Chaostheorie voor dummies

Tja, Chaostheorie.....het is in mijn ogen al frappant dat zelfs Chaos zich houdt aan een bepaalde logica Het is meer dat je je beginvoorwaarden niet nauwkeurig genoeg opstelt, en dat dat na een bepaalde tijd ernstig terugkomt in je systeem. Een mooi voorbeeld zijn 2 latten, die je als slinger gebruikt. Dus je hangt 1 lat aan een draaipunt, en aan het uiteinde van deze lat hang je met een draaipunt weer een andere lat op. En nu laat je deze beide slingeren. Je zult zien dat als je je beginvoorwaarden een klein beetje anders instelt ( andere hoeken, andere hoogte ) dat al heel gauw tot een compleet andere beweging komt.

Nou is het probleem een beetje, dat je op micronivo bepaalde grootheden nooit oneindig nauwkeurig kunt meten. En dus zul je nooit een systeem volledig kunnen beschrijven. Maar dat is iets quantummechanisch. Misschien dat daar nog es een topic overkomt.

vorige week de film: "The Butterfly Effect" gezien, een moetje als de chaos-theorie je
bezig houdt

quote:

Op zaterdag 19 februari 2005 00:21 schreef Aegir het volgende:
vorige week de film: "The Butterfly Effect" gezien, een moetje als de chaos-theorie je
bezig houdt

Dat als een vlinder in Brazilie wegvliegt hier een orkaan zou kunnen onstaan?

nee, het gaat over een jongen die de mogelijkheid ontwikkeld om via zijn dagboek te lezen
zichzelf weer terug te kunnen plaatsen naar die dag om de situatie weer opnieuw vanaf
dat moment op te kunnen pakken

met alle gevolgen die daar dan weer bij horen!

oh die titel lijkt me toch sterk op het bekende verhaal van de vlinder en de orkaan...

Ik weet nagenoeg niets over de chaostheorie, dus schaar me even onder de dummies en luister mee...

Het probleem is echter dat als je dit wat uitvoeriger wilt bespreken, je al gauw op wiskundige termen komt...

quote:

Op zaterdag 19 februari 2005 10:51 schreef Haushofer het volgende:
Het probleem is echter dat als je dit wat uitvoeriger wilt bespreken, je al gauw op wiskundige termen komt...

Volgens mij hoeft dat helemaal niet zo te zijn

tevens tvp

quote:

Op zaterdag 19 februari 2005 11:07 schreef livEliveD het volgende:

[..]

Volgens mij hoeft dat helemaal niet zo te zijn

tevens tvp

livEliveD begint dus met uitleggen?

Deels off-topic

quote:

Op zaterdag 19 februari 2005 11:09 schreef Alicey het volgende:
livEliveD begint dus met uitleggen?

Nee ik wil er wel graag meer over weten. Ik gebruik echter ook vaak de volgende analogie:
Als je een appel in de lucht gooit dan zal deze bij terugkomst naar de aarde ervoor zorgen dat de aarde ook naar de appel toegetrokken wordt en dus een stukje verplaatst richting de appel. Tis natuurlijk miniem maar het beeld klopt wel. Nu kan ik wiskunde gebruiken om uit te rekenen hoeveel deze afstand dan precies is (me natuurkunde leraar kwam uit op 1 miljardste doorsnee van een atoom maar de gekozen parameters weet ik niet meer) maar is dit noodzakelijk om de situatie te begrijpen? Ik denk het niet. Daarnaast kun je leuk formules invullen maar begrijp je het dan ook of pas je het toe zonder het daadwerkelijk te snappen?

quote:

Op zaterdag 19 februari 2005 11:23 schreef livEliveD het volgende:
Deels off-topic
[..]

Nee ik wil er wel graag meer over weten. Ik gebruik echter ook vaak de volgende analogie:
Als je een appel in de lucht gooit dan zal deze bij terugkomst naar de aarde ervoor zorgen dat de aarde ook naar de appel toegetrokken wordt en dus een stukje verplaatst richting de appel. Tis natuurlijk miniem maar het beeld klopt wel. Nu kan ik wiskunde gebruiken om uit te rekenen hoeveel deze afstand dan precies is (me natuurkunde leraar kwam uit op 1 miljardste doorsnee van een atoom maar de gekozen parameters weet ik niet meer) maar is dit noodzakelijk om de situatie te begrijpen? Ik denk het niet. Daarnaast kun je leuk formules invullen maar begrijp je het dan ook of pas je het toe zonder het daadwerkelijk te snappen?

Weet je wat het is: Chaos is niets meer dan dat je bepaalde parameters niet nauwkeurig kunt vaststellen. Die stop je in je model. Vervolgens neem je diezelfde parameters, en verandert die een erg klein beetje, en laat het model weer lopen. En dan zie je na een tijdje verschil. Je kunt je dan afvragen: kun je alle parameters van een systeem zo nauwkeurig meten dat je altijd precies hetzelfde verloop krijgt? Volgens de QM kan dat dus niet. Tenminste, zo begreep ik het.

