Ja, dan is de noemer uiteraard een homogeen polynoom in a en b, want dan zijn de termen toch van dezelfde graad? En dan ga je vervolgens naar de teller kijken. Maar vóór je dit doet moet je eerst de waarde die je voor q hebt gevonden nog verder herleiden.quote:Op woensdag 9 oktober 2013 17:19 schreef jordyqwerty het volgende:
qr2 + 1 = q + r
qr2 -q = r - 1
q(r2-1) = r - 1
q = (r-1)/(r2-1)
Begrijp ik goed dat als q deze 'waarde' heeft, de noemer dan homogeen is?
1/(r+1) ?quote:Op woensdag 9 oktober 2013 17:23 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ja, dan is de noemer uiteraard een homogeen polynoom in a en b, want dan zijn de termen toch van dezelfde graad? En dan ga je vervolgens naar de teller kijken. Maar vóór je dit doet moet je eerst de waarde die je voor q hebt gevonden nog verder herleiden.
Inderdaad. En als je nu q = 1/(r + 1) invult, wat wordt dan de graad van de term in de teller en wat is dan de graad van het polynoom in de noemer? Dus wat kun je nu zeggen over f(a,b) ?quote:
Die is er zeker, volgens mij in het MATH menu en dan FRAC (bij de TI-84)quote:Op woensdag 9 oktober 2013 19:55 schreef rareziekte het volgende:
Vraag over gr,
is er een mode waarin je het antwoord ziet in breuken i.p.v. decimalen?
Dank je man!quote:Op woensdag 9 oktober 2013 19:58 schreef Alrac4 het volgende:
[..]
Die is er zeker, volgens mij in het MATH menu en dan FRAC (bij de TI-84)
Als je stelt dat qr2 +1 = q + r, mag je dan ook zeggen dat de graad van homogeniteit twee is? Tenzij r = 1 of -1quote:Op woensdag 9 oktober 2013 17:43 schreef Riparius het volgende:
[..]
Inderdaad. En als je nu q = 1/(r + 1) invult, wat wordt dan de graad van de term in de teller en wat is dan de graad van het polynoom in de noemer? Dus wat kun je nu zeggen over f(a,b) ?
In die gevallen wel jaquote:Op donderdag 10 oktober 2013 21:15 schreef ulq het volgende:
Homogeniteit is eigenlijk toch gewoon als een functie volledig uit één macht bestaat? Bijvoorbeeld f(x) = 3x + 5x dan is hij homogeen met graad 1 en f(x) 3x^5 + 5x^5 dan is hij homogeen met graad 5?
Als q = 1/(r + 1) dan is q ongedefinieerd voor r = −1, maar niet voor r = 1, dan is q = ½. Maar voor r = 1 voldoet elke waarde van q aan q(r² − 1) = r − 1, terwijl voor r = −1 uiteraard geen enkele waarde van q aan deze betrekking kan voldoen. Ik heb het idee dat je gewoon met een schuin oog in het antwoordenboekje hebt zitten kijken zonder dat je begrijpt hoe dit antwoord is verkregen, want uit de betrekking qr² + 1 = q + r volgt an sich niet dat f(a,b) homogeen is van de graad 2 indien q = 1/(r + 1).quote:Op donderdag 10 oktober 2013 17:46 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
Als je stelt dat qr2 +1 = q + r, mag je dan ook zeggen dat de graad van homogeniteit twee is? Tenzij r = 1 of -1
Nee, kijk even in Wikipedia.quote:Op donderdag 10 oktober 2013 21:15 schreef ulq het volgende:
Homogeniteit is eigenlijk toch gewoon als een functie volledig uit één macht bestaat? Bijvoorbeeld f(x) = 3x + 5x dan is hij homogeen met graad 1 en f(x) 3x^5 + 5x^5 dan is hij homogeen met graad 5?
Ja heb ik gedaan maar wat ik eerder zei is feite toch wel waar het op neer komt? Alleen bedoel jij dat ik vergeet te vermelden dat het ook veralgemeend kan worden voor functies van meerdere veranderlijken, zoals f(x,y) = 19xy^3 + 14x^4 + 20(xy)^2 is een homogene functie van graad 4? Of zeg ik nou iets wat niet klopt?quote:
Omdat je stelt qr2 + 1 = q + r, dacht ik dat je kon stellen q + r + 2 (volgt uit g) - (q+r) = 2.quote:Op vrijdag 11 oktober 2013 11:07 schreef Riparius het volgende:
[..]
Als q = 1/(r + 1) dan is q ongedefinieerd voor r = −1, maar niet voor r = 1, dan is q = ½. Maar voor r = 1 voldoet elke waarde van q aan q(r² − 1) = r − 1, terwijl voor r = −1 uiteraard geen enkele waarde van q aan deze betrekking kan voldoen. Ik heb het idee dat je gewoon met een schuin oog in het antwoordenboekje hebt zitten kijken zonder dat je begrijpt hoe dit antwoord is verkregen, want uit de betrekking qr² + 1 = q + r volgt an sich niet dat f(a,b) homogeen is van de graad 2 indien q = 1/(r + 1).
