1. 3/3 = 0.999999999... = 1
2. Een driehoek bestaat uit oneindig veel hoeken (right?) Een hoek bereken je met graden. Aangezien de hoeken van een cirkel stomp zijn is het onmogelijk dat een cirkel 360 graden is. Een cirkel is dan infinity graden.
Bewijs voor 1:
1/3 = 0.33333...
2/3 = 0.66666...
3/3 = 0.99999... = 1
Leuk he?
[ Bericht 0% gewijzigd door SecretPret op 08-05-2017 16:39:48 ]
Een n-hoek 'heeft' (n-2)*180 graden. Als je een cirkel wil zien als een (regelmatige) 1000-hoek, dan heeft een cirkel 998*180 graden, en met n nog groter worden dat er natuurlijk nog meer.
Alleen is dat niet wat er bedoeld wordt met 'een hele cirkel is 360 graden'.
Hoe klopt 1? 3/3 is gewoon 1, niet 0,999999999... Enkel doordat je 1/3 afrond kom je bij 3 keer 1/3 op 0,99999999... uit.quote:Op maandag 8 mei 2017 16:41 schreef Janneke141 het volgende:
1 klopt, 2 is min of meer gelul.
Een n-hoek 'heeft' (n-2)*180 graden. Als je een cirkel wil zien als een (regelmatige) 1000-hoek, dan heeft een cirkel 998*180 graden, en met n nog groter worden dat er natuurlijk nog meer.
Alleen is dat niet wat er bedoeld wordt met 'een hele cirkel is 360 graden'.
zonder af te ronden is het nog steeds gelijk aan 1 omdat het oneindig door gaat.quote:Op maandag 8 mei 2017 16:59 schreef Rezania het volgende:
[..]
Hoe klopt 1? 3/3 is gewoon 1, niet 0,999999999... Enkel doordat je 1/3 afrond kom je bij 3 keer 1/3 op 0,99999999... uit.
Ja, vooruit. Ik doelde erop dat 0,999... = 1.quote:
[..]
Hoe klopt 1? 3/3 is gewoon 1, niet 0,999999999... Enkel doordat je 1/3 afrond kom je bij 3 keer 1/3 op 0,99999999... uit.
3/3 = nog steeds 0.99999... als je niet aan afrondingen doet hoor.quote:
[..]
Ja, vooruit. Ik doelde erop dat 0,999... = 1.
Als jij een geheel precies in drie stukken snijdt en daarna weer bij mekaar voegt krijg je datzelfde geheel in zijn volledigheid, niet 0,999999... van het geheel.quote:
[..]
3/3 = nog steeds 0.99999... als je niet aan afrondingen doet hoor.
We schrijven het als '1'. Wel zo overzichtelijk.quote:
[..]
3/3 = nog steeds 0.99999... als je niet aan afrondingen doet hoor.
quote:
[..]
We schrijven het als '1'. Wel zo overzichtelijk.
Snijverlies?quote:
[..]
Als jij een geheel precies in drie stukken snijdt en daarna weer bij mekaar voegt krijg je datzelfde geheel in zijn volledigheid, niet 0,999999... van het geheel.
Oh ja, oneindigheid, de favoriete wiskundige valkuil van mensen. Nee, het is gewoon 1. Wiskunde doet niet aan verlies bij delen, is geen natuurkunde.quote:
[..]
zonder af te ronden is het nog steeds gelijk aan 1 omdat het oneindig door gaat.
Ik heb het gevraagd aan een persoon die wiskunde gestudeerd heeft dus jouw mening telt hier niet.quote:
[..]
Als jij een geheel precies in drie stukken snijdt en daarna weer bij mekaar voegt krijg je datzelfde geheel in zijn volledigheid, niet 0,999999... van het geheel.
Ja, hypothetisch dus hè. In het echt zal je altijd een verlies hebben.quote:
Goed verhaal vrind.quote:
[..]
Ik heb het gevraagd aan een persoon die wiskunde gestudeerd heeft dus jouw mening telt hier niet.
Als je drie euro over drie kinderen verdeelt, valt dat volgens mij best mee.quote:
[..]
Ja, hypothetisch dus hè. In het echt zal je altijd een verlies hebben.
Das maar een cijfer. Het berekenen met die cijfers is wat anders.quote:
[..]
Als je drie euro over drie kinderen verdeelt, valt dat volgens mij best mee.
Je verliest vast wel ergens een atoom onderweg.quote:
[..]
Als je drie euro over drie kinderen verdeelt, valt dat volgens mij best mee.
http://www.purplemath.com/modules/howcan1.htmquote:Note regarding all of the above: To a certain extent, each of these arguments depends on a basic foundational doctrine of mathematics called "The Axiom of Choice". A discussion of the Axiom of Choice is well beyond anything we could cover here, and is something that most mathematicians simply take on faith.
Dus ik geef jullie geen gelijk maar ook geen ongelijk.
Er is al een topic over.quote:
Ik moet hier even een topic over openen hoor.
Nee, onzin.quote:
[..]
3/3 = nog steeds 0.99999... als je niet aan afrondingen doet hoor.
Nu wil ik er over klagen.quote:
quote:
Ah, hier is het al: KLB / Mensen die denken dat 3÷3 1 is.
1/5 0.2quote:
5/5 is zeker ook 0,99999999... volgens jou?
2/5 0.4
3/5 0.6
4/5 0.8
5/5 1
Nee dus. Kijk hoe simpel je het kan bewijzen.
quote:
[..]
1/5 0.2
2/5 0.4
3/5 0.6
4/5 0.8
5/5 1
Nee dus. Kijk hoe simpel je het kan bewijzen.
