wentelen om de y-as

Ik zie alleen maar wat integralen staan zonder enige uitleg.

Schrijf eerst eens op hoe je het volume gaat bereken, en wat de grenzen zijn waar over je moet integreren.

Een negatief volume wijst met aan zekerheid grenzende waarschijnlijkheid op een integrale denkfout.

x als functie van y uitdrukken, integreren, oppervlakte keer 2*pi. Klaar.

quote:

Op donderdag 3 juli 2014 14:37 schreef Rezania het volgende:
x als functie van y uitdrukken, integreren, oppervlakte keer 2*pi. Klaar.

Niks daarvan. Zo bereken je niet het volume van een omwentelingslichaam. TS snapt het blijkbaar evenmin, want ook hij vervalt in deze denkfout. Gaan jullie beiden eerst dit maar eens bestuderen.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 03-07-2014 16:02:20 ]

quote:

Op donderdag 3 juli 2014 15:20 schreef Riparius het volgende:

[..]

Niks daarvan. Zo bereken je niet het volume van een omwentelingslichaam. TS snapt het blijkbaar evenmin, want ook hij vervalt in deze denkfout. Gaan jullie beide eerst dit maar eens bestuderen.

Hmmm, is toch wel goed weggezakt dus.

quote:

Op donderdag 3 juli 2014 15:25 schreef ronaldoo12 het volgende:

[..]

Ik heb er echt superlang aangezeten.. heel het boek doorgebladerd maar ik kom er maar niet uit.. je zou me echt énorm helpen als je me kan vertellen wat ik fout doe.

Welk boek is dat?

Wat je fout doet is om te beginnen denken dat je het volume van een omwentelingslichaam kunt verkrijgen door de oppervlakte van het geroteerde vlakdeel te vermenigvuldigen met 2π. Dat is onjuist, en dat kun je ook zo wel bedenken zonder berekeningen, want π is dimensieloos en een oppervlakte druk je uit in vierkante eenheden terwijl je een volume uitdrukt in kubieke eenheden. Er had dus meteen een alarmbel bij je moeten gaan rinkelen toen je dit dacht.

Of, neem een eenvoudig voorbeeld. Beschouw de functie f(x) = √(1 − x²) over het interval [−1, 1]. De grafiek hiervan is een halve cirkel met straal 1 en met het middelpunt in de oorsprong en deze halve cirkel ligt in de kwadranten I en II, uitgezonderd de punten (−1,0) en (1,0) op de x-as. De oppervlakte van deze halve cirkel(schijf) is ½π. Wentelen we nu deze halve cirkel rond de x-as, dan krijgen we een bol met straal 1 waarvan het volume dus (4/3)·π bedraagt. Maar volgens jouw redenering zou je het volume van deze bol verkrijgen door de oppervlakte ½π van de halve cirkelschijf te vermenigvuldigen met 2π wat dus π² oplevert. Je ziet, wat je beweerde is lariekoek.

quote:

Op donderdag 3 juli 2014 15:34 schreef ronaldoo12 het volgende:
klopt het dat ik mijn grenzen verkeerd kies? dus dat het niet -1 tot 0,5 is.. maar : 0 tot 1
dus dat je naar de y-as moet kijken.. schets: http://nl.tinypic.com/r/wbql1e/8

maar dan kom ik om (3/32) pi .. het antwoord zegt (13/32)pi ..

Je bent enorm aan het goochelen. Een belangrijke stap die ik je nog niet heb zien zetten is om eerst de coördinaten te bepalen van het snijpunt in het eerste kwadrant van de parabool en de rechte lijn. Dan moet je vervolgens x uitdrukken als functie van y voor zowel y = f(x) als y = g(x) op het interval waarover je gaat integreren. Je krijgt zo het verschil van twee integralen voor het volume van het omwentelingslichaam.

[ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 03-07-2014 17:37:07 ]

quote:

Op donderdag 3 juli 2014 15:50 schreef ronaldoo12 het volgende:
Hey dankjewel voor je uitleg ik denk dat ik het snap.
Zou je misschien aub voor me kunnen controleren of dit het antwoord op de vraag is:

http://nl.tinypic.com/r/107nosh/8

Het boek heet trouwens: Toegepaste wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs

Dit is compleet fout. Je hanteert om te beginnen nog steeds een verkeerde formule die gebaseerd is op je onzinnige gedachte dat je de oppervlakte van een vlakdeel simpel kunt vermenigvuldigen met 2π om het volume van het omwentelingslichaam te verkrijgen. Het lijkt er dus op dat je mijn uitleg compleet negeert. Overigens moet je eerst x uitdrukken als functie van y, en dus krijg je (twee!) integralen met dy, niet met dx. Bestudeer nu eerst maar eens dat Wikipedia artikel waarnaar ik hierboven link.

quote:

Op donderdag 3 juli 2014 14:22 schreef ronaldoo12 het volgende:
Kan iemand mij aub helpen met deze vraag:

[snip]

het goede antwoord moet zijn: (13/32) pi

[snip]

Ik heb je opgave even uitgewerkt. De opgave luidt als volgt:



Tekenen we nu om te beginnen een fatsoenlijke grafiek van de bedoelde functies f (in rood) en g (in blauw) dan zien we het volgende:



Zoals duidelijk is uit een eenvoudige berekening snijden de grafieken van f en g elkaar in de punten (−2, −3) en (½, ¾).

Het bedoelde gebied G is nu het vlakdeel begrensd door de x-as tussen de punten (0, 0) en (1,0), de grafiek van f tussen de punten (1, 0) en (½, ¾) en de grafiek van g tussen de punten (½, ¾) en (0, 0).

Wentelen we dit gebied G om de y-as, dan kunnen we het volume van het omwentelingslichaam berekenen door het volume van het omwentelingslichaam verkregen door de grafiek van f tussen de punten (1, 0) en (½, ¾) om de y-as te wentelen te verminderen met het volume van het omwentelingslichaam verkregen door de grafiek van g tussen de punten (0, 0) en (½, ¾) om de y-as te wentelen.

Om deze berekening te maken moeten we nu eerst zowel voor y = f(x) als y = g(x) de waarde van x uitdrukken als functie van y, althans op het interval [0, ¾]. Welnu, uit y = 1 − x² volgt x = √(1 − y) voor y ≤ 1 en tevens x ≥ 0, en uit y = (3/2)·x volgt x = (2/3)·y. Op het interval [0, ¾] waar het ons hier om te doen is hebben we dus voor de inversen van f en g

f⁻¹(y) = √(1 − y)

en

g⁻¹(y) = (2/3)·y

Het gevraagde volume V van het omwentelingslichaam verkregen door het vlakdeel G rond de y-as te wentelen is dus



en dat geeft



en uitwerken hiervan levert



en dus



That's all.

quote:

Op donderdag 3 juli 2014 19:28 schreef ronaldoo12 het volgende:
Hey dankjewel voor je uitleg en ik waardeer het enorm.. alleen het brengt enigszins verwarring bij me op. Waarschijnlijk kan je het op meerdere manieren berekenen. Want hier drukken ze x niet uit in y en gebruiken ze ook geen dy.. kijk :

http://nl.tinypic.com/r/16m615k/8

T lijkt me toch logisch dat ze geen dy gebruiken als ze over x integreren. Op het moment dat je om de y-as gaat wentelen moet je dus je grafiek omschrijven en gebruik je dy bij het integreren.

En in deze situatie is het eenvoudiger om je formule om te schrijven en over de y-as te gaan wentelen.

Je moet even helder voor jezelf opschrijven of markeren om welk stuk in de grafiek het gaat en dus de grenzen daarvan bepalen. Stapsgewijs werken en bedenken wat je wilt berekenen is the key.

quote:

Op donderdag 3 juli 2014 19:44 schreef ronaldoo12 het volgende:

[..]

Bij deze opgave wentelen ze ook om de y-as en gebruiken ze géén dy.

Over deze dit voorbeeld heb ik het die dat hierboven ook staat: http://nl.tinypic.com/r/16m615k/8

Dit is een andere methode, die in het Engels Shell integration wordt genoemd. Ik zou je aanraden deze methode voorlopig niet te gebruiken, aangezien deze minder intuïtief werkt dan de meer gebruikelijke methode die in het Engels Disc integration wordt genoemd.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 03-07-2014 20:23:24 ]

quote:

Op donderdag 3 juli 2014 20:22 schreef ronaldoo12 het volgende:
Dankjewel ! ik had nog een klein vraagje over een ander soort integraal. Namelijk:

http://nl.tinypic.com/r/13yex0/8

Vraag 3a .. ik weet dat je partiele integratie moet toepassen maar het lijkt steeds alsof ik op een nog moeilijker integraal uitkom. Zal zo mijn uitwerking plaatsen..

Ik zou hier geen partiële integratie toepassen. Maak gebruik van de identiteit

sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x)

Wat krijg je dan?

quote:

Op donderdag 3 juli 2014 20:33 schreef ronaldoo12 het volgende:

[..]

2 sinx / cos x

Ja, en dat is gelijk aan 2·tan(x).

Een primitieve van tan(x) is −ln(cos(x)), ga dit na met behulp van de kettingregel. Nu kun je de integraal eenvoudig berekenen.

quote:

Op donderdag 3 juli 2014 20:40 schreef ronaldoo12 het volgende:
Ik snap hem ! kan je me misschien ook met b helpen D daar moet je volgens mij wel partieel integreren

Pas de substitutie toe, vergeet niet de integratiegrenzen aan te passen!

quote:

Op donderdag 3 juli 2014 20:40 schreef ronaldoo12 het volgende:
Ik snap hem ! kan je me misschien ook met b helpen D daar moet je volgens mij wel partieel integreren

Nee, bij b) kun je gebruik maken van het feit dat 1/x de afgeleide is van ln(x). Substitueer

u = ln(x)

dan is

du/dx = 1/x

dus

du = dx/x

Verder volgt uit u = ln(x) dat u = ln 2 voor x = 2. Het nieuwe interval waarover je integreert met de nieuwe variabele u wordt dus [ln 2, ∞). Nu is de integraal gemakkelijk te bepalen.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 03-07-2014 20:58:54 ]

quote:

Op donderdag 3 juli 2014 19:28 schreef ronaldoo12 het volgende:
Hey dankjewel voor je uitleg en ik waardeer het enorm, alleen het brengt het me enigszins in verwarring. Waarschijnlijk kan je het op meerdere manieren berekenen. Want hier drukken ze x niet uit in y en gebruiken ze ook geen dy.

Voor de volledigheid zal ik ook nog even laten zien hoe je het volume van het omwentelingslichaam kunt berekenen via integratie langs de x-as, terwijl je het vlakdeel rond de y-as wentelt.

Definieer een functie h(x) op het interval [0, 1] waarbij de grafiek van h tussen het punt (0, 0) en het snijpunt (½, ¾) de grafiek van g volgt terwijl de grafiek van h tussen het punt (½, ¾) en het punt (1, 0) de grafiek van f volgt, dus h(x) = g(x) voor 0 ≤ x ≤ ½ en h(x) = f(x) voor ½ ≤ x ≤ 1.

Het vlakdeel G wordt nu begrensd door de x-as en de grafiek van h op het interval [0, 1]. Kies een waarde van x op het interval [0, 1] en beschouw een 'infinitesimaal' verticaal strookje met een hoogte h(x) en een breedte dx. Dit strookje levert een bijdrage dA = h(x)·dx aan de oppervlakte A van het vlakdeel G. Deze oppervlakte A kan nu worden berekend door alle bijdragen dA over het interval [0, 1] te sommeren, oftewel, de oppervlakte van het vlakdeel G is



Om nu het volume te berekenen van het omwentelingslichaam verkregen door het vlakdeel G rond de y-as te wentelen is het uiteraard niet correct om A te vermenigvuldigen met 2π. Maar wat je wel kunt doen is kijken naar de bijdrage dV die het eerder genoemde 'infinitesimale' verticale strookje met hoogte h(x) en breedte dx levert aan het volume V van het omwentelingslichaam. Bij wenteling van dit strookje rond de y-as krijgen we een cilinder met straal x en hoogte h(x). De manteloppervlakte van deze cilinder is 2π·x·h(x) en aangezien de dikte van de 'wand' van de cilinder dx bedraagt levert deze cilinder een bijdrage dV = 2π·x·h(x)·dx aan het volume V van het omwentelingslichaam. Dit volume V kan nu worden berekend door alle bijdragen dV over het interval [0, 1] te sommeren, oftewel, het volume van het omwentelingslichaam is



Nu hebben we voor h(x) verschillende functievoorschriften op de intervallen [0, ½] en [½, 1], zodat we deze integraal voor berekening moeten opsplitsen in twee integralen, dus



Hier is h(x) = g(x) = (3/2)·x voor 0 ≤ x ≤ ½ en h(x) = f(x) = 1 − x² voor ½ ≤ x ≤ 1 zodat we krijgen



Uitwerken levert



en dit geeft



Uiteraard stemt dit resultaat overeen met het hierboven op een andere manier berekende volume van het omwentelingslichaam.