SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Weet iemand hoe een wortel weggewerkt kan worden in een functie, welke gelijkgesteld is aan 0?
bijv:
(x² - 4) √(5-x) = 0
bijv:
(x² - 4) √(5-x) = 0
Eerste lid is nul of tweede lid is nul aangezien een tweedemachtswortel niet negatief kan zijn
(x² - 4)= 0
x² = 4 --> x = 2 v x = -2
√(5-x) = 0
5-x=0
x=5
Dus x=2 v x=-2 v x=5
(x² - 4)= 0
x² = 4 --> x = 2 v x = -2
√(5-x) = 0
5-x=0
x=5
Dus x=2 v x=-2 v x=5
Je uitwerking is juist maar je argumentatie niet.quote:Op zaterdag 6 september 2014 16:53 schreef Maarten9191 het volgende:
Eerste lid is nul of tweede lid is nul aangezien een tweedemachtswortel niet negatief kan zijn
Waar het hier om gaat is dat een product van twee of meer factoren uitsluitend nul kan zijn als tenminste één der factoren nul is. Dat heeft niets te maken met het feit dat een vierkantswortel van een reëel getal niet negatief is (noch met het feit dat vierkantswortels uit negatieve getallen niet reëel zijn).
Waarom veranderd er niks? Doe je beide kanten met ² en dat het daardoor wegvalt (de wortel)? En rechts gebeurt er niks, want 0² = 0 zeker?quote:
Eerste lid is nul of tweede lid is nul aangezien een tweedemachtswortel niet negatief kan zijn
(x² - 4)= 0
x² = 4 --> x = 2 v x = -2
√(5-x) = 0
5-x=0
x=5
Dus x=2 v x=-2 v x=5
De vierkantswortel uit een grootheid is nul dan en slechts dan als die grootheid zelf nul is. Dus is √(5 − x) = 0 equivalent met 5 − x = 0 en dat is weer equivalent met x = 5.quote:
[..]
Waarom verandert er niks? Doe je beide kanten met ² en dat het daardoor wegvalt (de wortel)? En rechts gebeurt er niks, want 0² = 0 zeker?
Het is inderdaad mogelijk - en ook gebruikelijk bij wat ingewikkelder vergelijkingen - om vierkantswortels te verdrijven door beide leden van de vergelijking te kwadrateren, maar daar moet je toch erg mee oppassen omdat je door beide leden te kwadrateren een vergelijking krijgt die meer oplossingen kan hebben dan de oorspronkelijke vergelijking. Daarom moet je de gevonden oplossingen altijd controleren door ze in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking als je tijdens het oplossen van de vergelijking beide leden hebt gekwadrateerd.
Bedankt.quote:
[..]
De vierkantswortel uit een grootheid is nul dan en slechts dan als die grootheid zelf nul is. Dus is √(5 − x) = 0 equivalent met 5 − x = 0 en dat is weer equivalent met x = 5.
Het is inderdaad mogelijk - en ook gebruikelijk bij wat ingewikkelder vergelijkingen - om vierkantswortels te verdrijven door beide leden van de vergelijking te kwadrateren, maar daar moet je toch erg mee oppassen omdat je door beide leden te kwadrateren een vergelijking krijgt die meer oplossingen kan hebben dan de oorspronkelijke vergelijking. Daarom moet je de gevonden oplossingen altijd controleren door ze in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking als je tijdens het oplossen van de vergelijking beide leden hebt gekwadrateerd.
[ Bericht 16% gewijzigd door BroodjeKebab op 07-09-2014 21:01:54 ]
Het gegeven functievoorschrift isquote:
[..]
Bedankt. Nog iets, dat onduidelijk is voor mij: ''Show that f(-x) = -f(x) for all x, and that f(1/x) = f(x) for x /= 0 by the formula: f(x) = x / (1+x²)''.
Ik snap niet echt wat ik moet doen? Moet ik nou eigenlijk verklaren dat de variabele -x ervoor zal zorgen dat er een -y output wordt geleverd? Hetzelfde dan dat een 1/x variabele bij x ervoor zal zorgen dat er een positieve y variabele als output zal weergeven?
f(x) = x/(1+x²)
Nu wordt gevraagd om aan te tonen dat voor elke x geldt f(−x) = −f(x). Een functie die een dergelijke eigenschap heeft heet overigens een oneven functie. Een (heel ander) voorbeeld van zo'n oneven functie is g(x) = sin x want je hebt hier sin(−x) = −sin x en dus ook g(−x) = −g(x).
Aantonen dat f(−x) = −f(x) gaat heel eenvoudig door in het functievoorschrift x te vervangen door −x en dan uit te werken. We krijgen dan
f(−x) = (−x)/(1 + (−x)²) = −x/(1 + x²) = −f(x)
QED
De grafiek van een oneven functie is puntsymmetrisch ten opzichte van de oorsprong, omdat een punt (x, f(x)) op de grafiek van de functie bij spiegeling in de oorsprong overgaat in een punt (−x, −f(x)) oftewel (−x, f(−x)) en dat punt ligt immers ook op de grafiek van de functie.
Op dezelfde wijze tonen we aan dat f(1/x) = f(x) voor elke x ≠ 0 door x in het functievoorschrift te vervangen door 1/x en dan uit te werken. We krijgen zo
f(1/x) = (1/x) / (1 + (1/x)²) = x²·(1/x) / (x² + x²(1/x)²) = x / (x² + 1) = x / (1 + x²) = f(x)
QED
Hier heb ik de breuk herleid door teller en noemer van de breuk te vermenigvuldigen met x².
