[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op donderdag 7 november 2013 01:23 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Waarom zou je de functie willen herleiden? x is toch gewoon makkelijk te berekenen?

Nee, want je moet in feite een dubbele ongelijkheid oplossen. En als je dat algebraïsch wil doen, dan zul je toch echt het één en ander moeten herleiden. Je hebt overigens ook weinig aan het maken van een tekenschema als je niet eerst het rechterlid van de betreffende ongelijkheden op nul herleidt.

quote:

En bedoel je met het schetsen van de teller en noemer gewoon de grafiek van de functie? Zoja, hoe kan ik uit die schets afleiden welke ongelijkheidtekens ik moet gebruiken?

Je zou zo zonder herleidingen uit het functievoorschift

f(x) = (2x + 2)/(−2x + 1)

moeten kunnen aflezen dat de grafiek van deze functie een horizontale asymptoot y = −1 heeft en een verticale asymptoot x = 1/2.

Hoe zie ik dat zo snel? Wel, je kunt om te beginnen zien dat de noemer van de breuk uit het functievoorschrift nul wordt als −2x + 1 = 0 en dus x = 1/2. Dat betekent dat de functie niet is gedefinieerd voor x = 1/2. Maar aangezien de teller 2x + 2 niet nul is als we x heel dicht in de buurt van die x = 1/2 laten komen, betekent dit dat f(x) steeds grotere positieve waarden óf steeds kleinere negatieve waarden aanneemt, al naar gelang we net 'links' van die x = 1/2 of net 'rechts' van die x = 1/2 zitten. Het is niet moeilijk aan te tonen dat de absolute waarde |f(x)| van de functie willekeurig groot kan worden gemaakt als we x maar dicht genoeg in de buurt van die x = 1/2 nemen, en dat is typisch voor een verticale asymptoot.

Maar nu die horizontale asymptoot, hoe zie ik dat? Wel, als je teller en noemer door x deelt, dan heb je

f(x) = (2 + 2/x)/(−2 + 1/x)

Als we nu de absolute waarde van x steeds groter laten worden, dan naderen 2/x en 1/x tot nul, zodat de functiewaarde dan nadert tot 2/−2 = −1. We kunnen de functiewaarde willekeurig dicht laten naderen tot −1, maar de functiewaarde wordt nooit exact −1.

Nu je de asymptoten kent van de grafiek is het eenvoudig de grafiek te schetsen met potlood en papier, maar we kunnen dat ook door bijvoorbeeld WolframAlpha laten doen.

Oplossen van f(x) = 1 levert x = −1/4, en met behulp van de grafiek van de functie kun je dan eenvoudig aflezen dat −1 ≤ f(x) ≤ 1 voor x ≤ −1/4.

Wil je het geheel algebraïsch oplossen, dan moet je zoals gezegd twee ongelijkheden oplossen. De voorwaarde −1 ≤ f(x) ≤ 1 is namelijk equivalent met

f(x) + 1 ≥ 0 ∧ f(x) − 1 ≤ 0

Als je het goed doet, vind je dan als oplossing van de eerste ongelijkheid x < 1/2 en als oplossing van de tweede ongelijkheid x ≤ −1/4. Aangezien de tweede voorwaarde de eerste impliceert, heb je dan weer x ≤ −1/4 als oplossing van je dubbele ongelijkheid.

quote:

Op donderdag 7 november 2013 01:23 schreef wiskundenoob het volgende:
Nope.

Slecht hoor. Schop je (vroegere) wiskundedocent namens mij maar voor zn ballen .

quote:

Waarom zou je de functie willen herleiden? x is toch gewoon makkelijk te berekenen?

Ach, zoveel scheelt het qua rekenwerk ook weer niet, en het laat een truck zien die je later nog wel vaker zult tegenkomen.

quote:

En bedoel je met het schetsen van de teller en noemer gewoon de grafiek van de functie? Zoja, hoe kan ik uit die schets afleiden welke ongelijkheidtekens ik moet gebruiken?