Lijkt me een mooi onderzoek voor Artificial Intelligence aangezien deze systemen erg goed zijn om verbanden te vinden die voor mensen teveel chaos zijn. Aangenomen dat die verbanden ook daadwerkelijk bestaan en het model goed genoeg is om het aan te kunnen, zou dit moeten resulteren in het vinden van de parameters. _{Dit is makkelijker gezegd dan gedaan}

quote:

Op zaterdag 19 februari 2005 00:31 schreef Aegir het volgende:
nee, het gaat over een jongen die de mogelijkheid ontwikkeld om via zijn dagboek te lezen
zichzelf weer terug te kunnen plaatsen naar die dag om de situatie weer opnieuw vanaf
dat moment op te kunnen pakken

met alle gevolgen die daar dan weer bij horen!

Gevolg op gevolg op gevolg. Inderdaad het Butterfly Effect. Maar als dat een voorbeeld is van de Chaostheorie, stelt die theorie dan ook dat alles invloed op elkaar heeft?

Ik merk uit bovenstaande reacties dat de theorie niet zo makkelijk is uit te leggen. Dat is wel jammer want het is me nog niet helemaal duidelijk. Kennelijk is het niet iets wat in een paar zinnen is te vatten?

quote:

Op zondag 20 februari 2005 11:52 schreef Geartsjuh het volgende:

[..]

Gevolg op gevolg op gevolg. Inderdaad het Butterfly Effect. Maar als dat een voorbeeld is van de Chaostheorie, stelt die theorie dan ook dat alles invloed op elkaar heeft?

Ik merk uit bovenstaande reacties dat de theorie niet zo makkelijk is uit te leggen. Dat is wel jammer want het is me nog niet helemaal duidelijk. Kennelijk is het niet iets wat in een paar zinnen is te vatten?

Even aan de hand van een mechanisch voorbeeldje.

Als je een willekeurig mechaniekje hebt, bv de eerder genoemde slinger aan een slinger, dan kun je deze volledig beschrijven via de mechanica. Het enige wat je hoeft te doen is je beginvoorwaarden kennen. En dat is moeilijker dan het lijkt. Want het blijkt dat in veel systemen, je de beginvoorwaarden erg nauwkeurig moet weten om er op lange termijn iets zinnigs over te zeggen. Die systemen zitten vaak zo inmekaar, dat na een bepaalde tijd een erg kleine onnauwkeurigheid in je beginvoorwaarden, een compleet andere beweging geven tov van je eerder gekozen beginvoorwaarden.

Wat Haushofer zegt, en dan wordt het heel wiskundig.

quote:

Op zondag 20 februari 2005 15:04 schreef Haushofer het volgende:

Als je een willekeurig mechaniekje hebt, bv de eerder genoemde slinger aan een slinger, dan kun je deze volledig beschrijven via de mechanica. Het enige wat je hoeft te doen is je beginvoorwaarden kennen. En dat is moeilijker dan het lijkt. Want het blijkt dat in veel systemen, je de beginvoorwaarden erg nauwkeurig moet weten om er op lange termijn iets zinnigs over te zeggen. Die systemen zitten vaak zo inmekaar, dat na een bepaalde tijd een erg kleine onnauwkeurigheid in je beginvoorwaarden, een compleet andere beweging geven tov van je eerder gekozen beginvoorwaarden.

Oh op die fiets! Dank Haushofer voor het verlichten van deze dummie .

Ene Stuart Kauffman gebruikt onder andere de chaostheorie om evolutie te verklaren. Hij heeft daar een boek over geschreven, the origins of order. Het is allemaal erg wiskundig maar wel boeiend. Hij geeft onder andere een beschrijving hoe ooit het leven ontstaan kan zijn, hoe evolutie plaats kon vinden, en onder welke omstandigheden dan weer niet, hoe individuen zich ontwikkelen van eicel tot volwassen en hoe elementen van ecosystemen zich onderling op elkaar afstemmen. Het aardige van dit boek is bovendien dat hij zijn met zijn wiskundige redeneringen tot verassende inzichten komt.

quote:

Op zaterdag 19 februari 2005 11:53 schreef Haushofer het volgende:
Weet je wat het is: Chaos is niets meer dan dat je bepaalde parameters niet nauwkeurig kunt vaststellen.

Hmm, op wikipeda staat:
"Vroeger dachten wetenschappers dat fysieke systemen die onvoorspelbaarheid vertoonden, alleen maar zo leken vanwege ofwel hun ingewikkeldheid, ofwel door de verscheidenheid van de factoren die veranderingen in die systemen teweegbrachten."

Wat jij zegt is dat deze uitspraak in feite nog steeds waar is, alleen is het wiskundig model verbeterd?

(Ik dacht te begrijpen dat chaos ook optreed in volledig beheersbare/voorspelbare systemen, maar ik heb het dan mis?)

Chaos theorie

Chaos, in den beginne….

In de klassieke mechanica krijgen vooral die systemen de aandacht die exact kunnen worden opgelost. Bijvoorbeeld: de harmonische oscillator, de slinger, de Keplerbanen (versimpelde planeetbanen).
In realistische systemen wordt vaak uitgegaan van een oplosbaar probleem. En daarna worden met storingsrekening correcties uitgerekend. Dan moeten die correcties wel klein blijven, vergeleken bij de oplossingen van het oorspronkelijke probleem.
In 1845 gebruikte John Adams storingsrekening om onregelmatigheden in de baan van Uranus te verklaren met de wisselwerking van een nog niet waargenomen planeet (Neptunes). Die planeet werd uiteindelijk geveonden (Galle, Berlijn).

