[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

dinsdag 23 september 2014 @ 09:43:19 #26

ibri

quote:
Op maandag 22 september 2014 20:16 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je vraag is slecht gesteld en daarmee nauwelijks begrijpelijk. Maar ik vermoed dat je de regel van Leibniz bedoelt voor het bepalen van de n-de afgeleide van een product van twee functies.

Dit is wat er letterlijk staat
Let n in natural Numbers be given. Let F:real Numbers--> real number be given bij F(x) =x^3(1+x)^n
Compute the nth derivative of F by applying the binominal theorem to (1+x)^n

dinsdag 23 september 2014 @ 11:09:32 #27

Novermars

quote:
Op dinsdag 23 september 2014 09:43 schreef ibri het volgende:

[..]

Dit is wat er letterlijk staat
Let n in natural Numbers be given. Let F:real Numbers--> real number be given bij F(x) =x^3(1+x)^n
Compute the nth derivative of F by applying the binominal theorem to (1+x)^n

B-practice moet je zelf maken hè!

Maar als hint: Wat is de n-de afgeleide van x^m waarbij geldt dat m < n (strikt)

dinsdag 23 september 2014 @ 17:24:53 #28

Super-B

quote:
Op dinsdag 23 september 2014 00:59 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het is kennelijk de bedoeling om te laten zien dat

$\frac{\rm{d}(e^{\ln\,x})}{\rm{d}x} \,=\, \frac{\rm{d}(e^{\ln\,x})}{\rm{d}(\ln\,x)}\,\cdot\,\frac{\rm{d}(\ln\,x)}{\rm{d}x} \,=\, e^{\ln\,x}\cdot\frac{\rm{d}(\ln\,x)}{\rm{d}x} \,=\, x\cdot\frac{\rm{d}(\ln\,x)}{\rm{d}x}$

terwijl

$\frac{\rm{d}(e^{\ln\,x})}{\rm{d}x}\,=\,\frac{\rm{d}x}{\rm{d}x} \,=\, 1$

zodat

$x\cdot\frac{\rm{d}(\ln\,x)}{\rm{d}x}\,=\,1$

en dus

$\frac{\rm{d}(\ln\,x)}{\rm{d}x}\,=\,\frac{1}{x}$

Maar dit zal hij onmogelijk kunnen begrijpen zolang hij geen benul heeft van samenstellingen van functies, inversen van functies, logaritmen, exponenten en differentiëren, laat staan van eenvoudige (reken)regels zoals e^{ln x} = x of d(e^x)/dx = e^x en de kettingregel.

Kun je het pogen om uit te leggen? Want ik begrijp het nog steeds niet.

dinsdag 23 september 2014 @ 17:54:03 #29

Riparius

quote:
Op dinsdag 23 september 2014 17:24 schreef Super-B het volgende:

[..]

Kun je het pogen om uit te leggen? Want ik begrijp het nog steeds niet.

Het idee is om te laten zien dat de afgeleide van de functie

f(x) = ln x

gelijk is aan

f'(x) = 1/x

door gebruik te maken van het gegeven dat f(x) = ln x de inverse functie is van de functie

g(x) = e^x

waarvan we al weten dat deze zichzelf als afgeleide heeft, dus

g'(x) = e^x

We bekijken nu de samengestelde functie

h(x) = g(f(x))

waarvan we op twee verschillende manieren de afgeleide kunnen bepalen. Om te beginnen hebben we volgens de kettingregel

(1) h'(x) = g'(f(x))·f'(x)

Maar nu is

h(x) = g(f(x)) = e^{ln x} = x

en dus hebben we ook

(2) h'(x) = 1

Uit (1) en (2) volgt nu dat

(3) g'(f(x))·f'(x) = 1

Maar nu weten we dat g(x) = e^x zichzelf als afgeleide heeft, zodat ook g'(f(x)) = g(f(x)) = h(x) = x en we voor (3) dus kunnen schrijven

