Ik denk niet dat het de bedoeling is hier gebruik te maken van l'Hôpital.quote:Op vrijdag 15 november 2013 19:13 schreef Amoeba het volgende:
Ik moet de limiet van de rij
an = n5 / 3n met n ∈ N
geven en bewijzen zonder de formele definitie van de limiet. Mag ik nu gebruik maken van de regel van l'Hospital, of is deze functie/rij niet differentieerbaar? Als dat een probleem is, mag ik hem dan uitbreiden naar de reële getallen?
Dat begrijp ik.quote:Op vrijdag 15 november 2013 20:48 schreef Riparius het volgende:
[..]
Hint: beschouw eerst de rij {bn}1∞ gedefinieerd door
bn = n / αn met α > 1
Als je nu kunt bewijzen dat
limn→∞ bn = 0
dan ben je klaar, aangezien je voor α = 31/5 dan hebt an = (bn)5 en dus ook
limn→∞ an = 0
Wellicht niet. Ons boekje (A Friendly Introduction to Analysis) zegt echter dat er geen foute ´bewijzen´ zijn. Een aantal (logische) stappen die uiteindelijk leiden tot een sluitend bewijs wordt als voldoende beschouwd.quote:Ik denk niet dat het de bedoeling is hier gebruik te maken van l'Hôpital.
Foute bewijzen genoeg, maar dat bedoelt het boekje waarschijnlijk niet. Ik ken dit boekje niet en kan het zo gauw ook niet vinden, dus ik weet niet wat er allemaal aan kennis wordt voorondersteld. Maar het lijkt me evident dat je bij de oefeningen niet gebruik mag maken van resultaten die verderop in het boek pas aan de orde komen.quote:Op vrijdag 15 november 2013 20:58 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Dat begrijp ik.
[..]
Wellicht niet. Ons boekje (A Friendly Introduction to Analysis) zegt echter dat er geen foute ´bewijzen´ zijn. Een aantal (logische) stappen die uiteindelijk leiden tot een sluitend bewijs wordt als voldoende beschouwd.
Vergeet l'Hôpital / l'Hospital en wees eens creatief.quote:Ik ga zeer zeker naar je hint kijken, maar ik ben wel benieuwd of ik hier nu de regel van l'Hospital mag toepassen. In dat geval is je hint ook zeer gemakkelijk op te lossen.
Een fout bewijs is geen bewijs maar een 'attempted proof'. Maar dat is een discussie die taalkundigen maar moeten voeren, ik geef het op.quote:Op vrijdag 15 november 2013 21:41 schreef Riparius het volgende:
[..]
Foute bewijzen genoeg, maar dat bedoelt het boekje waarschijnlijk niet. Ik ken dit boekje niet en kan het zo gauw ook niet vinden, dus ik weet niet wat er allemaal aan kennis wordt voorondersteld. Maar het lijkt me evident dat je bij de oefeningen niet gebruik mag maken van resultaten die verderop in het boek pas aan de orde komen.
[..]
Vergeet l'Hôpital / l'Hospital en wees eens creatief.
Volgende hint: kies α = 1 + h zodat h > 0 aangezien α > 1 en bedenk dat dan voor n > 1 geldt
(1 + h)n ≥ 1 + nh + (n(n−1)/2)h2 > (n(n−1)/2)h2
Je lijkt te willen zeggen 'bewijs is bewijs', en dat het je daarom niet interesseert hoe het bewijs wordt verkregen of hoe het bewijs eruit ziet, als je maar een bewijs hebt, liefst zonder al te veel na te denken.quote:Op vrijdag 15 november 2013 22:08 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Een fout bewijs is geen bewijs maar een 'attempted proof'. Maar dat is een discussie die taalkundigen maar moeten voeren, ik geef het op.
Omdat het hier een vorm van intellectuele luiheid is. Door mechanisch een bestaand regeltje toe te passen krijg je geen nieuwe inzichten en het is niet creatief. Je verschuift dan alleen de echte moeilijkheid naar een andere stelling die je zonder bewijs aanneemt. Een algemeen geldig bewijs van de regel van l'Hôpital is overigens een stuk lastiger dan het elementaire bewijs dat je nu hebt gezien voor je opgave.quote:De regel van l'Hospital is aan de orde gekomen in het basisvak Calculus, dus ik zie niet in waarom ik die niet mag gebruiken.
Ik ontwijk helemaal niets, ik probeer je ergens van af te houden. Dat is iets anders.quote:Maar je ontwijkt steeds de vraag. Het is nou niet noodzakelijkerwijs de bedoeling om de regel van l'Hospital te gebruiken, ik wil alleen weten of dat mag i.v.m. de definitie van n als een natuurlijk getal en differentieerbaarheid.
Kijk, en zo heb je toch weer iets geleerd.quote:Nu op basis van je onderste regel:
(1 + h)n ≥ 1 + nh + (n(n−1)/2)h2 > (n(n−1)/2)h2
Dus
n/αn met α > 1 en α = 1 + h
dan geldt:
n/αn < n / (nh2(n−1)/2) = 1/(h2(n−1)/2) = 2/(h2(n−1))
En voor n voldoende groot nadert dat willekeurig dicht tot 0.