Maar er zijn ook systemen waarvan de correctietermen steeds groter worden. Dit gebeurt bijvoorbeeld als banen van planeten worden doorgerekend en de omloopstijden hebben een rationele verhouding. De zon met twee planeten en hun wisselwerking, een voorbeeld van het drielichamenprobleem, dat eind 19e eeuw door Poincaré aandacht kreeg, is daarom in zijn algemeenheid niet exact oplosbaar. Poincaré ontwikkelde ideeën die, na nu pas blijkt, zeer vruchtbaar zijn. En dat komt dan voornamelijk door de ontwikkeling van de computer. Door toenemende computerkracht is een grote activiteit ontstaan op het gebied van chaotisch gedrag van systemen.

Bij chaos wordt dan gedacht aan onregelmatig, onvoorspelbaar gedrag en een zeer gevoelige afhankelijkheid van de beginvoorwaarden. Met andere woorden: een kleine verandering in de beginsituatie leidt snel tot een snel groeiende afwijking.

Edward Lorenz, (geen Lorentz, dat schijnt iemand te zijn die meer van krimpen, contractie hield) een Amerikaanse meteoroloog had in de jaren zestig een modelletje opgesteld om het klimaat op de aarde te kunnen beschrijven. Een eenvoudig modelletje, om het weer te voorspellen. De Lorenz vergelijkingen zijn:

dx/dt = s • (y - x),
dy/dt = r • x - y - x • z,
dz/dt = x • y - b • z,

Hier zijn x,y en z variabelen en s,r en b zijn vaste parameters.
s het Prandtl getal, r het Rayleigh getal (getallen uit de vloeistofleer) en b is een schaalfactor.
x is evenredig met de convectie, y met het temperatuurverschil en z is evenredig met de verstoring van het verticale temperatuurprofiel.

Lorenz ontdekte door een toeval een categorie van fysische systemen waarbij de mogelijkheden van goede voorspellingen door berekening nog door een bijzondere oorzaak beperkt worden. Toen hij bij het herhalen van een berekening de invoergegevens afrondde tot drie cijfers achter de komma in plaats van tot zes cijfers, ontdekte hij dat het resultaat van de berekening nu sterk afweek van het oorspronkelijke resultaat. Kennelijk was er sprake van een bijzondere gevoeligheid van de rekenresultaten voor kleine verschillen in de begintoestand.

Zijn publicatie hierover, “Deterministic Nonperiodic Flow” in het tijdschrijft
Journal of the Atmospheric Sciences: Vol. 20, No. 2, pp. 130–148.
behoort tot de klassiekers op het gebied van chaostheorie.


Het vlinder verhaaltje
In 1963 hield Lorenz een toespraak waarin hij o.a. zei:
“One meteorologist remarked that if the theory were correct, one flap of a seagull's wings would be enough to alter the course of the weather forever.”
In een 1972 toespraak was deze zeemeeuw veranderd is de meer poëtische vlinder. De titel was::
Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil set off a Tornado in Texas?

Het voorbeeld geeft aan dat het vrijwel onmogelijk is om voorspellingen te doen voor complexe systemen, zoals weersvoorspelling.
De vlinder wordt nogal eens ten onrechte verwisseld met de vlinderachtige vorm die de bijbehorende chaos attractor heeft, zoals hieronder in de figuur staat.. Je kunt deze applet gebruiken om een idee te krijgen hoe, afhankelijk van de begintoestand oplossingen ontstaan.



Een attractor is een toestand die invariant is onder de dynamische vergelijkingen. Punten die in de buurt liggen gaan asymptotisch naar de attractor toe in de loop van de dynamische evolutie.

tvp-tje

En toen kwam Verhulst…..


In de biologie worden populatiemodellen met de komst van de computer ook steeds meer ontwikkeld en ingewikkelder.
Een van de eerste op dit gebied was Verhulst (rond 1850), ja een Belg met gevoel voor populatie.
In eenvoudige populatiemodellen wordt uitgegaan van een constante groeiverhouding. (Dit was nog heel lang het geval bij het modelleren van de bevolking van een land, ook ons kikkerlandje).
Verhulst zei dat de populatiegroei afhankelijk is van de huidige grootte ten opzichte van de maximale grootte (die een bepaald gebied aan kan).
Je krijgt dan de volgende formule:

p_n+1 = r p_n(1- p_n)

p_n= P_n/N en N is de maximale populatiegrootte. 1- p_n is de fractie van het gebied dat nog niet is bevolkt door de populatie.
Nadeel is dat voor de meeste waardes van r de vergelijking geen expliciete oplossing kent. En een evenwichtspopulatie is niet uit te rekenen.
Wat je kunt doen is voor verschillende waardes van r de eindtoestand uitrekenen.