(4) x·f'(x) = 1

en hieruit volgt

(5) f'(x) = 1/x

Maar ik denk dat je dit evenmin begrijpt. Het probleem met jou is dat je allerlei zaken zoals ik die hierboven heb opgesomd gewoon niet begrijpt en dat je kennelijk ook niet in staat bent je deze stof eigen te maken omdat je een uitleg waarvan je zelf aangeeft het te hebben begrepen doorgaans enkele dagen later alweer geheel bent vergeten of omdat je totaal geen nota blijkt te hebben genomen van zaken die ik of anderen je hier eerder hebben proberen uit te leggen. En ik ben niet de enige die dit heeft opgemerkt, iedereen die je postgeschiedenis in deze topicreeks doorneemt zal dit moeten beamen. Daarom denk ik dat de studie die je nu probeert te volgen voor jou gewoon te hoog is gegrepen en denk ik ook dat het geen zin heeft jou verder iets uit te leggen.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

dinsdag 23 september 2014 @ 22:17:42 #30

Riparius

quote:
Op dinsdag 23 september 2014 09:43 schreef ibri het volgende:

[..]

Dit is wat er letterlijk staat

Let n in natural Numbers be given. Let F:real Numbers--> real number be given by F(x) =x^3(1+x)^n
Compute the nth derivative of F by applying the binomial theorem to (1+x)^n

Ik betwijfel of dit er letterlijk staat, want afgezien van je typo(?) is de juiste term binomial theorem. Het bijvoeglijk naamwoord binominal bestaat ook, maar dat heeft een andere betekenis. Ook de eerste zin is niet iets wat een native speaker zo op zou schrijven. Wellicht is je tekst geschreven door een Nederlandse docent die veel minder goed Engels kent dan hij of zij wel denkt, dat zou niet de eerste keer zijn.

Maar goed, F(x) = x³(1 + x)ⁿ is een polynoom in x van de graad n+3, en als je dat n maal differentieert dan is F⁽ⁿ⁾(x) een polynoom van de derde graad. Voor een geheel getal m met 0 ≤ m < n is de n-de afgeleide van x^m naar x identiek gelijk aan nul, en voor m ≥ n hebben we

$\frac{\rm{d}^n(x^m)}{\rm{d}x^n} \,=\, \frac{m!}{(m-n)!}\cdot x^{m-n}$

zodat we krijgen

$\rm{F}^{(n)}(x) \,=\, \binom n3\cdot\frac{n!}{0!}\cdot x^0 \,+\, \binom n2\cdot\frac{(n+1)!}{1!}\cdot x^1 \,+\, \binom n1\cdot\frac{(n+2)!}{2!}\cdot x^2 \,+\, \binom n0\cdot\frac{(n+3)!}{3!}\cdot x^3$

wat dus geeft

$\rm{F}^{(n)}(x) \,=\, \frac{1}{6}\cdot n(n-1)(n-2) \cdot n! \,+\, \frac{1}{2}\cdot n(n-1) \cdot (n+1)! \cdot x + \frac{1}{2}n \cdot (n+2)! \cdot x^2 \,+\, \frac{1}{6} \cdot (n+3)! \cdot x^3$

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-09-2014 22:24:32 ]

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

dinsdag 23 september 2014 @ 22:50:57 #31

zerak

Exile Vilify

Als ik het volgende moet bewijzen;
For all sets A, B and C, (B ⊆ C) ⇒ ((A ∪ C^c) ⊆ (A ∪ B^c))

Is het dan afdoende om te bewijzen dat als B ⊆ C dan C^c ⊆ B^c en vervolgens te vermelden dat de vereniging aan beide sets hetzelfde aantal elementen toevoegt en er dus niks aan de verhouding veranderd? Eerste keer dat ik iets met bewijzen doe, en ik merk alleen al aan deze verwoording dat ik echt moet werken aan mijn formaliteit in bewijzen.

[ Bericht 0% gewijzigd door zerak op 23-09-2014 23:42:03 ]

woensdag 24 september 2014 @ 12:12:16 #32

thabit

Dat is hoe je het bewijst nádat je een dergelijk vak hebt gehaald.

Hier moet je beginnen met een x te nemen uit de linkerverzameling, en laat dan zien dat x ook in de rechterverzameling zit. Geen De Morgan of zo toepassen, maar expliciet uitschrijven.

woensdag 24 september 2014 @ 15:50:05 #33

zerak

Exile Vilify

quote:
Op woensdag 24 september 2014 12:12 schreef thabit het volgende:
Dat is hoe je het bewijst nádat je een dergelijk vak hebt gehaald.

