[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op dinsdag 29 oktober 2013 23:56 schreef thabit het volgende:
De matrix A kun je zien als een afbeelding van R² naar R² die v naar Av stuurt. De kolomruimte is niets anders dan het beeld van deze afbeelding, d.w.z. alle vectoren die daadwerkelijk van de vorm Av zijn. De matrix AB is als afbeelding gelijk aan B gevolgd door A: (AB)v = A(Bv). Alles wat van geschreven kan worden als ABv kan dus ook zeker geschreven worden als Aw (nl met w = Bv). Daarom is het beeld van AB bevat in het beeld van A.

Ik snap er nog steeds geen bal van.

Lineaire Algebra 1 man. Geen hocus pocus.

quote:

Op dinsdag 29 oktober 2013 23:59 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik snap er nog steeds geen bal van.

Lineaire Algebra 1 man. Geen hocus pocus.

Gezien de snelheid waarmee je reageert, heb je niet eens de tijd genomen om erover na te denken.

quote:

Op woensdag 30 oktober 2013 00:02 schreef thabit het volgende:

[..]

Gezien de snelheid waarmee je reageert, heb je niet eens de tijd genomen om erover na te denken.

Het is echt nooit in het college (noch in het dictaat behandeld).

Ik peins er wel even over verder. Bedankt voor je hulp.

Mijn eerste vraag over de inverse van A kun je vergeten, dat lukt wel.

Ik snap je redenering wel, maar het principe van een matrix als lineaire afbeelding is mij totaal onbekend. Daarom begrijp ik niet waarom de kolomruimte het beeld van A is.

quote:

Op dinsdag 29 oktober 2013 21:23 schreef Riparius het volgende:

[..]

Als λ₁ en λ₂ de wortels zijn van de vierkantsvergelijking

λ² + pλ + q = 0

dan geldt

λ₁ + λ₂ = −p, λ₁λ₂ = q

Zijn de wortels reëel, dan is de voorwaarde voor twee negatieve reële wortels λ₁ + λ₂ < 0 en tevens λ₁λ₂ > 0 en dus p > 0 en tevens q > 0.

Zijn de wortels λ₁ en λ₂ toegevoegd complex, dan is λ₁ = α + βi en λ₂ = α − βi waarbij α en β reëel zijn. De voorwaarde dat het reële deel α van de beide wortels negatief is, is dan equivalent met 2α = λ₁ + λ₂ = −p < 0 en dus p > 0. Merk op dat nu λ₁λ₂ = α² + β² > 0, zodat de voorwaarde λ₁λ₂ = q > 0 hier redundant is.

[..]

Je uiteindelijke voorwaarde wordt

(p > 0 ∧ q > 0 ∧ p² − 4q ≥ 0) ∨ (p > 0 ∧ p² − 4q < 0)

met p = l₂ − l₁ + 1 en q = 4l₁ − l₂ − 2

Thanks! Awesome

quote:

Op woensdag 30 oktober 2013 00:12 schreef Amoeba het volgende:
Ik snap je redenering wel, maar het principe van een matrix als lineaire afbeelding is mij totaal onbekend. Daarom begrijp ik niet waarom de kolomruimte het beeld van A is.

Bekijk

https://www.khanacademy.o(...)mn-space-of-a-matrix

en

https://www.khanacademy.o(...)-of-a-transformation

quote:

Op woensdag 30 oktober 2013 00:44 schreef Dale. het volgende:

[..]

Bekijk

https://www.khanacademy.o(...)mn-space-of-a-matrix

en

https://www.khanacademy.o(...)-of-a-transformation

Thanks. Morgen. PC staat in slaapstand met die video's open, dus dat is het eerste waar ik mee geconfronteerd ga worden.

*Knip*

[ Bericht 51% gewijzigd door DefinitionX op 30-10-2013 23:34:08 ]

quote:

Op woensdag 30 oktober 2013 00:12 schreef Amoeba het volgende:
Ik snap je redenering wel, maar het principe van een matrix als lineaire afbeelding is mij totaal onbekend. Daarom begrijp ik niet waarom de kolomruimte het beeld van A is.