En wat blijkt. Die eindtoestand is niet uniek. Er kunnen verschillende eindtoestanden bestaan.
En dan hangt het ook nog af van de begintoestand.



In deze twee tabelletjes staan r p_n(1- p_n waarbij r is 1; 1+ wortel(5) ; 4. De beginstap is 0,40 of 0,39 (2e tabel)
Bij kleine r, zeg maar, relatief kleine groei, bljikt de eindsituatie uniek te zijn. Op een gegeven moment splitst de oplossing zich en ontstan er twee stationaire toestanden.
Bij r = 1 + wortel(5), (niet zomaar gekozen), gaat de begintoestand altijd naar een eindtoestand 0,5 of 0,809017.
De oplossing springt heen en weer. En dat blijkt ook onafhankelijk van de begintoestand te zijn.

Tenslotte, als r groot wordt ontstaan er uiteindelijk oneindig veel oplossingen. Of ze aftelbaar zijn weet ik niet (bv. zijn ze als een reeks te schrijven?)

Als je voor de hele serie r (van 0 tot 4) de eindsituatie bepaalt (zeg 1000 stappen) dan ontstaat er het volgende plaatje.

Op het einde, als r tegen de 4 aan loopt zie je inderdaad dat vrijwel alle oplossingen mogelijk zijn.
Maar je ziet ook een witte balk. Ongeveer bij r = 3,7. En het blijkt dat daar het hele plaatje opnieuw begint. En dan ipv verdubbeling: 1, 2, 4, 8 , gebeurt het drie keer: 3, 6, 12, 24, 48

Om te zien wat er binnen zo'n plaatje gebeurt heb ik de volgende plaatjes uit deze bron, voor het gemak hierheen gelinkt.



Dit is hetzelfde plaatje als het voorafgaande. Maar om te kunnen vergelijken (qua schaal en richting is het alsnog bijgevoegd)



Dit is een vergroting van het periode-verdubbelingsgebied. Je kunt de opeenvolgende bifuracties goed zien. Horizontaal staat telkens de r-schaal.



Bovenstaand plaatje is een inzooming in de linkerbovenhoek. De kleine gebieden zien eruit als de grote gebieden.



Hier is een deel van het chaotische gebied te zien. Met een vrijwel leeg gebied.



Inzoomen op dat lege gebied levert het hierboven staande resultaat. En nu ontstaat er een splitsing in drie takken.



Als er met een factor 1000 ingezoomed wordt op de middelste van de drie.
Het kon wel hetzelfde zijn als de beginsituatie.

Hoe meer de dingen veranderen hoe meer ze hetzelfde blijven.
(En dan komt Gaia om de hoek kijken).

[ Bericht 0% gewijzigd door Yosomite op 27-02-2005 21:43:37 ]

tvp

ik snap het niet

quote:

Op zondag 27 februari 2005 21:23 schreef Malcolm het volgende:
ik snap het niet

mea culpa, sed idem dito

Dan moet ik terug naar de tekentafel.

quote:

Op zondag 27 februari 2005 21:06 schreef Yosomite het volgende:
En toen kwam Verhulst…..

-- lang stukje tekst --

Leuke bijdrage .... Feigenbaum had een algoritme waarmee de volgende vertakking bepaald kon worden voor een niet lineair systeem.
alfa = 4,66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161

Het grappige is dat elk dynamische systeem zich gedraagt met deze constante.... weet je 1 vertakking , dan weet je ze allemaal. Toch orde in chaos ?!... De Feigenbaum constante kun je het beste vergelijken met het getal PI en het is een universeel getal.

En hoe past catastrophe-theorie hier dan weer in?

En eerder werd er iets gezegd over gevolg op gevolg op gevolg, mar dat is toch juist weer determinisme?

Chaos-theorie komt toch van de Quantum-mechanica?

Chaos-theorie wordt toch gebruikt om gekte en het bestaan van vrije wil te beargumenteren?

tvp


maar zou je het kunnen vergelijk met als je steeds het kwadraat van 2 erg bij elkaar dichtliggende getallen neemt en dat er bij het getal dat bijvoorbeeld net een honderste groter is een veel grotere uitkomst krijgt?

quote:

Op maandag 28 februari 2005 11:09 schreef sterre1981 het volgende:
En hoe past catastrophe-theorie hier dan weer in?

Die kende ik nog niet

quote:

En eerder werd er iets gezegd over gevolg op gevolg op gevolg, mar dat is toch juist weer determinisme?

Ja. Determinisme houdt in dat je met een gegeven begintoestand je situatie op elk willekeurig tijdstip kunt berekenen.

quote:

Chaos-theorie komt toch van de Quantum-mechanica?

Nee, de Chaos theorie heeft een andere basis dan de QM, ik denk dat je in de war bent met "onzekerheid". Ze wordt oa gebruikt bij het weer; weersvoorspellingen van een week vooruit zijn hoogst onbetrouwbaar, en dat is een gevolg van de chaos-theorie; je kunt niet nauwkeurig genoeg de situatie bekijken, zodat je daar op lange termijn uitspraken over kunt doen,

quote:

Op maandag 28 februari 2005 11:09 schreef sterre1981 het volgende:
Chaos-theorie komt toch van de Quantum-mechanica?

