[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

woensdag 24 februari 2016 @ 16:40:30 #101

Fliippie

Kan iemand mij helpen

De laatste stap bij statement 1 (blauwe box) van:
3a = a(a² + 3a +2) naar
a(a² + 3a- 1)=0
Snap ik niet.

Overigens, voor de geïnteresseerde, het antwoord op de vraag is

SPOILER
Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

woensdag 24 februari 2016 @ 16:52:47 #102

2thmx

FvD-moslim

Je trekt aan beide kanten 3a af. 2a - 3a = -1a, vandaar de -1 tussen de haakjes.

Als je eerst de haakjes wegwerkt, dan de 3a aftrekt, dan weer a buiten haakjes haalt, dan zie je 't wel denk ik?

Voegt hoogtepunten toe aan jullie druilerige bestaan.

woensdag 24 februari 2016 @ 17:02:06 #103

2thmx

FvD-moslim

Het was ook wat logischer geweest als ze in de stap van de vierde naar de vijfde regel in die blauwe box eerst de 3a hadden afgetrokken en daarna pas de a buiten haakjes hadden gehaald.

Voegt hoogtepunten toe aan jullie druilerige bestaan.

woensdag 24 februari 2016 @ 17:03:14 #104

Fliippie

ahh thanks, als je inderdaad de haakjes wegwerkt is het heel logisch.
Beetje raar dat ze dat dan niet deden voordat ze de formule in haakjes zette, het brengt zo extra verwarring.

woensdag 2 maart 2016 @ 22:52:52 #105

Rezania

Ik voer een two-sample t-test uit op een dataset. Nu wil ik deze dataset corrigeren met Bonforroni FDR. Ik rangschik de p-waarden die uit de test komen van laag naar hoog. Die p-waarden moet ik keer het totaal aantal metingen doen en dan delen door hun rang, maar hoe doe ik dat laatste? Ik werk in Matlab.

Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.

zaterdag 19 maart 2016 @ 11:15:15 #106

admiraal_anaal

Hier zitten de slimmere bollebozen dus wie kan mij helpen met de uitleg en het antwoord?

5% van ...% van 22 is 11

Hij komt zo simpel over maar ik kom er gewoon niet uit

zaterdag 19 maart 2016 @ 11:18:42 #107

thabit

1000

zaterdag 19 maart 2016 @ 11:55:57 #108

admiraal_anaal

quote:
Op zaterdag 19 maart 2016 11:18 schreef thabit het volgende:
1000

thanks, voel me zo dom dat ik er gewoon niet op kwam

terwijl ik het antwoord nu zie is het zo logisch

maandag 21 maart 2016 @ 01:45:37 #109

Hahatsjoe

Hoe bereken je ook alweer:

$\frac{d}{dt} ( x^T A x ) , \qquad x=x(t) \in \mathbb{R}^n , \ A=A^T \in \mathbb{R}^{n \times n}$

Als je schrijft:
$\dot{x} = \frac{d}{dt} x(t)$
was het dan niet:

$\frac{d}{dt} ( x^T A x ) = \dot{x}^T A x + x^T A \dot{x} \stackrel{?}{=} 2 \dot{x}^T A x$

Maar ik ben de redenering even kwijt... Hoe zat het ook alweer?
En verandert er iets als A niet symmetrisch is?

Kon je niet een soort van ketting- en productregel toepassen?

maandag 21 maart 2016 @ 10:34:44 #110

Epps.

quote:
Op maandag 21 maart 2016 10:25 schreef Epps. het volgende:
Goedemorgen,

ik heb de mogelijkheid om via de Erasmus universiteit een wiskunde deficientecursus te volgen en zodoende toch toegelaten te worden tot de opleiding die ik wil volgen.

De cursus kost enkele honderden euro's en ik vroeg me af of het haalbaar is om de getoetste stof in twee maanden tijd te beheersen.

Heb zelf geen wiskunde meer gehad sinds de onderbouw dus mijn basiskennis is bijna 0,0.

