[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 18:24 schreef Riparius het volgende:

[..]

Als je mijn post over de afleiding van de abc formule met de methode van Sridhara had bestudeerd dan zou je hebben begrepen waarom we met 4a vermenigvuldigen.

[..]

Inderdaad, we moeten bij de herleiding van een functievoorschrift natuurlijk wel ervoor zorgen dat de functie hetzelfde blijft. Ik vermenigvuldig de veelterm

ax² + bx + c

met 4a om zo

4a²x² + 4abx + 4ac

te krijgen oftewel

(2ax)² + 2·(2ax)·b + 4ac

zodat ik kwadraatafsplitsing kan toepassen zonder vervelende breuken en je dus krijgt

(2ax + b)² − b² + 4ac

Maar bij de herleiding van een functievoorschrift mag ik niet zomaar alles met een factor vermenigvuldigen, want dan zouden we een andere functie krijgen, en dat is niet de bedoeling. Dus moeten we die vermenigvuldiging van de termen van (ax² + bx + c) met 4a compenseren door meteen buiten de haakjes een factor 1/4a toe te voegen. En effectief komt dit neer op het buiten haakjes halen van een factor 1/4a.

[..]

Dat blijkt. Nog één keer dan. Als we een kwadratische functie



hebben, dan kunnen we hier met het 'blote oog' niet aan zien of deze functie een extreme waarde heeft, laat staan wat het maximum of het minimum is van deze functie, en voor welke waarde van x dit maximum of minimum wordt bereikt. Maar als we dit functievoorschrift omwerken naar



dan kunnen we opeens wél in één oogopslag zien dat de functie een extreme waarde bereikt bij x = −b/2a, en dat deze extreme waarde een minimum is als a > 0 maar een maximum als a < 0. Ook kunnen we direct zien dat deze extreme waarde f(−b/2a) = −D/4a bedraagt, waarbij D = b² − 4ac. De top van de parabool die de grafiek is van deze functie heeft dus de coördinaten (−b/2a, −D/4a).

Je ziet dat we nu opeens een heleboel informatie over deze kwadratische functie boven water hebben gekregen die we nooit hadden gekregen als we alleen maar stom naar het functievoorschrift

f(x) = ax² + bx + c

waren blijven staren.

Bovendien is de techiek van het kwadraatafsplitsen uitermate nuttig voor het oplossen van vierkantsvergelijkingen (en voor tal van andere zaken waar ik nu niet op in ga).

[..]

Dat 'extreem doordenken valt nogal mee (of tegen, afhankelijk van het perspectief van de beschouwer). Ik vind dat je een en ander nog wel wat beter mag overdenken, en ook is het zaak om je vaardigheden met het uitvoeren van algebraïsche herleidingen snel op peil te brengen, anders zal dit je je hele studie blijven achtervolgen en zul je mogelijk je studie moeten staken. Laat het eens lekker doorwaaien in die grijze massa van je!

Ik begrijp er geen reet meer van. In mijn boek wordt er gewerkt met b/a en c/a. Ik weet dat je dat in je andere post wel had uitgelegd waarom (iets met Sdhara oid.) maar ik ben gewoon helemaal in de war...

Excuus nogmaals voor het verdoen van je tijd, maar de middelbare school heeft mij geen wiskunde gegeven maar een klote vak 'hoe ga je met een GR'' om, want wat ik had, was echt geen wiskunde.

Is er overigens een video op youtube te vinden hierover? Ik weet niet specifiek een trefwoord. Ik tik quadratic functions vertex completing the square, maar ik tref niet de juiste video's.

Dit soort dingen snap ik gemakkelijk:



Maar mij gaat het dus om die a(x + b/2a)² - Discriminant/4a. Dat wat Riparius mij dus al twee dagen probeert te verduidelijken.

ax² + bx + c = 0
Nu vermenigvuldigen we het linker- en rechterlid met 4a. Dit levert:

4a(ax² + bx + c) = 0, uitgeschreven levert dit:

4a²x² + 4abx + 4ac = 0, tel nu links en rechts b² erbij op. Dit levert:

4a²x² + 4abx + 4ac + b² = b², breng nu 4ac van linkerlid naar rechterlid. Dit levert:

4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac, je ziet nu iets bekend staan bij het rechterlid.