Je functie is homogeen van de graad k indien
f(ta,tb) = tk·f(a,b)
Bekijk nu de teller en de noemer eens apart. We definiëren nu
f(a,b) = g(a,b) / h(a,b)
met
g(a,b) = aq+1·br+1
en
h(a,b) = aqr²+1 + bq+r
De functie g(a,b) is sowieso homogeen, want je hebt g(ta,tb) = t(q+1)+(r+1)·g(a,b).
De functie h(a,b) is niet zonder meer homogeen, dat is immers alleen het geval als de machten van beide termen gelijk zijn, dus als qr² + 1 = q + r en dus q = 1/(r + 1) (r ≠ − 1).
Verder geldt: als g(a,b) homogeen is van de graad m en h(a,b) is homogeen van de graad n, dan is f(a,b) homogeen van de graad m − n, want dan is
f(ta,tb) = g(ta,tb) / h(ta,tb) = tm·g(a,b) / tn·h(a,b) = tm−n·(g(a,b)/h(a,b)) = tm−n·f(a,b)
Goed, we veronderstellen nu dat q = 1/(r + 1) (r ≠ −1). Voor de graad van homogeniteit m van de teller g(a,b) uitgedrukt in r vinden we dan
m = q + 1 + r + 1 = (r² + 3r + 3)/(r + 1)
En voor de graad van homogeniteit n van de noemer h(a,b) uitgedrukt in r hebben we dan
n = q + r = (r² + r + 1)/(r + 1)
De graad van homogeniteit m − n van f(a,b) is onfhankelijk van r, want uit m = q + r + 2 en n = q + r volgt direct dat m − n = 2.
Voila.
Dit klopt, maar de aanvulling is wel essentieel, want het vraagstuk van jordyqwerty ging over een functie van twee variabelen.quote:Op vrijdag 11 oktober 2013 14:45 schreef ulq het volgende:
[..]
Ja heb ik gedaan maar wat ik eerder zei is feite toch wel waar het op neer komt? Alleen bedoel jij dat ik vergeet te vermelden dat het ook veralgemeend kan worden voor functies van meerdere veranderlijken, zoals f(x,y) = 19xy^3 + 14x^4 + 20(xy)^2 is een homogene functie van graad 4? Of zeg ik nou iets wat niet klopt?
Antwoord op je eerste vraag: Bedenk gewoon een functie waarvoor f ' '(x)=0 voor alle x. Alle functies van de vorm f(x)=ax+b voldoen hier uiteraard aan. Jouw voorbeeld klopt niet, want jouw functie is niet tegelijkertijd convex en concaaf op hetzelfde interval.quote:Op vrijdag 11 oktober 2013 16:35 schreef jordyqwerty het volgende:
Iets heel anders. Op een tussentoets werd gevraagd of een functie op hetzelfde interval convex en concaaf kon zijn. Zo ja, moest je hier een voorbeeld voor geven.
Er stond niet expliciet bij of dat voorbeeld in de vorm van een functie met uitleg moest zijn, dus heb ik iets getekend. Ik heb genoteerd dat dat kan, mits er een buigpunt is (f'' = 0) en vervolgens een U (convex) verbonden met een ∩ (concaaf) en het buigpunt aangegeven.
In hoeverre is dat juist? Ik ben me er bewust van dat dit niet het meest verfijnde antwoord is.
Dan nog iets, stel je hebt een optimalisatieprobleem (voor de eenvoud van één variabele) en je moet binnen een gesloten interval (bijv. [2,6]) het maximum geven. Waarom is het dan verkeerd om de tweede afgeleide test te gebruiken om te kijken of de eindpunten 2 en 6 maxima of minima zijn?
Of is dat helemaal niet verkeerd?
Aha ok thanksquote:Op vrijdag 11 oktober 2013 16:18 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dit klopt, maar de aanvulling is wel essentieel, want het vraagstuk van jordyqwerty ging over een functie van twee variabelen.
Op het buigpunt ook niet?quote:Op vrijdag 11 oktober 2013 19:03 schreef thenxero het volgende:
[..]
Antwoord op je eerste vraag: Bedenk gewoon een functie waarvoor f ' '(x)=0 voor alle x. Alle functies van de vorm f(x)=ax+b voldoen hier uiteraard aan. Jouw voorbeeld klopt niet, want jouw functie is niet tegelijkertijd convex en concaaf op hetzelfde interval.
Tweede vraag: wat wil je met de tweede afgeleide doen op de randpunten?