Nopez, elk niet lineair systeem (en dat zijn er veel) met bepaalde voorwaarden over de begintoestand.

Maar als quatum voorbeeld zou je wel de positie van de electrons bij hun omloop in hun valentiebanen kunnen nemen. Je kunt wel met een zekere waarschijnlijkheid aangeven in welke omloopbaan de electron zich beweegt (in een marge van 85 % zekerheid - poncaire principe). Maar de absolute plaats kan men niet bepalen.

quote:

Op dinsdag 1 maart 2005 23:53 schreef Drugshond het volgende:

[..]

Nopez, elk niet lineair systeem (en dat zijn er veel) met bepaalde voorwaarden over de begintoestand.

Maar als quatum voorbeeld zou je wel de positie van de electrons bij hun omloop in hun valentiebanen kunnen nemen. Je kunt wel met een zekere waarschijnlijkheid aangeven in welke omloopbaan de electron zich beweegt (in een marge van 85 % zekerheid - poncaire principe). Maar de absolute plaats kan men niet bepalen.

Maar dat heeft verder niets te maken met chaos, dat is een manifestatie van het golf-gedrag van deeltjes.

Ja, goed. Maar ik bedoel eigenlijk:
Chaos heeft toch juist als kenmerk dat het niet te voorspellen is?

Is het dan niet strijdig om juist dat te gebruiken om het weer te voorspellen?

Is het dan niet gewoon een slap excuus voor de tekortkomingen van kennis en meetinstrumenten van de mens?

Is het niet gewoon een andere benaming voor: dat wat we niet weten en (momenteel) niet kunnen weten?

Ik dacht altijd dat chaos-theorie en determinisme met elkaar in strijd waren, maar volgens jullie zijn ze verenigbaar?

En catastrophe-theorie> een mooi model voor bimodaliteit.


PS: Haushofer, gefeliciteerd met je mod-schap. Sinds wanneer? Ben een tijdje weggeweest van het forum, en het viel me net ineens op.

quote:

Op woensdag 2 maart 2005 11:11 schreef sterre1981 het volgende:
Ja, goed. Maar ik bedoel eigenlijk:
Chaos heeft toch juist als kenmerk dat het niet te voorspellen is?
Is het dan niet strijdig om juist dat te gebruiken om het weer te voorspellen?
Is het dan niet gewoon een slap excuus voor de tekortkomingen van kennis en meetinstrumenten van de mens?

Euj, ik bedoelde meer dat het een verklaring geeft waarom weersvoorspellingen na een paar dagen niet meer betrouwbaar zijn. Je kunt het idd zien als een tekortkoming van meten, maar om een oneindig nauwkeurige voorspelling te krijgen, moet het meetsysteem zelf ook worden meegenomen. Dat is denk ik niet mogelijk. Je kunt via bepaalde rekenkundige methodes zien hoe snel een model gaat afwijken, en daar had je bepaalde coefficienten voor waarvan ik de naam ben vergeten

quote:

Ik dacht altijd dat chaos-theorie en determinisme met elkaar in strijd waren, maar volgens jullie zijn ze verenigbaar?

Tja, het is idd de vraag of chaos een meetprobleem is, of daadwerkelijk een fysisch probleem. Ik zag dat je in je vorige post de QM aanhaalde. Een principe in de QM is het onzekerheidsprincipe, dat stelt dat je bepaalde grootheden als plaats en impuls nooit tegelijkertijd kunt meten. Dat is een typisch voorbeeld van een fysisch probleem; dat ligt zeker niet aan onze meetapparatuur, maar is een eigenschap van de natuur !

Als je nou bv het weer wilt voorspellen over 100 jaar, dan zul je zeker de computer waarmee je je voorspellingen doet ook moeten meenemen in je voorspellingen; deze geeft immers warmte af, en die warmte zal na een tijdje je systeem significant veranderen. Ik vraag me zelf ook een beetje af of je met zo'n koppeling theoretisch in staat zou zijn om een systeem exact te beschrijven. Ik denk dat dat onzekerheidsprincipe op een bepaald moment roet in het eten zou gooien.

quote:

En catastrophe-theorie> een mooi model voor bimodaliteit.

Bimodaliteit...was dat niet een term uit de psychologie?

quote:

PS: Haushofer, gefeliciteerd met je mod-schap. Sinds wanneer? Ben een tijdje weggeweest van het forum, en het viel me net ineens op.

Dank je Sinds een maand of twee nu, geloof ik. Het viel mij in het begin ook niet zo op, totdat ik erachter kwam dat de layout toch wel wat was veranderd.

quote:

Op woensdag 2 maart 2005 13:45 schreef Haushofer het volgende:

Je kunt het idd zien als een tekortkoming van meten, maar om een oneindig nauwkeurige voorspelling te krijgen, moet het meetsysteem zelf ook worden meegenomen. Dat is denk ik niet mogelijk.