Maar ik moet heel eerlijk bekennen dat ik op die regel niet zou zijn gekomen.
Nee, dat zegt het boekje. Ik ben het met je eens dat het ene bewijs eleganter is dan het andere bewijs. Als je de homepage van Georg Prokert, docent Analyse (hij is al eens eerder ter sprake gekomen), bezoekt, dan zie je bij het vak 2WA30 een treffende quote van Da Vinci, waar ik mij zeker in herken.quote:Op zaterdag 16 november 2013 06:30 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je lijkt te willen zeggen 'bewijs is bewijs', en dat het je daarom niet interesseert hoe het bewijs wordt verkregen of hoe het bewijs eruit ziet, als je maar een bewijs hebt, liefst zonder al te veel na te denken.
Dat is juist, maar ik vroeg me juist af of ik dit zo mocht doen. Mocht het op een tentamen van pas komen dan behoort het tot mijn arsenaal.quote:[..]
Omdat het hier een vorm van intellectuele luiheid is. Door mechanisch een bestaand regeltje toe te passen krijg je geen nieuwe inzichten en het is niet creatief. Je verschuift dan alleen de echte moeilijkheid naar een andere stelling die je zonder bewijs aanneemt. Een algemeen geldig bewijs van de regel van l'Hôpital is overigens een stuk lastiger dan het elementaire bewijs dat je nu hebt gezien voor je opgave.
[..]
Ik ontwijk helemaal niets, ik probeer je ergens van af te houden. Dat is iets anders.
Hartelijk dank, maar zou je de eerste ongelijkheid toe kunnen lichten, en dan vooral het denkproces hoe je aan die ongelijkheid komt? Ik vermoed een deel van het binomium van Newton, maar dat weet ik niet zeker.quote:Maar goed, L'Hôpital. Definieer op [1, ∞) de functies f(x) = x5 en g(x) = 3x. Deze functies zijn oneindig vaak differentieerbaar op (1, ∞) en bovendien nemen |f(x)| en |g(x)| onbeperkt toe voor x → ∞ zodat we nu (behoudens in bepaalde gevallen, zie hier) inderdaad de regel van L'Hôpital zo vaak als nodig kunnen gebruiken om
limx→∞ f(x)/g(x)
te bepalen, als deze limiet althans bestaat.
Verder heb je nu
an = f(n)/g(n)
Als nu limx→∞ f(x)/g(x) = L
dan is ook
limn→∞ an = limn→∞ f(n)/g(n) = L
Je mag dit laatste echter niet omkeren. Neem bijvoorbeeld h(x) = x−1·tan(¼π+xπ) op [1,∞)\{ x ∈ R | x = n + ¼ ∧ n ∈ N }, dan is limn→∞ h(n) = 0, maar limx→∞ h(x) bestaat niet.
[..]
Kijk, en zo heb je toch weer iets geleerd.
Ik heb dat boek eens opgezocht en van wat ik kan zien is het absoluut niet de bedoeling dat je l'hopital gebruikt, dat komt veel later in het boekje pas in orde.quote:Op zaterdag 16 november 2013 11:09 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Nee, dat zegt het boekje. Ik ben het met je eens dat het ene bewijs eleganter is dan het andere bewijs. Als je de homepage van Georg Prokert, docent Analyse (hij is al eens eerder ter sprake gekomen), bezoekt, dan zie je bij het vak 2WA30 een treffende quote van Da Vinci, waar ik mij zeker in herken.
http://www.win.tue.nl/~gprokert/2WA30.html
[..]
Dat is juist, maar ik vroeg me juist af of ik dit zo mocht doen. Mocht het op een tentamen van pas komen dan behoort het tot mijn arsenaal.
[..]
Hartelijk dank, maar zou je de eerste ongelijkheid toe kunnen lichten, en dan vooral het denkproces hoe je aan die ongelijkheid komt? Ik vermoed een deel van het binomium van Newton, maar dat weet ik niet zeker.
Waarom? Als ik een bewijs kan formuleren wat wiskundig juist is scoor je gewoon punten op het tentamen.quote:Op zaterdag 16 november 2013 13:48 schreef tacos049 het volgende:
[..]
Ik heb dat boek eens opgezocht en van wat ik kan zien is het absoluut niet de bedoeling dat je l'hopital gebruikt, dat komt veel later in het boekje pas in orde.