Hieronder een voorbeeldtoets:
http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf

Ik hoop dat jullie me hierbij willen helpen, indien jullie nog verdere vragen hebben kunnen jullie die uiteraard stellen in dit topic.

maandag 21 maart 2016 @ 13:04:49 #111

thabit

quote:
Op maandag 21 maart 2016 01:45 schreef Hahatsjoe het volgende:
Hoe bereken je ook alweer:

$\frac{d}{dt} ( x^T A x ) , \qquad x=x(t) \in \mathbb{R}^n , \ A=A^T \in \mathbb{R}^{n \times n}$

Als je schrijft:
$\dot{x} = \frac{d}{dt} x(t)$
was het dan niet:

$\frac{d}{dt} ( x^T A x ) = \dot{x}^T A x + x^T A \dot{x} \stackrel{?}{=} 2 \dot{x}^T A x$

Maar ik ben de redenering even kwijt... Hoe zat het ook alweer?
En verandert er iets als A niet symmetrisch is?

Kon je niet een soort van ketting- en productregel toepassen?

Als A niet symmetrisch is, dan geldt dat =-teken met het vraagteken erboven niet.

maandag 21 maart 2016 @ 19:26:17 #112

Hahatsjoe

quote:
Op maandag 21 maart 2016 13:04 schreef thabit het volgende:

[..]

Als A niet symmetrisch is, dan geldt dat =-teken met het vraagteken erboven niet.

Echt niet? Want als ik het uitschrijf komt het er volgens mij gewoon uit. Het zijn uiteindelijk toch gewoon scalars en de volgorde waarin ik die vermenigvuldig dan wel optel maakt niet uit?

maandag 21 maart 2016 @ 20:03:04 #113

thabit

Voorbeeldje dan, waaruit blijkt dat je de symmetrie toch echt nodig hebt:
$A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right),\quad x(t) = {t \choose t^2},\quad x'(t) = {1\choose 2t}.$
Dan is $x^TAx = t^2 + t^3 + t^4,$ met als afgeleide $2t + 3t^2 + 4t^3$ .
$x'^TAx = \left(1\ 2t\right) \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right){t \choose t^2} = \left(1\ 2t\right) {t+t^2\choose t^2} = t+t^2 + 2t^3$ , en $x^TAx' = \left(t\ t^2\right){1 + 2t\choose 2t} = t + 2t^2 + 2t^3.$

maandag 21 maart 2016 @ 20:30:37 #114

Hahatsjoe

quote:
Op maandag 21 maart 2016 20:03 schreef thabit het volgende:
Voorbeeldje dan, waaruit blijkt dat je de symmetrie toch echt nodig hebt:
$A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right),\quad x(t) = {t \choose t^2},\quad x'(t) = {1\choose 2t}.$
Dan is $x^TAx = t^2 + t^3 + t^4,$ met als afgeleide $2t + 3t^2 + 4t^3$ .
$x'^TAx = \left(1\ 2t\right) \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right){t \choose t^2} = \left(1\ 2t\right) {t+t^2\choose t^2} = t+t^2 + 2t^3$ , en $x^TAx' = \left(t\ t^2\right){1 + 2t\choose 2t} = t + 2t^2 + 2t^3.$

Ohja. Zeer vriendelijk bedankt!

dinsdag 22 maart 2016 @ 18:56:40 #115

Cikx

Hallo, is er iemand die me verder zou willen helpen?

Ik moet voor een verslag een "loglinear approximation" uitvoeren voor deze parabool rondom het punt gA*:

Nu heb ik de volgende stappen ondernomen waarbij ik op het juiste antwoord uitkom:

SPOILER
Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Ik heb alleen geen idee of mijn derivaties kloppen. Ook weet ik niet zeker of mijn vergelijkingen consistent zijn met deze grafiek, aangezien ik uitga van ggA en de grafiek van gA-punt. Zou er iemand zo vriendelijk willen zijn om te dubbel checken of dit inderdaad klopt?

woensdag 30 maart 2016 @ 12:08:40 #116

Goldenrush

Everything is a remix.