Nee, wat ik bedoel is een tekenoverzicht van de functie opstellen, en in het geval van dit slag gebroken a.k.a, rationale functies om eerst adhv zo'n tekenoverzicht het gedrag van tellen en noemer in kaart te brengen. Om met de teller te beginnen:


lijn 1.) is zelfuitleggend: daar zet ik het label voor de teller van de functie neer.
lijn 2.) zijn de waarden die de teller aanneemt voor de x-waarden
lijn 3.) is doodsimpel een rechte (scheids)lijn
lijn 4.) zijn de x-waarden die je in de teller inplugt

Zoals je kunt zien zijn de punten (-1,0) en (0,-2) belangrijk; het zijn nl. de punten waar de teller 0 wordt resp. waarde die de teller aanneemt bij het invullen van x=0.

Dezelfde grap halen we uiteraard ook uit met de noemer.


hier geldt

lijn 1.) is zelfuitleggend: daar zet ik nu het label voor de _noemer_ van de functie neer.
lijn 2.) zijn de waarden die de noemer aanneemt voor de x-waarden
lijn 3.) is, wederom, doodsimpel een rechte (scheids)lijn
lijn 4.) zijn de x-waarden die je in de noemer inplugt.

Let erop dat de noemer niet 0 mag worden, want in dat geval is f(x) niet gedefinieerd. Dit geven we in zo'n tekenoverzicht aan met een ster boven de streep boven de x-waarde waar de noemer 0 wordt. We kijken ook even naar wat de noemer doet wanneer x 0 wordt. Je zou denken: wat de n##k moet ik daar nou mee? Nou, simpel; we gaan nu de overzichten van teller en noemer even onder elkaar zetten. Vervolgens gaan we adhv de resultaten van teller en noemer kijken wanneer f(x) positief en wanneer f(x) negatief is, door het teken van de teller met die van de noemer te vergelijken. Daarbij maken we gebruik van een stukje boleaanse logica, nl. de regels:

positief * positief = positief
negatief * positief = negatief
positief * negatief = negatief
negatief * negatief = positief

we kijken ook naar het gedrag van van de teller, noemer en f(x) in zn geheel voor de interessante waarden (bij welke x is de teller nul, bij welke x is de noemer nul, wanneer is f(x) nul, welke waarde krijgt de teller/noemer/f(x) als we 0 invullen). Die vermelden we in het tekenoverzicht. Zodoende krijgen we:




Als je vervolgens ook de limieten van f(x) voor naar +oneindig resp -oneindig berekent, kan je aan de randen van het tekenoverzicht van f(x) deze limietwaarden neerpennen (beiden -1). Je kan rond x=1/2 ook aangeven welk asymptotisch gedrag f(x) vertoont met ⤴ of ⤵ als je van links komt, en de vertikaal gespiegelde tegenhangers van die pijlen (waar ze bij het W3C en het Unicode consortium _géén_ codes voor gereserveerd hebben ) als je van rechts komt. Op die manier kun je ook zonder Wolfram het gedrag van een functie inzichtelijk maken.

quote:

Op donderdag 7 november 2013 01:55 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik wel. Maar eerst een opmerking: die identiteiten heten additietheorema's. Je moet er geen mengelmoes van steenkolenengels en potjeslatijn van maken, ook al heb je het voornemen om medicijnen te gaan studeren.

De kleinste (rotatie)hoek onder de vier gegeven alternatieven is <A> 140°, zodat k > 4 moet zijn om één van de gegeven antwoorden te krijgen. En zo zie je direct dat we met k = 5 uitkomen op <D> 155°.

Dank u! Ik ga dit bestuderen met het boekje. Excuus voor het gebruiken van de verkeerde terminologie, dat is niet enkel bij wiskunde zo bij mij.

