Phi, oftewel de 'divine proportion', a.k.a 'the golden number' is grofweg het cijfer 1,618. Het schijnt dat je dit cijfer op de meest uiteenlopende plekken tegenkomt, in de natuur, de kunst, muziek, etc.
De aftand van je kruin tot je tenen en die van je navel tot je tenen, alsook allerlei andere anatomische verhoudingen, verhoudt zich als 1 tot 1.618. Het aantal mannetjes en vrouwtjes in een bijenkort verhoudt zich tot elkaar volgens dit nummer. De holtes in een nautilus-schelp worden kleiner volgens een factor phi.
De planeet Venus beweegt zich gedurende een periode van acht jaar over de hemel als een perfect pentagram. En de snijdende lijnen van het pentagram verdelen die lijnen in een verhouden 1 - phi! Venus, en het pentagram, was daarom ook het symbool voor vrouwelijke schoonheid, en de godin. De oude Grieken vereerden dit nummer al, en de Olympische spelen werden om de acht jaar gehouden, gerelateerd aan de baan van Venus (het pentagram zou dan ook bijna tot het officiële symbool voor de olympische spelen zijn uitgeroepen, maar op het laatste moment koos men in plaats van de vijfpuntige ster voor vijf ringen, om de geest van samenhang te benadrukken. Maar goed).
Nou schijnt phi ook iets te maken te hebben met de Fibonacci-sequentie. En met de cijfers pi en E schijnt ook wat aan de hand te zijn.
Iemand die hier iets meer over kan vertellen?
epi*i + 1 = 0
Dan heb je een aantal belangrijke getallen in verband gebracht.
(Zie ook e^(pi*i) = -1).De gulden snede komt vaak voor in de biologie. Ik meen dat al je lichaamsverhoudingen ook met behulp van verhoudingen 1:phi zijn weer te geven. Onbewust zien we ook verhoudingen als 1:phi als mooi. Mensen die in hun gezicht de verhouding phi veel hebben, worden als regel aantrekkelijk gevonden.
Dit zelf in combinatie met Pi en Fibonacci. Kijk hier maar eens: http://goldennumber.net/pi-phi-fibonacci.htm
[ Bericht 0% gewijzigd door ghostarmor op 10-11-2004 14:35:55 (typo) ]
Over een paranoïde wiskundige die zoekt naar een sleutel nummer om het universele patroon van het universum te vinden; met name een patroon in Pi .
ohhh
ik zocht hem eigenlijk in het engels maar toch ..ik ben wel geintrigeerd
Verdeling in uiterste en middelste reden
Euclides
Divina Proportia: de Goddelijke verhouding
Renaissance
Gulden Snede
1e helft 19e eeuw
Gouden Verhouding
in gewoon Nederlands
De Rij van Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597enz.
Getal N delen door N-1
1/1 = 1
2/1 = 2
3/2 = 1,5
5/3 = 1,667
8/5 = 1,6
13/8 = 1,625
21/13 = 1,6154
enz.
k : g = g : t
(x - 1) : 1 = 1 : x
x - 1 = 1 / x
x2 - x = 1
x2 - x - 1 = 0
x oplossen met ABC formule
Oplossing:
x = -0,618033989 => onmogelijk
x = 1,618033989 => phi
1993, Douady en Couder:
zonnebloem gebruikt de hoek van 222,492°.
Meest efficiente manier van verdelen zaden.
360°/222,492°= 1,618
Kleijne, W. en Konings, T., De Gulden Snede, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2000
Stewart, I., Het Magisch labyrint, Uitgeverij Nieuwzijds, Amsterdam, 1998
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html
http://www.math.smith.edu/~phyllo
http://ccins.camosun.bc.ca/~jbritton/fibslide/jbfibslide.htm
http://www.phys.tue.nl/TULO/info/guldensnede/biologie.html
quote:1 : 0,618033989 = 1,618033989 : 1 = de gulde snedeOp woensdag 10 november 2004 14:50 schreef Irris het volgende:
k : g = g : t
(x - 1) : 1 = 1 : x
x - 1 = 1 / x
x2 - x = 1
x2 - x - 1 = 0
x oplossen met ABC formule
Oplossing:
x = -0,618033989 => onmogelijk
x = 1,618033989 => phi
quote:Ja klopt maar - (!) 0,618033989 bestaat niet..Op woensdag 10 november 2004 14:58 schreef Wackyduck het volgende:
[..]
1 : 0,618033989 = 1,618033989 : 1 = de gulde snede
quote:Het is negatief, maar daarom hoef je de absolute waarde ervan niet zomaar te verwerpen, want beide uitkomsten zijn in feite de gulden snede.Op woensdag 10 november 2004 15:14 schreef Irris het volgende:
[..]
Ja klopt maar - (!) 0,618033989 bestaat niet..
