SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
(a + b) (a - b) = a2 - b2quote:Op vrijdag 2 mei 2014 13:05 schreef RustCohle het volgende:
Een voorbeeld waar ik in de war van raak.
Ontbind de volgende vergelijking in factoren:
27a^2 - 12b^2
Ik zou doen: 3(9a^2 - 4b^2)
echter is het antwoord:
3a (3a + 2b ) (3a - 2b)
Ik snap beide methoden.. maar ik snap niet wanneer ik de methode die ik dacht te moeten gebruiken, moet gebruiken en wanneer ik dus die tweede moet gebruiken?
hetzelfde geldt voor:
8a^2 - 50 is 2(2a + 5) (2a - 5)
Terwijl ik dacht:
2(a^2 - 25)
Een van de merkwaardige producten.
Wat jij doet is de ggd buiten haakjes halen, maar dat is niet ontbinden in factoren.
Buiten haakjes halen is ggd dus..? Bijvoorbeeld 4x² + 6... in het boek een opgave mbt ontbinden in factoren, waarom noemen ze dat dan ontbinden in factoren ipv buiten de haakjes zetten?quote:Op vrijdag 2 mei 2014 15:44 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Een van de merkwaardige producten.
Wat jij doet is de ggd buiten haakjes halen, maar dat is niet ontbinden in factoren.
Antwoord is namelijk 2x(2x + 3).
Ik weet niet wanneer ik dus buiten de haakjes moet gaan werken en wanneer ik moet ontbinden in factoren?
Ontbinden in factoren is hetzelfde als 'buiten haakjes zetten'. Wat ik bedoelde te zeggen, is dat je een begin maakt, maar de som niet zover mogelijk ontbindt in factoren. Je kan er gerust vanuit gaan dat je altijd zover mogelijk moet ontbinden in factoren. Het zijn niet 'twee methoden', het is een en hetzelfde, je moet alleen niet stoppen na de grootste gemene deler te hebben gefactoriseerd.quote:Op vrijdag 2 mei 2014 16:28 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Buiten haakjes halen is ggd dus..? Bijvoorbeeld 4x² + 6... in het boek een opgave mbt ontbinden in factoren, waarom noemen ze dat dan ontbinden in factoren ipv buiten de haakjes zetten?
Antwoord is namelijk 2x(2x + 3).
Ik weet niet wanneer ik dus buiten de haakjes moet gaan werken en wanneer ik moet ontbinden in factoren?
Neem bijvoorbeeld x2 + 5x + 6, dat levert op (x+2)(x+3).
Neem nu 2x2 + 10x + 12, dat levert op 2(x+2)(x+3), en dus niet 2(x2 + 10x +12).
Meestal is het bij ontbinden in factoren dingen als (a + 3 ) (a + 2 ) echter zet je dingen dan BINNEN de haakjes en er niet buiten.quote:
[..]
Ontbinden in factoren is hetzelfde als 'buiten haakjes zetten'. Wat ik bedoelde te zeggen, is dat je een begin maakt, maar de som niet zover mogelijk ontbindt in factoren. Je kan er gerust vanuit gaan dat je altijd zover mogelijk moet ontbinden in factoren. Het zijn niet 'twee methoden', het is een en hetzelfde, je moet alleen niet stoppen na de grootste gemene deler te hebben gefactoriseerd.
Dit is toch binnen de haakjes zetten en er niet buiten en juist zo'n som laat mij in de war raken... niet die eerste.. die kan ik gemakkelijk. Ik kan beide makkelijk, maar ik weet niet welke ik moet gebruiken.. Dit snap ik gewoon wel.quote:
[..]
Ontbinden in factoren is hetzelfde als 'buiten haakjes zetten'. Wat ik bedoelde te zeggen, is dat je een begin maakt, maar de som niet zover mogelijk ontbindt in factoren. Je kan er gerust vanuit gaan dat je altijd zover mogelijk moet ontbinden in factoren. Het zijn niet 'twee methoden', het is een en hetzelfde, je moet alleen niet stoppen na de grootste gemene deler te hebben gefactoriseerd.