Hier moet je beginnen met een x te nemen uit de linkerverzameling, en laat dan zien dat x ook in de rechterverzameling zit. Geen De Morgan of zo toepassen, maar expliciet uitschrijven.

Thanks.

For all sets A, B and C, (B ⊆ C) ⇒ ((A ∪ C^c) ⊆ (A ∪ B^c)).

Assume (B ⊆ C) holds.
Let x ∈ (A ∪ C^c) be arbitrary.
We now have three cases;
(I) x ∈ A.
(II) x ∈ C^c.
(III) x ∈ A ∧ x ∈ C^c.

(I) x ∈ A. This is self-explanatory. Since (A ⊆ A), it must follow that ((A ∪ C^c) ⊆ (A ∪ B^c)).
(II) x ∈ C^c. This means that x ∉ C. Because we assume (B ⊆ C) holds, this means that x ∉ B, thus x ∈ B^c. From this we can conclude that (C^c ⊆ B^c). Thus ((A ∪ C^c) ⊆ (A ∪ B^c)).
(III) x ∈ A ∧ x ∈ C^c. This basically is (I) and (II) put together. Since we know that (A ⊆ A) and that (C^c ⊆ B^c), we can conclude that ((A ∪ C^c) ⊆ (A ∪ B^c)).

Op- en/of aanmerkingen?

[ Bericht 0% gewijzigd door zerak op 24-09-2014 18:00:03 ]

woensdag 24 september 2014 @ 17:37:03 #34

thabit

Geval (III) kun je weglaten. Wordt al door de andere gevallen afgedekt.

Verder concludeer je in elk van de gevallen iets over inclusies van verzamelingen. Dat kan op die punten nog niet. Je kan daar alleen concluderen dat x in de gewenste verzameling zit.

woensdag 24 september 2014 @ 18:01:29 #35

zerak

Exile Vilify

quote:
Op woensdag 24 september 2014 17:37 schreef thabit het volgende:
Geval (III) kun je weglaten. Wordt al door de andere gevallen afgedekt.

Verder concludeer je in elk van de gevallen iets over inclusies van verzamelingen. Dat kan op die punten nog niet. Je kan daar alleen concluderen dat x in de gewenste verzameling zit.

Bedankt voor de feedback. Ik begrijp dus dat ik wat voorbarig concludeer?
Revisie:

For all sets A, B and C, (B ⊆ C) ⇒ ((A ∪ C^c) ⊆ (A ∪ B^c)).

Assume (B ⊆ C) holds.
Let x ∈ (A ∪ C^c) be arbitrary.
We now have two cases;
(I) x ∈ A.
(II) x ∈ C^c.

(I) x ∈ A. This means that x ∈ (A ∪ C^c) and that x ∈ (A ∪ B^c).
(II) x ∈ C^c. This implies that x ∉ C. Because we assume (B ⊆ C) holds, this means that x ∉ B, thus x ∈ B^c. Which means that x ∈ (A ∪ C^c) and that x ∈ (A ∪ B^c).

So, whether x ∈ A or x ∈ C^c, x can be found in both sets. Which means that ((A ∪ C^c) ⊆ (A ∪ B^c)).

donderdag 25 september 2014 @ 20:59:10 #36

Anoonumos

Ik probeer aan te tonen dat span{g_t: t > 0}, waar g_t (x) = 1/(t+x) functies van R₊ naar C zijn, gesloten is onder vermenigvuldiging.

Voor t ongelijk aan s kan ik met behulp van breuksplitsen aantonen dat g_t g_s in de span zit.

Voor het geval g_t² mislukt breuksplitsen, Zit dat wel in de span? Iemand een idee?

donderdag 25 september 2014 @ 22:04:16 #37

thenxero

quote:
Op woensdag 24 september 2014 18:01 schreef zerak het volgende:

[..]