En bij wat je oplost is - 1/phi een valide oplossing.
Als je de oppervlakte uitrekent tussen de x-as en de functie ex tussen x = - oneindig en x = x, dan komt daar uit ex
En dus "omgekeerd" de richtingscoëfficiënt van een raaklijn aan de functie ex in het punt x is gelijk aan ex.
e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + .....
quote:e^x is zijn eigen integraal, behoorlijk logisch dus.Op woensdag 10 november 2004 21:58 schreef Yosomite het volgende:
Maar het getal e is toch ook een heel mooi getal.
Als je de oppervlakte uitrekent tussen de x-as en de functie ex tussen x = - oneindig en x = x, dan komt daar uit ex
En dus "omgekeerd" de richtingscoëfficiënt van een raaklijn aan de functie ex in het punt x is gelijk aan ex.
Wel elegant daarentegen.
F(x)=.....
voor zover ik weet dan..
quote:Jahaaaaaaaaaaa. Maar waarom is dat zo?Op donderdag 11 november 2004 01:05 schreef MeneerGiraffe het volgende:
[..]
e^x is zijn eigen integraal, behoorlijk logisch dus.
Wel elegant daarentegen.
Ik weet niet of e^(i*a)=cos(a)+i*sin(a) is genoemd, maar dat is voor natuurkundigen toch wel 1 van de mooiste formules. Wederom bij Euler. Kun je ook weer bewijzen mbv een Taylorreeks. Maar ook vanuit het meetkundige van het complexe vlak.
quote:Ik heb ooit zelfs als definitie gehad: de functie die zijn eigen integraal is.Op donderdag 11 november 2004 09:46 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Jahaaaaaaaaaaa. Maar waarom is dat zo?
en
(Bron)
quote:Ja.Op donderdag 11 november 2004 16:57 schreef Haushofer het volgende:
Om het Nerdgehalte hoog te houden op het FokForum, een kick. Is al es bewezen of e^pi transcedent is?
quote:In 1882 toch al, of niet?Op donderdag 11 november 2004 17:00 schreef thabit het volgende:
[..]
Ja.
quote:Nee, dat was pi. Transcendentie van e^pi kwam later pas.Op donderdag 11 november 2004 17:02 schreef Quarks het volgende:
[..]
In 1882 toch al, of niet?
quote:Oh ja, Lindemann was het toch?Op donderdag 11 november 2004 17:16 schreef thabit het volgende:
[..]
Nee, dat was pi. Transcendentie van e^pi kwam later pas.
quote:Zeker. De beste man heeft na dit bewijs alleen niet zoveel meer gepresteerd, helaas. Zoals velen die een groot probleem hebben gekraakt.Op donderdag 11 november 2004 17:24 schreef Quarks het volgende:
[..]
Oh ja, Lindemann was het toch?
Het komt er een beetje op neer dat je zegt dat e is transcendent, ex is transcendent,
epi * i + e2 pi * i = 0
Dus epi is transcendent, (dus ook) pi transcendent.
Hilbert's 7e probleem hangt er mee samen. Gegoogled
quote:Fijn dat je ons je gebrek aan wiskundige kennis komt mededelenOp vrijdag 12 november 2004 00:28 schreef pudendo het volgende:
Ik snap echt geen ene moer van al deze posts
quote:zie ook de eerste regel van m'n openingspost...Op vrijdag 12 november 2004 00:40 schreef Quarks het volgende:
[..]
Fijn dat je ons je gebrek aan wiskundige kennis komt mededelen
quote:Waarom stel je die vraag dan :')Op vrijdag 12 november 2004 01:24 schreef pudendo het volgende:
[..]
zie ook de eerste regel van m'n openingspost... :')
quote:Dat ziet er stoer uit. Welke i is dat, imaginair-i? Kan dat wel? (heb complexe getallen nooit goed begrepen haha)Op woensdag 10 november 2004 14:01 schreef Alicey het volgende:
Er is ook een samenhang tussen enkele van die getallen.
epi*i + 1 = 0
quote:Dat is inderdaad de imaginaire i. Ik heb ooit eens een poging gedaan dat aan een aantal mensen uit te leggen, zie hierOp vrijdag 12 november 2004 08:45 schreef wortels het volgende:
[..]
Dat ziet er stoer uit. Welke i is dat, imaginair-i? Kan dat wel? (heb complexe getallen nooit goed begrepen haha)
quote:Vreemd, want het bewijs is puur analytisch, m.a.w. hooguit tweedejaars wiskundestof. Ik vond het nogal goed te volgen eigenlijk.Op donderdag 11 november 2004 21:21 schreef Yosomite het volgende:
Bewijs, beginnende op pagina 2 dat epi transcendent is door ene David Hilbert. Niet oneerbiedig, want hij heeft me heel wat hoofdbrekens gekost.