Neem bijvoorbeeld x2 + 5x + 6, dat levert op (x+2)(x+3).
Neem nu 2x2 + 10x + 12, dat levert op 2(x+2)(x+3), en dus niet 2(x2 + 10x +12).
Maar bij a³ - a denk ik elke keer dat ik a(a² - 1 ) moet doen, maar het is ... (a² + b) (a² - b)
Hou het maar op ontbinden in factoren, met 'buiten haakjes brengen' worden normaliter dingen als 2x + 8 = 2(x+4) bedoeld (en dat kan je ook binnen haakjes brengen hoor, wat dacht je van (1+1)?).quote:
[..]
Dit is toch binnen de haakjes zetten en er niet buiten en juist zo'n som laat mij in de war raken... niet die eerste.. die kan ik gemakkelijk. Ik kan beide makkelijk, maar ik weet niet welke ik moet gebruiken.. Dit snap ik gewoon wel.
Maar bij a³ - a denk ik elke keer dat ik a(a² - 1 ) moet doen, maar het is ...
Je moet het zover mogelijk ontbinden, de tweede manier dus.
Ik heb je het merkwaardige product daarvoor gegevenquote:Maar bij a³ - a denk ik elke keer dat ik a(a² - 1 ) moet doen, maar het is ...
Oke top.. Dan doe ik het als volgt zoals jij zegt:quote:
[..]
Hou het maar op ontbinden in factoren, met 'buiten haakjes brengen' worden normaliter dingen als 2x + 8 = 2(x+4) bedoeld (en dat kan je ook binnen haakjes brengen hoor, wat dacht je van (1+1)?).
Je moet het zover mogelijk ontbinden, de tweede manier dus.
[..]
Ik heb je het merkwaardige product daarvoor gegeven
Altijd ontbinden in factoren, anders de ene manier van het naar buiten halen van de getallen (buiten haakjes, dus de aller simpelste methode. )
Ik merk veel taalfouten in mijn posts.. Maar dat komt doordat ik gehaast typt en snel weer aan de slag wil gaan.
Dat laatste klopt niet.quote:
Maar bij a³ - a denk ik elke keer dat ik a(a² - 1 ) moet doen, maar het is ... (a² + b) (a² - b)
Aha, ik wist niet dat er meerdere methoden waren om tot de abc-formule te komen. Weer wat geleerdquote:
[..]
Dat is inderdaad ook de methode van Sridhara. Het lijkt erop dat deze methode in ieder geval in het onderwijs lang was vergeten want in de meeste Nederlandse schoolboeken uit de 20ste eeuw deelt men eerst beide leden door a om de coëfficiënt van de kwadratische term gelijk te maken aan 1, maar dan krijg je nogal wat breuken in je afleiding, zie bijvoorbeeld hier voor een vergelijk van beide afleidingen.
In schoolboeken uit de 19de eeuw kom je de methode van Sridhara wel tegen. In Engelse schoolboeken uit die periode heet dat dan vaak de Hindoo method. Het oudste mij bekende Nederlandse schoolboek waarin de abc-formule in de thans gebruikelijke vorm wordt gegeven en wordt afgeleid volgens de methode van Sridhara is een boekje van Colenso dat omstreeks 1860 voor het eerst verscheen (hier, collectie Nederlands Schoolmuseum). Maar, ongetwijfeld niet toevallig, was dit een bewerking van een Engels origineel. Het zal je opvallen hoe kort de afleiding hier wordt weergegeven. Leerlingen hadden daar toen voldoende aan om te zien hoe het in elkaar zit. De abc-formule speelde verder nauwelijks een rol, kwadratische vergelijkingen die niet zijn op te lossen via ontbinding in factoren werden gewoonlijk opgelost via kwadraatafsplitsing of via de pq-formule (zie hier).
[..]