Das ook makkelijkquote:
1/7 = 0.1428571429
2/7 = dat^ + dat^
Enz
Enz
Enz
Enz
7/7 = dan 1 of is 1/7 oneindig want dan verandert het
Exact is het 0.9999...quote:Op maandag 8 mei 2017 17:40 schreef Rezania het volgende:
Nee, echt. Enkel doordat jouw brein niet om kan gaan met oneindig maak je van 3/3 0,9999999... Wiskunde doet niet aan verlies. 1 = 1, of je dat nou tussendoor deelt door 3 en daarna weer vermenigvuldigd of niet. 1 =/= 0,99999999... want 1 = 1,000000000000000...
Nee, exact is het juist 1. Je begint met 1, je eindigt met 1.quote:
Nee, het is ook 0,99999...quote:
[..]
Das ook makkelijk
1/7 = 0.1428571429
2/7 = dat^ + dat^
Enz
Enz
Enz
Enz
7/7 = dan 1 of is 1/7 oneindig want dan verandert het
3/7 = 0,428571
4/7 = 0,571428
Tel die maar eens op.
Als mensen 6 vingers gehad zouden hebben had je dit topic niet gemaakt.
Jezus jij bent ...quote:Op maandag 8 mei 2017 17:42 schreef Rezania het volgende:
[..]
Nee, exact is het juist 1. Je begint met 1, je eindigt met 1.
Ja dat kan maar het ligt er nog steeds aan of het oneindig is.quote:Op maandag 8 mei 2017 17:44 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Nee, het is ook 0,99999...
3/7 = 0,428571
4/7 = 0,571428
Tel die maar eens op.
Goed argument.quote:
Het enige wat oneindig is is de domheid.quote:
[..]
Ja dat kan maar het ligt er nog steeds aan of het oneindig is.
Nope. Het heelal is ook oneindigquote:
[..]
Het enige wat oneindig is is de domheid.
Het is kleiner dan 1, dus zeker niet oneindig.quote:
[..]
Ja dat kan maar het ligt er nog steeds aan of het oneindig is.
Ik bedoel de getallen achter de kommaquote:
[..]
Het is kleiner dan 1, dus zeker niet oneindig.
Zeg dat dan.quote:
[..]
Ik bedoel de getallen achter de komma
Ja of neequote:
Duurt wel een beetje lang nu.
Hoeveel is dan 1 - 0.9999...?quote:
Jij wilt volgens mij dat er een zwart gat ontstaat ofzo?quote:
x = 0,999...
10x = 9,999...
10x = 9 + 0,999...
10x = 9 + x
9x = 9
x = 1
pff. Ik zie geen reden meer om te levenquote:
Dees heb je ook nog
x = 0,999...
10x = 9,999...
10x = 9 + 0,999...
10x = 9 + x
9x = 9
x = 1
Dat is er al!quote:
[..]
Jij wilt volgens mij dat er een zwart gat ontstaat ofzo?
'NASA images show giant hole at North Pole leading to hollow Earth'
ZO ROEP JE DE DUIVEL OPquote:
Dees heb je ook nog
x = 0,999...
10x = 9,999...
10x = 9 + 0,999...
10x = 9 + x
9x = 9
x = 1
Oneindig veel 9's is exact 1. Ten minste, als je het zo definieerd. En ik hoop dat iedereen dat doet. Anders krijg je gaten in je getallenlijnen. Het zou raar zijn als er grootheden zijn die niet in een getal uit te drukken zijn.quote:
[..]
Nee, exact is het juist 1. Je begint met 1, je eindigt met 1.
En je moet in oneindigdheid 'geloven'. Er zijn mensen die die gewoon niet in oneindig willen denken en zeggen dat omdat je oneindig veel 9's schrijft in 0.999~ ipv 1, het er dus een eindig aantal zijn. Dus is het minder dan 1. Dat is gewoon de vraag veranderen.
[ Bericht 2% gewijzigd door Pandarus op 08-05-2017 21:19:50 ]
3/3 kan zowel 0.999... zijn als 1 omdat 1 = 0.999...quote:
Nou goed, dit wordt iig wel bewezen hier.quote:The equality 0.999… = 1 has long been accepted by mathematicians and is part of general mathematical education. Nonetheless, some students find it sufficiently counterintuitive that they question or reject it. Such skepticism is common enough that the difficulty of convincing them of the validity of this identity has been the subject of several studies in mathematics education.
En het bewijs voor 2?quote:
Heb ik vandaag geleerd. Ja ik ben een amateur
1. 3/3 = 0.999999999... = 1
2. Een driehoek bestaat uit oneindig veel hoeken (right?) Een hoek bereken je met graden. Aangezien de hoeken van een cirkel stomp zijn is het onmogelijk dat een cirkel 360 graden is. Een cirkel is dan infinity graden.
Bewijs voor 1:
1/3 = 0.33333...
2/3 = 0.66666...
3/3 = 0.99999... = 1
Leuk he?
jaquote:
Geinigquote:
(0.999...) wordt een symbool genoemd.
1/0, is dat oneindig of onmogelijk?
[ Bericht 2% gewijzigd door Manke op 08-05-2017 20:08:50 ]
Gast, ik bewijs het al de hele dagquote:
[..]
Nou goed, dit wordt iig wel bewezen hier.
En hugecooll bewees het zelfs nog beter.quote:
[..]
Nou goed, dit wordt iig wel bewezen hier.
Ik vind jouw bewijs maar zwak eerlijk gezegd. Ben nu die andere bewijzen op de wikipediapagina aan het doornemen.quote:
Heb je überhaupt gelezen wat ik quote? Of snap je gewoon niet wat er staat?quote:
[..]