Ja, dat is inderdaad lastig. Maar feit blijft dat het komt door ons beperkte waarnemingsvermogen, we kunnen niet nu op dit moment een overzicht maken van alle invloeden en alle feiten en alle oorzaken, e.d. Maar áls je dat wel wist, dan kon je dus in feite alles voorspellen. Dan komt het tóch op hetzelfde neer als het determinisme... Alleen chaostheorie benadrukt ons onvermogen om ooit de totale situatie in kaart te brengen. (omdat je dan op één moment *poef* alles moet hebben staan, en we aan tijd gebonden zijn bij het inkaart brengen van en blablabla... Dat is inderdaad onmogelijk.)

quote:

Een principe in de QM is het onzekerheidsprincipe, dat stelt dat je bepaalde grootheden als plaats en impuls nooit tegelijkertijd kunt meten. Dat is een typisch voorbeeld van een fysisch probleem; dat ligt zeker niet aan onze meetapparatuur, maar is een eigenschap van de natuur !

Ik wist inderdaad wel dat er een zekere onvoorspelbaarheid zit in de baan van elektronen rond een kern, zoals iemand hierboven postte. Dat plaats en impuls niet gelijktijdig kunnen worden gemeten wist ik niet. Ik vind het wel machtig mooi dat de natuur zich alsnog niet laat vangen in formules en getallen. Ik dacht dat er in de quantummechanica een aantal verschijnselen waren geconstateerd die men niet kon verklaren en dat om die dingen alsnog te kunnen verklaren de chaostheorie werd bedacht. Ik vond chaostheorie daarom altijd een beetje een ad/post hoc verklaring.

quote:

Bimodaliteit...was dat niet een term uit de psychologie?

Dat zou goed kunnen. Ik studeer psychologie, en ken de catastrophe-theory ook uit mijn vakgebied, het wordt vaker gebruikt om te verklaren waarom in dezelfde omstandigheden twee compleet verschillende gedragingen zich kunnen voordoen. Dat de voorafgaande 'geschiedenis' bepaalt waar op de bifurcatie de voorspellers liggen, wat op haar beurt weer voorspelt welk van de twee gedragingen het waarschijnlijkst is.

quote:

Dank je Sinds een maand of twee nu, geloof ik. Het viel mij in het begin ook niet zo op, totdat ik erachter kwam dat de layout toch wel wat was veranderd.

Hahaha. Dat zal wel.

quote:

Ik wist inderdaad wel dat er een zekere onvoorspelbaarheid zit in de baan van elektronen rond een kern, zoals iemand hierboven postte. Dat plaats en impuls niet gelijktijdig kunnen worden gemeten wist ik niet. Ik vind het wel machtig mooi dat de natuur zich alsnog niet laat vangen in formules en getallen. Ik dacht dat er in de quantummechanica een aantal verschijnselen waren geconstateerd die men niet kon verklaren en dat om die dingen alsnog te kunnen verklaren de chaostheorie werd bedacht. Ik vond chaostheorie daarom altijd een beetje een ad/post hoc verklaring.

Maar dat is een misverstand die veel mensen rond de QM hebben; ze wordt weldegelijk wiskundig geformuleerd. Je kunt er ook kwantitatieve voorspellingen mee doen, en het is zeker niet zo dat alles onzeker is ! De natuur laat zich dus wel degelijk vangen in formules en getallen, alleen is ze niet deterministisch van aard. En dat is natuurlijk iets compleet anders. De QM wordt vaak als onlogisch gezien, en intuitief is dat ook zo. Maar wiskundig is ze zo consistent als maar zijn kan, en het is niet aan de mens om niet-intuitieve zaken als onlogisch te bestempelen.

quote:

Op woensdag 2 maart 2005 13:45 schreef Haushofer het volgende:
Sterre1981: Ik dacht altijd dat chaos-theorie en determinisme met elkaar in strijd waren, maar volgens jullie zijn ze verenigbaar?

Tja, het is idd de vraag of chaos een meetprobleem is, of daadwerkelijk een fysisch probleem

haushofer, kun je antwoord op Sterre's gestelde vraag geven? En zo nee, is dat omdat je te weinig weet van de chaos theorie, of kan de wetenschap het antwoord ook niet geven? De gestelde vraag is echt de kern van de chaos theorie: is chaos slechts onbevattelijke complexiteit of treedt het ook op in een gecontroleerd model? De eerste verklaring vind ik eerlijk gezegd niet zo revolutionair.

quote:

...om een oneindig nauwkeurige voorspelling te krijgen, moet het meetsysteem zelf ook worden meegenomen. Dat is denk ik niet mogelijk.

Dat laatste klinkt mij meer als een Gödelprobleem. Ligt de stelling van Gödel aan de basis van de chaostheorie?

[ Bericht 1% gewijzigd door PeterM op 02-03-2005 15:38:50 ]

quote:

Op woensdag 2 maart 2005 15:21 schreef PeterM het volgende:

[..]

haushofer, kun je antwoord op de gestelde vraag geven? En zo nee, is dat omdat je te weinig weet van de chaos theorie, of kan de wetenschap het antwoord ook niet geven? De gestelde vraag is echt de kern van de chaos theorie: is chaos slechts onbevattelijke complexiteit of treedt het ook op in een gecontroleerd model? De eerste verklaring vind iki eerlijk gezegd niet zo revolutionair.
[..]