Het boek van Van de Craats is geen leerboek, het is meer een opfriscursus en oefenboek voor mensen die de stof al wel eens eerder hebben gezien. Het boek wordt echter ook vaak gebruikt door mensen die de stof niet eerder hebben gezien, met alle gevolgen van dien. Dat is één van de redenen waarom ik dit boek nooit aanraad aan mensen die een wiskunde deficiëntie willen wegwerken en zich willen voorbereiden op een toelatingsexamen. Afgezien daarvan vind ik het boek ook in zijn genre niet bijster geslaagd.
[..]
Kwadratische vergelijkingen kreeg je vroeger tegen het einde van de tweede klas van de H.B.S. of het Gymnasium. Maar ja, toen was algebra een apart schoolvak en was er ook echt onderwijs.
Ik heb inderdaad ook al gelezen dat het basisboek wiskunde niet echt een leerboek is. Jammer genoeg geeft de universiteit wel een literatuurverwijzing van dat boek. Echter vind ik het icm met filmpjes van de wiskundeacademie en khanacademy goed te doen. Ik vind het jammer dat het boek sommige dingen echt te onduidelijk uitlegt. Neem bijv. de absolute waarde-functie. In een filmpje van khanacademy.org was het mij in een minuut duidelijk.
Interessant iets:
functievoorschrift:
f(x) = -x² + 4x + 1
Top is (2,5)
met kwadraatafsplitsing is dit direct te zien
-(x² - 4x + 4 ) + 5 ofwel -(x² -2)² + 5
Dus x = 2 en f(x) of yt is dan =5
dus x = 2 en yt (f(x) = 5
Hoe kan f(x) 5 zijn? Het moet toch √5 zijn?
en hoe kan ik de toppen bepalen van y = -3x² +7 ?
[ Bericht 4% gewijzigd door RustCohle op 03-05-2014 21:49:38 ]
functievoorschrift:
f(x) = -x² + 4x + 1
Top is (2,5)
met kwadraatafsplitsing is dit direct te zien
-(x² - 4x + 4 ) + 5 ofwel -(x² -2)² + 5
Dus x = 2 en f(x) of yt is dan =5
dus x = 2 en yt (f(x) = 5
Hoe kan f(x) 5 zijn? Het moet toch √5 zijn?
en hoe kan ik de toppen bepalen van y = -3x² +7 ?
[ Bericht 4% gewijzigd door RustCohle op 03-05-2014 21:49:38 ]
Nee, hier heb je een typo. Na kwadraatafsplitsing heb jequote:
Interessant iets:
functievoorschrift:
f(x) = -x² + 4x + 1
Top is (2,5)
met kwadraatafsplitsing is dit direct te zien
-(x² - 4x + 4 ) + 5 ofwel -(x² -2)² + 5
f(x) = −(x −2)2 + 5
Ja, maar let op je notatie. Als je de coördinaten van de top van de parabool aangeeft als (xt;yt) gebruik dan ook consequent xt en yt voor de x-coördinaat resp. de y-coördinaat van de top.quote:Dus xt = 2 en f(xt) of yt is dan 5
dus xt = 2 en yt = f(xt) = 5
Nee. Je raakt kennelijk in de war door je eigen verschrijving, maar je maakt daarnaast ook nog een rare gedachtenkronkel die ik niet echt kan volgen. Als je x = 2 invult in bovenstaand functievoorschrift, dan krijg je f(2) = 5. De coördinaten van de top zijn dus (2;5). De functiewaarde bereikt een maximum van 5 bij x = 2, en de grafiek van deze functie is dan ook een bergparabool.quote:Hoe kan f(x) 5 zijn? Het moet toch √5 zijn?
Heel eenvoudig, hier hoef je niet eens kwadraatafsplitsing toe te passen. Of, bekijk het eens als volgt. Er staat eigenlijk y = (x − 0)2 − 1. Een kwadraat van een reëel getal kan niet negatief zijn, dus de uitdrukking x2 − 1 bereikt een laagste waarde als x2 gelijk is aan nul, en dat is het geval als x = 0. De grafiek van y = x2 − 1 is een dalparabool met als top (laagste punt!) het punt met de coördinaten (0;−1).quote:En hoe kan ik de toppen bepalen van y = x² - 1 ?