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,....
Hierin is elke term gelijk aan de som van de twee voorgaande termen. Oftewel, in een meer symbolische omschrijving: noem f( i) de i-de term uit deze rij, dan geldt f(i+2)=f( i)+f(i+1). Neem nu aan dat de reeks met elke term groeit met een constante factor a, dan geldt dus: a^2*f( i)=f( i)+a*f( i). Gooi de f
'tjes weg en je krijgt a^2=a+1, precies de vergelijking van phi.quote:Ik bedoelde Hilbert zelf. ("hij heeft me heel wat hoofdbrekens gekost") Hij heeft meer op zijn geweten, o.a. de Hilbert ruimte waarin de QM zich afspeelt. Het hier gegeven bewijs is rechttoe rechtaan.Op vrijdag 12 november 2004 13:48 schreef Koekepan het volgende:
[..]
Vreemd, want het bewijs is puur analytisch, m.a.w. hooguit tweedejaars wiskundestof. Ik vond het nogal goed te volgen eigenlijk.
quote:Bestaat er ook nog een reeele i dan?Op vrijdag 12 november 2004 09:28 schreef De_Hertog het volgende:
[..]
Dat is inderdaad de imaginaire i. Ik heb ooit eens een poging gedaan dat aan een aantal mensen uit te leggen, zie hier
quote:Dat ziet er wel wat rommelig uit, is mijn eerste indruk. Je begint over het optellen van hoeken zonder dat er nog maar sprake is van het eerste complexe getal. Dat komt dus ernstig uit de lucht vallen. Het is volgens mij beter om eerst maar i te introduceren en dan gaandeweg op te merken dat bij vermenigvuldigen de hoeken worden opgeteld. Maar misschien werd jouw stukje juist zeer goed ontvangen, dat weet ik niet.Op vrijdag 12 november 2004 09:28 schreef De_Hertog het volgende:
[..]
Dat is inderdaad de imaginaire i. Ik heb ooit eens een poging gedaan dat aan een aantal mensen uit te leggen, zie hier
In het algemeen geldt:
F(n+1) = F(n) + F(n-1)
met als randvoorwaarden F(0)=0 en F(1)=1. De differentievergelijking met constante coefficienten kan worden opgelost door een oplossing te zoeken van de vorm: F(n)=c*b^n.
c*b^(n+1)-c*b^n-c*b^(n-1) =0 of: b^2-b-1=0
b=.5*(1+sqrt(5)) of b=.5*(1-sqrt(5))
Dus:
F(n)=c1*.5*(1+sqrt(5))^n + c2*.5*(1-sqrt(5))^n
Vanwege F(0)=0 en F(1)=1:
c1=-c2=1/sqrt(5)
Dus de algemene term in de reeks van Fibonacci is:
F(n)=1/sqrt(5)*.5*(1+sqrt(5))^n - 1/sqrt(5)*.5*(1-sqrt(5))^n
Definieer G(n) als de verhouding tussen twee opeenvolgende termen van de reeks:
G(n)=F(n+1)/F(n)
Definieer x als (1-sqrt(5))/(1+sqrt(5)), dan kan G(n) geschreven worden als:
G(n)=.5*(1+sqrt(5)) * ((1-x^(n+1))/(1-x^n)).
Omdat abs(x)<1 nadert x^n naar 0 als n oneindig nadert. Dus:
G(oneindig)=.5*(1+sqrt(5)) is de gulden snede!
Als je een perfect cilindervormig potlood oid van een helling af laat rollen tussen bijvoorbeeld 2 strepen (aan elke kant van het potlood een streep tot aan de onderkant van de helling, is de kans dat de cilinder buiten het gebied komt op een bepaald punt precies 1/pi.
best maf.
quote:Klopt. Maar hoe bewijs je dat?Op zaterdag 13 november 2004 20:42 schreef Phooka het volgende:
De differentievergelijking met constante coefficienten kan worden opgelost door een oplossing te zoeken van de vorm: F(n)=c*b^n.
quote:Ja, zeg! Bewijs jij dat maar...Op zaterdag 13 november 2004 21:00 schreef J.Aap het volgende:
[..]
Klopt. Maar hoe bewijs je dat?
De analyse-vakken zijn even wat te lang geleden en ik kan niet bij m'n boeken om het formeel te bewijzen. Maar, de oplossing op zich laat al zien dat de aanname dat de oplossing die vorm heeft, juist is... Voor de rest:http://mathworld.wolfram.com/LinearRecurrenceEquation.html
quote:Ik zie alleen dat er bewezen wordt dat e en pi transcendent zijn, maar misschien kijk ik met m'n neus.Op donderdag 11 november 2004 21:21 schreef Yosomite het volgende:
Bewijs, beginnende op pagina 2 dat epi transcendent is door ene David Hilbert. Niet oneerbiedig, want hij heeft me heel wat hoofdbrekens gekost.
quote:Dat is nu juist het idee, ik leeg eerst uit dat bij vermenigvuldigen in feite altijd de hoeken worden opgeteld (dat is tenslotte niet alleen bij complexe getallen zo) en met die informatie terugredenerend is het 'logisch' dat de wortel van -1 recht boven de 0 ligt op de getallenlijn. Vervolgens noemen we dat punt 'i'.Op vrijdag 12 november 2004 22:08 schreef J.Aap het volgende:
[..]