En hugecooll bewees het zelfs nog beter.
Niet-gedefinieerd.quote:
Dit klinkt veel overtuigender imo. Zal wel een niveauverschil zijn.
Je staat zo ver boven het klootjesvolk dat je de simpele uitleg niet meer snapt?quote:
[ afbeelding ]
Dit klinkt veel overtuigender imo. Zal wel een niveauverschil zijn.
Ja. Zelfde probleem met dit:quote:
[..]
Je staat zo ver boven het klootjesvolk dat je de simpele uitleg niet meer snapt?
6546 = 2
4651 = 1
1684 = 3
4896 = ?
Er zit logica in. Dus waarom zou het niet waar zijn.quote:
Maar eigenlijk eerder dat ik minder snel overtuigd ben bij iets zoals wat TS steeds post. Het lijkt veel te simpel om waar te zijn.
Waarschijnlijk omdat het (volgens mij) alleen in theorie/op papier klopt.quote:
Maar eigenlijk eerder dat ik minder snel overtuigd ben bij iets zoals wat TS steeds post. Het lijkt veel te simpel om waar te zijn.
(hehehe)
Omdat deze quote meestal voldoet:quote:
[..]
Er zit logica in. Dus waarom zou het niet waar zijn.
Meeste situaties waarmee ik dagelijks te maken heb op mijn studie zijn als volgt: 'Dit en dit, onder deze omstandigheden, maar...' Of te wel, simpele constructen zijn meestal te mooi om waar te zijn. Dus ben ik sceptisch, zo ben ik getraind.
Jij zit op een wiskundige militaire basis ofzo?quote:Op maandag 8 mei 2017 19:58 schreef Rezania het volgende:
[..]
Omdat deze quote meestal voldoet:
[ afbeelding ]
Meeste situaties waarmee ik dagelijks te maken heb op mijn studie zijn als volgt: 'Dit en dit, onder deze omstandigheden, maar...' Of te wel, simpele constructen zijn meestal te mooi om waar te zijn. Dus ben ik sceptisch, zo ben ik getraind.
Ondertussen is het bewijs wat ik wel geloof te complex voor jou. Geloof me, kan ook prima de andere kant op. Gewoon even zeker zijn dat er niet ergens een aanname of foute redenatie ergens verstopt zit, niks mis mee.quote:
of het nou simpel is of niet. ze zijn allemaal even logisch. Ik snap rezenia's logica niet.
(hehehe)
TU Delft, close enough.quote:
[..]
Jij zit op een wiskundige militaire basis ofzo?
Wat is het raadsel?quote:
probeer nu eens het raadsel van priemgetallen op te lossen
Waarom dit topic in w&t staat en niet in gc of onz.quote:
oplossing danquote:
Welke oplossing?quote:
de oplossing van het vraagstukquote:
welk vraagstuk
over de priemgetallen
doei
Goed verhaal.quote:
[..]
de oplossing van het vraagstuk
welk vraagstuk
over de priemgetallen
doei
a = b
ab = b2
ab + b2 = 2b2
ab + b2 - 2ab = 2b2 - 2ab
b2 - ab = 2(b2 - ab)
1 = 2
8?quote:
[..]
Ja. Zelfde probleem met dit:
6546 = 2
4651 = 1
1684 = 3
4896 = ?
Dat klopt niet, want a = b dus b2 - ab = b2 - bb = 0 en je mag niet delen door nul.quote:
En bovendien 1 = 2. Want:
a = b
ab = b2
ab + b2 = 2b2
ab + b2 - 2ab = 2b2 - 2ab
b2 - ab = 2(b2 - ab)
1 = 2
Nope. Kinderen tot ongeveer vijf of zo zien de oplossing iig meestal gelijk.quote:
Op 3/3 = 1/3 + 1/3 + 1/3quote:
[..]
Hoe klopt 1? 3/3 is gewoon 1, niet 0,999999999... Enkel doordat je 1/3 afrond kom je bij 3 keer 1/3 op 0,99999999... uit.
1/3 = 0,33333...
1/3
1/3
1/3+
-------
0,3333....
0,3333....
0,3333....+
-------------
0,9999....
Dus
0,9999...=1
Topologen ook.quote:
[..]
Nope. Kinderen tot ongeveer vijf of zo zien de oplossing iig meestal gelijk.
quote:
[..]
Nope. Kinderen tot ongeveer vijf of zo zien de oplossing iig meestal gelijk.
Duidelijk: ik ben ouder dan 5, en geen topoloog.quote:
Op 
bekijk het eens als mastermind (volgens mijquote:
)Ik kom er dan alsnog niet uit hoor, Mastermind is toch dat spelletje met die gekleurde dingen dat je de code moet kraken?quote:
[..]
bekijk het eens als mastermind (volgens mij
Het antwoord is 4.quote:
[..]
Ik kom er dan alsnog niet uit hoor, Mastermind is toch dat spelletje met die gekleurde dingen dat je de code moet kraken?
Maar waarom? Kan je dat uitleggen? Want ik had ergens wel bedacht dat vier voor mijn gevoel een logische optie zou zijn, maar ik kon er geen logische redenering voor bedenken. En op school hebben ze er wel ingestampt dat een antwoord niks is zonder uitwerking hihi.quote:
dat was het enige waar ik steeds op uitkwam maar ik kon het niet anders beredeneren dan 1 2 3 4, dus dat het niks met links te maken hadquote:
Niet dat ik er veel tijd in heb gestoken maar eerste ingeving was dus zomaar 4
Tel de cirkels eens. Was trouwens een poging om je zelf de methode te laten realiseren.quote:
[..]