Ik weet weinig van de Chaostheorie, ik moet zeggen dat we het ook nooit in college hebben behandeld. Maar ik denk zelf dat Chaos meer is dan onbevattelijke complexiteit. Een tijd geleden heb ik al es een voorbeeldje gegeven van de volgende situatie: je stopt 1 pingpong bal voor de helft in de grond, en je laat daarop een andere pingpong bal stuiteren. Hoe vaak kan dit? Klassiek gezien is er natuurlijk geen objectie; de bal kan oneindig vaak stuiteren. Maar dat blijkt niet zo te zijn, hier heb je de manifestatie van het onzekerheidsprincipe op macroschaal, en blijkt dat de bal maar maximaal 8 keer kan stuiteren ( kan er 1 of 2 naast zitten ). Het zou me niet verbazen als zulke manifestaties overal voorkomen, en in dat geval kun je dus wel een link trekken tussen de QM en de chaostheorie.

quote:

Dat laatste klinkt mij meer als een Gödelprobleem. Ligt de stelling van Gödel aan de basis van de chaostheorie?

Euj.....niet dat ik weet. Maar ik zie de link dan ook niet.

quote:

Op woensdag 2 maart 2005 15:38 schreef Haushofer het volgende:
Maar ik denk zelf dat Chaos meer is dan onbevattelijke complexiteit.

Dat is inderdaad het enige wat ik dacht te begrijpen aan de theorie. Het hoe en waarom is mij echter niet duidelijk.

quote:

Een tijd geleden heb ik al es een voorbeeldje gegeven van de volgende situatie: je stopt 1 pingpong bal voor de helft in de grond, en je laat daarop een andere pingpong bal stuiteren. Hoe vaak kan dit?

Maar hier ga je dan weer uit van wellicht niet meetbare, maar wel logische afwijkingen op microniveau. Elke keer als de pingpongbal stuitert zijn de atomen door hun trillen op een iets andere plaats. Dit voorbeeld is in mijn ogen juist wel een voorbeeld van 'onbevattelijke complexiteit'.

Maar theoretisch treedt chaos dan niet op wanneer je de pingpongbal exact op de juiste plaats laat stuiteren, de twee ballen ideaal zijn en de temperatuur 0K. (dat dat niet kan is dan niet van belang)

quote:

Maar hier ga je dan weer uit van wellicht niet meetbare, maar wel logische afwijkingen op microniveau. Elke keer als de pingpongbal stuitert zijn de atomen door hun trillen op een iets andere plaats. Dit voorbeeld is in mijn ogen juist wel een voorbeeld van 'onbevattelijke complexiteit'.

Maar theoretisch treedt chaos dan niet op wanneer je de pingpongbal exact op de juiste plaats laat stuiteren, de twee ballen ideaal zijn en de temperatuur 0K. (dat dat niet kan is dan niet van belang)

Theoretisch gezien kun je de bal niet exact op de juiste plaats laten stuiteren, omdat je onzekerheid in de impuls dan oneindig wordt ( je hebt immers een tijds-afhankelijk systeem!) Hoe nauwkeuriger je de impuls wilt zetten ( dus hoe nauwkeuriger je de bal wilt richten), des te onnauwkeuriger zul je de plaats van de bal kunnen bepalen. Het is dus zeker geen complexiteit; het is de natuur zelf. Ik denk dat je met me eens bent dat het onzekerheidsprincipe geen "onbevattelijke complexiteit" is.

Het onzekerheidsprincipe geldt trouwens ook voor T=0. Hoewel dat wat vaag is te zeggen, omdat T=0 net als de lichtsnelheid niet is te bereiken.

quote:

Op woensdag 2 maart 2005 10:26 schreef Haushofer het volgende:
Maar dat heeft verder niets te maken met chaos, dat is een manifestatie van het golf-gedrag van deeltjes.

Ook als het het electron en kern (kern = attractor model) voorstelt als een meervoudig bewegingslichaam (planetarium) waarin elementen naar elkaar toe trekken en afstoten.... ?!?
Ik zie wel degelijk een link met de chaos theorie..... maar goed op quatum niveau spelen natuurlijk ook andere krachten die zich moeilijk laten meten met de klassieke Newtoniaanse modelen.

is het chaos die op grote schaal orde maakt.. of is het orde die op grote schaal chaos maakt? Of is het beide

quote:

Op woensdag 2 maart 2005 20:11 schreef DionysuZ het volgende:
is het chaos die op grote schaal orde maakt.. of is het orde die op grote schaal chaos maakt? Of is het beide

Denk beide....
Op grote schaal kun je alleen iets zeggen over de bandbreedte (= dwars doorsnede van de trajectorie baan) waarin de volgende toestand zich plaats kan vinden... maar niet de allocatie waar (exact) ergens.

Kijk een terug naar de eerder geposte topics over Lorents... en de Bio-vergelijkingen... je ziet wel de afgebakende lijnen (zijn eigenlijk mogelijke punten van mogelijke toestanden) waar de volgende toestand zich kan plaatsvinden.