Bij de eerste som:

Waarom is de oplossing 1/2pi + kpi en niet 1/2pi +2kpi?
En waarom nemen ze (2x+1/4pi)=-1/2pi + 2kpi niet mee?

woensdag 30 maart 2016 @ 15:20:10 #117

ulq

qlu.

quote:
Op woensdag 30 maart 2016 12:08 schreef Goldenrush het volgende:
Waarom is de oplossing 1/2pi + kpi en niet 1/2pi +2kpi?

Omdat cos(u) = 0 geldt voor u = (1/2)*pi + k*pi, waar k wordt gebruikt om veelvouden van pi aan te geven.
cos(u) = 0 geldt namelijk voor u=(1/2)*pi+pi, u=(1/2)*pi+2*pi, u=(1/2)*pi+3*pi, etc.
Kijk maar naar https://www.google.nl/sea(...)ceid=chrome&ie=UTF-8
Je kan voor k dus elke integer kiezen, niet enkel de even getallen: 2,4,6, etc.

[ Bericht 11% gewijzigd door ulq op 30-03-2016 15:35:15 ]

woensdag 30 maart 2016 @ 19:40:35 #118

Riparius

quote:
Op woensdag 30 maart 2016 12:08 schreef Goldenrush het volgende:
Bij de eerste som:
[ afbeelding ]

Waarom is de oplossing 1/2pi + kpi en niet 1/2pi +2kpi?

Denk aan de eenheidscirkel: de cosinus van een rotatiehoek is per definitie de x-coördinaat van het beeldpunt van (1; 0) bij rotatie om de oorsprong over die hoek. Zie ook hier.

Welnu, als je het startpunt (1; 0) over ½π rad om de oorsprong roteert, dan kom je uit in het punt (0; 1) en de x-coördinaat van dat punt - en daarmee de cosinus van ½π - is dus inderdaad 0. Maar als je nu vervolgens nog over een geheel aantal halve slagen in tegenwijzerzin of in wijzerzin rond de oorsprong roteert, dan kom je óf weer uit op het punt (0;1) óf op het punt (0;−1) en ook dan is de x-coördinaat van het beeldpunt - en dus de cosinus - weer gelijk aan 0. Dus is

cos(2x + ¼π) = 0

equivalent met

2x + ¼π = ½π + kπ, k ∈ ℤ

quote:
En waarom nemen ze (2x+1/4pi)=-1/2pi + 2kpi niet mee?

Dat zou ook kunnen, maar is hier minder handig. Je kunt bedenken dat de cosinus van ½π gelijk is aan nul, zodat

cos(2x + ¼π) = 0

equivalent is met

cos(2x + ¼π) = cos(½π)

Nu zijn de cosinussen van twee (rotatie)hoeken gelijk als die (rotatie)hoeken hetzij aan elkaar gelijk zijn, hetzij elkaars tegengestelde zijn, afgezien van een geheel veelvoud van 2π, dus

cos α = cos β ⇔ α = β + k·2π ∨ α = −β + k·2π, k ∈ ℤ

zodat

cos(2x + ¼π) = cos(½π)

dus equivalent is met

2x + ¼π = ½π + 2kπ ∨ 2x + ¼π = −½π + 2kπ, k ∈ ℤ

en dit geeft

x = ⅛π + kπ ∨ x = −⅜π + kπ, k ∈ ℤ

Maar nu kun je bedenken dat het verschil tussen een rotatie over (1/8)·π rad en een rotatie over (−3/8)·π rad een rotatie is over ½π rad, en dat is de helft van π rad, zodat we de beide deeloplossingen hier samen kunnen voegen en de volledige oplossing dus eenvoudiger kunnen schrijven als

x = ⅛π + k·½π, k ∈ ℤ

Dit is uiteraard precies hetzelfde resultaat, maar je ziet nu dat het handiger is om gelijk te bedenken dat een cosinus van een rotatiehoek gelijk is aan nul als die rotatiehoek gelijk is aan ½π rad plus een geheel veelvoud van π rad.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

woensdag 30 maart 2016 @ 21:18:47 #119

Goldenrush

Everything is a remix.

quote:
Op woensdag 30 maart 2016 19:40 schreef Riparius het volgende:

[..]