Kijk eens naar de definities van (strikt) convex en (strikt) concaaf. Die twee sluiten elkaar uit. Als je de eis van striktheid achterwege laat, dan kun je wel een functie hebben die zowel convex als concaaf is op hetzelfde interval, maar dat kan dan alleen een lineaire functie zijn op dat interval.quote:
Kijk eens naar de functie f: [2,6] → R gedefinieerd door f(x) = x3. Deze functie heeft een minimum bij x = 2 en een maximum bij x = 6 terwijl f''(2) en f''(6) beide positief zijn. Wat denk je daarvan?quote:2: Kijken of het een minimum of maximum is, maar. ik begrijp dat die vlieger niet opgaat?
Van wat ik weet is een functie strict convex als f'' > 0 en strict concaaf als f'' < 0. Daar komt = 0 bij zonder strictheid. In een buigpunt is f'' 0, dus ik dacht dat op dat punt de functie zowel convex als concaaf is (niet strict). Ik kijk zo even op mijn laptop naar de wikipedia pagina!quote:Op vrijdag 11 oktober 2013 22:56 schreef Riparius het volgende:
[..]
Kijk eens naar de definities van (strikt) convex en (strikt) concaaf. Die twee sluiten elkaar uit. Als je de eis van striktheid achterwege laat, dan kun je wel een functie hebben die zowel convex als concaaf is op hetzelfde interval, maar dat kan dan alleen een lineaire functie zijn op dat interval.
[..]
Kijk eens naar de functie f: [2,6] → R gedefinieerd door f(x) = x3. Deze functie heeft een minimum bij x = 2 en een maximum bij x = 6 terwijl f''(2) en f''(6) beide positief zijn. Wat denk je daarvan?
Is 23162 nu groter of kleiner dan 31995?quote:Op zondag 6 oktober 2013 20:59 schreef Riparius het volgende:
[..]
Voor kleine exponenten lukt dit zeker. Voor m,n > 0 heb je immers 2m > 3n als m/n > log(3)/log(2) ≈ 1,585, dus is m = 5, n = 3 een goede keuze, want dan is m/n = 5/3 ≈ 1,667. En een hele goede keuze is dan m = 8, n = 5, want dan is m/n = 8/5 = 1,6. Maar het wordt lastiger bij grote exponenten en als de waarden van de machten dichter bij elkaar liggen. Als je uitsluitend met pen en papier zou willen nagaan of bijvoorbeeld 23162 nu groter of kleiner is dan 31995 dan zijn zelfs opa's logaritmentafels in vijf decimalen niet meer toereikend. En ik hoop niet dat je nu het advies blijft geven om het dan maar met de hand uit te rekenen omdat het algoritme zo lekker simpel is.
Ah! Hij (nouja, mijn uitleg) is niet convex (en concaaf) op hetzelfde interval omdat je die lijn niet kunt trekken tussen twee willekeurige punten zonder buiten het interval te komen. Klopt dat?quote:Op vrijdag 11 oktober 2013 22:56 schreef Riparius het volgende:
[..]
Kijk eens naar de definities van (strikt) convex en (strikt) concaaf. Die twee sluiten elkaar uit. Als je de eis van striktheid achterwege laat, dan kun je wel een functie hebben die zowel convex als concaaf is op hetzelfde interval, maar dat kan dan alleen een lineaire functie zijn op dat interval.
[..]
Kijk eens naar de functie f: [2,6] → R gedefinieerd door f(x) = x3. Deze functie heeft een minimum bij x = 2 en een maximum bij x = 6 terwijl f''(2) en f''(6) beide positief zijn. Wat denk je daarvan?
Jawel hoor, in principe is alles te berekenen zonder rekenmachine. Het is geen pretje, maar het kan. Met de calculator van Windows vind ik 23162/1995 = 2.9999998030641692219144189133716 ... zodat inderdaad 23162< 31995 maar dat kun je met bijvoorbeeld de logaritmentafels in 14 decimalen van Briggs uit 1624 ook concluderen. En die tafels zijn toch echt met de hand berekend. Dus ja, het kan.quote:Op vrijdag 11 oktober 2013 23:37 schreef wiskundenoob het volgende:
[..]
Is 23162 nu groter of kleiner dan 31995?
Dit is toch niet te berekenen zonder rekenmachine?
1995a = 3162
a ~ 1.58
21.58< 3
Dus
23162< 31995
Geen idee, je formulering is zo onduidelijk dat onmogelijk is te achterhalen wat je je hier precies bij voorstelt.quote:Op vrijdag 11 oktober 2013 23:38 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
Ah! Hij (nouja, mijn uitleg) is niet convex (en concaaf) op hetzelfde interval omdat je die lijn niet kunt trekken tussen twee willekeurige punten zonder buiten het interval te komen. Klopt dat?
Er werd duidelijk gevraagd naar een functie die zowel convex als concaaf moest zijn op hetzelfde interval. Jij maakte daarvan dat er werd gevraagd naar een functie die convex is op een deel van een interval maar concaaf op een ander deel van datzelfde interval. Maar dat is iets anders.quote:Ik wist dat overigens, maar ik wist niet dat de hele functie convex en concaaf moet zijn op het gehele interval.
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |