[Centraal] Wiskunde-vragen, deel omega

quote:

Thabit schreef
De betekenis is niet geheel eenduidig, maar het kan het best geillustreerd worden aan de hand van een voorbeeld:

Stel dat X en Y vectorriumten zijn over een lichaam k, en X' en Y' de dualen van X en Y (als V een vectorruimte is over een lichaam k, dan is de duale van V de vectorruimte homk(V,k) bestaande uit alle lineaire afbeeldingen van V naar k).
Als f:X->Y een homomorfisme is, dan definieren we een homomorfisme f*: Y'->X' als volgt: stel dat y' een element van Y' is. Dan is y' dus een homomorfisme van Y naar k, de afbeelding y'f is nu een homomorfisme van X naar k, dus een element van X', dit definieren we als het beeld van y'. Dus: f*(y')=y'f. We noemen f* het door f geinduceerde homomorfisme van Y' naar X'.

quote:

Op donderdag 3 juni 2004 16:13 schreef Bijsmaak het volgende:
Ik probeer 2* (xy + x^2)/(y+1) naar x te integreren van 0 tot 1. Kom helaas niet uit.

Laat maar, opgelost.

quote:

Op vrijdag 4 juni 2004 16:25 schreef thabit het volgende:

[..]

Niet als ze hetzelfde zijn, of een scalair veelvoud van elkaar verschillen. Verder wel, aangenomen dat we het hier over polynomen in 1 variabele over een lichaam hebben.

quote:

A short answer:

Consider the function sin (pi*x). (I know you're asking "what does
sin (pi x) have to do with the sum of 1/n^2?" but bear with me).

On the one hand, it's a function that's zero for every integer k.
So, as an infinite polynomial product, it must be true that
sin (pi x) = a x (1-x) (1+x) (1-x/2) (1+x/2) (1-x/3) (1+x/3) ...
so that the right-hand side has zeros in all the right places.
By difference of squares, we get
sin (pi x) = a x (1-x^2) (1-x^2/4) (1-x^2/9) ...

Now the left side can also be expanded in a power series,
sin (pi x) = (pi x) - (pi x)^3 / 3! + ...

Using that, we first discover that a = pi to make the x coefficients
match up, and then discover that the sum of 1/n^2 is pi^2/6 to make
the x^3 coefficients match up.

quote:

Op zondag 6 juni 2004 13:44 schreef thabit het volgende:

[..]

Hiervoor moet je bepalen wat 7^(7^7) modulo 1000 is. Om dat te doen moet je eerst bepalen wat 7^7 modulo phi(1000) is, waarbij phi de Euler phi-functie is.

quote:

Op zondag 6 juni 2004 15:38 schreef thabit het volgende:
Voor a onderling ondeelbaar met n geldt: als k=l mod phi(n), dan is a^k=a^l mod n.

quote:

Thabit schreef tijdje terug
Die is niet transitief, SL2(R) volgens mij wel. Je kunt hier bewijzen dat SL2(Z) wordt voortgebracht door de elementen
(1 1) en (0 -1)
(0 1) en (1 0)
Met andere woorden de transformaties z -> z+1 en z -> -1/z brengen alles voort. Hieruit kun je afleiden dat elke baan een punt heeft in de verzameling
F={z in bovenhalfvlak: -1/2 <= Re(z )<= 1/2 en |z|>=1}

Je kunt verder nog afleiden dat, behalve de randpunten die duidelijk in elkaar overgaan, elke baan ook precies 1 punt in F heeft. Dit is nog vrij veel werk. Het is handig hier te gebruiken dat
Im((az+b)/(cz+d))=Im(z)/|cz+d|2.

quote:

Op maandag 7 juni 2004 17:42 schreef thabit het volgende:
Vanwege de extra voorwaarde |z|>=1.

quote:

Op maandag 7 juni 2004 17:53 schreef thabit het volgende:
Dit is een van de eerste dingen die je leert als je je met modulaire vormen gaat bezighouden.

quote:

Laat zien dat de modulaire groep SL2(Z) van geheeltallige matrices met determinant 1 werkt op het complexe bovenhalfvlak door gz = (az+b)/(cz+d) waarbij g de matrix
[ a b ]
[ c d ]
is.
Bepaal de isotropiegroepen van z = i, z = 2i en z = -1/2 + 1/2sqrt(3)
Is de werking transitief?