Denk aan de eenheidscirkel: de cosinus van een rotatiehoek is per definitie de x-coördinaat van het beeldpunt van (1; 0) bij rotatie om de oorsprong over die hoek. Zie ook hier.

Welnu, als je het startpunt (1; 0) over ½π rad om de oorsprong roteert, dan kom je uit in het punt (0; 1) en de x-coördinaat van dat punt - en daarmee de cosinus van ½π - is dus inderdaad 0. Maar als je nu vervolgens nog over een geheel aantal halve slagen in tegenwijzerzin of in wijzerzin rond de oorsprong roteert, dan kom je óf weer uit op het punt (0;1) óf op het punt (0;−1) en ook dan is de x-coördinaat van het beeldpunt - en dus de cosinus - weer gelijk aan 0. Dus is

cos(2x + ¼π) = 0

equivalent met

2x + ¼π = ½π + kπ, k ∈ ℤ

[..]

Dat zou ook kunnen, maar is hier minder handig. Je kunt bedenken dat de cosinus van ½π gelijk is aan nul, zodat

cos(2x + ¼π) = 0

equivalent is met

cos(2x + ¼π) = cos(½π)

Nu zijn de cosinussen van twee (rotatie)hoeken gelijk als die (rotatie)hoeken hetzij aan elkaar gelijk zijn, hetzij elkaars tegengestelde zijn, afgezien van een geheel veelvoud van 2π, dus

cos α = cos β ⇔ α = β + k·2π ∨ α = −β + k·2π, k ∈ ℤ

zodat

cos(2x + ¼π) = cos(½π)

dus equivalent is met

2x + ¼π = ½π + 2kπ ∨ 2x + ¼π = −½π + 2kπ, k ∈ ℤ

en dit geeft

x = ⅛π + kπ ∨ x = −⅜π + kπ, k ∈ ℤ

Maar nu kun je bedenken dat het verschil tussen een rotatie over (1/8)·π rad en een rotatie over (−3/8)·π rad een rotatie is over ½π rad, en dat is de helft van π rad, zodat we de beide deeloplossingen hier samen kunnen voegen en de volledige oplossing dus eenvoudiger kunnen schrijven als

x = ⅛π + k·½π, k ∈ ℤ

Dit is uiteraard precies hetzelfde resultaat, maar je ziet nu dat het handiger is om gelijk te bedenken dat een cosinus van een rotatiehoek gelijk is aan nul als die rotatiehoek gelijk is aan ½π rad plus een geheel veelvoud van π rad.

Aha, ik vond het al zo raar, ik gebruikte cos(2x + ¼π) = cos(½π) namelijk! Eerste had ik wel bedacht maar ik vond het zo raar dat die andere methode niet werkte. Maar die oplossingen kan je samenvoegen dus.Heel erg bedankt!

zaterdag 2 april 2016 @ 14:00:07 #120

Boarderzip

Ik heb een vraagstuk waar ik niet uitkom:

Een bal rolt over een veld met een beginsnelheid op tijdstip x=0s van 8m/s. Door wrijving krijgt de bal een vertraging van $\displaystyle\\sqrt{\left(4+0.2x\right)}\$ . Hoe ver rolt de bal?

Ik heb voor de snelheid de formule $\displaystyle\int \sqrt{-\left(4+0.2\right)}+8\,\mathrm{d}x$ opgesteld.

Hieruit haal ik V= $\displaystyle\ -5\left(4+0.2x\right)sqrt{\left(4+0.2x\right)}+8x\$

Deze zou ik dan toch gelijk moeten stellen aan 0? Omdat als de bal tot stilstand is gekomen de snelheid 0 is. Zodat ik de tijd (x) weet en deze in kan vullen in de formule voor de afgelegde weg.