Let wel: Het linkerlid kunnen we nu ontbinden in de volgende factoren (2ax + b)(2ax + b). Dit levert:

(2ax + b)² = b² - 4ac

Je weet als: x² = a, dan zijn de oplossingen: x = √(a) of x = -√(a). Hieruit volgt:

(2ax + b) = ±√(b² - 4ac)

Links en rechts 'b' aftrekken, levert:

2ax = -b ±√(b² - 4ac)

Daarna links en rechts delen door 2a, levert:

x = -b ±√(b² - 4ac) / 2a

Hieruit volgen de oplossingen met de abc formule:

x1 = -b - √(b² - 4ac) / 2a

en

x2 = -b + √(b² - 4ac) / 2a

Dit begrijp ik gewoon; bewijstlast voor de abc formule. Maar het is echt die a(x+b/2a)² ... etc.. dat ik niet snap..

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 18:40 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Ik begrijp er geen reet meer van. In mijn boek wordt er gewerkt met b/a en c/a. Ik weet dat je dat in je andere post wel had uitgelegd waarom (iets met Sridhara oid.) maar ik ben gewoon helemaal in de war...

Er zijn natuurlijk altijd meerdere wegen die naar Rome leiden. De methode van Sridhara voor kwadraatafsplitsing (eigenlijk: het oplossen van een vierkantsvergelijking) heeft het grote voordeel dat breuken worden vermeden bij de herleiding van de abc formule (behalve op het laatst, als we door 2a moeten delen). De andere, meer conventionele methode om de abc formule af te leiden houdt in dat we bij de vierkantsvergelijking



eerst beide leden delen door a (hetgeen is toegestaan aangezien a ≠ 0) zodat we krijgen



Nu hebben we dus een vergelijking van de gedaante



met p = b/a en q = c/a.

Bestudeer deze pagina eens (print de pagina eventueel ook uit) om het verschil te zien tussen de beide methoden om middels kwadraatafsplitsing de abc formule af te leiden.

quote:

Excuus nogmaals voor het verdoen van je tijd, maar de middelbare school heeft mij geen wiskunde gegeven maar een klote vak 'hoe ga je met een GR'' om, want wat ik had, was echt geen wiskunde.

Dat begrijp ik, maar je mist ook gewoon een hoop basiskennis die je nu hard nodig zult hebben, namelijk de stof van Wiskunde B op VWO niveau.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 19:27 schreef Riparius het volgende:

[..]

Er zijn natuurlijk altijd meerdere wegen die naar Rome leiden. De methode van Sridhara voor kwadraatafsplitsing (eigenlijk: het oplossen van een vierkantsvergelijking) heeft het grote voordeel dat breuken worden vermeden bij de herleiding van de abc formule (behalve op het laatst, als we door 2a moeten delen). De andere, meer conventionele methode om de abc formule af te leiden houdt in dat we bij de vierkantsvergelijking



eerst beide leden delen door a (hetgeen is toegestaan aangezien a ≠ 0) zodat we krijgen



Nu hebben we dus een vergelijking van de gedaante



met p = b/a en q = c/a.

Bestudeer deze pagina eens (print de pagina eventueel ook uit) om het verschil te zien tussen de beide methoden om middels kwadraatafsplitsing de abc formule af te leiden.

[..]

Dat begrijp ik, maar je mist ook gewoon een hoop basiskennis die je nu hard nodig zult hebben, namelijk de stof van Wiskunde B op VWO niveau.

Add a term to both sides for completing square --> dat stuk begrijp ik niet.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 19:47 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Add a term to both sides for completing square --> dat stuk begrijp ik niet.

Getallenvoorbeeldje:

x² + 6x + 5 = 0, en we willen een kwadraat afsplitsen.

De logische kandidaat is (x + 3)², dat wordt x² + 6x + 9

Dat is niet helemaal hetzelfde, dus om het kwadraat compleet te maken, moeten we links en rechts een term toevoegen. In dit geval + 4:

x² + 6x + 5 + 4 = 4

Nu staat links namelijk een kwadraat, een square.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 19:53 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Getallenvoorbeeldje:

x² + 6x + 5 = 0, en we willen een kwadraat afsplitsen.

De logische kandidaat is (x + 3)², dat wordt x² + 6x + 9

Dat is niet helemaal hetzelfde, dus om het kwadraat compleet te maken, moeten we links en rechts een term toevoegen. In dit geval + 4:

x² + 6x + 5 + 4 = 4

Nu staat links namelijk een kwadraat, een square.

aha duidelijk..