Omdat je bij een vermenigvuldiging het resultaat kan zien als lineaire combinatie van de kolommen van de matrix.
Stel je hebt een matrix met kolomvectoren v₁ t/m v_n en je vermenigvuldigt met (a₁, ..., a_n)^T. Dan krijg je
(v₁, ..., v_n)(a₁, ..., a_n)^T = a₁v₁ + ... + a_nv_n

Dit lijkt ingewikkelder dan het is, als je het even narekent snap je het waarschijnlijk beter,

Riparius, ik ben dat boek dat je me gestuurd hebt aan het bestuderen en ben bij pagina 4: 1.2 Goniometrische Formules, verwante hoeken.



Op de eenheidscirkel snap ik het, maar als ik 2 driehoeken teken met driehoek 1 een hoek van 120 graden en de andere een hoek van 60 graden kan ik niet bevatten hoe sin 120 = sin 60. Dat is hetzelfde als stellen dat de de overstaande zijde van hoek van 120 graden ook wortel 3 is. Als je kijkt naar mijn tekening kan dat toch niet?

Ik heb er wel wortel 3 bij neergezet, maar dat vind ik moeilijk te geloven. Ik heb er ook bijgezet dat dat hetzelfde is als concluderen dat 10/2= 5 voor hoek 60 graden en 20/4=5 voor hoek 120 graden. De verhoudingen moeten immers hetzelfde blijven als je wilt stellen dat sin 60 = sin 120.

Ik kan dit nu wel afsluiten en het regeltje onthouden dat sin 120 = sin 60 graden en sin 150 graden = sin 30 graden, maar ik wil snappen waarom dat zo is......Als je nog het geduld kan vinden om dit uit te leggen, graag.

Ik heb nog even het volgende getekend:



Als het klopt dat sin 120 = sin 60, dan stel je dat de 2 rood getekende bogen hetzelfde zijn. Volgens mij is boog A= 60+30+30 graden groter dan boog A=60 graden.

Dan kom ik tot het volgende plaatje:



Dit is waar ik vastloop. Sin 120 = x/y. Als sin 120 = sin 60, dan stel je dat x= wortel 3 en y =2, maar dat kan toch niet?

quote:

Op donderdag 31 oktober 2013 14:03 schreef DefinitionX het volgende:
...

Verduidelijkt dit het een en ander?

quote:

Op donderdag 31 oktober 2013 16:13 schreef randomo het volgende:

[..]

Verduidelijkt dit het een en ander?
[ afbeelding ]

Nee.....

Wel zie ik dat de schuine zijde van hoek 120 graden gelijk is aan de overstaande zijde van hoek 60 graden.

Als je 1 hoek weet dan kan je toch gewoon telkens een driehoek in tweeen splitsen om de overige hoeken te berekenen?

Sinus van een hoek kan je zien als een y-coördinaat bijbehorende bij die hoek op de eenheidscirkel. Deze sinus is dus voor alfa en 180-alfa gelijk, dat zegt dat plaatje.
Cosinus voor de x-coördinaat. Dus Cos(alfa)=Cos(-alfa)

Gegeven is de familie van functies f(x) = (x^2-kx+4) / (x-1)
Een van deze functies heeft geen verticale asymptoot x = 1
Voor welke waarde van k is dat het geval?

Zou iemand mij dit kunnen uitleggen? ik snap er namelijk niks van

quote:

Op donderdag 31 oktober 2013 14:03 schreef DefinitionX het volgende:
Riparius, ik ben dat boek dat je me gestuurd hebt aan het bestuderen en ben bij pagina 4: 1.2 Goniometrische Formules, verwante hoeken.

Op de eenheidscirkel snap ik het, maar als ik 2 driehoeken teken met driehoek 1 een hoek van 120 graden en de andere een hoek van 60 graden kan ik niet bevatten hoe sin 120° = sin 60°. Dat is hetzelfde als stellen dat de de overstaande zijde van hoek van 120 graden ook wortel 3 is. Als je kijkt naar mijn tekening kan dat toch niet?