Dat ziet er wel wat rommelig uit, is mijn eerste indruk. Je begint over het optellen van hoeken zonder dat er nog maar sprake is van het eerste complexe getal. Dat komt dus ernstig uit de lucht vallen. Het is volgens mij beter om eerst maar i te introduceren en dan gaandeweg op te merken dat bij vermenigvuldigen de hoeken worden opgeteld. Maar misschien werd jouw stukje juist zeer goed ontvangen, dat weet ik niet.
Maar het zou natuurlijk kunnen dat dit niet zo overkomt. Het werd hier inderdaad wel goed ontvangen, maar het is altijd maar de vraag of de boodschap overkomt. Ik ben tenslotte geen docent
quote:of anders gezegd:Op woensdag 10 november 2004 14:50 schreef Irris het volgende:
k : g = g : t
(x - 1) : 1 = 1 : x
x - 1 = 1 / x
x2 - x = 1
x2 - x - 1 = 0
x oplossen met ABC formule
Oplossing:
x = -0,618033989 => onmogelijk
x = 1,618033989 => phi
phi=0,5+0,5√5 of phi=0,5-0,5√5
In tegenstelling tot getallen als pi en e is het dus wel exact te defineren (en nog niet eens zo spectaculair)... of zie ik dat verkeerd. Vraag me ook af wat het verband is tussen phi en pi, of is dat er gewoonweg niet.
[ Bericht 4% gewijzigd door Kroketter op 04-12-2004 16:48:05 ]
quote:Als jij zegt wat je bedoelt met een verband tussen pi en phi, dan kan ik zeggen of dat er isOp zaterdag 4 december 2004 16:20 schreef Kroketter het volgende:
of anders gezegd:
phi=0,5+0,5√5 of phi=0,5-0,5√5
In tegenstelling tot getallen als pi en e is het dus wel exact te defineren (en nog niet eens zo spectaculair)... of zie ik dat verkeerd. Vraag me ook af wat het verband is tussen phi en pi, of is dat er gewoonweg niet.
phi en pi zijn beide reëele getallen (verz R) en zijn beide niet rationaal (verz Q), echter
- phi is een algebraïsch getal (wortel uit een polynoom)
- pi is trancendent, dwz alleen als som van een oneindige reeks te schrijven
( beter de limiet van en oneindige som of product)
quote:Ok, dat maakt voor mij ook gelijk duidelijk wat trancedent is. Maar wat ik me dus afvroeg was of er een uitdrukking te vinden is die pi in phi uit kan drukken, wat dan waarschijnlijk in de vorm van een polynoom zal moeten. Maar ik zag dat ze beide betrekking hebben op circels, dus vraag me af of dat verband er is.Op zaterdag 4 december 2004 17:04 schreef Oud_student het volgende:
[..]
Als jij zegt wat je bedoelt met een verband tussen pi en phi, dan kan ik zeggen of dat er is
phi en pi zijn beide reëele getallen (verz R) en zijn beide niet rationaal (verz Q), echter
- phi is een algebraïsch getal (wortel uit een polynoom)
- pi is trancendent, dwz alleen als som van een oneindige reeks te schrijven
( beter de limiet van en oneindige som of product)
quote:Als je pi in phi wilt uitdrukken, dan heb je oneindig termen nodig.Op zaterdag 4 december 2004 17:17 schreef Kroketter het volgende:
[..]
Maar wat ik me dus afvroeg was of er een uitdrukking te vinden is die pi in phi uit kan drukken, wat dan waarschijnlijk in de vorm van een polynoom zal moeten. Maar ik zag dat ze beide betrekking hebben op circels, dus vraag me af of dat verband er is.
Phi heeft niets met cirkels te maken, wel kun je phi meetkundig construeren, zoals de oude grieken al deden, met passer en lineaal.
( zie de post van coz)
quote:Ok, merci, dan heb ik weer iets nuttigs te doen tijdens saaie collegesOp zaterdag 4 december 2004 17:20 schreef Oud_student het volgende:
[..]
Als je pi in phi wilt uitdrukken, dan heb je oneindig termen nodig.
Phi heeft niets met cirkels te maken, wel kun je phi meetkundig construeren, zoals de oude grieken al deden, met passer en lineaal.
( zie de post van coz)
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679... 