Weet jij ook hoe je van

-b /2a +/- √(b² / 4a² - c/a) gaat naar: (-b +/- √b²- 4ac) / 2a

Die linkerterm begrijp ik met die -b/2a, wat ik niet begrijp is de Discriminant omzetten naar .... met een deling van 2a.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:04 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

aha duidelijk..

Weet jij ook hoe je van

-b /2a +/- √(b² / 4a² - c/a) gaat naar: (-b +/- √b²- 4ac) / 2a

Die linkerterm begrijp ik met die -b/2a, wat ik niet begrijp is de Discriminant omzetten naar .... met een deling van 2a.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 18:51 schreef Brainstorm245 het volgende:

Maar mij gaat het dus om die a(x + b/2a)² - Discriminant/4a. Dat wat Riparius mij dus al twee dagen probeert te verduidelijken.

Ik zal de herleiding van de algemene kwadratische functie



nog een keertje voor je uitwerken, maar nu op de conventionele manier. We halen eerst een factor a buiten haakjes, dan krijgen we



Nu halveren we de coëfficiënt b/a van x, dat geeft b/2a, en hiervan nemen we het kwadraat, dat is (b/2a)² = b²/4a². Dit tellen we op bij de termen tussen haakjes, maar dan moeten we dit ook meteen weer aftrekken, anders blijft de functie niet hetzelfde. Zo hebben we dus



Nu kunnen we de eerste drie termen binnen de grote haakjes schrijven als een kwadraat, want we hebben immers



Ook kunnen we de laatste twee termen binnen de grote haakjes samennemen. Dit zijn twee breuken, die we wel eerst gelijknamig moeten maken door de teller en de noemer van de tweede breuk c/a met 4a te vermenigvuldigen, zodat we krijgen



Voor het functievoorschrift krijgen we zo



Tenslotte werken we de grote haakjes weer uit en dan hebben we inderdaad



En aangezien



de discriminant is van de kwadratische veelterm ax² + bx + c kunnen we dus ook schrijven



Nu lezen we gemakkelijk af dat deze functie voor x = −b/2a een extreme waarde



bereikt, en dat dit extremum een minimum is indien a > 0 en een maximum indien a < 0.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:11 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

[ afbeelding ]

Hartstikke duidelijk. Dankjewel!!!!!

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik zal de herleiding van de algemene kwadratische functie



nog een keertje voor je uitwerken, maar nu op de conventionele manier. We halen eerst een factor a buiten haakjes, dan krijgen we



Nu halveren we de coëfficiënt b/a van x, dat geeft b/2a, en hiervan nemen we het kwadraat, dat is (b/2a)² = b²/4a². Dit tellen we op bij de termen tussen haakjes, maar dan moeten we dit ook meteen weer aftrekken, anders blijft de functie niet hetzelfde. Zo hebben we dus



Nu kunnen we de eerste drie termen binnen de grote haakjes schrijven als een kwadraat, want we hebben immers



Ook kunnen we de laatste twee termen binnen de grote haakjes samennemen. Dit zijn twee breuken, die we wel eerst gelijknamig moeten maken door de teller en de noemer van de tweede breuk c/a met 4a te vermenigvuldigen, zodat we krijgen



Voor het functievoorschrift krijgen we zo



Tenslotte werken we de grote haakjes weer uit en dan hebben we inderdaad



En aangezien



de discriminant is van de kwadratische veelterm ax² + bx + c kunnen we dus ook schrijven



Nu lezen we gemakkelijk af dat deze functie voor x = −b/2a een extreme waarde



bereikt, en dat dit extremum een minimum is indien a > 0 en een maximum indien a < 0.

Dit is het laatste stukje waar ik nog vastloop, want ik zit met die kwadraatsplitsing dat je:

(p/2)² doet en vervolgens deze toevoegt aan het linkerlid en c naar het rechterlid (rechts van het = teken brengt) en daarna vervolgens (p/2)² ook toevoegt aan het rechterlid zoals:

x² + 2x - 4 = 0

x² + 2x = 4

x² + 2x + (2/2)² = 4 + (2/2)²

x² + 2x + 1 = 4 + 1

(x+1)² = 5

Dat zie ik niet terug zeg maar in het vetgedrukte stap.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik zal de herleiding van de algemene kwadratische functie



nog een keertje voor je uitwerken, maar nu op de conventionele manier. We halen eerst een factor a buiten haakjes, dan krijgen we



Nu halveren we de coëfficiënt b/a van x, dat geeft b/2a, en hiervan nemen we het kwadraat, dat is (b/2a)² = b²/4a². Dit tellen we op bij de termen tussen haakjes, maar dan moeten we dit ook meteen weer aftrekken, anders blijft de functie niet hetzelfde. Zo hebben we dus