Inderdaad, wat jij hier wil kan niet. Je weet dat de som van de hoeken van elke driehoek - en dus ook de som van de hoeken van een rechthoekige driehoek - gelijk is aan 180°. Maar dat betekent dus dat er in een rechthoekige driehoek voor de beide andere hoeken samen nog 90° overblijft. En dus is het zo dat de andere hoeken in een rechthoekige driehoek altijd beide scherp zijn. Een scherpe hoek is een hoek die kleiner is dan een rechte hoek, en een stompe hoek is een hoek die groter is dan een rechte hoek maar kleiner dan een gestrekte hoek. Een gestrekte hoek is een hoek van 180°, dat is een hoek waarvan de beide benen niet samenvallen maar wel in elkaars verlengde liggen.

Zoals ik eerder heb opgemerkt heeft men goniometrische verhoudingen vroeger eerst gedefinieerd en bestudeerd aan de hand van rechthoekige driehoeken. Omdat de lengtes van de zijden van gelijkvormige driehoeken evenredig met elkaar zijn, hangen de verhoudingen tussen de lengtes van twee zijden in een rechthoekige driehoek uitsluitend af van de hoeken van de rechthoekige driehoek.



In deze figuur is de grootte één van de beide scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek aangegeven met de Griekse letter θ (theta). Deze letter wordt in het Nederlands gewoonlijk uitgesproken als 'têta' met een ê zoals in Frans tête ('hoofd'), maar in het Engels spreekt men de θ gewoonlijk uit als 'theetah' met th zoals in thin en met ee zoals in cheetah.

De schuine zijde in een rechthoekige driehoek (dat is de zijde tegenover de rechte hoek) wordt meestal de hypotenusa genoemd. De beide rechthoekszijden kun je onderscheiden doordat er één rechthoekszijde tegenover de scherpe hoek ligt die we nu bekijken, terwijl de andere rechthoekszijde één been vormt van de scherpe hoek die we nu bekijken. In het Nederlands spreken we dan resp. van de overstaande en de aanliggende rechthoekszijde van hoek θ. In het Engels noemt men deze rechthoekszijden resp. opposite side en adjacent side.

Omdat we drie zijden hebben, kunnen we nu in totaal 3·2 = 6 verhoudingen tussen twee van deze drie zijden vormen, en inderdaad heb je dan ook zes (gangbare) goniometrische verhoudingen. De meest gebruikelijke zijn

sin θ = overstaande rechthoekszijde : hypotenusa
cos θ = aanliggende rechthoekszijde : hypotenusa
tan θ = overstaande rechthoekszijde : aanliggende rechthoekszijde

maar je hebt ook nog

cot θ = aanliggende rechthoekszijde : overstaande rechthoekszijde
sec θ = hypotenusa : aanliggende rechthoekszijde
csc θ = hypotenusa : overstaande rechthoekszijde

Deze laatste drie goniometrische verhoudingen heten voluit resp. de cotangens, de secans, en de cosecans. Je ziet natuurlijk dat deze niets anders zijn dan de inverse verhoudingen van resp. de tangens, de cosinus, en de sinus, en dat is de reden dat deze goniometrische verhoudingen niet zo vaak worden gebruikt: we hebben eigenlijk voldoende aan de sinus, de cosinus en de tangens.

De aldus met behulp van een rechthoekige driehoek gedefinieerde goniometrische verhoudingen hebben uitsluitend betekenis voor scherpe hoeken, want in een rechthoekige driehoek is een hoek die niet tegenover de hypotenusa ligt altijd scherp. We hebben dus een ander concept nodig als we het begrip sinus of cosinus of tangens van een hoek willen uitbreiden naar stompe hoeken. En dat is precies de reden waarom men is gaan werken met een assenstelsel (rechthoekig coördinatenstelsel) met daarin een cirkel met het middelpunt in de oorsprong en met een straal gelijk aan één, de eenheidscirkel.