Zul je zien dat er boven staat: 'Maak geen gebruik van de regel van l'Hôpital'.quote:Op zaterdag 16 november 2013 14:04 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Waarom? Als ik een bewijs kan formuleren wat wiskundig juist is scoor je gewoon punten op het tentamen.
sin(2x-0.25pi) heeft volgens mij als complementair cos(0.75pi - 2x). In de uitwerkingen hebben ze gedeeld door -1, maar ik vraag me af of dat wel mag. Daarbij zeggen ze dat -cos(x + 0.33pi) gelijk staat aan cos(2x + 1.33pi), echter mijn boekje geeft mij 2 mogelijkheden: door -cos(a)=cos(pi+a) of cos(pi-a), maakt het uit welke ik kies?quote:Opgaven:
a. sin(2x - 0.25pi) = - cos(x + 0.33pi)
b. cos(2x + 0.33pi) = - sin(x - 0.75pi)
Uitwerkingen:
a. cos(2x - 0.75pi) = cos(2x + 1.33pi)
b. sin(2x + 0.83pi) = sin(x + 0.25pi)
Okay.quote:Op zaterdag 16 november 2013 15:56 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
Zul je zien dat er boven staat: 'Maak geen gebruik van de regel van l'Hopital'.
Bedenk dat de cosinus van een (rotatie)hoek gelijk is aan de sinus van het complement van die (rotatie)hoek. Daar komt ook de naam cosinus vandaan, deze naam is ontstaan uit co. sinus dat stond voor complementi sinus oftewel 'de sinus van het complement'.quote:
Dit mag je om te beginnen niet zo opschrijven. Gebruik geen decimale breuken, 0.33 is niet hetzelfde als 1/3. Ook ben ik tegen het gebruik van de punt als decimaal scheidingsteken, maar dat is weer een andere kwestie. Verder maak je rekenfouten met breuken en vergeet je een deel van de oplossingen, omdat je niet bedenkt dat twee cosinussen niet alleen gelijk zijn als de rotatiehoeken gelijk zijn (op een geheel veelvoud van 2π na) maar ook als de rotatiehoeken tegengesteld zijn (op een geheel veelvoud van 2π na).quote:Op zaterdag 16 november 2013 17:26 schreef DefinitionX het volgende:
Ik zou a zo oplossen:
sin(2x - 0.25pi) = - cos(x + 0.33pi)
Het is in ieder geval belangrijk om altijd in het achterhoofd te houden dat cosinus eigenlijk sinus van het complement betekent, en dusquote:Op zaterdag 16 november 2013 22:20 schreef DefinitionX het volgende:
http://i43.tinypic.com/55sfo6.jpg
Dank u wel voor de uitleg!
Ik moet zeggen dat ik dit blijf lastig vinden i.v.m. het kiezen van de juiste vorm van overzetten en het aantal antwoorden.
Dat je bijvoorbeeld in de ene situatie kiest om π/2 als basis voor het aftrekken te gebruiken of juist gewoon π. Ik moet wennen aan de logica (want je kiest niet zomaar getallen), want als ik het gewoon test, dus waardes invul, kom ik gewoon netjes uit voor de identiteits regels. Bijvoorbeeld in "wiskundige basisvaardigheden" 3e druk, pagina 125 is er een net overzicht daarvan.
Een beetje inzicht verwerven is waardevoller dan het maken van enkele opgaven waarvan je de achterliggende theorie maar half begrijpt.quote:Ik ben niet ontzettend ver gekomen met dit onderdeel, al heb ik er wel wat uren in gestopt vandaag, maar wat ik nu wel met gemak kan oplossen zijn vragen zoals vraag 2 van het 2013 juli examen en vraag 3 van het 2013 augustus examen.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Vandaag is meer logica naar binnen gekomen dan opgaves.
Bij het werken met (limieten van) rijen komt de ongelijkheid van Bernoulli vaak van pas (vernoemd naar Jakob Bernoulli, de broer van Johann). Deze ongelijkheid zegt dat je hebtquote:Op zaterdag 16 november 2013 11:09 schreef Amoeba het volgende:
Hartelijk dank, maar zou je de eerste ongelijkheid toe kunnen lichten, en dan vooral het denkproces hoe je aan die ongelijkheid komt? Ik vermoed een deel van het binomium van Newton, maar dat weet ik niet zeker.
Merk op dat dit een kwadratische vergelijking is, en je dus de nulpunten kunt bepalen, dus substitueer eens sin(x) = p.quote:Op zondag 17 november 2013 18:28 schreef DefinitionX het volgende:
[ afbeelding ]
Opgave c kom ik niet uit. Ik krijg hem maar tot:
[ afbeelding ]
Ik 'zie' het gewoon niet.
Edit:
Ik ben nu de 4e regel aan het delen door sinkwadraatx. Even kijken of daar wat uitkomt.
quote:Op zondag 17 november 2013 18:30 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Merk op dat dit een kwadratische vergelijking is, en je dus de nulpunten kunt bepalen, dus substitueer eens sin(x) = p.
Deze vergelijking is eigenlijk een vierkantsvergelijking in sin(x). Wat je hier kunt doen is eerst een substitutie uitvoeren. Stellen wequote:Op zondag 17 november 2013 18:28 schreef DefinitionX het volgende:
[ afbeelding ]
Opgave c kom ik niet uit. Ik krijg hem maar tot:
[ afbeelding ]
Ik 'zie' het gewoon niet.
Edit:
Ik ben nu de 4e regel aan het delen door sinkwadraatx. Even kijken of daar wat uitkomt.
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |