e^(pi*i) = -1

PS heeft je wiskunde leraar een leven en om welke leraar + school gaat het ?

Wat voor opleiding doe jij als ik vragen mag??

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 20:36 schreef WattaFakka het volgende:

Wat voor opleiding doe jij als ik vragen mag??

---

Gaat mij een beetje boven de pet, maar het heeft iets te maken met f(x) e.d.

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 20:37 schreef rtz1x het volgende:

[..]

Ja, nu je het zegt die vraag had ik ook in gedachten, maar was m al weer vergeten te stellen

---

vul nu in b=pi

e^(i*pi) = cos(pi) + i*sin(pi) = -1 + i*0 = -1

Je kunt het zelf bewijzen door een taylor reeks van e^x, sin(x) en cos(x) uit te schrijven, dan i*pi in te vullen en te gaan strepen, erg saai maar leuk om te zien

Je vult allemaal meuk in en er komt alijtd min1 uit.

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 20:40 schreef hyperfuzz het volgende:
En i uit R, of wat?

---

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 20:44 schreef WattaFakka het volgende:

[..]

Dus toen dacht je, ik vraag maar welke leraar het is

---

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 20:45 schreef Kage het volgende:
wat is i

---

i^2 = -1

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 20:35 schreef Jebus het volgende:
e^(pi*i) = -1. Mijn wiskunde leraar zei dit tegen me maar wou het niet uitleggen. Weet iemand hier waarom dit zo is?

---

PI = 3,141592654

Dus:

e^(3,141592654 x i) = -1

Wat is ^ ??

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 20:46 schreef JedaiNait het volgende:

[..]

i is het getal waarvoor geldt:

i^2 = -1

---

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 20:47 schreef __Saviour__ het volgende:
^ is machtsverheffen

---

KUt mavo

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 20:48 schreef __Saviour__ het volgende:

[..]

is i dan een niet-bestaand getal?

---

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 20:48 schreef __Saviour__ het volgende:

[..]

is i dan een niet-bestaand getal?

---

zo is er bijvoorbeeld ook een negatieve uitkomst bij worteltrekken mogelijk (alhoewel dit op het middelbaar onderwijs altijd wordt tegengesproken)

[Dit bericht is gewijzigd door Haanibal op 15-08-2003 20:53]

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 20:49 schreef WattaFakka het volgende:

[..]

Weleens van gehoord, verder niet bekend bij mij

Kut mavo

---

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 21:02 schreef halleekes het volgende:
dit is leuk dat er reacties komen op alle niveaus van opleiding...:)

---

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 21:04 schreef JaapAap het volgende:

[..]

Vooral van domme sukkels.

---

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 21:04 schreef JaapAap het volgende:

[..]

Vooral van domme sukkels.

---

We kunnen ons dit systeem ook meetkundig voorstellen. De reele getallen kun je zien als punten op een lijn (de "getallenlijn"). Zo kun je de complexe getallen interpreteren als punten in het vlak. Het complexe getal a+bi correspondeert hier met het punt met de coordinaten (a,b). Het punt 0 komt hierbij in de oorsprong terecht.

Elk complex getal heeft een absolute waarde, die definieren we als de afstand tot het punt 0. En een complex getal z heeft wat we noemen een argument, dat is de hoek die de vector van 0 naar z maakt met de positieve reeele as (de x-as zeg maar). Het grappige is dat als je 2 complexe getallen met elkaar vermenigvuldigt, dat dan de absolute waardes ook met elkaar vermenigvuldigen en de argumenten juist bij elkaar optellen. Zo kun je dus de vermenigvuldiging een meetkundige interpretatie geven.

We kunnen ook allerlei functies zoals de e-macht definieren op de complexe getallen (maar ook een hoop functies, zoals de wortel, weer niet!). De precieze theorie die hier achter zit is nogal diep en zal ik nu even voor het gemak achterwege laten. In elk geval is de e-macht voor complexe getallen als volgt gedefinieerd: e^(a+bi)=(e^a cos b) + (e^a sin b i). In het bijzonder is dus e^(xi)=cos x + i sin x. Meetkundig kunnen we dit zien als het punt op de eenheidscirkel (=cirkel met middelpunt 0 en straal 1) dat argument x heeft. Vullen we in x=pi, dan zien we dat inderdaad e^(pi i)=-1, het punt dat hoek pi maakt met de x-as (ofwel hij zit precies aan de andere kant).

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 21:10 schreef Haanibal het volgende:

[..]

zo een opmerking getuigt ook niet van veel kennis, voor iemand die technische natuurkunde studeert

---

Het bovenstaande was niet echt serieus bedoeld. Als je niet weet wat e^i pi is dan ben je niet dom. Toch vraag ik me af hoeveel mensen hier niet weten wat machtverheffen is.

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 20:45 schreef JedaiNait het volgende:
e^(i*b) = cos(b) + i*sin(b)

vul nu in b=pi

e^(i*pi) = cos(pi) + i*sin(pi) = -1 + i*0 = -1

---

^ is inderdaad machtsverheffen
e = 2,718218
pi = 3,14
i² = -1

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 23:06 schreef JaapAap het volgende:
Toch vraag ik me af hoeveel mensen hier niet weten wat machtverheffen is.

---

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 23:09 schreef Notorious_Roy het volgende:

[..]