Bedankt voor de feedback. Ik begrijp dus dat ik wat voorbarig concludeer?
Revisie:

For all sets A, B and C, (B ⊆ C) ⇒ ((A ∪ C^c) ⊆ (A ∪ B^c)).

Assume (B ⊆ C) holds.
Let x ∈ (A ∪ C^c) be arbitrary.
We now have two cases;
(I) x ∈ A.
(II) x ∈ C^c.

(I) x ∈ A. This means that x ∈ (A ∪ C^c) and that x ∈ (A ∪ B^c).
(II) x ∈ C^c. This implies that x ∉ C. Because we assume (B ⊆ C) holds, this means that x ∉ B, thus x ∈ B^c. Which means that x ∈ (A ∪ C^c) and that x ∈ (A ∪ B^c).

So, whether x ∈ A or x ∈ C^c, x can be found in both sets. Which means that ((A ∪ C^c) ⊆ (A ∪ B^c)).

Het blijft een beetje warrig. Het idee is wel goed, maar ik zou het zo zeggen:
$\text{Let } B\subseteq C.$
$\text{If }x \in A \cup C^c, \text{ then (I) } x\in A \text{ or (II) } x\notin C.$
$\text{(I) If } x\in A, \text{ then } x\in A\cup B^c .$
$\text{(II) If } x \notin C \text{, then } x \not\in B, \text{ because if } x\notin C \text{ and } x\in B, \text{ then also } x\in C \text{ since } B\subseteq C, \text{which is a contradiction.}$
$\text{(II) So if } x\notin C \text{, then } x\notin B \text{, thus } x\in B^c \text{, so } x\in A\cup B^c.$

Je neemt dus aan dat het element in de set links van het $\subseteq$ -teken zit, en laat zien dat het dan in de rechter zit. Je opmerking dat het dan in beide zit is niet nodig.

donderdag 25 september 2014 @ 22:06:17 #38

thabit

Zit niet in de span: die bevat alleen functies met enkelvoudige polen.

donderdag 25 september 2014 @ 22:17:14 #39

thabit

Waarbij we natuurlijk nog wel even opmerken dat dergelijke funties uniek voortzetbaar zijn tot een meromorfe (of rationale) functie op C.

[ Bericht 5% gewijzigd door thabit op 25-09-2014 22:36:45 ]

donderdag 25 september 2014 @ 22:42:42 #40

Anoonumos

quote:
Op donderdag 25 september 2014 22:06 schreef thabit het volgende:
Zit niet in de span: die bevat alleen functies met enkelvoudige polen.

Helaas. Dan ga ik puntje (ii) hier proberen te begrijpen, bedankt.

donderdag 25 september 2014 @ 22:52:23 #41

ibri

quote:
Op dinsdag 23 september 2014 22:17 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik betwijfel of dit er letterlijk staat, want afgezien van je typo(?) is de juiste term binomial theorem. Het bijvoeglijk naamwoord binominal bestaat ook, maar dat heeft een andere betekenis. Ook de eerste zin is niet iets wat een native speaker zo op zou schrijven. Wellicht is je tekst geschreven door een Nederlandse docent die veel minder goed Engels kent dan hij of zij wel denkt, dat zou niet de eerste keer zijn.

Maar goed, F(x) = x³(1 + x)ⁿ is een polynoom in x van de graad n+3, en als je dat n maal differentieert dan is F⁽ⁿ⁾(x) een polynoom van de derde graad. Voor een geheel getal m met 0 ≤ m < n is de n-de afgeleide van x^m naar x identiek gelijk aan nul, en voor m ≥ n hebben we

$\frac{\rm{d}^n(x^m)}{\rm{d}x^n} \,=\, \frac{m!}{(m-n)!}\cdot x^{m-n}$

zodat we krijgen

$\rm{F}^{(n)}(x) \,=\, \binom n3\cdot\frac{n!}{0!}\cdot x^0 \,+\, \binom n2\cdot\frac{(n+1)!}{1!}\cdot x^1 \,+\, \binom n1\cdot\frac{(n+2)!}{2!}\cdot x^2 \,+\, \binom n0\cdot\frac{(n+3)!}{3!}\cdot x^3$

wat dus geeft

$\rm{F}^{(n)}(x) \,=\, \frac{1}{6}\cdot n(n-1)(n-2) \cdot n! \,+\, \frac{1}{2}\cdot n(n-1) \cdot (n+1)! \cdot x + \frac{1}{2}n \cdot (n+2)! \cdot x^2 \,+\, \frac{1}{6} \cdot (n+3)! \cdot x^3$

Ik zie het nu pas, maar hartelijk bedankt.
Deze uitleg snap ik

vrijdag 26 september 2014 @ 10:52:46 #42

RustCohle

Hoe moet ik C benaderen als ik de afgeleide wil bepalen van y, waarvan de functie y = c/x ?

