[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Snap alleen stap 1 naar 2 niet Voor de duidelijkheid 1 is de beginformule die naar 3 moet worden herleid

1 =

2

Wat doe je in deze stap?

Hardstikke bedankt trouwens! De breuken werken ook makkelijk hier

3 Uiteindelijke oplossing
HB =

quote:

Op vrijdag 4 oktober 2013 00:14 schreef Johan_Haas_ het volgende:
Snap alleen stap 1 naar 2 niet

1 =

2

Wat doe je in deze stap?

Hardstikke bedankt trouwens!

a(1-b) = a-ab

2 ²³ > 3 ¹³?

Hoe los je zoiets op zonder GR?

Volgens mij heet dat factoren.

Bedankt, snap het Nooit geweten dat dat zomaar kon, heb het met getallen nagerekend en het kan inderdaad gewoon en het klopt. Ik moet meer die ab regeltjes oefenen met breuken

Hoe gaat deze kom hier na lang proberen niet uit. solving voor Ht+1

1 +

2 =

3 =

Hoe nu verder, stap 2 en 3 heb ik zelf gedaan. Als ik noemer nou gelijk maak, dus ZhT en - naar rechtsboven sleep, ?

Ga nu slapen en erover nadenken

uitkomst moet zijn

quote:

Op vrijdag 4 oktober 2013 00:17 schreef wiskundenoob het volgende:
2 ²³ > 3 ¹³?

Hoe los je zoiets op zonder GR?

Dit is niet al te moeilijk om met de hand uit te rekenen. Als je het op een andere manier wilt doen, kan je gebruiken dat:
2² ≈ 3¹, maar
2² > 3¹, want 4 > 3 (1)

2³ ≈ 3², maar
2³ < 3², want 8 < 9 (2)

Met deze ongelijkheden kunnen we 'grotere' ongelijkheden makkelijk aantonen: als we bijvoorbeeld de eerste ongelijkheid tot de macht 10 nemen krijgen we de gelijkheid 2²⁰ > 3¹⁰. Het verschil tussen deze twee gelijkheden is blijkbaar te groot, het lukt niet om 2²³ > 3¹³ of 2²³ < 3¹³ te laten zien. We hebben blijkbaar soortgelijke ongelijkheden nodig waar de twee- en de driemacht dichten bij elkaar zitten. Deze kunnen we proberen te maken door de al gevonden gelijkheden met elkaar te vermenigvuldigen:

We kunnen proberen de twee- en de driemacht dicht bij elkaar te krijgen door met ongelijkheid (1) te vermenigvuldigen als we een ongelijkheid van de vorm 2^x < 3^y hebben, en met ongelijkheid (2) als we een ongelijkheid van de vorm 2^x > 3^y hebben. We moeten de getallen 2^x en 3^y dan wel met de hand uitwerken, totdat we een combinatie van ongelijkheden vinden waaruit we 2²³ > 3¹³ of 2²³ < 3¹³ kunnen bewijzen.

Zo vinden we:
2⁵ = 32 > 27 = 3³ (3)
2⁸ = 256 > 243 = 3⁵ (4)

en omdat 23 = 8 + 8 + 5 + 2
kunnen we door ongelijkheid (4) achtereenvolgens te vermenigvuldigen met ongelijkheid (4), (3) en tenslotte (1), vinden:
2²³ > 3¹⁴, wat nog een sterker resultaat is dan 2²³ > 3¹³

(merk op: als a > b en c > d en a, b, c, d > 0, dan ac > bd. Dit bedoel ik met 'twee ongelijkheden vermenigvuldigen')

Dit is de enige manier die ik zo kan bedenken, en ik weet niet of dit echt veel makkelijker is dan gewoon de getallen uitrekenen. Het is wel zo dat hoe groter het verschil, hoe makkelijker de ongelijkheid aan is te tonen. (2⁴ < 3¹⁰⁰ is bijvoorbeeld door alleen formule (2) te gebruiken aan te tonen)

[ Bericht 4% gewijzigd door randomo op 05-10-2013 16:29:41 ]

quote:

Op vrijdag 4 oktober 2013 00:17 schreef wiskundenoob het volgende:
2 ²³ > 3 ¹³?

Hoe los je zoiets op zonder GR?