Het goede antwoord is al gegeven kinders

^ is inderdaad machtsverheffen
e = 2,718218
pi = 3,14
i² = -1

---

Toch denk ik dat vooral de post van thabit ook nog wel wat toevoegt

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 23:14 schreef Notorious_Roy het volgende:
Nou, een klein beetje dan

---

Toch?

de drie verschillende bewerkingen zitten erin vervat: + X en ^
de basisgetallen 0 en 1 zitten erin
en de drie wonderbaarlijke getallen pi, e en i
en dit allemaal vervat in 1 eenvoudige formule

ook de wiskunde die erachter zit is prachtig, hiervoor heeft men jaren moeten zoeken om tot zo'n eenvoudig resultaat te komen.

Er is zelfs een groot wiskundige die dit op zijn graf heeft geschreven (als ik me niet vergis was dit euler???)

____________
*nouja nadat ik het succesvol herkanst had.

quote:

---

Op zaterdag 16 augustus 2003 12:37 schreef placebeau het volgende:
nu even uitleggen waarom het zo'n prachtige formule is

de drie verschillende bewerkingen zitten erin vervat: + X en ^
de basisgetallen 0 en 1 zitten erin
en de drie wonderbaarlijke getallen pi, e en i
en dit allemaal vervat in 1 eenvoudige formule

ook de wiskunde die erachter zit is prachtig, hiervoor heeft men jaren moeten zoeken om tot zo'n eenvoudig resultaat te komen.

Er is zelfs een groot wiskundige die dit op zijn graf heeft geschreven (als ik me niet vergis was dit euler???)

---

e^(pi*i)+1 = 0

krijgt natuurlijk

quote:

---

Op zaterdag 16 augustus 2003 14:12 schreef JedaiNait het volgende:

[..]

Dan moet je de fromule wel even herschrijven zodat je:

e^(pi*i)+1 = 0

krijgt natuurlijk

---

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 21:27 schreef thabit het volgende:
Een complex getal is[..]

---

quote:

---

Op zondag 2 november 2003 04:06 schreef AlbertCamus het volgende:
Zeg, als i = wortel -1, en i^2 = -1, is i^3 dan niet -1wortel -1, of is het nou 1 ? .

---

quote:

---

Op vrijdag 15 augustus 2003 21:27 schreef thabit het volgende:
We kunnen ook allerlei functies zoals de e-macht definieren op de complexe getallen (maar ook een hoop functies, zoals de wortel, weer niet!).

---

Dus wortel(x)=exp(1/2 Log[x])=exp(1/2 Log(Abs(x))+i/2 Arg(x))=wortel(abs(x)) exp(i/2 Arg(x))=wortel(abs(x)) (Cos(Arg(x)/2)+i Sin(Arg(x)/2))

Eenvoudig te controleren valt dat wortel(x)^2=x, voor x Complex (en niet op de negatieve reële as)

Dit is niet zo mooi als bij de exponentiele functie, de sinus of de cosinus, maar wortel(x) is wel uitbreidbaar naar C, als je een discontinuiteit accepteert.
Of als je meerwaardige functies ook accepteert wordt het helemaal prachtig.

Dit is trouwens geen middelbare school-wiskunde meer.

In het kader van gelijkheid ben ik van mening dat het of allebei moet worden toegestaan, of geen van beiden. Ik ga niet discrimineren op al dan niet reëel zijn...

We kunnen op elk van de vezels pi^-1(y) de functies in Aut_YX bekijken. Als voor elk tweetal elementen in de vezel, zeg x₁ en x₂, geldt dat er een f in Aut_YX te vinden is met f(x₁)=x₂, dan noemen we de afbeelding pi Galois.

quote:

---

Op zondag 2 november 2003 15:12 schreef Pie.er het volgende:
Ik eis dat in het algemeen niet, vind ik ethisch niet verantwoord.
Als je wel toestaat dat de wortelfunctie op de positieve reële getallen altijd een positief getal oplevert (wat in feite een verborgen keuze voor een branch cut in het complexe vlak is), dan sta ik ook toe dat er voor de wortelfunctie in het complexe vlak een keuze voor een branch cut gemaakt wordt.

In het kader van gelijkheid ben ik van mening dat het of allebei moet worden toegestaan, of geen van beiden. Ik ga niet discrimineren op al dan niet reëel zijn...

---

quote:

---

Op zondag 2 november 2003 17:11 schreef thabit het volgende:
Jij mist nu een belangrijk topologisch verschil tussen de reele getallen en de complexe getallen: de reele getallen zonder 0 zijn (multiplicatief) een topologische groep die opgebouwd is uit 2 samenhangscomponenten. De positieve reele getallen zijn daarvan een samenhangscomponent en ondergroep. Daarom is het bij de reeele getallen wel ethisch verantwoord om de positieve wortel te kiezen. De complexe getallen zonder 0 zijn een samenhangende topologische groep en daarom kan hier de keuze niet worden gemaakt.

---

En als ze bestaan, waar zouden ze voor gebruikt kunnen worden?

Zijn dacht ik te gebruiken om handig te rekenen in meerdimensionale ruimtes, maar daar heb ik weinig ervaring mee

In de quantummechanica schijnen ze ook toepassingen te hebben maar hoe dat zit weet ik niet.

[Dit bericht is gewijzigd door thabit op 03-11-2003 18:27]