Maar waarom? Kan je dat uitleggen? Want ik had ergens wel bedacht dat vier voor mijn gevoel een logische optie zou zijn, maar ik kon er geen logische redenering voor bedenken. En op school hebben ze er wel ingestampt dat een antwoord niks is zonder uitwerking hihi.
Wow. Daar was ik zelf verder ook niet opgekomen hoor. Leuk raadsel, ik dacht ook al, ik kijk te moeilijk, het kan niks met optellen of aftrekken ofzo te maken hebben, want kleuters zien het wel. Ik snap nu trouwens ook het punt wat je wilde maken.quote:
[..]
Tel de cirkels eens. Was trouwens een poging om je zelf de methode te laten realiseren.
da's wel geinigquote:
[..]
Tel de cirkels eens. Was trouwens een poging om je zelf de methode te laten realiseren.
quote:
[..]
Tel de cirkels eens. Was trouwens een poging om je zelf de methode te laten realiseren.
Mooie.
Er zijn zo veel manieren waarop we naar zulke vraagstukken kunnen kijken, en de meeste denken we niet eens aan.
Toevallig zat ik gisteren een artikeltje te lezen over hoe (sommige) autisten priemgetallen herkennen... dat is ook nog grotendeels een raadsel, maar heeft waarschijnlijk vrij weinig met rekenen te maken.
http://www.integra.pt/textos/IdiotsSavants.pdf
[ Bericht 27% gewijzigd door Molurus op 09-05-2017 13:16:58 ]
Je vergeet bij 0,333333 de infinitesimal op te tellen dan klopt deze wiskundige onzin (Wiskunde is geavanceerd liegen tot je berekening klopt)quote:
[..]
3/3 = 1/3 + 1/3 + 1/3
1/3 = 0,33333...
1/3
1/3
1/3+
-------
0,3333....
0,3333....
0,3333....+
-------------
0,9999....
Dus
0,9999...=1
Verder is 1+2+3+4+... -1/12
Deze blijf ik echt heel vreemd vinden. Ik heb het bewijs ervoor wel eens bestudeerd, maar begrijp het maar half. En mijn instinct zegt: "dit kan niet kloppen".quote:
Dat klopt, het is beroerde notatie.quote:
[..]
Deze blijf ik echt heel vreemd vinden. Ik heb het bewijs ervoor wel eens bestudeerd, maar begrijp het maar half. En mijn instinct zegt: "dit kan niet kloppen".
Tel es nul erbij op, dan krijg je
0+1+2+3+...= -1/12
en neem het verschil tussen beide reeksen. Dan krijg je dat 1+1+1+1+...=0. Tel hierbij 0 op, nm weer het verschil tussen beide reeksen en je krijgt 1=0.
Zou dat nou kloppen?
Zie ook KLB / Mensen die denken dat 3÷3 1 is.
Als je nou es een 'bewijs' hiervoor kunt geven vanuit een tekstboek ipv een blog of yt-videoquote:
[..]
Je vergeet bij 0,333333 de infinitesimal op te tellen dan klopt deze wiskundige onzin (Wiskunde is geavanceerd liegen tot je berekening klopt)
Verder is 1+2+3+4+... -1/12
quote:
[..]
Dat klopt, het is beroerde notatie.
En ik maar denken dat dat serieus bedoeld was. Dat verklaart een hoop!
Heeft niets met notatie te maken, maar metquote:
[..]
Dat klopt, het is beroerde notatie.
Tel es nul erbij op, dan krijg je
0+1+2+3+...= -1/12
en neem het verschil tussen beide reeksen. Dan krijg je dat 1+1+1+1+...=0. Tel hierbij 0 op, nm weer het verschil tussen beide reeksen en je krijgt 1=0.
Zou dat nou kloppen?
Zie ook KLB / Mensen die denken dat 3÷3 1 is.
ex falso sequitur quodlibet
Het bewijs start met de reeks 1-1+1-1+1-1 ..... etc.
"we weten niet of het oneindige even of oneven is, dus we nemen het gemiddelde"
Het bewijs met behulp van reeksmanipulatie is verder volgens mij incorrect, maar wat intuitief toch tot diezelfde -1/12 komt. Dat is wat Ramanujan ook heeft gedaan, maar eerlijk gezegd ken ik alleen die analytische uitbreiding (die gebruik je ook in de natuurkunde voor regularisatie).
Wat je doet is bij de reeks a1 +a2+ ....quote:
Het heeft alles met notatie te maken. Die -1/12 is de waarde van de analytisch uitgebreide zeta-functie waarmee je die reeks representeert. Dat wordt in die 'identiteit' met een simpel = teken opgeschreven, wat voor de verwarring zorgt.
Het bewijs met behulp van reeksmanipulatie is verder volgens mij incorrect, maar wat intuitief toch tot diezelfde -1/12 komt. Dat is wat Ramanujan ook heeft gedaan, maar eerlijk gezegd ken ik alleen die analytische uitbreiding (die gebruik je ook in de natuurkunde voor regularisatie).
een Zeta functie definiëren
Toegepast op de reeks 1+2+3+.... dan is
Zeta(0) = -1/12
Dat is dus niet de som van die reeks.
In de literatuur wordt idd het = teken gebruikt
In het bewijs wordt gebruik gemaakt van de mogelijk additieve eigenschap van Zeta
dus Zeta (r1 + r2) = Zeta(r1) + Zeta(r2) waar r1 en r2 oneindige reeksen voorstellen, maar dat is i.h.a. niet waar, maar door slim gekozen optellingen toevallig hier wel.