Tja, da's een leuke. Ik zou het als volgt doen. Je weet dat √2 = 2^1/2 tussen 1,4 en 1,5 ligt, want 1,4² = 1,96 terwijl 1,5² = 2,25. Verder weet je ook dat √3 = 3^1/2 tussen 1,7 en 1,8 ligt, want 1,7² = 2,89 terwijl 1,8² = 3,24.

Nu heb je ook

2^5/2 = 2²·2^1/2 = 4·2^1/2

en

3^3/2 = 3¹·3^1/2 = 3·3^1/2

Dus weten we nu dat

5,6 < 2^5/2 < 6,0

en

5,1 < 3^3/2 < 5,4

zodat

2^5/2 > 3^3/2

Hieruit volgt dat ook

(2^5/2)⁹ > (3^3/2)⁹

oftewel

2^22,5 > 3^13,5

En aangezien

2²³ > 2^22,5

heb je dus ook

2²³ > 3^13,5

En omdat ook

3^13,5 > 3¹³

volgt dus inderdaad dat

2²³ > 3¹³

QED

quote:

Op vrijdag 4 oktober 2013 01:10 schreef Johan_Haas_ het volgende:
Hoe gaat deze kom hier na lang proberen niet uit.

Nee. En weet je hoe dat komt? Omdat je geen flauw idee hebt van het rekenen met breuken. Dat had je op de lagere school moeten leren, maar dat is kennelijk - om welke reden dan ook - niet gebeurd. Ga daarom eerst deze cursus eens compleet doorwerken. Pas daarna heeft het zin om verder te gaan.

quote:

Hoe nu verder, stap 2 en 3 heb ik zelf gedaan. Als ik noemer nou gelijk maak, dus ZhT en - naar rechtsboven sleep, ?

Ik volg de bèta topics nu al een aantal jaren, en ik denk altijd dat het niet gekker kan worden, maar ik moet spijtig genoeg steeds constateren dat ik me vergis. Wat je hier zegt is iets wat alleen de huidige sleep- en klikgeneratie zou kunnen bedenken.

quote:

uitkomst moet zijn

Nou nee. Je negeert om te beginnen het onderscheid tussen hoofdletters en kleine letters, en verder heb je kennelijk ook niet in de gaten dat de t hier zo te zien een index of parameter is en dat het er om gaat H_t+1 uit te drukken in H_t.

quote:

Op vrijdag 4 oktober 2013 02:06 schreef randomo het volgende:

[..]

Dit is de enige manier die ik zo kan bedenken, en ik weet niet of dit echt veel makkelijker is dan gewoon de getallen uitrekenen.

Ik bedacht nadat ik jouw uiteenzetting had gelezen dat je hebt 2⁵ > 3³ dus (2⁵)^23/5 > (3³)^23/5 oftewel 2²³ > 3^13,8 > 3¹³, QED. Nog eenvoudiger zal moeilijk gaan en dit is toch echt veel gemakkelijker dan uitrekenen.

quote:

Op zondag 6 oktober 2013 04:50 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik bedacht nadat ik jouw uiteenzetting had gelezen dat je hebt 2⁵ > 3³ dus (2⁵)^23/5 > (3³)^23/5 oftewel 2²³ > 3^13,8 > 3¹³, QED. Nog eenvoudiger zal moeilijk gaan en dit is toch echt veel gemakkelijker dan uitrekenen.

Dat is wel een mooie ja! Om de een of andere reden dacht ik dat het makkelijker zou worden als ik alleen gehele getallen zou gebruiken, maar dat valt dus vies tegen

Maar goed, die 2²³ en 3¹³ uitrekenen is natuurlijk gewoon het simpel toepassen van een algoritme, terwijl het maar de vraag is of het afleiden van zoiets snel en elegant lukt.

Vast erg simpel tussen dit, maar:
stel ik heb en ik moet aangeven hoe die uit de standaardgrafiek ontstaat
maakt het dan uit of ik eerst transleer of vermenigvuldig?

De volgorde is niet bijzonder van belang zover ik weet, zolang je maar consistent bent zou ik zeggen.