Nu kunnen we de eerste drie termen binnen de grote haakjes schrijven als een kwadraat, want we hebben immers



Ook kunnen we de laatste twee termen binnen de grote haakjes samennemen. Dit zijn twee breuken, die we wel eerst gelijknamig moeten maken door de teller en de noemer van de tweede breuk c/a met 4a te vermenigvuldigen, zodat we krijgen



Voor het functievoorschrift krijgen we zo



Tenslotte werken we de grote haakjes weer uit en dan hebben we inderdaad



En aangezien



de discriminant is van de kwadratische veelterm ax² + bx + c kunnen we dus ook schrijven



Nu lezen we gemakkelijk af dat deze functie voor x = −b/2a een extreme waarde



bereikt, en dat dit extremum een minimum is indien a > 0 en een maximum indien a < 0.

hoe kom je opeens aan die 2 * x * b/2a ?

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik zal de herleiding van de algemene kwadratische functie



nog een keertje voor je uitwerken, maar nu op de conventionele manier. We halen eerst een factor a buiten haakjes, dan krijgen we



Nu halveren we de coëfficiënt b/a van x, dat geeft b/2a, en hiervan nemen we het kwadraat, dat is (b/2a)² = b²/4a². Dit tellen we op bij de termen tussen haakjes, maar dan moeten we dit ook meteen weer aftrekken, anders blijft de functie niet hetzelfde. Zo hebben we dus



Nu kunnen we de eerste drie termen binnen de grote haakjes schrijven als een kwadraat, want we hebben immers



Ook kunnen we de laatste twee termen binnen de grote haakjes samennemen. Dit zijn twee breuken, die we wel eerst gelijknamig moeten maken door de teller en de noemer van de tweede breuk c/a met 4a te vermenigvuldigen, zodat we krijgen



Voor het functievoorschrift krijgen we zo



Tenslotte werken we de grote haakjes weer uit en dan hebben we inderdaad



En aangezien



de discriminant is van de kwadratische veelterm ax² + bx + c kunnen we dus ook schrijven



Nu lezen we gemakkelijk af dat deze functie voor x = −b/2a een extreme waarde



bereikt, en dat dit extremum een minimum is indien a > 0 en een maximum indien a < 0.

Overigens snap ik ook niet waarom

ze zeggen dat a(x + b/2a)² 0 is wanneer x= -b/2a ?

Tenslotte:

-(b² - 4ac)/4a hoe kan dit gelijk zijn aan : c - b² / 4a ?

Ik denk dat met de antwoorden op deze vragen (evenals mijn eerdere posts hierboven) ik wel voor de rest zelfstandig dingen kan uitpuzzelen.

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:34 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Overigens snap ik ook niet waarom

ze zeggen dat a(x + b/2a)² 0 is wanneer x= -b/2a ?

Tenslotte:

-(b² - 4ac)/4a hoe kan dit gelijk zijn aan : c - b² / 4a ?

Ik denk dat met de antwoorden op deze vragen (evenals mijn eerdere posts hierboven) ik wel voor de rest zelfstandig dingen kan uitpuzzelen.

Bij je eerste vraag: een kwadraat is slechts nul als wat eronder staat 0 is, dus x + iets = 0, dus x = -iets.

Bij je tweede vraag: splits de breuk. eerste stuk: -b²/4a, tweede deel: 4ac/4a = c. Samen: c - b²/4a

Moet ik ook nog voor je narekenen hoeveel drie keer drie is?

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:40 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Bij je eerste vraag: een kwadraat is slechts nul als wat eronder staat 0 is, dus x + iets = 0, dus x = -iets.

Bij je tweede vraag: splits de breuk. eerste stuk: -b²/4a, tweede deel: 4ac/4a = c. Samen: c - b²/4a

Moet ik ook nog voor je narekenen hoeveel drie keer drie is?

4ac/4a = c. Dat wist ik, maar dan heb je

c - ( b² / 4a) en dan moet je het weer gelijknamig maken en dan krijg je :

(4ac - b²) / 4a.., weer vanaf begin af aan...

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:46 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

4ac/4a = c. Dat wist ik, maar dan heb je

c - ( b² / 4a) en dan moet je het weer gelijknamig maken en dan krijg je :

(4ac - b²) / 4a.., weer vanaf begin af aan...

Komt door de onduidelijkheid in de schrijfwijze. Met het stukje dat ik dikgedrukt heb gemaakt ben je er namelijk al.

-(b² - 4ac)/4a = c - ( b² / 4a)

dus NIET

-(b² - 4ac)/4a = (c - b²)/4a

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:51 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Komt door de onduidelijkheid in de schrijfwijze. Met het stukje dat ik dikgedrukt heb gemaakt ben je er namelijk al.

-(b² - 4ac)/4a = c - ( b² / 4a)

dus NIET

-(b² - 4ac)/4a = (c - b²)/4a

Oh dan las ik het verkeerd hahaha. Bedankt!!

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:51 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Komt door de onduidelijkheid in de schrijfwijze. Met het stukje dat ik dikgedrukt heb gemaakt ben je er namelijk al.

-(b² - 4ac)/4a = c - ( b² / 4a)

dus NIET

-(b² - 4ac)/4a = (c - b²)/4a

Evenwichtshoeveelheid functie opstellen van twee functies:

P = prijs
Q = hoeveelheid

P = a - bQ
P = c + 2dQ

Dus ik maakte er van:

a - bQ = c + 2dQ en dan

a - bQ - c - 2dQ

en dan

(a-c) - (b + 2d)Q

Maar moet ik het dan naar rechts halen?

(a-c) = (b + 2d)Q

en dan:

Q = (a-c)/(b + 2d)

Is dit goed? Zo ja, hoe doe ik dit voor de prijs?

[ Bericht 8% gewijzigd door Brainstorm245 op 09-09-2014 21:12:14 ]

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:57 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Is dit goed? Zo ja, hoe doe ik dit voor de prijs?

Ja, maar je vergeet wel wat isnullen te noteren in de eerste paar regels.

Je hebt nu de waarde van Q gevonden waarbij je evenwichtssituatie optreedt. Hoe reken je de prijs P uit bij een gegeven waarde Q ?

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 20:24 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Dit is het laatste stukje waar ik nog vastloop, want ik zit met die kwadraatsplitsing dat je:

(p/2)² doet en vervolgens deze toevoegt aan het linkerlid en c naar het rechterlid (rechts van het = teken brengt) en daarna vervolgens (p/2)² ook toevoegt aan het rechterlid zoals:

x² + 2x - 4 = 0

x² + 2x = 4

x² + 2x + (2/2)² = 4 + (2/2)²

x² + 2x + 1 = 4 + 1

(x+1)² = 5

Dat zie ik niet terug zeg maar in het vetgedrukte stap.

Bij het oplossen van een vergelijking kun je bij het linkerlid termen optellen of het linkerlid met een factor vermenigvuldigen, zolang je dit ook in het rechterlid doet. Maar bij het herleiden van een functievoorschrift heb je niet twee leden, maar één uitdrukking die je moet herleiden, en dan moet je dus zorgen dat die uitdrukking equivalent blijft.

Het verschil in aanpak is goed te illustreren met de vergelijking die je geeft, omdat je bij een vergelijking ook de vrijheid hebt om alleen iets aan het linkerlid te veranderen, zolang de uitdrukking in het linkerlid maar equivalent blijft.

Eerste aanpak (balansmethode):

x² + 2x − 4 = 0

Bij beide leden 4 optellen

x² + 2x − 4 + 4 = 0 + 4

oftewel

x² + 2x = 4

Nu de coëfficiënt 2 van x halveren, dat geeft 1, en hier weer het kwadraat van nemen, dat geeft 1² = 1. Deze 1 nu optellen bij beide leden geeft

x² + 2x + 1 = 4 + 1

oftewel

x² + 2x + 1 = 5

Nu gebruik maken van het merkwaardig product (identiteit) a² + 2ab + b² = (a + b)² om het linkerlid te herschrijven als een volkomen kwadraat, dit geeft

(x + 1)² = 5

Als nu het kwadraat van (x + 1) gelijk moet zijn aan 5, dan moet (x + 1) zelf dus gelijk zijn aan hetzij √5 hetzij −√5, zodat we dus krijgen

x + 1 = √5 ∨ x + 1 = −√5

Tenslotte nog bij deze beide vergelijkingen van beide leden 1 aftrekken oftewel bij beide leden −1 optellen(!) en we hebben

x = −1 + √5 ∨ x = −1 − √5

Tweede aanpak (herleiding van het linkerlid):

x² + 2x − 4 = 0

We halveren weer de coëfficiënt 2 van x, dit geeft 1, en hiervan het kwadraat nemen geeft 1² = 1. Deze 1 tellen we nu alleen op bij het linkerlid, maar dan moeten we deze 1 ook meteen weer aftrekken, anders is de uitdrukking in het linkerlid en daarmee de vergelijking niet meer equivalent. Zo krijgen we

x² + 2x + 1 − 1 − 4 = 0

Nu kunnen we x² + 2x + 1 weer herschrijven als (x + 1)² en zo krijgen we dus

(x + 1)² − 1 − 4 = 0

oftewel

(x + 1)² − 5 = 0

Zie je het verschil in aanpak? Het vervolg kan nu uiteraard op dezelfde manier als bij de eerste aanpak, want door bij beide leden 5 op te tellen krijgen we nu

(x + 1)² − 5 + 5 = 0 + 5

oftewel

(x + 1)² = 5

We kunnen echter ook doorgaan met het herleiden van het linkerlid van

(x + 1)² − 5 = 0

We kunnen 5 namelijk schrijven als het kwadraat van √5 zodat we krijgen

(x + 1)² − (√5)² = 0

Nu hebben we in het linkerlid een verschil van twee kwadraten, en dat betekent dat we nu het merkwaardig product a² − b² = (a − b)(a + b) kunnen gebruiken om het linkerlid te herschrijven als een product van twee factoren, zodat we krijgen

(x + 1 − √5)(x + 1 + √5) = 0

Nu kan een product van twee factoren alleen gelijk zijn aan nul als (tenminste) één van de beide factoren zelf nul is, zodat dus moet gelden

x + 1 − √5 = 0 ∨ x + 1 + √5 = 0

Tellen we tenslotte − 1 + √5 op bij beide leden van de eerste vergelijking en −1 − √5 bij beide leden van de tweede vergelijking, dan krijgen we

x = −1 + √5 ∨ x = −1 − √5

De gevonden oplossingen stemmen uiteraard overeen met de oplossingen die we met de eerste methode vonden.

Het leuke is dat het verschil in aanpak tussen de eerste en de tweede methode ook tot uitdrukking komt in de verschillende termen die het Engels en het Nederlands gebruiken. Bij de eerste aanpak hebben we x² + 2x aangevuld tot een volkomen kwadraat x² + 2x + 1 = (x + 1)² en dat is wat eigenlijk met completing the square wordt bedoeld. Maar bij de tweede aanpak hebben we x² + 2x − 4 herleid tot (x + 1)² − 5 en dat is wat eigenlijk met kwadraatafsplitsing wordt bedoeld. In de praktijk worden beide termen echter meestal voor beide methodes gebruikt.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 10-09-2014 05:47:03 ]

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 21:06 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Ja, maar je vergeet wel wat isnullen te noteren in de eerste paar regels.

Je hebt nu de waarde van Q gevonden waarbij je evenwichtssituatie optreedt. Hoe reken je de prijs P uit bij een gegeven waarde Q ?

Door een getal bij Q in te vullen. Maar die is er dus niet

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 21:08 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Door een getal bij Q in te vullen. Maar die is er dus niet

Jawel, die heb je net uitgerekend. Alleen is het geen getal, maar een uitdrukking in wat letters.

En... waar moet je die invullen? Niet waar je het in de post hieronder hebt gedaan, want die leidt slechts tot de conclusie 1 = 1.

Een waarheid als een koe, dat wel.

[ Bericht 12% gewijzigd door Janneke141 op 09-09-2014 21:15:09 ]

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 21:10 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Jawel, die heb je net uitgerekend. Alleen is het geen getal, maar een uitdrukking in wat letters.

Dus... (a-c)/(b + 2d) invullen als Q?


(a-c) = (b + 2d)* (a-c)/(b + 2d)

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 21:10 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Jawel, die heb je net uitgerekend. Alleen is het geen getal, maar een uitdrukking in wat letters.

En... waar moet je die invullen? Niet waar je het in de post hieronder hebt gedaan, want die leidt slechts tot de conclusie 1 = 1.

Een waarheid als een koe, dat wel.

Geen idee?

quote:

Op dinsdag 9 september 2014 21:17 schreef Brainstorm245 het volgende:

[..]

Geen idee?

Ga slapen en probeer het morgen nog eens. Je maakt jezelf nu alleen maar gek terwijl je vragen moet stellen over dingen die je echt wel weet - en die je wel weer ziet als je er morgen of overmorgen met frisse ogen naar kijkt.