Twee algemene vragen over limieten/asymptoten:

1. Hoeveel horizontale asymptoten kan een grafiek van een functie maximaal hebben.
2. Hoeveel verticale asymptoten kan een grafiek van een functie maximaal hebben?

Volgens het boekje is het antwoord op 1: 2(delen) en voor 2: oneindig.

Als er maximaal 2 horizontale asymptoten kunnen bestaan voor een functie dan betekent dat de functie ingesloten wordt tussen de 2 bijbehorende y-waarde. Waarom zou er geen 3e of 4e bij kunnen komen? Stel 4 horizontale asymptoten voor functie f(x)=een functie:

y=-1
y=0
y=1
y=2

Ik zou dan een grafiek tekenen die uit stukjes bestaat: ieder stuk gaat precies verder na respectievelijk y=-1, 0, 1 en 2. Dan zitten de lijnen van de grafiek niet aan elkaar, maar heb je wel een grafiek, enkel bestaan er geen x waarde voor de genoemde y waarde.

Datzelfde principe zou ik gebruiken voor de verticale asymptoten. Maar daar staat het antwoord al waarna ik verlang: oneindig veel verticale asymptoten.

Als het niet kan, dan zou dat voor mij betekenen dat een functie een andere definitie heeft dan ik denk: namelijk dat de functie per definitie aan elkaar moet zitten. Echter, dat betwijfel ik omdat een functie: (x^2 - 1)/(x^2 - 2x - 3) uit 2 delen bestaat: een linker- en rechterlimiet.

Deze twee delen raken elkaar niet aan door de horizontale asymptoot.

Er komt nu iets bij me op: een 2e horizontale asymptoot bij mijn vorige functie zou betekenen dat de functie in 3 delen kan worden opgedeeld.

Om mijn punt te illustreren en te verdedigen waarom ik denk dat een functie oneindig veel horizontale asymptoten kan hebben (uiteraard afhangend van de functie zelf!):

quote:

Op donderdag 7 november 2013 17:50 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Dank u! Ik ga dit bestuderen met het boekje. Excuus voor het gebruiken van de verkeerde terminologie, dat is niet enkel bij wiskunde zo bij mij.

Je zult zien dat je veel plezier gaat beleven aan het boekje. Alle schoolstof goniometrie zoals die vroeger in Nederland werd behandeld (en nog steeds in andere beschaafde landen) wordt duidelijk uitgelegd in het eerste deel en daarmee heb je een uitstekende voorbereiding op bijvoorbeeld Vlaamse examens.

quote:

Twee algemene vragen over limieten/asymptoten:

1. Hoeveel horizontale asymptoten kan een grafiek van een functie maximaal hebben.
2. Hoeveel verticale asymptoten kan een grafiek van een functie maximaal hebben?

Volgens het boekje is het antwoord op 1: 2(delen) en voor 2: oneindig.

Het antwoord van het boekje is correct.

quote:

Als er maximaal 2 horizontale asymptoten kunnen bestaan voor een functie dan betekent dat de functie ingesloten wordt tussen de 2 bijbehorende y-waarde. Waarom zou er geen 3e of 4e bij kunnen komen? Stel 4 horizontale asymptoten voor functie f(x)=een functie:

y=-1
y=0
y=1
y=2

Ik zou dan een grafiek tekenen die uit stukjes bestaat: ieder stuk gaat precies verder na respectievelijk y=-1, 0, 1 en 2. Dan zitten de lijnen van de grafiek niet aan elkaar, maar heb je wel een grafiek, enkel bestaan er geen x waarde voor de genoemde y waarde.

Je houdt er geen rekening mee dat het de grafiek moet zijn van een functie. Uiteraard is het mogelijk een curve te bedenken die meer dan twee - zelfs oneindig veel - horizontale asymptoten heeft. Denk bijvoorbeeld aan de grafiek van de tangensfunctie als je deze een kwart slag draait. Maar: dan is het niet meer de grafiek van een functie.