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 03-05-2014 22:14:00 ]
Als je 2 invult in de formule krijg je toch echt 5 uit.quote:
Interessant iets:
functievoorschrift:
f(x) = -x² + 4x + 1
Top is (2,5)
met kwadraatafsplitsing is dit direct te zien
-(x² - 4x + 4 ) + 5 ofwel -(x² -2)² + 5
Dus x = 2 en f(x) of yt is dan =5
dus x = 2 en yt (f(x) = 5
Hoe kan f(x) 5 zijn? Het moet toch √5 zijn?
en hoe kan ik de toppen bepalen van y = -3x² +7 ?
Wat weet je over de richtingscoefficient van een top? Wat is een top? Probeer het eens zelf af te leiden uit de formules. Ben je al met afgeleides bezig?
Bij kwadraatafsplitsing denk ik gelijk aan wortels.... want dan wil je toch de vergelijking oplossen...quote:
[..]
Nee, hier heb je een typo. Na kwadraatafsplitsing heb je
f(x) = −(x −2)2 + 5
[..]
Ja, maar let op je notatie. Als je de coördinaten van de top van de parabool aangeeft als (xt;yt) gebruik dan ook consequent xt en yt voor de x-coördinaat resp. de y-coördinaat van de top.
[..]
Nee. Je raakt kennelijk in de war door je eigen verschrijving, maar je maakt daarnaast ook nog een rare gedachtenkronkel die ik niet echt kan volgen. Als je x = 2 invult in bovenstaand functievoorschrift, dan krijg je f(2) = 5. De coördinaten van de top zijn dus (2;5). De functiewaarde bereikt een maximum van 5 bij x = 2, en de grafiek van deze functie is dan ook een bergparabool.
[..]
Heel eenvoudig, hier hoef je niet eens kwadraatafsplitsing toe te passen. Of, bekijk het eens als volgt. Er staat eigenlijk y = (x − 0)2 − 1. Een kwadraat van een reëel getal kan niet negatief zijn, dus de uitdrukking x2 − 1 bereikt een laagste waarde als x2 gelijk is aan nul, en dat is het geval als x = 0. De grafiek van y = x2 − 1 is een dalparabool met als top (laagste punt!) het punt met de coördinaten (0;−1).
Hier nog een rare:
2x² - 8x
ik heb de kwadraatafsplitsing gebruikt en ik deed het zo:
2x² - 8x
2(x - 2)² = -16
Dus x = 2 of x = -16
toch is het antwoord x = 2 of x = -8 ....
Een top is het hoogste of laagste punt van een parabool. Bij een negatieve richtingsco is het een bergparabool en bij een positieve richtingsco is het een dalparabool.quote:
[..]
Als je 2 invult in de formule krijg je toch echt 5 uit.
Wat weet je over de richtingscoefficient van een top? Wat is een top? Probeer het eens zelf af te leiden uit de formules. Ben je al met afgeleides bezig?
Bij afgeleides ben ik nog niet.
Ik weet wel (na wat googlen) dat de xtop te bepalen is door een simpele methode -b/2a evenals de ytop --> c - b² / 4a
echter wil ik het zonder klakkenloos invullen van de formule het snappen via de kwadraatafsplitsing methode
Wat krijg je als je 2(x - 2)² uitwerkt?quote:
[..]
Bij kwadraatafsplitsing denk ik gelijk aan wortels.... want dan wil je toch de vergelijking oplossen...
Hier nog een rare:
2x² - 8x
ik heb de kwadraatafsplitsing gebruikt en ik deed het zo:
2x² - 8x
2(x - 2)² = -16
Dus x = 2 of x = -16
toch is het antwoord x = 2 of x = -8 ....