En daarnaast:

Hoe komt het dat op het einde (rechtsonder) de x² opeens x wordt?

vrijdag 26 september 2014 @ 11:14:03 #43

OllieWilliams

quote:
Op vrijdag 26 september 2014 10:52 schreef RustCohle het volgende:
Hoe moet ik C benaderen als ik de afgeleide wil bepalen van y, waarvan de functie y = c/x ?

En daarnaast:

[ afbeelding ]

Hoe komt het dat op het einde (rechtsonder) de x² opeens x wordt?

Ze substitueren y = c/x in de vergelijking van y'

vrijdag 26 september 2014 @ 11:34:43 #44

RustCohle

quote:
Op vrijdag 26 september 2014 11:14 schreef OllieWilliams het volgende:

[..]

Ze substitueren y = c/x in de vergelijking van y'

Klopt en dan krijg je y' = - c/x² maar op het einde staat er dan weer = -y/x

en dan vraag ik mij af wat er met de kwadraat gebeurd is?

vrijdag 26 september 2014 @ 11:38:13 #45

Alrac4

quote:
Op vrijdag 26 september 2014 11:34 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Klopt en dan krijg je y' = - c/x² maar op het einde staat er dan weer = -y/x

en dan vraag ik mij af wat er met de kwadraat gebeurd is?

y' = -c/x² = -(c/x)*(1/x) = -(y)*(1/x) = -y/x

vrijdag 26 september 2014 @ 11:42:46 #46

RustCohle

quote:
Op vrijdag 26 september 2014 11:38 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

y' = -c/x² = -(c/x)*(1/x) = -(y)*(1/x) = -y/x

Top. Dankjewel!

Weet jij welke regel hier gebruikt wordt? Volgens mij de productregel toch? Ik weet wel wat er gedaan wordt hoor, daar niet van, maar ik ben benieuwd of hier een productregel of kettingregel toegepast wordt of anders een combinatie van beide. Ik dacht zelf een combinatie van beide. Want ik snap niet hoe ze tot dat laatste gedeelte komen (+ 3x² f'(x)... )

Tot aan + 6xf(x) wordt er gewerkt met de kettingregel die gebruikt wordt bij composite functions, maar vanaf 6xf(x) weet ik niet wat ze doen.. Nja ik weet wel wat er gedaan wordt, maar ik begrijp de gedachtegang niet.

[ Bericht 12% gewijzigd door RustCohle op 26-09-2014 11:50:58 ]

vrijdag 26 september 2014 @ 11:58:16 #47

RustCohle

Wat ik mij verder afvraag is het volgende:

Op het punt (0, ³√13) is y' = 0. Dat heb ik begrepen, maar x hoeft toch niet altijd 0 te zijn, zodat y'= 0 ? Kan iemand mij dit verklaren? Met de tekening ernaast is het logisch dat als je x = 0 invult je dan een y waarde krijgt en op dat punt dan y' = 0 , want er is een maximum. Maar zonder tekening is het wel lastig om te weten dat ik x = 0 moet invullen, omdat ik niet weet dat er op x = 0 een maximum/minimum wordt bereikt, het kan namelijk net zo goed op x = 5 gebeuren toch?

vrijdag 26 september 2014 @ 14:22:15 #48

BroodjeKebab

Hallo,

Zou iemand mij met de volgende vraagstukken van mij kunnen helpen:

1.

Waarom mag je van het eerste stuk de ' ln y' eruit halen voor 1/y want

1/y * dy / dx is toch dy / dxy ? Ik snap de notatie van Leibniz niet helemaal...