In deze figuur heeft men een willekeurig punt P gekozen dat op de eenheidscirkel ligt, maar wel tevens in het eerste kwadrant, dat is het deel van het vlak waar zowel de x- als de y-coördinaat van elk punt positief is. De vier kwadranten waarin het assenstelsel het vlak verdeelt worden gewoonlijk aangegeven met de Romeinse cijfers I, II, III, IV, en de conventie is dat men de kwadranten nummert tegen de klok in, te beginnen in het kwadrant rechtsboven. Vanuit punt P heeft men een loodlijn neergelaten op de x-as, en het voetpunt van deze loodlijn heeft men hier Q genoemd.

Nu is driehoek OPQ een rechthoekige driehoek met een rechte hoek in hoekpunt Q. De zijde OP tegenover hoekpunt Q is dus de schuine zijde oftewel hypotenusa van de rechthoekige driehoek OPQ. Deze hypotenusa OP heeft een lengte één, omdat OP een straal is van de cirkel. De rechthoekige driehoek heeft twee scherpe hoeken in de hoekpunten O en P, en de grootte van de scherpe hoek in hoekpunt O heeft men hier weer θ genoemd. Omdat punt P in het eerste kwadrant ligt is zowel de x- als de y-coördinaat van punt P positief en geldt voor de coördinaten (x_P; y_P) van punt P dus x_P = OQ en y_P = QP.

Nu kunnen we met onze 'oude' definities gaan kijken naar de sinus en de cosinus van hoek θ, en dan vinden we

cos θ = aanliggende rechthoekszijde : hypotenusa = OQ : OP = x_P : 1 = x_P
sin θ = overstaande rechthoekszijde : hypotenusa = QP : OP = y_P : 1 = y_P

Nu zie je dat de coördinaten van punt P dus (cos θ; sin θ) zijn, oftewel de x-coördinaat x_P van P is de cosinus van hoek θ en de y-coördinaat y_P van punt P is de sinus van hoek θ. Het is natuurlijk ook duidelijk waarom dit zo 'mooi' uitkomt, dat is omdat we de straal van de cirkel gelijk aan één hebben gekozen. Als we een willekeurige straal r hadden genomen, dan zou OP = r zijn geweest, en dan hadden we dus gekregen cos θ = x_P : r en sin θ = y_P : r en daarmee x_P = r·cos θ, y_P = r·sin θ zodat de coördinaten van punt P dan (r·cos θ; r·sin θ) zouden zijn geweest. Alleen de keuze r = 1 maakt dat punt P hier de coördinaten (cos θ; sin θ) heeft.

Om nu de begrippen sinus en cosinus uit te breiden naar stompe hoeken en meer hebben we nog iets nodig, namelijk het begrip rotatie. Je ziet in de figuur dat lijnstuk OP een hoek θ maakt met lijnstuk OQ, en dat lijnstuk OQ langs de positieve x-as ligt, omdat punt Q immers op de positieve x-as ligt. Dat betekent dat we punt P kunnen opvatten als het beeld van het punt met coördinaten (1; 0) bij een rotatie om de oorsprong tegen de klok in over een hoek θ.

Maar nu zijn we bij rotaties niet gebonden aan hoeken tussen 0° en 90°. We kunnen het punt met coördinaten (1; 0) over een willekeurige hoek rond de oorsprong roteren. En we hoeven ons niet te beperken tot rotaties tegen de klok in, want we kunnen ook met de klok mee roteren. Omdat we rotaties tegen de klok in en met de klok mee wel van elkaar moeten kunnen onderscheiden, heeft men de afspraak gemaakt dat rotaties tegen de klok in positief worden gerekend en rotaties met de klok mee negatief.

Dit laatste lijkt misschien wat tegennatuurlijk, maar uit het plaatje is direct duidelijk waarom dit een zinnige afspraak is: als we het punt (1; 0) over een positieve hoek θ tussen 0° en 90° om de oorsprong roteren, dan is het beeld een punt P met als coördinaten (cos θ; sin θ). Anders gezegd, bij een rotatie van het punt (1; 0) om de oorsprong over een hoek θ tussen 0° en 90° is de x-coördinaat van het beeldpunt cos θ en de y-coördinaat van het beeldpunt sin θ. Maar omdat we ons bij rotaties om de oorsprong niet hoeven te beperken tot rotaties over een positieve hoek tussen 0° en 90° kunnen we nu eenvoudig afspreken (definiëren) dat we ook bij een willekeurige rotatie om de oorsprong van het punt (1; 0) over een hoek θ de x-coördinaat van het beeldpunt cos θ zullen noemen en de y-coördinaat van het beeldpunt sin θ.