Nee, je slaat een aantal stappen over die juist voor de verwarring zorgen.quote:
[..]
Wat je doet is bij de reeks a1 +a2+ ....
een Zeta functie definiëren
[ afbeelding ]
Toegepast op de reeks 1+2+3+.... dan is
Zeta(0) = -1/12
Dat is dus niet de som van die reeks.
In de literatuur wordt idd het = teken gebruikt
1) Allereerst is er de Riemann zetafunctie, laten we die f(s) noemen, uitgedrukt in een reeks. Er geldt dat de reële waarde van s groter moet zijn dan 1, Re(s)>1, omdat de reeks anders niet convergeert. Het domein wordt dus gegeven door alle complexe getallen s waarvoor geldt Re(s)>1.
2) Maar in de complexe analyse is er een manier om het domein van een functie uit te breiden. Dit heet analytische voortzetting, en levert een uniek antwoord op. Dit is erg belangrijk, en een voorbeeld van hoe conforme invariantie van het complexe vlak functies beperkt, in tegenstelling tot b.v. functies gedefinieeërd op de reële rechte. Dat maakt complexe analyse ook zo'n bijzonder vakgebied.
3) Anyway, zo'n analytische voortzetting breidt dus het domein van de de functie, en daarmee de functie zelf, op een unieke wijze uit. Zo ook bij de zetafunctie f(s). In deze analytische voorzetting mag je nu bijvoorbeeld s=-1 invullen, een waarde die voor de analytische voortzetting niet in het domein lag! De analytische voortzetting van f(s) geeft hier echter een keurig, eindig antwoord voor: -1/12.
4) En dan komt het verwarrende: mensen gaan weer terugwerken. Ze gaan die analytische voortzetting van f(s) weer schrijven in termen van de oorspronkelijk reeks. Dat is flauwekul, want in die oorspronkelijke reeks levert de waarde s=-1 een oneindig antwoord op. De reeks wordt dan namelijk 1+2+3+4+... Maar omdat die analytische voortzetting een uniek antwoord oplevert, gunnen sommige mensen zichzelf de vrijheid om deze divergerende reeks ook de waarde -1/12 mee te geven, en schrijven
1+2+3+4+... = -1/12
5) Vervolgens gaan ze dat met dubieuze manipulaties op de reeks zelf proberen recht te breien. Wat ze eigenlijk bedoelen met 1+2+3+4+... = -1/12, is "wanneer we de reeks opvatten als de analytisch-voortgezette zeta-functie met argument s=-1, dan krijgen we -1/12. Allemaal leuk en wel, maar die reeks is natuurlijk nog steeds knoerthard oneindig. Het is de analytisch voortgezette functie die de waarde -1/12 oplevert.
Dit is overigens een schitterend voorbeeld van wetenschap onnodig mystiek maken. Het is op youtube zo ongeveer het wiskundige analagon van uitspraken in de natuurkunde als "er ontstaan en vergaan constant deeltjes in het kwantumvacuüm" of "er kan een universum uit het niets ontstaan" of andere flauwekul.
Dat ken ik verder niet.quote:In het bewijs wordt gebruik gemaakt van de mogelijk additieve eigenschap van Zeta
dus Zeta (r1 + r2) = Zeta(r1) + Zeta(r2) waar r1 en r2 oneindige reeksen voorstellen, maar dat is i.h.a. niet waar, maar door slim gekozen optellingen toevallig hier wel.
0+1+2+3+4+5... = -1/12 + 0 =-1/12,
en ook
(1+2+3+4+...) - (0+1+2+3+4+5... ) = 1+1+1+1+1+1+... = 0, en blijkbaar ook
0+1+1+1+1+... =0+ 0 = 0, en dus blijkbaar ook
(1+1+1+1+1+1+...) - (0+1+1+1+1+... ) = 1 = 0- 0,
oftewel 1=0. Oneindige reeksen kun je herschikken zoals je wilt.
En iid zodra je stelt dat 1+2+3+.... = -1/12 dan kun je alles bewijzen.
1+2+3+.... = -1/12 => "de maan is van groene kaas" is een correct statement
Mee eens, had geen zin om het allemaal op te schrijvenquote:
[..]
Nee, je slaat een aantal stappen over die juist voor de verwarring zorgen.
1) Allereerst is er de Riemann zetafunctie, laten we die f(s) noemen, uitgedrukt in een reeks. Er geldt dat de reële waarde van s groter moet zijn dan 1, Re(s)>1, omdat de reeks anders niet convergeert. Het domein wordt dus gegeven door alle complexe getallen s waarvoor geldt Re(s)>1.
2) Maar in de complexe analyse is er een manier om het domein van een functie uit te breiden. Dit heet analytische voortzetting, en levert een uniek antwoord op. Dit is erg belangrijk, en een voorbeeld van hoe conforme invariantie van het complexe vlak functies beperkt, in tegenstelling tot b.v. functies gedefinieeërd op de reële rechte. Dat maakt complexe analyse ook zo'n bijzonder vakgebied.
3) Anyway, zo'n analytische voortzetting breidt dus het domein van de de functie, en daarmee de functie zelf, op een unieke wijze uit. Zo ook bij de zetafunctie f(s). In deze analytische voorzetting mag je nu bijvoorbeeld s=-1 invullen, een waarde die voor de analytische voortzetting niet in het domein lag! De analytische voortzetting van f(s) geeft hier echter een keurig, eindig antwoord voor: -1/12.
4) En dan komt het verwarrende: mensen gaan weer terugwerken. Ze gaan die analytische voortzetting van f(s) weer schrijven in termen van de oorspronkelijk reeks. Dat is flauwekul, want in die oorspronkelijke reeks levert de waarde s=-1 een oneindig antwoord op. De reeks wordt dan namelijk 1+2+3+4+... Maar omdat die analytische voortzetting een uniek antwoord oplevert, gunnen sommige mensen zichzelf de vrijheid om deze divergerende reeks ook de waarde -1/12 mee te geven, en schrijven
1+2+3+4+... = -1/12
5) Vervolgens gaan ze dat met dubieuze manipulaties op de reeks zelf proberen recht te breien. Wat ze eigenlijk bedoelen met 1+2+3+4+... = -1/12, is "wanneer we de reeks opvatten als de analytisch-voortgezette zeta-functie met argument s=-1, dan krijgen we -1/12. Allemaal leuk en wel, maar die reeks is natuurlijk nog steeds knoerthard oneindig. Het is de analytisch voortgezette functie die de waarde -1/12 oplevert.
Ook mee eens. Voor veel mensen is "de wetenschap" een vervanging voor het geloof,quote:Dit is overigens een schitterend voorbeeld van wetenschap onnodig mystiek maken. Het is op youtube zo ongeveer het wiskundige analagon van uitspraken in de natuurkunde als "er ontstaan en vergaan constant deeltjes in het kwantumvacuüm" of "er kan een universum uit het niets ontstaan" of andere flauwekul.
Gelovigen denken dat er een grens is aan het menselijke kennen en vertrouwen op god.
Wetenschapsgelovigen denken dat alles verklaard is door de wetenschap of verklaard zal worden.
.
1-1+1-1+1-1+... is bijvoorbeeld de reeks 1-s - (1/2)2-s + (1/3)3-s - ... geëvalueerd in s=-1. Als je deze reeks uitwerkt staat er ζ(s+1)(1-2-s), en die is inderdaad 1/2 in s=-1 (na analytische voortzetting).
Dat renormaliseren via s-reeksen is wel een mooi principe vind ik. Je komt het zowel in de getaltheorie als in de mathematische fysica tegen, een verrassend verband tussen twee ogenschijnlijk ongerelateerde vakgebieden.
Ik ben niet bekend met die term "s-reeks", maar vermoed dat het tegenover Cauchy-reeksen staat? Waar kan ik daarover meer vinden?quote:
De manipulaties die ze daar als goochelaarstruuk gebruiken, zijn natuurlijk allemaal manipulaties die je op s-reeksen kunt toepassen. Niet elke manipulatie voldoet daaraan: 1+2+3+... = 0+1+2+3+... is geen manipulatie die je op s-reeksen kunt toepassen.
1-1+1-1+1-1+... is bijvoorbeeld de reeks 1-s - (1/2)2-s + (1/3)3-s - ... geëvalueerd in s=-1. Als je deze reeks uitwerkt staat er ζ(s+1)(1-2-s), en die is inderdaad 1/2 in s=-1 (na analytische voortzetting).
Dat renormaliseren via s-reeksen is wel een mooi principe vind ik. Je komt het zowel in de getaltheorie als in de mathematische fysica tegen, een verrassend verband tussen twee ogenschijnlijk ongerelateerde vakgebieden.
Een aardige thesis over zeta-regularisatie is
https://www.google.nl/url(...)EF54lzDInaQMOe-mYMhQ
van Robles.Levert idd mooie bruggetjes op. Je komt het al tegen bij bosonische snaartheorie
Maar zover ik weet wordt in de natuurkunde dit soort regularisatie uitgevoerd mbv analytische voortzetting. Wellicht dat je jouw s-reeksen tegenkomt in kwantumveldentheorieen, waar zelfs renormaliseerbare theorieen amplitudes opleveren waarvan de afzondelijke elementen convergeren, maar de reeks zelf uiteindelijk divergeert. Zie bv ook https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dyson_series
[ Bericht 10% gewijzigd door Haushofer op 15-05-2017 16:18:48 ]
Ik denk niet dat het een bestaande term is.quote:
[..]
Ik ben niet bekend met die term "s-reeks", maar vermoed dat het tegenover Cauchy-reeksen staat? Waar kan ik daarover meer vinden?
. Ik doelde daarmee gewoon op Dirichletreeksen ∑ann-s of algemener ∑f(ω)|ω|-s, waar ω een of ander rooster doorloopt. Die convergeren vaak in een of ander rechterhalfvlak, maar zijn in veel interessante gevallen (al dan niet vermoedelijk) analytisch voortzetbaar naar heel C.Grappig. Veel van wat daarin staat kom je ook in de getaltheorie tegen.quote:Een aardige thesis over zeta-regularisatie is
https://www.google.nl/url(...)EF54lzDInaQMOe-mYMhQ
van Robles.Levert idd mooie bruggetjes op. Je komt het al tegen bij bosonische snaartheorie
Een hele mooie "visueel intuïtieve" uitleg van de unieke wijze van analytisch continueren van de zetafunctie is te vinden in in dit geweldige youtube filmpje. .quote:
(...)
Dat renormaliseren via s-reeksen is wel een mooi principe vind ik. Je komt het zowel in de getaltheorie als in de mathematische fysica tegen, een verrassend verband tussen twee ogenschijnlijk ongerelateerde vakgebieden.
De hele serie van 3Blue1Brown vond ik overigens uiterst leerzaam (in elk geval voor een niet grondig wiskundig onderlegd iemand, zeg maar "crackpot", als mijzelf). Met name hun didactische insteek om op de intuïtie achter een idee te focussen, leidde bij mij al tot tal van Aha-Erlebnisse :-) Ben overigens benieuwd wat begenadigde docenten als Thabit en Haushofer van deze benadering vinden!