Kenmerkend voor de grafiek van een functie is dat er bij elke x-waarde ten hoogste één y-waarde hoort. Anders gezegd: elke verticale lijn mag de grafiek in ten hoogste één punt snijden. En aan die voorwaarde is niet te voldoen als je een curve hebt met méér dan twee horizontale asymptoten.

quote:

Datzelfde principe zou ik gebruiken voor de verticale asymptoten. Maar daar staat het antwoord al waarna ik verlang: oneindig veel verticale asymptoten.

Een eenvoudig voorbeeld van een grafiek van een functie met oneindig veel verticale asymptoten is de grafiek van de functie f(x) = tan x op R. Deze functie is niet gedefinieerd voor x = ½π + kπ, k ∈ Z, omdat tan x = sin x / cos x terwijl cos x = 0 voor x = ½π + kπ, k ∈ Z. Het is echter ook zo dat de absolute waarde |f(x)| van deze functie willekeurig groot kan worden als we voor x maar een waarde nemen die voldoende dicht in de buurt ligt van een x = ½π + kπ, k ∈ Z. En dat is kenmerkend voor een verticale asymptoot, waarvan de grafiek van deze functie er dus oneindig veel heeft.

quote:

Als het niet kan, dan zou dat voor mij betekenen dat een functie een andere definitie heeft dan ik denk: namelijk dat de functie per definitie aan elkaar moet zitten. Echter, dat betwijfel ik omdat een functie: (x^2 - 1)/(x^2 - 2x - 3) uit 2 delen bestaat: een linker- en rechterlimiet.

De grafiek van een functie hoeft inderdaad niet uit één aaneengesloten curve te bestaan. Maar de grafiek van de functie die je hier geeft heeft helemaal geen asymptoot. Het lijkt er dus op dat je nog niet begrijpt wat een asymptoot nu eigenlijk is.

quote:

Deze twee delen raken elkaar niet aan door de horizontale asymptoot.

Nee, dat is niet zo. De twee delen van de grafiek van deze functie zijn 'los' van elkaar omdat de functie een discontinuïteit heeft bij x = −1. Maar dat is iets totaal anders dan een asymptoot.

quote:

Er komt nu iets bij me op: een 2e horizontale asymptoot bij mijn vorige functie zou betekenen dat de functie in 3 delen kan worden opgedeeld.

Om mijn punt te illustreren en te verdedigen waarom ik denk dat een functie oneindig veel horizontale asymptoten kan hebben (uiteraard afhangend van de functie zelf!):

[ afbeelding ]

Nee. De grafiek van de functie in je plaatje heeft geen asymptoot, maar de functie heeft wel een discontinuïteit bij x = 1.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 09-11-2013 17:19:53 ]

Ik zit met het volgende probleem: schrijf pi*(a+b) als machtreeks van de excentriciteit van de ellips. Waarbij a en b de assen van de ellips zijn. Voor de duidelijkheid pi*(a+b) is een benadering van de omtrek van een ellips. Alle hulp is welkom!

quote:

Op donderdag 7 november 2013 19:16 schreef gaussie het volgende:
Ik zit met het volgende probleem: schrijf pi*(a+b) als machtreeks van de excentriciteit van de ellips. Waarbij a en b de assen van de ellips zijn. Voor de duidelijkheid pi*(a+b) is een benadering van de omtrek van een ellips. Alle hulp is welkom!

Mischien heb je hier iets aan. Kijk ook naar de literatuurverwijzingen.

Heey, zou iemand mij deze vraag kunnen uitleggen:

http://www.freebits.nl/images/161opgave_6.png

Het is een opgave uit de proeftoets, heb morgen de echte toets. Dus als iemand mij zou kunnen helpen, graag!

quote:

Op donderdag 7 november 2013 20:13 schreef ronaldoo12 het volgende:
Heey, zou iemand mij deze vraag kunnen uitleggen:

http://www.freebits.nl/images/161opgave_6.png

Het is een opgave uit de proeftoets, heb morgen de echte toets. Dus als iemand mij zou kunnen helpen, graag!