[ Bericht 0% gewijzigd door Boarderzip op 02-04-2016 16:09:56 ]

zaterdag 2 april 2016 @ 15:29:20 #121

Riparius

quote:
Op zaterdag 2 april 2016 14:00 schreef Boarderzip het volgende:
Ik heb een vraagstuk waar ik niet uitkom:

Een bal rolt over een veld met een beginsnelheid op tijdstip x=0s van 8m/s. Door wrijving krijgt de bal een vertraging van $\displaystyle\\sqrt{\left(4+0.2\right)}\$ . Hoe ver rolt de bal?

Geef indien mogelijk eens een scan van de originele opgave. Je uitdrukking voor de vertraging is wel heel merkwaadig. En in welke eenheid is die vertraging uitgedrukt?

Als de beginsnelheid 8 m·s⁻¹ bedraagt en de vertraging is bijvoorbeeld 2 m·s⁻² dan is de bal na 8 m·s⁻¹ : 2 m·s⁻² = 4 seconden tot stilstand gekomen.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 02-04-2016 15:36:13 ]

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

zaterdag 2 april 2016 @ 16:13:03 #122

Boarderzip

quote:
Op zaterdag 2 april 2016 15:29 schreef Riparius het volgende:

[..]

Geef indien mogelijk eens een scan van de originele opgave. Je uitdrukking voor de vertraging is wel heel merkwaadig. En in welke eenheid is die vertraging uitgedrukt?

Als de beginsnelheid 8 m·s⁻¹ bedraagt en de vertraging is bijvoorbeeld 2 m·s⁻² dan is de bal na 8 m·s⁻¹ : 2 m·s⁻² = 4 seconden tot stilstand gekomen.

Ik zie nu ook dat ik in de formule voor de vertraging de x vergeten was te noteren.
Dit is de originele opgave, nummer 4:

zaterdag 2 april 2016 @ 16:58:11 #123

Riparius

quote:
Op zaterdag 2 april 2016 16:13 schreef Boarderzip het volgende:
Ik zie nu ook dat ik in de formule voor de vertraging de x vergeten was te noteren.

Nee, de opgave gebruikt de letter t voor de tijd en dan moet je daar niet een x van maken.

Geven we de snelheid (velocitas) op tijdstip t aan met v(t) en de versnelling (acceleratio) op tijdstip t met a(t) dan geldt

$a(t)\,=\,v'(t)$

en dus

$\int_0^t a(\tau)\mathrm{d}\tau\,=\,v(t)\,-\,v(0)$

zodat

$v(t)\,=\,v(0)\,+\,\int_0^t a(\tau)\mathrm{d}\tau$

Nu is gegeven dat

$v(0) = 8$

en

$a(t)\,=\,-\sqrt{4\,+\,0,2t}$

zodat we dus hebben

$v(t)\,=\,8\,-\,\int_0^t sqrt{4\,+\,0,2\tau}\mathrm{d}\tau$

Verder hebben we

$\int_0^t sqrt{4\,+\,0,2\tau}\mathrm{d}\tau\,=\,\left[\frac{10}{3}(\frac{\tau}{5}\,+\,4)^{\frac{3}{2}}\right]_0^t\,=\,\frac{10}{3}(\frac{t}{5}\,+\,4)^{\frac{3}{2}}\,-\,\frac{80}{3}$

en daarmee krijgen we

$v(t)\,=\,\frac{104}{3}\,-\,\frac{10}{3}(\frac{t}{5}\,+\,4)^{\frac{3}{2}}$

Nu moeten we bepalen voor welke waarde van t geldt v(t) = 0 en dan vinden we

$t\,=\,5(10,4^{2/3}\,-\,4)$

De afstand die de bal heeft afgelegd vanaf het tijdstip t = 0 tot het moment dat de bal tot stilstand is gekomen op het tijdstip t = 5(10,4^2/3 − 4) vinden we nu door v(t) te integreren over het interval [0, 5(10,4^2/3 − 4)] en deze afstand bedraagt dus

$\int_0^{5(10,4^{2/3}-4)} \left(\frac{104}{3}\,-\,\frac{10}{3}(\frac{t}{5}\,+\,4)^{\frac{3}{2}} \right)\mathrm{d}t$

oftewel ca. 15,51 meter (check).

[ Bericht 26% gewijzigd door Riparius op 03-04-2016 02:20:31 ]

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

zondag 3 april 2016 @ 16:07:28 #124

Boarderzip

quote:
Op zaterdag 2 april 2016 16:58 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, de opgave gebruikt de letter t voor de tijd en dan moet je daar niet een x van maken.

Geven we de snelheid (velocitas) op tijdstip t aan met v(t) en de versnelling (acceleratio) op tijdstip t met a(t) dan geldt

$a(t)\,=\,v'(t)$

en dus

$\int_0^t a(\tau)\mathrm{d}\tau\,=\,v(t)\,-\,v(0)$

zodat

$v(t)\,=\,v(0)\,+\,\int_0^t a(\tau)\mathrm{d}\tau$

Nu is gegeven dat

$v(0) = 8$

en

$a(t)\,=\,-\sqrt{4\,+\,0,2t}$

zodat we dus hebben

$v(t)\,=\,8\,-\,\int_0^t sqrt{4\,+\,0,2\tau}\mathrm{d}\tau$

Verder hebben we

$\int_0^t sqrt{4\,+\,0,2\tau}\mathrm{d}\tau\,=\,\left[\frac{10}{3}(\frac{\tau}{5}\,+\,4)^{\frac{3}{2}}\right]_0^t\,=\,\frac{10}{3}(\frac{t}{5}\,+\,4)^{\frac{3}{2}}\,-\,\frac{80}{3}$

en daarmee krijgen we

$v(t)\,=\,\frac{104}{3}\,-\,\frac{10}{3}(\frac{t}{5}\,+\,4)^{\frac{3}{2}}$

Nu moeten we bepalen voor welke waarde van t geldt v(t) = 0 en dan vinden we

$t\,=\,5(10,4^{2/3}\,-\,4)$

De afstand die de bal heeft afgelegd vanaf het tijdstip t = 0 tot het moment dat de bal tot stilstand is gekomen op het tijdstip t = 5(10,4^2/3 − 4) vinden we nu door v(t) te integreren over het interval [0, 5(10,4^2/3 − 4)] en deze afstand bedraagt dus

$\int_0^{5(10,4^{2/3}-4)} \left(\frac{104}{3}\,-\,\frac{10}{3}(\frac{t}{5}\,+\,4)^{\frac{3}{2}} \right)\mathrm{d}t$

oftewel ca. 15,51 meter (check).

Heel hartelijk dank

het is me compleet duidelijk hoe je de som opbouwt, echter zie ik alleen nog niet hoe je de waarde van t berekent op v=0? Met behulp van een grafische rekenmachine krijg ik de juiste waarden voor t gevonden, maar op de hand krijg ik hem niet uitgewerkt.

zondag 3 april 2016 @ 16:33:46 #125

Riparius

quote:
Op zondag 3 april 2016 16:07 schreef Boarderzip het volgende:

[..]

Heel hartelijk dank het is me compleet duidelijk hoe je de som opbouwt, echter zie ik alleen nog niet hoe je de waarde van t berekent op v=0? Met behulp van een grafische rekenmachine krijg ik de juiste waarden voor t gevonden, maar op de hand krijg ik hem niet uitgewerkt.

$\frac{104}{3}\,-\,\frac{10}{3}(\frac{t}{5}\,+\,4)^{\frac{3}{2}}\,=\,0$

geeft

$\frac{10}{3}(\frac{t}{5}\,+\,4)^{\frac{3}{2}}\,=\,\frac{104}{3}$

Beide leden vermenigvuldigen met 3/10 geeft

$(\frac{t}{5}\,+\,4)^{\frac{3}{2}}\,=\,\frac{104}{10}$

Nu beide leden verheffen tot de macht 2/3 en je hebt

$\frac{t}{5}\,+\,4\,=\,10,4^{2/3}$

De rest kun je nu zelf wel. Overigens is 10,4^2/3 lastig met de hand uit te rekenen (c.q. te benaderen). Met een (gewone) rekenmachine is dat uiteraard geen probleem.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:	(afkorting, bv 'KLB')

» school, studie en onderwijs

» school, studie en onderwijs