Prachtig om de vruchtbare kruisbestuiving te zien tussen de twee deelgebieden natuurkunde en de pure wiskunde, maar het gaat ook ook wel eens fout. Heb met grote interesse deze spannende discussie op Math StackExchange gevolgd, over een mogelijk natuurkundig bewijs voor de Riemann hypothese (o.b.v. de zgn, Hilbert-Polya of Berry-Keating conjecture). https://math.stackexchang(...)a-new-line-of-attack
Uiteindelijk worden er behoorlijk harde noten gekraakt en wordt de het natuurkundigen, die (toch best wel voorzichtig en netjes) een mogelijke benadering van het probleem gepubliceerd hadden, verweten waarom ze niet eventjes op hun Universiteit bij hun pure-wiskunde collega's langsgelopen waren. Zij hadden hen immers al snel op enige "irrepairable issues" in het "bewijs" kunnen wijzen.
[ Bericht 30% gewijzigd door Agno op 15-05-2017 20:47:11 ]
Ah, ok, dat verklaart mijn gefaalde Google-pogingenquote:
[..]
Ik denk niet dat het een bestaande term is.
[..]
Grappig. Veel van wat daarin staat kom je ook in de getaltheorie tegen.
Zoals ik het begrijp van b.v. John Baez (tussen 2:20 en 3:00),
heeft Euler, "niet gehinderd door indoctrinatie van Dirichlet en Abel", al dit soort reekmanipulaties al in de 18e eeuw gedaan en kwam hij op de 'identiteit' 1+2+3+...=-1/12 uit. De pdf van zijn presentatie,
https://www.google.nl/url(...)oGgxsBso34oQ&cad=rja
behandelt dit op slide 6,7 en 8. Kun je me uitleggen of een link geven waarom dit soort 'los uit de pols'-manipulaties a la Euler exact dezelfde antwoorden geven voor dit soort reeksen als analytische voortzetting? Je gaf al een hint, maar ik zou dit beter willen begrijpen
John Baez heeft trouwens erg veel leuke artikelen, boeken en praatjes gegeven over mathematische fysica; zo heeft hij ook een boek over knopentheorie en ijktheorieën geschreven. Dit praatje vind je misschien ook wel aardig
Ik ben ook groot fan van 3blue1brown inderdaad; ik gaf de link hier,quote:
[..]
Een hele mooie "visueel intuïtieve" uitleg van de unieke wijze van analytisch continueren van de zetafunctie is te vinden in in dit geweldige youtube filmpje. .
De hele serie van 3Blue1Brown vond ik overigens uiterst leerzaam (in elk geval voor een niet grondig wiskundig onderlegd iemand, zeg maar "crackpot", als mijzelf). Met name hun didactische insteek om op de intuïtie achter een idee te focussen, leidde bij mij al tot tal van Aha-Erlebnisse :-) Ben overigens benieuwd wat begenadigde docenten als Thabit en Haushofer van deze benadering vinden!
Prachtig om de vruchtbare kruisbestuiving te zien tussen de twee deelgebieden natuurkunde en de pure wiskunde, maar het gaat ook ook wel eens fout. Heb met grote interesse deze spannende discussie op Math StackExchange gevolgd, over een mogelijk natuurkundig bewijs voor de Riemann hypothese (o.b.v. de zgn, Hilbert-Polya of Berry-Keating conjecture). https://math.stackexchang(...)a-new-line-of-attack
Uiteindelijk worden er behoorlijk harde noten gekraakt en wordt de het natuurkundigen, die (toch best wel voorzichtig en netjes) een mogelijke benadering van het probleem gepubliceerd hadden, verweten waarom ze niet eventjes op hun Universiteit bij hun pure-wiskunde collega's langsgelopen waren. Zij hadden hen immers al snel op enige "irrepairable issues" in het "bewijs" kunnen wijzen.
KLB / Mensen die denken dat 3÷3 1 is.
ook al. Hij laat erg mooi zien in die video hoe conforme invariantie van het complexe vlak de analytische voortzetting uniek maakt.
Op je stackexchange staat ook commentaar van Strogatz, iemand wiens boeken naar mijn idee ook fantastisch zijn. Ik heb laatst zijn boek over Dynamische Systemen en Chaostheorie voor een vak gebruikt, en het was simpelweg een verademing.
Nee.quote:
Heb ik vandaag geleerd. Ja ik ben een amateur
1. 3/3 = 0.999999999... = 1
2. Een driehoek bestaat uit oneindig veel hoeken (right?) Een hoek bereken je met graden. Aangezien de hoeken van een cirkel stomp zijn is het onmogelijk dat een cirkel 360 graden is. Een cirkel is dan infinity graden.
Bewijs voor 1:
1/3 = 0.33333...
2/3 = 0.66666...
3/3 = 0.99999... = 1
Leuk he?
1/3≈0,3333333333
3/3=1
en neequote:
1/3 = 0,333...
1/3 is inderdaad niet 0,3333333333
Alhoewel het min of meer inherent is aan fysica om in vroeg stadium van nieuwe theorieën nogal losjes om te gaan met de wiskunde. Wiskundige rigoureusheid komt soms pas eeuwen later.quote:
Dit is overigens een schitterend voorbeeld van wetenschap onnodig mystiek maken. Het is op youtube zo ongeveer het wiskundige analagon van uitspraken in de natuurkunde als "er ontstaan en vergaan constant deeltjes in het kwantumvacuüm" of "er kan een universum uit het niets ontstaan" of andere flauwekul.
Ja, maar dat is iets anders dan heuristische interpretaties presenteren als solide ontologie.quote:
[..]
Alhoewel het min of meer inherent is aan fysica om in vroeg stadium van nieuwe theorieën nogal losjes om te gaan met de wiskunde. Wiskundige rigoureusheid komt soms pas eeuwen later.
Anderzijds denk ik niet dat ontologie en fysica veel met elkaar te maken hebben. In welke zin heeft een elektron meer bestaansrecht dan een virtueel deeltje bijvoorbeeld? Of een divergente Dysonreeks?quote:
[..]
Ja, maar dat is iets anders dan heuristische interpretaties presenteren als solide ontologie.
Bovendien bestaan er vaak, binnen een vakgebied in de fysica, equivalente theorieën (i.e. zelfde voorspellingskracht) met totaal verschillende ontologische concepten.
[ Bericht 5% gewijzigd door yarnamc op 18-05-2017 20:05:01 ]
Dat ben ik zeer met je oneens. Een 'elektron' (reëel, neem ik aan) kun je meten, een virtueel deeltje is slechts een boekhoudhulp om een berekening te organiseren. Divergente Dysonreeksen hebben te maken met het feit dat kwantumveldentheorieën vaak formeel niet wiskundig bestaan. Als (theoretisch) natuurkundige moet je je afvragen wat je nou precies beschrijft met datgene wat je op papier krabbelt.quote:
[..]
Anderzijds denk ik niet dat ontologie en fysica veel met elkaar te maken hebben. In welke zin heeft een elektron meer bestaansrecht dan een virtueel deeltje bijvoorbeeld? Of een divergente Dysonreeks?
Bovendien bestaan er vaak, binnen een vakgebied in de fysica, equivalente theorieën (i.e. zelfde voorspellingskracht) met totaal verschillende ontologische concepten.
Wat dat betreft denk ik dat het positivisme, zoals van Bohr, Mach en Heisenberg, en culminerend in Mermins "shut up and calculate" ook een negatieve stempel op de natuurkunde heeft gedrukt. Ik heb ook nooit begrepen hoe natuurkundigen ontologie los van de natuurkunde hebben kunnen zien. Inderdaad zijn er verschillende interpretaties die dezelfde voorspellingen doen. Ik denk dat als men ontologie meer aandacht had gegeven, er een heleboel kwantum-hokuspokus vermeden had kunnen worden. Persoonlijk ben ik daarom ook erg gecharmeerd van b.v. de Bohmse interpretatie, ook al heeft deze ook weer haken en ogen: de ontologie is kristalhelder, vergeleken met gedrochten als de Kopenhaagse interpretatie. Er is in die eerste geen meetprobleem, een duidelijk onderscheid tussen golf en deeltje en daarom geen halfbakken dualiteit, en je kunt duidelijk spreken over "de positie van een deeltje". Dat laatste is denk ik belangrijk, omdat elke meting in de natuurkunde terug is te brengen naar een positiemeting.
Een ander belangrijk voorbeeld van ontologie is denk ik het Loch-probleem van Einstein in zijn ART. Tegenwoordig wordt dit vaak weggelaten in tekstboeken, maar het is een probleem waar je (weet ik uit ervaring) doorgewinterde natuurkundigen goed mee in de war kunt brengen. Waarom? Omdat er zoveel nadruk wordt gelegd op rekenen en interpretatie en ontologie vaak wordt weggezet als een soort van hobbyisme. Een ander voorbeeld hiervan is Fierz-Pauli theorie en de ART. In de ART is het, na een eeuw bakkeleien, nog steeds niet helemaal helder wat nu exact de rol van algemene covariantie is (zie b.v. de discussie tussen Einstein en Kretschmann, of recenter papers op het arxiv zoals Giulini, https://arxiv.org/abs/gr-qc/0603087). In Fierz-Pauli theorie emergeert deze symmetrie op dezelfde manier als de U(1)-ijksymmetrie van QED: je wilt negatieve norm-toestanden vermijden. Algemene covariantie kan dus geen definiërende eigenschap zijn van een theorie van zwaartekracht, zoals Einstein dacht. Met een "verschillende intepretaties die dezelfde experimentele voorspellingen doen zijn fysisch niet relevant"-houding zou je hier niet achter zijn gekomen. Of wat dacht je van het concept "schijnkracht"?
Het zou mij niets verbazen als het probleem omtrent kwantumzwaartekracht en andere fundamentele problemen deels hebben te maken met het feit dat we ontologisch geen goed begrip hebben van de QM. Denk b.v. aan finetuning en de epicycels van Ptolemeus. Positivisten zouden zeggen dat het geocentrisch wereldbeeld met epicycels prima de planeetbanen kunnen beschrijven. We weten sinds Fourier dat we elke willekeurige planeetbaan aan de hemel geocentrisch kunnen verklaren door willekeurig veel hulpcirkels in te voeren.
De clou is dat het geocentrisch wereldbeeld uiteindelijk onhoudbaar bleek te zijn. Net zo is de Kopenhaagse interpretatie van de QM tegenwoordig denk ik onhoudbaar en zou ontologische opheldering wellicht een doorbraak kunnen geven in het vraagstuk omtrent kwantumzwaartekracht. En net zo dwingen finetuning-problemen in de moderne natuurkunde ons tot conceptuele vragen die we domweg met rekenen niet kunnen oplossen. Hoe kan dat ook, gegeven het feit dat het standaardmodel kwantitatief de meest succesvolle theorie uit de wetenschap is?
Kortom, elke natuurkundige zou w.m.b. ontologie serieus moeten nemen. Anders ben je vooral een veredeld boekhouder.
[ Bericht 2% gewijzigd door Haushofer op 19-05-2017 09:32:39 ]