Nee. Je moet niet vergelijkingen en functievoorschriften met elkaar verwarren. En eerder gebruikte je ook al het woord vergelijking voor een veelterm, en ook dat is niet juist. Let op de juiste terminologie.quote:
[..]
Bij kwadraatafsplitsing denk ik gelijk aan wortels.... want dan wil je toch de vergelijking oplossen...
Wat je hier doet is onzin. De uitdrukking (tweeterm) 2x2 − 8x is geen vergelijking, er is immers geen =-teken. Maar in je tweede regel introduceer je plotseling out of the blue een =-teken, en dan wil je kennelijk de waarden van x bepalen waarvoor geldtquote:Hier nog een rare:
2x² - 8x
ik heb de kwadraatafsplitsing gebruikt en ik deed het zo:
2x² - 8x
2(x - 2)² = -16
Dus x = 2 of x = -16
toch is het antwoord x = 2 of x = -8 ....
2(x − 2)2 = −16
Maar dit is equivalent met
(x − 2)2 = −8
en deze vergelijking heeft geen (reële) oplossingen, aangezien het kwadraat van een (reëel) getal immers niet negatief kan zijn.
Oh vanwege die 2 bij 2(x − 2)2 = −16 moet ik dus die 2 weghalen en deze delen met die -16?quote:
[..]
Nee. Je moet niet vergelijkingen en functievoorschriften met elkaar verwarren. En eerder gebruikte je ook al het woord vergelijking voor een veelterm, en ook dat is niet juist. Let op de juiste terminologie.
[..]
Wat je hier doet is onzin. De uitdrukking (tweeterm) 2x2 − 8x is geen vergelijking, er is immers geen =-teken. Maar in je tweede regel introduceer je plotseling out of the blue een =-teken, en dan wil je kennelijk de waarden van x bepalen waarvoor geldt
2(x − 2)2 = −16
Maar dit is equivalent met
(x − 2)2 = −8
en deze vergelijking heeft geen (reële) oplossingen, aangezien het kwadraat van een (reëel) getal immers niet negatief kan zijn.
Ik zou bij deze:quote:
[..]
Oh vanwege die 2 bij 2(x − 2)2 = −16 moet ik dus die 2 weghalen en deze delen met die -16?
-2(x - 2 )² + 1 dan weer het volgende zeggen dat dat gelijk is aan
-2(x - 2 )²= -1
top is (2, 1/2) omdat je die -1 deelt door die -2, maar het antwoordenboek zegt gewoon
top is (2, 1)
Nee, in een top loopt de raaklijn aan de grafiek juist horizontaal, en dan is de richtingscoëfficiënt van de curve ter plaatse (oftewel de afgeleide) dus gelijk aan nul.quote:
[..]
Een top is het hoogste of laagste punt van een parabool. Bij een negatieve richtingsco is het een bergparabool en bij een positieve richtingsco is het een dalparabool.
En zo te zien zal het ook nog heel lang duren voordat je daar aan toe komt.quote:Bij afgeleides ben ik nog niet.
Als we een kwadratische functiequote:Ik weet wel (na wat googlen) dat de xtop te bepalen is door een simpele methode -b/2a evenals de ytop --> c - b² / 4a
f(x) = ax2 + bx + c
hebben (a ≠ 0), dan is de grafiek hiervan een parabool, en zijn de coördinaten van de top
(−b/2a; −D/4a)
waarbij
D = b2 − 4ac
de discriminant is van de kwadratische veelterm ax2 + bx + c.
quote:echter wil ik het zonder klakkenloos invullen van de formule het snappen via de kwadraatafsplitsing methode
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 04-05-2014 07:58:13 ]
Aha, thanks.quote:
[..]
Nee, in een top loopt de raaklijn aan de grafiek juist horizontaal, en dan is de richtingscoëfficiënt van de curve ter plaatse (oftewel de afgeleide) dus gelijk aan nul.
[..]