En ook onderzoeken naar deze dwarsdoorsnedes van trajectorie banen... laten chaotisch gedrag zien.... Het maakt niet uit hoevaak je in-of-uit zoomt.... er is of blijkt sprake van een herhaaldelijk optredend patroon. Zowel in absolute alsook in relatieve zin......

quote:

Op woensdag 2 maart 2005 20:10 schreef Drugshond het volgende:

[..]

Ook als het het electron en kern (kern = attractor model) voorstelt als een meervoudig bewegingslichaam (planetarium) waarin elementen naar elkaar toe trekken en afstoten.... ?!?
Ik zie wel degelijk een link met de chaos theorie..... maar goed op quatum niveau spelen natuurlijk ook andere krachten die zich moeilijk laten meten met de klassieke Newtoniaanse modelen.

Je haalt dingen door mekaar. Neem bijvoorbeeld het waterstof atoom. De Hamiltoniaan van dit ding ( dus datgene wat de energie beschrijft) is exact op te lossen, want je hebt maar 1 electron en dus geen elektron-elektron interacties. Dus volgens jouw redenatie zou je dan ook een exacte beschrijving moeten hebben van de elektronenbaan. Dat is dus niet zo.

Voor elementen hoger dan waterstof ga je tewerk met de zogenaamde perturbatie-methode. Je gaat uit van een exacte situatie, en brengt daar kleine storingen bij. Hiermee kun je dan die elektronen interacties uitrekenen. Het ladingsveld van zo'n elektron zal oa de kernlading 'afschermen'.

quote:

Op maandag 28 februari 2005 11:09 schreef sterre1981 het volgende:
En hoe past catastrophe-theorie hier dan weer in?

Catastrophe theorie is toch meer de theorie dat voortgang plaats vindt via stadia, plotselinge overgangen.
bv de zondvloed die de nodige dieren deed verdrinken en daarom vinden we skeletten van dino's (ze waren te laat voor de boot),
bv de komeet die voor Mexico in de oceaan dook en nogal wat schade veroorzaakte.

Van de meer wiskundige kant, Thom gebruikt catastrophe theorie als bifurcatie tussen twee equilibria).
In Nederland is er Hartelman, die een proefschrift schreef over stochastische catastophe theorie. Dit klinkt als chaos en willekeur. Maar in mijn ogen is het niet meer dan wat psychoblabla: de vlag dekt de lading niet.
Een link om zelf te oordelen.

quote:

Op maandag 28 februari 2005 11:09 schreef sterre1981 het volgende:

Chaos-theorie komt toch van de Quantum-mechanica?

Dat doet pijn aan mijn teer wiskunde / natuurkunde hartje. Tranen stromen over mijn wangen.
Omdat QM niet exact is in de zin van, iets exact kunnen bepalen (als je iets meet, is er een meetfout) wil dat niet gelijk zeggen dat het een chaos is.
Of dat chaos uit de QM stamt.
Ik zie chaos veel meer als een dynamische instabiliteit.

quote:

Op woensdag 2 maart 2005 20:36 schreef Haushofer het volgende:
Je haalt dingen door mekaar. Neem bijvoorbeeld het waterstof atoom. De Hamiltoniaan van dit ding ( dus datgene wat de energie beschrijft) is exact op te lossen, want je hebt maar 1 electron en dus geen elektron-elektron interacties. Dus volgens jouw redenatie zou je dan ook een exacte beschrijving moeten hebben van de elektronenbaan. Dat is dus niet zo.

Voor elementen hoger dan waterstof ga je tewerk met de zogenaamde perturbatie-methode. Je gaat uit van een exacte situatie, en brengt daar kleine storingen bij. Hiermee kun je dan die elektronen interacties uitrekenen. Het ladingsveld van zo'n elektron zal oa de kernlading 'afschermen'.

Strak antwoord.......
Overigens de perturbatie-methode is dat niet het het lineariseren van niet lineaire vergelijkingen (in zovere dat mogelijk is). Zucht het is weer lang geleden dat ik Dynamica heb gehad.... Maar de genoemde termen doen weer ergens een lichtje branden.

Een gehaakte chaostheorie: , en stukje waar dit zo vandaan komt:

"Osinga houdt zich bezig met diepgravend en vernieuwend wiskundig onderzoek aan de universiteit van het Engelse Bristol. Zo maakte ze computeranimaties van de befaamde formules van meteoroloog Edward Lorenz, een van de grondleggers van de chaostheorie. Zijn ingewikkelde systeem, onder andere gebruikt om veranderingen in het weer te verklaren, was nog nooit op deze manier zichtbaar gemaakt."
_{bron: Leeuwarder Courant (nadat ik hem eerst in het NHD zag staan en ik zo snel geen andere bron kon vinden via Google}

Die heb ik dit weekend ook gezien, maar kon ook geen bron vinden via Google
Grappig. Het schijnt dat er wereldwijd interesse voor was om haar haakwerk in boeken op te nemen.

quote:

Op woensdag 2 maart 2005 23:54 schreef Haushofer het volgende:
Die heb ik dit weekend ook gezien, maar kon ook geen bron vinden via Google
Grappig. Het schijnt dat er wereldwijd interesse voor was om haar haakwerk in boeken op te nemen.

, men vond het een geweldige manier om de chaos-theorie te laten zien en uit te leggen etc.