quote:
Je maakt hier weer de bekende Pippi Langkous fout, en dat valt me wel van je tegen. Het is niet handig om allerlei extra onbekenden in te gaan voeren, en aangezien de lengtes van de zijden van twee gelijkvormige driehoeken evenredig met elkaar zijn en de uitdrukking voor PQ die je gevraagd wordt te bewijzen zich eenvoudig als een evenredigheid laat herschrijven, ligt het wel érg voor de hand gebruik te maken van evenredigheden.
Welnu, we hebben ΔPQG ∼ ΔCRG zodat
(1) PQ : QG = CR : RG
Nu is QR = SC = cos α en RH = CT = sin α en HG = EF = 1, zodat
(2) QG = QR + RH + HG = cos α + sin α + 1
Verder is TB = cos α en BE = sin α en HE = GF = 1, zodat
(3) CR = TH = TE − HE = TB + BE − HE = cos α + sin α − 1
En tenslotte is
(4) RG = RH + HG = CT + HG = sin α + 1
Op grond van (1) t/m (4) hebben we dus
(5) PQ : (cos α + sin α + 1) = (cos α + sin α − 1) : (sin α + 1)
En dus
(6) PQ = ((cos α + sin α − 1)·(cos α + sin α + 1))/(sin α + 1)
QED