Zo kunnen we dus dankzij de eenheidscirkel en het begrip rotatie betekenis geven aan cos θ en sin θ voor willekeurige (rotatie)hoeken, zowel positief als negatief. Merk op dat je je hierbij niet hoeft te beperken tot rotaties tussen −360° en +360°. Je kunt het punt (1; 0) ook roteren om de oorsprong over een hoek van bijvoorbeeld +480° maar dat levert uiteraard hetzelfde resultaat op als een rotatie over bijvoorbeeld −240° of een rotatie over bijvoorbeeld +120° zoals je hier kunt zien:



Goed, maar wat betekent deze 'nieuwe' definitie van de cosinus en de sinus nu voor scherpe en stompe hoeken zoals we die tegenkomen in driehoeken? Wel, voor scherpe hoeken verandert er helemaal niets, omdat we onze 'nieuwe' definitie aan de hand van de eenheidscirkel hebben gebaseerd op onze 'oude' definitie aan de hand van de verhoudingen tussen de rechthoekszijden en de hypotenusa in een rechthoekige driehoek.

De 'oude' definitie van de cosinus en de sinus had geen betekenis voor stompe hoeken, maar met onze 'nieuwe' definitie kunnen we nu wél betekenis geven aan de sinus en de cosinus van een stompe hoek. Als we het punt (1; 0) roteren om de oorsprong over een hoek tussen +90° en +180°, dan komen we uit op een punt P op de eenheidscirkel in het tweede kwadrant, zoals ook in het plaatje hierboven is te zien: een rotatie over +480° levert immers hetzelfde resultaat op als een rotatie over +120°.

Welnu, in het tweede kwadrant is de x-coördinaat van een punt negatief en de y-coördinaat positief. En omdat de x-coördinaat van het beeldpunt P van (1; 0) per definitie de cosinus is van de (rotatie)hoek, is de cosinus van een stompe hoek dus negatief. De y-coördinaat van een punt in het tweede kwadrant is nog steeds positief, en dus is de sinus van een stompe hoek wel positief, net als de sinus van een scherpe hoek.

Twee hoeken die samen een gestrekte hoek vormen, oftewel een hoek van 180°, noemen we supplementaire hoeken. Als dus een hoek scherp is, dan is het supplement van die hoek stomp, en omgekeerd, als een hoek stomp is, dan is het supplement van die hoek scherp. Omdat we nu met onze 'nieuwe' definitie ook kunnen spreken over de sinus en cosinus van stompe hoeken, kunnen we eens kijken hoe het verband is tussen de sinussen en de cosinussen van twee hoeken die elkaars supplement zijn. Laten we eens kijken naar een stompe hoek van 150°, zodat het supplement hiervan dus een scherpe hoek is van 30°.



Roteren we het punt (1; 0) om de oorsprong over een hoek van 150°, dan komen we uit op een punt P in het tweede kwadrant, dat per definitie de coördinaten (cos 150°; sin 150°) heeft. Maar nu zie je in de figuur dat het punt P het spiegelbeeld is van het punt met coördinaten (cos 30°; sin 30°) bij een spiegeling in de y-as. Het is eenvoudig in te zien waarom dat zo is: de gestippeld getekende driehoek in het eerste kwadrant is congruent met driehoek OPQ in het tweede kwadrant, omdat ∠POQ = 30°. Als we immers het punt (1;0) niet over een hoek van 150° maar nog 30° verder en daarmee over een hoek van 180° om de oorsprong hadden geroteerd, dan zouden we zijn uitgekomen in het punt (−1; 0).