Persoonlijk zou ik gaan voor sin(x)->sin(2x)->sin(2x-0.5)->sin(2x-0.5)-3
Dus een sinus die eerst 2 keer zo dun is, daarna een faseverschuiving ziet (ipv 0,0 zit het nulpunt op 0.5,0) Vervolgens schop je het hele ding drie omlaag.

quote:

Op zondag 6 oktober 2013 16:27 schreef randomo het volgende:

[..]

Dat is wel een mooie ja! Om de een of andere reden dacht ik dat het makkelijker zou worden als ik alleen gehele getallen zou gebruiken, maar dat valt dus vies tegen

Maar goed, die 2²³ en 3¹³ uitrekenen is natuurlijk gewoon het simpel toepassen van een algoritme, terwijl het maar de vraag is of het afleiden van zoiets snel en elegant lukt.

Voor kleine exponenten lukt dit zeker. Voor m,n > 0 heb je immers 2^m > 3ⁿ als m/n > log(3)/log(2) ≈ 1,585, dus is m = 5, n = 3 een goede keuze, want dan is m/n = 5/3 ≈ 1,667. En een hele goede keuze is dan m = 8, n = 5, want dan is m/n = 8/5 = 1,6. Maar het wordt lastiger bij grote exponenten en als de waarden van de machten dichter bij elkaar liggen. Als je uitsluitend met pen en papier zou willen nagaan of bijvoorbeeld 2³¹⁶² nu groter of kleiner is dan 3¹⁹⁹⁵ dan zijn zelfs opa's logaritmentafels in vijf decimalen niet meer toereikend. En ik hoop niet dat je nu het advies blijft geven om het dan maar met de hand uit te rekenen omdat het algoritme zo lekker simpel is.

quote:

Op zondag 6 oktober 2013 16:37 schreef rareziekte het volgende:
Vast erg simpel tussen dit, maar:
stel ik heb en ik moet aangeven hoe die uit de standaardgrafiek ontstaat
maakt het dan uit of ik eerst transleer of vermenigvuldig?

Ik weet niet wat je bedoelt met transleer/vermenigvuldig. Maar ik zou denken:

normale sin: f(x)=sin(x).

-3 betekent dat je evenwichtslijn bij -3 ligt. Dus als je +3 doet heb je sin(2(x-0.25)). Ik zie trouwens niet wat je hebt staan voor je amplitude. Die 2 geeft aan dat je grafiek/figuur naar links is gegaan met 2. Die -.25 betekent dat je grafiek naar rechts is gegaan met 0.25. Dus als je rekent met radialen/graden/etc kun je aangeven hoe die uit de normale grafiek is gekomen.

Ik geloof dat je dan de volgende variabele krijgt:

a= hier komt je amplitude, maar dit weet ik even niet...
b= -3 dit is de waarde voor je evenwichtslijn
c= 2pi/2 voor het verschuiven van de grafiek/dit heeft met de periode van je grafiek te maken, dus in jouw geval is pi 1 periode in je sinusgrafiek.
d=-.25 dit is de verschuiving naar rechts.

Riparius/Bram/iemand, kun jij mij verbeteren? Dit is training voor mezelf zodat ik de stof beter begrijp.

quote:

Op maandag 7 oktober 2013 20:02 schreef DefinitionX het volgende:
Ik weet niet wat je bedoelt met transleer/vermenigvuldig. Maar ik zou denken:

Amplitude is 1, immers de sinus zelf wordt nergens mee vermenigvuldigd

quote:

Op maandag 7 oktober 2013 20:02 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Ik weet niet wat je bedoelt met transleer/vermenigvuldig. Maar ik zou denken:

normale sin: f(x)=sin(x).

-3 betekent dat je evenwichtslijn bij -3 ligt. Dus als je +3 doet heb je sin(2(x-0.25)). Ik zie trouwens niet wat je hebt staan voor je amplitude. Die 2 geeft aan dat je grafiek/figuur naar links is gegaan met 2. Die -.25 betekent dat je grafiek naar rechts is gegaan met 0.25. Dus als je rekent met radialen/graden/etc kun je aangeven hoe die uit de normale grafiek is gekomen.

Ik geloof dat je dan de volgende variabele krijgt:

a= hier komt je amplitude, maar dit weet ik even niet...
b= -3 dit is de waarde voor je evenwichtslijn
c= 2pi/2 voor het verschuiven van de grafiek/dit heeft met de periode van je grafiek te maken, dus in jouw geval is pi 1 periode in je sinusgrafiek.
d=-.25 dit is de verschuiving naar rechts.