2.

Ik snap hier niet hoe

dln y / dln x = dln y / dx * dx / dln x want

d ln y * dx = d²xlny toch? Hetzelfde geldt dan voor dx * dln x = d²ln x² ?

Of zit ik er compleet naast? Ik ben niet zo bekend met de notatie van Leibniz en ik zou hier graag meer duidelijkheid over willen.

Ik snap het helemaal eigenlijk niet.. Dit is het volledige plaatje:

Bij voorbaat dank!

P.S; een heel simpel voorbeeld waarvan al duidelijk kan zijn voor mij dat ik al helemaal geen ruk van de notatie van Leibniz begrijp:

Dit betekent niet meer dan dat ''ln y gedifferentieerd moet worden naar ln x'', maar dat begrijp ik dus niet..

Ik heb gewoon uit mijn hoofd geleerd dat als je bijv. hebt d/dx en je hebt x² dat de afgeleide dan 2x is (op zijn simpelst).

vrijdag 26 september 2014 @ 15:25:53 #49

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op vrijdag 26 september 2014 14:22 schreef BroodjeKebab het volgende:
Hallo,

Zou iemand mij met de volgende vraagstukken van mij kunnen helpen:

1.

[ afbeelding ]

Waarom mag je van het eerste stuk de ' ln y' eruit halen voor 1/y want

1/y * dy / dx is toch dy / dxy ? Ik snap de notatie van Leibniz niet helemaal...

2. [ afbeelding ]

Ik snap hier niet hoe

dln y / dln x = dln y / dx * dx / dln x want

d ln y * dx = d²xlny toch? Hetzelfde geldt dan voor dx * dln x = d²ln x² ?

Of zit ik er compleet naast? Ik ben niet zo bekend met de notatie van Leibniz en ik zou hier graag meer duidelijkheid over willen.

Ik snap het helemaal eigenlijk niet.. Dit is het volledige plaatje:

[ afbeelding ]

Bij voorbaat dank!

P.S; een heel simpel voorbeeld waarvan al duidelijk kan zijn voor mij dat ik al helemaal geen ruk van de notatie van Leibniz begrijp:

[ afbeelding ]

Dit betekent niet meer dan dat ''ln y gedifferentieerd moet worden naar ln x'', maar dat begrijp ik dus niet..

Ik heb gewoon uit mijn hoofd geleerd dat als je bijv. hebt d/dx en je hebt x² dat de afgeleide dan 2x is (op zijn simpelst).

1. 1/y dy/dx is inderdaad dy/(dx y) maar wat schiet je daar mee op? Het is duidelijker als je die ervoor zet, kan je gelijk zien dat je daar niks meer mee hoeft te doen.

Je moet d hier niet gaan zien als een variabel.
In "dy" hoort de d bij de y.

Snap je ook wat er gebeurd?
Dit is de afgeleide van ln door gebruik te maken van de ketting regel.

2. Ik snap jou gebruik van "want" niet helemaal.
Maar ook hier je moet d niet als een variabel zien.
En ln gebruik je daar ook opeens als variabel...
x ln x is niet gelijk aan ln x²

Dit mag wel
d/dx d/dx = d²/dx²
maar hier heb je twee keer de afgeleide naar x, die mag je wel kwadrateren.

d/dx d/dy = d²/(dx dy), hier kan dat dus niet.
De bovenste d kan maar makt het nu niet veel duidelijker.

Weet je wat de kettingregel is?
En kan je die beschrijven met een andere notatie?

[ Bericht 1% gewijzigd door t4rt4rus op 26-09-2014 15:37:24 ]

vrijdag 26 september 2014 @ 15:36:18 #50

Super-B

Bij het bepalen van de afgeleide van y = x^a (px + q)^b ga ik ergens de fout in, maar ik weet niet waar...

y' = u ^b

u = x^a (px + q)

y' = bu^b-1 * u'

u' = ax ^a-1 * v' --> v = px + q

v' = p

Dus

y' = b [x^a(px+q)]^b-1 * [ax^a-1 * p ]

Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:	(afkorting, bv 'KLB')

» school, studie en onderwijs

» school, studie en onderwijs