Aangezien de punten met coördinaten (cos 150°; sin 150°) en (cos 30°; sin 30°) symmetrisch liggen ten opzichte van de y-as hebben deze punten tegengestelde x-coördinaten maar dezelfde y-coördinaten. En dus zien we dat cos 150° = −cos 30° terwijl sin 150° = sin 30°. In het algemeen geldt dat rotatie van het punt (1; 0) om de oorsprong over een hoek θ en over een hoek 180° − θ twee beeldpunten P en P' geeft die symmetrisch liggen ten opzichte van de y-as, zodat dus steeds geldt dat cos(180° − θ) = −cos θ terwijl sin(180° − θ) = sin θ.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 08-11-2013 16:32:31 ]

quote:

Op donderdag 31 oktober 2013 19:47 schreef BalotelliFan het volgende:
Gegeven is de familie van functies

f(x) = (x² − kx + 4)/(x - 1)

Eén van deze functies heeft geen verticale asymptoot x = 1
Voor welke waarde van k is dat het geval?

Zou iemand mij dit kunnen uitleggen? ik snap er namelijk niks van

Je ziet dat je in de teller van het quotiënt (x² − kx + 4)/(x - 1) een kwadratische veelterm x² − kx + 4 hebt. Stel nu dat deze kwadratische veelterm twee (reële) nulpunten x₁ en x₂ heeft, dan is deze kwadratische veelterm te schrijven als

(x − x₁)(x − x₂)

en dan is de functie dus te schrijven als

f(x) = (x − x₁)(x − x₂)/(x − 1)

Maar stel nu vervolgens eens dat één van de nulpunten, zeg x₁, gelijk zou zijn aan 1. Dan heb je dus

f(x) = (x − 1)(x − x₂)/(x − 1)

Maar nu hebben teller en noemer van het quotiënt een factor (x − 1) gemeen, en dat betekent dat we de breuk kunnen vereenvoudigen door teller en noemer door (x − 1) te delen, zodat we dan krijgen

f(x) = x − x₂, x ≠ 1

en het is duidelijk dat deze functie geen verticale asymptoot meer heeft bij x = 1. Dit is namelijk gewoon een lineaire functie, met als enige bijzonderheid dat deze functie niet is gedefinieerd voor x = 1. De grafiek van deze functie is een rechte lijn met een 'gaatje' erin bij x = 1.

Goed, je moet dus kijken voor welke waarde van k de kwadratische veelterm x² − kx + 4 een nulpunt x = 1 heeft. Hoe doe je dat? Wel, we weten dat het product x₁x₂ van de beide nulpunten x₁ en x₂ gelijk is aan de constante term 4, dus als één van beide nulpunten 1 is, dan moet het andere nulpunt wel 4 zijn. En aangezien

(x − 1)(x − 4) = x² − 5x + 4

is dat het geval als k = 5.

That's it.

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Wat een bazenpost weer.

Plaatjes zelf gemaakt deze keer?

edit: zo te zien niet.

quote:

Op donderdag 31 oktober 2013 21:29 schreef Amoeba het volgende:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Wat een bazenpost weer.

Plaatjes zelf gemaakt deze keer?

Bestudeer mijn post nog maar wat beter. Hint: klik met de rechter muisknop op één van de plaatjes. Ik kom hier nog op terug, maar dat doe ik pas als de vragensteller zelf heeft gereageerd.

quote:

Op donderdag 31 oktober 2013 21:31 schreef Riparius het volgende:

[..]

Bestudeer mijn post nog maar wat beter. Hint: klik met de rechter muisknop op één van de plaatjes. Ik kom hier nog op terug, maar dat doe ik pas als de vragensteller zelf heeft gereageerd.

Ja ik had het al gezien.

Ik heb je post doorgelezen. Heb me voorgenomen even wat minder te posten, die complete faal die ik laatst had neergeschreven met de translatie van die sinus heb ik mezelf nog niet vergeven.

Mijn tentamen ging vandaag ook echt ruk trouwens. Ik heb werkelijk geen idee hoe ik

18X = 20 mod 34

moet oplossen.

Het uitgebreide algoritme van Euclides geeft ggd(34,18) = 2*18 - 34 = 2, maar hoe krijg ik hieruit dat

X = 3 + 17a

?

En zo nog wat meer punten laten liggen. De hoop is gevestigd op een vijfje, de inzet is een hertentamen.

quote:

Op donderdag 31 oktober 2013 21:37 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ja ik had het al gezien.

Ik heb je post doorgelezen. Heb me voorgenomen even wat minder te posten, die complete faal die ik laatst had neergeschreven met de translatie van die sinus heb ik mezelf nog niet vergeven.

Mijn tentamen ging vandaag ook echt ruk trouwens. Ik heb werkelijk geen idee hoe ik

18X = 20 mod 34

moet oplossen.

Het uitgebreide algoritme van Euclides geeft ggd(34,18) = 2*18 - 34 = 2, maar hoe krijg ik hieruit dat

X = 3 + 17a

?

En zo nog wat meer punten laten liggen. De hoop is gevestigd op een vijfje, de inzet is een hertentamen.

Chinese Reststelling: 34 = 2 * 17, en 2 en 17 zijn copriem, dus de vgl is equivalent met het stelsel
18X = 20 mod 2;
18X = 20 mod 17.

De eerste vergelijking geldt altijd, want daar staat gewoon 0 = 0 mod 2, en de tweede vergelijking is X = 3 mod 17.

quote:

Op donderdag 31 oktober 2013 21:58 schreef thabit het volgende:

[..]

Chinese Reststelling: 34 = 2 * 17, en 2 en 17 zijn copriem, dus de vgl is equivalent met het stelsel
18X = 20 mod 2;
18X = 20 mod 17.

De eerste vergelijking geldt altijd, want daar staat gewoon 0 = 0 mod 2, en de tweede vergelijking is X = 3 mod 17.

Ah, dat was 'm dus. Verzuimd door te nemen, helaas.

quote:

Op donderdag 31 oktober 2013 19:57 schreef Riparius het volgende:

[..]
......

Toen u stelde dat punt P coordinaten (1,0) had (voor de rotatie) was ik even door de war (punt P heeft de coordinaten cos teta: sin teta), maar toen ik zag wat u deed in de plaatjes begreep ik het. Nu kan ik de logica gewoon uit de eenheidscirkel halen. Dank u!

quote:

Op vrijdag 1 november 2013 11:34 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Toen u stelde dat punt P coördinaten (1;0) had (voor de rotatie) was ik even door de war (punt P heeft de coördinaten (cos θ; sin θ), maar toen ik zag wat u deed in de plaatjes begreep ik het. Nu kan ik de logica gewoon uit de eenheidscirkel halen. Dank u!

Gezien de groteske fouten in de schetsjes die je hierboven had gepost is het wel duidelijk dat je zelfstudie niet erg efficiënt verloopt en dat je de feedback mist van een goede docent die tijdig bij kan sturen zodat je niet voortdurend uit de bocht vliegt. Als je een stomphoekige driehoek tekent en je noemt de lengte van de zijde tegenover de stompe hoek x en de lengte van één van de andere zijden y, dan is x/y > 1 zodat deze verhouding onmogelijk een sinus voor kan stellen, die immers niet groter dan 1 kan zijn. Dat had je toch onmiddellijk moeten zien. Ik denk daarom dat je nog maar weinig van goniometrie begrijpt en dat je er dus veel meer aan zou moeten doen in plaats van het nu al af te willen sluiten.

Enige tijd geleden ben ik een website tegengekomen van het TIMES Project (The Improving Mathematics Education in Schools Project), waar leermodules zijn te vinden die zijn ontwikkeld door het AMSI (Australian Mathematical Sciences Institute). Deze modules zijn eigenlijk bedoeld voor docenten in het middelbaar onderwijs in Australië, maar ik denk dat ze ook heel geschikt zijn voor zelfstudie. Aan dit materiaal heb ik de plaatjes ontleend die ik in mijn post hierboven over de definitie van de cosinus en de sinus aan de hand van de eenheidscirkel gebruik. Er zijn drie modules waarin de schoolstof goniometrie aan bod komt:

Introductory trigonometry
Further trigonometry
Trigonometric functions

Als je geen problemen hebt met het gebruik van Engelstalig lesmateriaal, dan zou ik je aanraden dit materiaal eens door te werken.