Riparius/Bram/iemand, kun jij mij verbeteren? Dit is training voor mezelf zodat ik de stof beter begrijp.

Dat ligt eraan welke variable je voor welk aspect van zo'n sinusfunctie definieert. Het algemene geval wordt beschreven door f(x)=a+b*sin(c(x+d)). Hierin is:

a = de verschuiving langs de y-as.
d = de verschuiving langs de x-as. LET OP!!: De eigenlijke verschuiving is het tegengestelde van de waarde d, oftewel, exact de andere kant van de x-as op.
b = de expansiefactor in de y-richting a.k.a. de verticale richting.
c = de, let op nu, compressiefactor in de x-richting a.k.a. de horizontale richting. Net als de parameter d in dezen is het effect op de grafiek exact het tegenovergestelde van de waarde b (compressie ipv van expansie met factor c).

EDIT: Ja die dubbele haken zijn belangrijk!! Vergelijk de translatie van sin(x+½π) tov sin(x) vergeleken met sin(2x+½π) tov sin(2x). De eerste twee zijn verschoven van elkaar met translatie T:(-½π,0,0), de laatste twee met translatie T:(-¼π,0,0). Dit omdat het argument (2x+½π) te schrijven valt als (2(x+¼π)).

[ Bericht 1% gewijzigd door VanishedEntity op 09-10-2013 19:50:00 ]

quote:

Op maandag 7 oktober 2013 20:02 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Ik weet niet wat je bedoelt met transleer/vermenigvuldig. Maar ik zou denken:

normale sin: f(x)=sin(x).

-3 betekent dat je evenwichtslijn bij -3 ligt. Dus als je +3 doet heb je sin(2(x-0.25)). Ik zie trouwens niet wat je hebt staan voor je amplitude. Die 2 geeft aan dat je grafiek/figuur naar links is gegaan met 2. Die -.25 betekent dat je grafiek naar rechts is gegaan met 0.25. Dus als je rekent met radialen/graden/etc kun je aangeven hoe die uit de normale grafiek is gekomen.

Ik geloof dat je dan de volgende variabele krijgt:

a= hier komt je amplitude, maar dit weet ik even niet...
b= -3 dit is de waarde voor je evenwichtslijn
c= 2pi/2 voor het verschuiven van de grafiek/dit heeft met de periode van je grafiek te maken, dus in jouw geval is pi 1 periode in je sinusgrafiek.
d=-.25 dit is de verschuiving naar rechts.

Riparius/Bram/iemand, kun jij mij verbeteren? Dit is training voor mezelf zodat ik de stof beter begrijp.

a = evenwichtsstand en dat is -3
b= amplitude en dat is 1
c = periode = 2pi/2= pi
d= beginpunt = 1/4

maar dat was niet de vraag, vraag was om aan te tonen hoe de grafiek ontstaat uit de standaardgrafiek y=sin(x). (dus via pijltjes de transformaties aantonen)

quote:

Op dinsdag 8 oktober 2013 19:27 schreef rareziekte het volgende:

[..]

a = evenwichtsstand en dat is -3
b= amplitude en dat is 1
c = periode = 2pi/2= pi
d= beginpunt = 1/4

maar dat was niet de vraag, vraag was om aan te tonen hoe de grafiek ontstaat uit de standaardgrafiek y=sin(x). (dus via pijltjes de transformaties aantonen)

Je hebt

f(x) = sin(x)

en g(x) = -3 + sin(2x - 1/2)

Eerst transleer je de grafiek nog over (1/2, -3), en dan vermenigvuldig je f(x) t.o.v. de y-as met 1/2. Dat is dan g(x).

quote:

Op woensdag 9 oktober 2013 16:22 schreef jordyqwerty het volgende:
Voor welke waarde van q (uitgedrukt in r) is de onderstaande functie f(a, b) homogeen en wat is
de bijbehorende graad?

Kijk eerst eens naar de noemer. Dat is een homogeen polynoom als

qr² + 1 = q + r

Wat vind je dan voor q uitgedrukt in r?