijf.Op zondag 20 maart 2005 04:02 schreef DionysuZ het volgende:
Dit is gewoon interessant doenerij
quote:Kom naar die Slinger van Foucault in de Martinikerk deze zomer.Op zondag 20 maart 2005 04:11 schreef DionysuZ het volgende:
et lijkt me btw wel een keer stoer om eens op een meeting met maetor en haushofer te praten, denk dat ze me wel flink wat zouden kunnen leren
Daar zal Haushofer bijstaan uit te leggen oid, en ik zal proberen er dan ook te zijn. Aanvankelijk zou ik ook nog iets doen voor het World Year of Physics, maar het groepje waarmee dat zou is niet meer zo gemotiveerd.quote:Is een goed idee denk ik. Dan herschrijf ik de hele zooi wel een keer, met een formuleloos stuk, en een aanhangel waarin enkele formules voorkomen (daarin ook niet veel meer dan in de huidige FAQ). Consequentie is dan wel dat het formuleloze deel dan wel wat oppervlakkig blijft...Op zondag 20 maart 2005 10:20 schreef Haushofer het volgende:
Mja, misschien is het dan toch beter om het op te splitsen in een conceptueel stuk, en een aanhansel met wat formularia en wiskundig geneuzel
Want we hebben het wel over QM hier, en niet over iets als klassieke mechanica wat veel makkelijker in woorden uit te leggen is.
quote:Maak je niet druk.Op zondag 20 maart 2005 12:04 schreef DionysuZ het volgende:
omg ik lees mijn eigen stukje es door en het komt best hard over
quote:wanneer is dat? Dan zal ik proberen er te zijn[b]Op [url=http://forum.fok.nl/topic/675470/3/50#25613731]
[..]
Kom naar die Slinger van Foucault in de Martinikerk deze zomer.
groningen is sowieso een leuke stadquote:Op de agenda (dit is alleen die van de RUG) staat juni t/m september, maar wanneer Haushofer er precies bij is weet ik niet.Op zondag 20 maart 2005 17:06 schreef DionysuZ het volgende:
[..]
wanneer is dat? Dan zal ik proberen er te zijn
quote:groningen is sowieso een leuke stad
. Er waren al plannen om rond die Slinger een WFL meet te organiseren.quote:Wat het duidelijkst is. De evolutietheorie bestaan veel misverstanden over, dus daar is een vraag/antwoord-FAQ wellicht het beste. Bij quantum-mechanica is er vooral onduidelijkheid, en past een goede uitleg wellicht beter.Op maandag 21 maart 2005 09:02 schreef Maethor het volgende:
O... gaat de voorkeur uit naar een vraag-en-antwoord FAQ zoals die van Doffy over Evolutie, of gewoon een verhaaltje zoals nu het geval is?
quote:Wat is er?
quote:We schreven hetzelfde op hetzelfde momentOp maandag 21 maart 2005 10:14 schreef Alicey het volgende:
Wat is er?
Daar gaan we verder.