En zo te zien zal het ook nog heel lang duren voordat je daar aan toe komt.
[..]
Nou nee, dit klopt niet. Als we een kwadratische functie
f(x) = ax2 + bx + c
hebben (a ≠ 0), dan is de grafiek hiervan een parabool, en zijn de coördinaten van de top
(−b/2a; −D/4a)
waarbij
D = b2 − 4ac
de discriminant is van de kwadratische veelterm ax2 + bx + c.
[..]
Zou je op de twee posts kunnen reageren boven jouw post?
Nee, nu doe je weer precies hetzelfde, namelijk zomaar een =-teken introduceren dat er eerst niet staat. Dat is altijd fout.quote:
[..]
Ik zou bij deze:
-2(x - 2 )² + 1 dan weer het volgende zeggen dat dat gelijk is aan
-2(x - 2 )²= -1
Je hebt de functiequote:top is (2, 1/2) omdat je die -1 deelt door die -2, maar het antwoordenboek zegt gewoon
top is (2, 1)
f(x) = −2(x − 2 )2 + 1
Deze functie bereikt een maximum van 1 voor x = 2. De grafiek is een bergparabool met als top het punt met de coördinaten (2; 1). Je kunt het maximum alsmede de waarde van x waarbij dit maximum wordt bereikt direct aflezen uit het functievoorschrift. Een kwadraat kan niet negatief zijn, zodat de term −2(x − 2 )2 altijd kleiner dan nul of ten hoogste gelijk aan nul zal zijn. En deze term is nul voor x = 2, en daarbij is de functiewaarde f(2) = 1. Voor alle andere waarden van x zal de term −2(x − 2 )2 negatief zijn, en de functiewaarde dus ook kleiner dan 1.
Ik denk dat ik het zie waarom ik die = tevoorschijn haal.. Ik denk steeds dat het hetzelfde methode is als kwadraatafsplitsing voor het OPLOSSEN van een vergelijking.quote:
[..]
Nee, nu doe je weer precies hetzelfde, namelijk zomaar een =-teken introduceren dat er eerst niet staat. Dat is altijd fout.
[..]
Je hebt de functie
f(x) = −2(x − 2 )2 + 1
Deze functie bereikt een maximum van 1 voor x = 2. De grafiek is een bergparabool met als top het punt met de coördinaten (2; 1). Je kunt het maximum alsmede de waarde van x waarbij dit maximum wordt bereikt direct aflezen uit het functievoorschrift. Een kwadraat kan niet negatief zijn, zodat de term −2(x − 2 )2 altijd kleiner dan nul of ten hoogste gelijk aan nul zal zijn. En deze term is nul voor x = 2, en daarbij is de functiewaarde f(2) = 1. Voor alle andere waarden van x zal de term −2(x − 2 )2 negatief zijn, en de functiewaarde dus ook kleiner dan 1.
Je kunt kwadraatafsplitsing gebruiken om een kwadratische vergelijking op te lossen, maar ook om het functievoorschrift van een kwadratische functie om te werken naar een vorm waarbij je direct kunt aflezen voor welke waarde van x de kwadratische functie een minimum of een maximum bereikt, en wat die extreme functiewaarde (minimum of maximum) dan is.quote:
[..]
Ik denk dat ik het zie waarom ik die = tevoorschijn haal.. Ik denk steeds dat het hetzelfde methode is als kwadraatafsplitsing voor het OPLOSSEN van een vergelijking.
De algebraïsche techniek is precies hetzelfde, maar wat je ermee doet is verschillend. Je kunt ook een functievoorschrift van een kwadratische functie gelijk stellen aan nul, en dan de resulterende kwadratische vergelijking oplossen. Daarmee bepaal je de x-coördinaten van de (eventuele) snijpunten van de grafiek van de kwadratische functie met de x-as. Maar je zult toch hopelijk wel inzien dat het bepalen van de coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de x-as iets anders is dan het bepalen van de coördinaten van de top van een parabool die een grafiek is van een kwadratische functie.