Pas de definities toe van injectie en surjectie. Als je dit nu nog niet begrijpt, dan vraag ik me af hoe het morgen met je toets gaat. Eerder beginnen met studeren en je stof bijhouden.

1.

Stel f(a) = b en f(a') = b. Bewijs nu dat a = a', dit impliceert dat f(x) injectief is.

2.

In prenex-normaalvorm:

∀y in R∃x in R[f(x) = 4x -3]

Dus bewijs nu dat voor willekeurige y je altijd een x kunt construeren, dan is bovenstaande waar en is f(x) dus surjectief.

Als ik een fout maak gaarne commentaar.

quote:

Op donderdag 7 november 2013 19:29 schreef Riparius het volgende:

[..]

Mischien heb je hier iets aan. Kijk ook naar de literatuurverwijzingen.

Daar heb ik al gekeken. Heb geprobeerd om de methode die wordt gebruikt om de exacte omtrek af te leiden toe te passen. Maar ik zie niet hoe dat zou moeten. De exacte uitdrukking wordt afgeleid door de ellips als parametrische kromme te schrijven. Dat idee uitwerken levert een elliptische integraal op. Dat uitwerken levert een oneindige reeks uitgedrukt in de excentriciteit. Maar om deze methode toe te passen zou je eerst pi*(a+b) als integraal moeten schrijven. Maar is dat uberhaupt mogelijk?

quote:

Op donderdag 7 november 2013 21:59 schreef gaussie het volgende:

[..]

Daar heb ik al gekeken. Heb geprobeerd om de methode die wordt gebruikt om de exacte omtrek af te leiden toe te passen. Maar ik zie niet hoe dat zou moeten. De exacte uitdrukking wordt afgeleid door de ellips als parametrische kromme te schrijven. Dat idee uitwerken levert een elliptische integraal op. Dat uitwerken levert een oneindige reeks uitgedrukt in de excentriciteit.

Ja. Tot zover kan ik je volgen.

quote:

Maar om deze methode toe te passen zou je eerst pi*(a+b) als integraal moeten schrijven. Maar is dat uberhaupt mogelijk?

Ik begrijp niet precies wat je hiermee bedoelt c.q. wat je nu eigenlijk wil. Je kunt π(a + b) strict genomen niet schrijven als machtreeks in ε = √(1 − b²/a²) omdat a + b onbepaald is als je alleen b/a kent.

hoeveel termen heeft deze meetkundige rij ?

2 + 6 + 18 + 54 + · · · + 1458

ik weet hoe ik t met mn rekenmachine kan doen, steeds keer 3.. en dan kom ik op n=7 . maar is er een andere manier ?

quote:

Op donderdag 7 november 2013 22:11 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja. Tot zover kan ik je volgen.

[..]

Ik begrijp niet precies wat je hiermee bedoelt c.q. wat je nu eigenlijk wil. Je kunt π(a + b) strict genomen niet schrijven als machtreeks in ε = √(1 − b²/a²) omdat a + b onbepaald is als je alleen b/a kent.

Voor pi zijn er toch verscheidene bepaalde integralen, als ik het goed heb. Dan zou het toch mogelijk kunnen zijn om pi*(a+b) ook als bepaalde integraal uit te drukken? Als dat lukt, dan kan ik de methode voor de exacte uitdrukking 1 op 1 kopieren.

quote:

Op donderdag 7 november 2013 22:56 schreef ronaldoo12 het volgende:
ik weet hoe ik t met mn rekenmachine kan doen, steeds keer 3.. en dan kom ik op n=7 . maar is er een andere manier ?