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 08-09-2014 01:49:09 ]
De overgang van het begin naar het vetgedrukte begrijp ik niet. Als ik dat zou begrijpen, zou ik het laatste ook kunnen begrijpen. Al het voorgaande is mij helemaal duidelijk, daar dank je ik enorm voor. Ben jij docent? Want qua uitleg lijkt het alsof je op dit moment (of in het verleden) een hoogleraar/docent bent (geweest)?quote:
[..]
Het gegeven functievoorschrift is
f(x) = x/(1+x²)
Nu wordt gevraagd om aan te tonen dat voor elke x ≠ 0 geldt f(−x) = −f(x). Een functie die een dergelijke eigenschap heeft heet overigens een oneven functie. Een (heel ander) voorbeeld van zo'n oneven functie is g(x) = sin x want je hebt hier sin(−x) = −sin x en dus ook g(−x) = −g(x).
Aantonen dat f(−x) = −f(x) gaat heel eenvoudig door in het functievoorschrift x te vervangen door −x en dan uit te werken. We krijgen dan
f(−x) = (−x)/(1 + (−x)²) = −x/(1 + x²) = −f(x)
QED
De grafiek van een oneven functie is puntsymmetrisch ten opzichte van de oorsprong, omdat een punt (x, f(x)) op de grafiek van de functie bij spiegeling in de oorsprong overgaat in een punt (−x, −f(x)) oftewel (−x, f(−x)) en dat punt ligt immers ook op de grafiek van de functie.
Op dezelfde wijze tonen we aan dat f(1/x) = f(x) door x in het functievoorschrift te vervangen door 1/x en dan uit te werken. We krijgen zo
f(1/x) = (1/x) / (1 + (1/x)²) = x²·(1/x) / (x² + x²(1/x)²) = x / (x² + 1) = x / (1 + x²) = f(x)
QED
Hier heb ik de breuk herleid door teller en noemer van de breuk te vermenigvuldigen met x².
Waar staat QED voor overigens?
Ik vervang eerst x door 1/x in het functievoorschrift, maar dan krijgen we een lastige uitdrukking, namelijk een breuk waarbij je in de teller en noemer ook weer een breuk hebt. Deze breuk kunnen we vereenvoudigen door teller en noemer met x² te vermenigvuldigen, en dat is dan ook wat ik hier doe om zo de breuken in de teller en noemer weer kwijt te raken. En dan blijkt de breuk uiteindelijk gelijk te zijn aan f(x).quote:
[..]
De overgang van het begin naar het vetgedrukte begrijp ik niet. Als ik dat zou begrijpen, zou ik het laatste ook kunnen begrijpen. Al het voorgaande is mij helemaal duidelijk, daar dank je ik enorm voor. Ben jij docent? Want qua uitleg lijkt het alsof je op dit moment (of in het verleden) een hoogleraar/docent bent (geweest)?
Waar staat QED voor overigens?
Ik beantwoord nooit persoonlijke vragen.
QED staat voor quod erat demonstrandum, en dat is Latijn voor 'hetgeen te bewijzen was'. Dit wordt (werd) vaak gebruikt om het einde van een bewijs aan te geven in een tekst.
Wat is de reden voor de vermenigvuldiging met x²? Omdat de breuk in de teller dan weggaat of omdat de breuk in de noemer weggaat? Ik weet dat beide breuken dan weggaan, maar stel het was het één of het ander, wat had ik dan moeten doen?quote:
[..]
Ik vervang eerst x door 1/x in het functievoorschrift, maar dan krijgen we een lastige uitdrukking, namelijk een breuk waarbij je in de teller en noemer ook weer een breuk hebt. Deze breuk kunnen we vereenvoudigen door teller en noemer met x² te vermenigvuldigen, en dat is dan ook wat ik hier doe om zo de breuken in de teller en noemer weer kwijt te raken. En dan blijkt de breuk uiteindelijk gelijk te zijn aan f(x).
Ik beantwoord nooit persoonlijke vragen.
QED staat voor quod erat demonstrandum, en dat is Latijn voor 'hetgeen te bewijzen was'. Dit wordt (werd) vaak gebruikt om het einde van een bewijs aan te geven in een tekst.
In de teller krijg je (1/x) en dus zou vermenigvuldigen van teller en noemer met x voldoende zijn om deze (1/x) weer kwijt te raken, want (1/x)·x = 1. Maar, in de noemer krijg je (1/x)² = 1/x² en dus is vermenigvuldigen van teller en noemer met x niet voldoende als we de breuken in teller én noemer kwijt willen raken, want (1/x²)·x = 1/x. Als we echter teller en noemer met x² vermenigvuldigen, dan hebben we in de teller (1/x)·x² = x en in de noemer (1/x²)·x² = 1, en dan zijn we de breuken in de teller en noemer wél beide kwijt, en dat was precies de bedoeling.quote:
[..]
Wat is de reden voor de vermenigvuldiging met x²? Omdat de breuk in de teller dan weggaat of omdat de breuk in de noemer weggaat? Ik weet dat beide breuken dan weggaan, maar stel het was het één of het ander, wat had ik dan moeten doen?
|
|