Een meetkundige rij heeft als vorm:

a, ar, ar², ar³, ..., arⁿ

Nu weet je dat a = 2 en r = 3 en je weet dat arⁿ = 1458

Dus 2 * 3ⁿ = 1458, en dan heb je een simpele vergelijking die je op kan lossen.

3ⁿ = 729
n = ³log(729) = 6

Maar de rij begint bij n=0, dus eentje er bij optellen. Dus het is de 7-de term.

quote:

Op donderdag 7 november 2013 22:56 schreef ronaldoo12 het volgende:
ik weet hoe ik t met mn rekenmachine kan doen, steeds keer 3.. en dan kom ik op n=7 . maar is er een andere manier ?

Beetje creatief zijn. Noem de eerste term van je meetkundige rij t_e en de laatste t_l, en de reden r, dan is

t_l = t_e·rⁿ⁻¹

en dus

n = log(t_l/t_e) / log(r) + 1

quote:

Op donderdag 7 november 2013 22:56 schreef ronaldoo12 het volgende:
ik weet hoe ik t met mn rekenmachine kan doen, steeds keer 3.. en dan kom ik op n=7 . maar is er een andere manier ?

In feite staat er

2*3^0 +2*3^1 + 2*3^2 etc.

Om de exponent van 3^x = y te weten neem je de logaritme met grondtal 3 van y. ..

quote:

Op donderdag 7 november 2013 23:19 schreef gaussie het volgende:

[..]

Voor pi zijn er toch verscheidene bepaalde integralen, als ik het goed heb. Dan zou het toch mogelijk kunnen zijn om pi*(a+b) ook als bepaalde integraal uit te drukken? Als dat lukt, dan kan ik de methode voor de exacte uitdrukking 1 op 1 kopieren.

Ja, uiteraard zijn er integraaluitdrukkingen voor π, een heel eenvoudige is bijvoorbeeld

π/4 = ∫₀¹ dx/(1+x²)

Maar ik zie niet zo goed hoe je dat wil gebruiken om een reeksontwikkeling voor de omtrek van een ellips af te leiden. Ik denk dat je beter even kunt beginnen met dit. Maar ik vermoed dat je eigenlijk op zoek bent naar een herleiding van de formule van Gauss-Kummer. Dan kun je de omtrek van de ellips schrijven als het product van π(a + b) en een reeks in h = (a−b)/(a+b), als volgt:



[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 07-11-2013 23:48:06 ]

Ik heb werkelijk geen idee hoe ik de goniometrische identiteiten moet gebruiken om dit te herleiden:

ik snap niet hoe zij stellen dat

1 - cos x = 2(sin^2)0.5x



Ik ben steeds aan het kijken naar deze twee standaardlimieten, maar weet deze niet te gebruiken hiervoor.

(sinx)/x = 1 voor lim x nadert 0
(tanx)/x = 1 voor lim x nadert 0

Ik snap ook niet zo goed hoe ik zelf kan herleiden dat x/4 een factor is van (1-cosx)/x voor lim x nadert 0.

Edit:

Even kijken of ik het begrijp na deze video.


Edit2:

Hoe de videomaker het uitlegt lijkt veel minder omslachtig dan de uitleg van het boek.

[ Bericht 6% gewijzigd door DefinitionX op 08-11-2013 19:14:41 ]

quote:

Op vrijdag 8 november 2013 18:57 schreef DefinitionX het volgende:
Ik heb werkelijk geen idee hoe ik de goniometrische identiteiten moet gebruiken om dit te herleiden:

ik snap niet hoe zij stellen dat

1 - cos x = 2(sin^2)0.5x

[ afbeelding ]

Wel, we hebben hierboven gezien dat er drie identiteiten zijn voor de cosinus van de dubbele hoek die vaak van pas komen. Eén daarvan is

cos 2α = 1 − 2·sin²α

Kiezen we nu α = ½x, dan is 2α = x en krijgen we dus de identiteit

cos x = 1 − 2·sin²½x

Bij beide leden van deze identiteit 2·sin²½x optellen geeft

cos x + 2·sin²½x = 1

En nu van beide leden weer cos x aftrekken geeft

2·sin²½x = 1 − cos x

In het quotiënt (1 − cos x)/x kunnen we de teller dus vervangen door 2·sin²½x, zodat we krijgen

2·sin²½x / x

Nu teller en noemer delen door 2 en we hebben

sin²½x / ½x

En dit kunnen we weer schrijven als een product

(sin ½x)·(sin ½x / ½x)

Laten we nu x naar 0 gaan, dan gaat ½x ook naar 0, zodat de tweede factor sin ½x / ½x nadert tot 1 (standaardlimiet). Maar de eerste factor sin ½x gaat naar 0 voor x → 0, en dus gaat het product naar 0·1 = 0. Zo vinden we dus dat

lim_x→0 (1 − cos x)/x = 0

quote:

Op vrijdag 8 november 2013 18:57 schreef DefinitionX het volgende:

Even kijken of ik het begrijp na deze video.

Limit of (1-cos x)/x as x approaches zero

Edit2:

Hoe de videomaker het uitlegt lijkt veel minder omslachtig dan de uitleg van het boek.

De man in de video maakt wel een nodeloos lang verhaal van iets heel simpels. Je kunt inderdaad teller en noemer ook met (1 + cos x) vermenigvuldigen. Dit is onlangs ook nog op het forum aan de orde geweest voor de bepaling van een iets andere limiet, zie hier.

quote:

Op vrijdag 8 november 2013 19:26 schreef Riparius het volgende:

[..]

Bedankt!

quote:

Op vrijdag 8 november 2013 18:57 schreef DefinitionX het volgende:
Ik heb werkelijk geen idee hoe ik de goniometrische identiteiten moet gebruiken om dit te herleiden:

ik snap niet hoe zij stellen dat

1 - cos x = 2(sin^2)0.5x

[ afbeelding ]

Ik ben steeds aan het kijken naar deze twee standaardlimieten, maar weet deze niet te gebruiken hiervoor.

(sinx)/x = 1 voor lim x nadert 0
(tanx)/x = 1 voor lim x nadert 0

Ik snap ook niet zo goed hoe ik zelf kan herleiden dat x/4 een factor is van (1-cosx)/x voor lim x nadert 0.

Edit:

Even kijken of ik het begrijp na deze video.

Limit of (1-cos x)/x as x approaches zero

Edit2:

Hoe de videomaker het uitlegt lijkt veel minder omslachtig dan de uitleg van het boek.

Of in 2 regels.

lim_x→0(1-cos(x))/x = lim_x→0sin(x)/1 = 0

Stelling van l'Hospital, maar nu krijg ik gegarandeerd een haatreactie van Riparius die vindt dat het veel eleganter kan.

quote:

Op vrijdag 8 november 2013 20:36 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Of in 2 regels.

lim_x→0(1-cos(x))/x = lim_x→0sin(x)/1 = 0

Stelling van l'Hospital, maar nu krijg ik gegarandeerd een haatreactie van Riparius die vindt dat het veel eleganter kan.

DefinitionX is nog niet toe aan differentiëren, laat staan de stelling van l'Hospital (die eigenlijk van Johann Bernoulli is). En het gevaar ligt zo op de loer van een cirkelredenering als je deze limiet weer zou willen gebruiken om te bewijzen dat d(sin x)/dx = cos x.

quote:

Op vrijdag 8 november 2013 21:03 schreef Riparius het volgende:

[..]

DefinitionX is nog niet toe aan differentiëren, laat staan de stelling van l'Hospital (die eigenlijk van Johann Bernoulli is). En het gevaar ligt zo op de loer van een cirkelredenering als je deze limiet weer zou willen gebruiken om te bewijzen dat d(sin x)/dx = cos x.

Okay.