SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Ik moet de volgende vergelijking tweemaal impliciet differentiëren (dy/dx, d2y/dx2), maar loop compleet vast.
Gegeven vergelijking:
(1)
Impliciet differentiëren:
(2)
(3)
Y vrijmaken uit de gegeven vergelijking:
(4)
Y invullen:
(5)
Vervolgens kwam ik op het volgende:
(6)
Volgensmij ben ik hier de mist in gegaan, ik denk dat deze stap niet klopt:
(2)
(7)
Iemand die me op weg kan helpen/kan zeggen wat ik fout doe? Net begonnen met impliciet differentiëren, vaak lukt het de eerste keer wel maar gaat het vervolgens mis, hier bijvoorbeeld ook.
Gegeven vergelijking:
(1)
Impliciet differentiëren:
(2)
(3)
Y vrijmaken uit de gegeven vergelijking:
(4)
Y invullen:
(5)
Vervolgens kwam ik op het volgende:
(6)
Volgensmij ben ik hier de mist in gegaan, ik denk dat deze stap niet klopt:
(2)
(7)
Iemand die me op weg kan helpen/kan zeggen wat ik fout doe? Net begonnen met impliciet differentiëren, vaak lukt het de eerste keer wel maar gaat het vervolgens mis, hier bijvoorbeeld ook.
Dat is een beetje overhaast.quote:Op zondag 29 september 2013 21:42 schreef wiskundenoob het volgende:
Stelling van Pythagoras misschien?
Mag je mij vertellen hoe je daaraan komt. Ik heb zo ongeveer alle goniometrische verhoudingen opgesteld wat ik kon bedenken, maar ik kom hier niet bepaald uit. (Twee vergelijkingen - drie onbekenden)quote:
[..]
waarom? volgens mij is het antwoord gewoon 2.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
nvm klopt nietquote:Op zondag 29 september 2013 21:59 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Dat is een beetje overhaast.
[..]
Mag je mij vertellen hoe je daaraan komt. Ik heb zo ongeveer alle goniometrische verhoudingen opgesteld wat ik kon bedenken, maar ik kom hier niet bepaald uit. (Twee vergelijkingen - drie onbekenden)
Is het antwoord 1,5? Volgens mij is het wel 2.quote:
Hoi,
Ik heb een vraag. Stel, je hebt een plank, met lengte 2, die schuin vanuit een hoekpunt in een steeg tegen de muur staat. Dan heb je nog een plank, met lengte 3, die schuin vanuit het andere hoekpunt tegen de muur staat. Verder is bekend dat die twee planken elkaar op hoogte 1 snijden, vanaf de grond gezien. Hoe breed is dan de steeg?
Plaatje ter verduidelijking:
[ afbeelding ]
[ Bericht 48% gewijzigd door wiskundenoob op 29-09-2013 22:19:44 ]
Als je bijvoorbeeld weet op welke hoogte een plank tegen een muur aan staat, dan kun je met de stelling van Pythagoras de breedte berekenen. Je kunt het ook berekenen als je van een van de planken weet welke hoek deze maakt met de muur of de grond.quote:
[..]
waarom? volgens mij is het antwoord gewoon 2.
Maar deze gegevens zijn niet beschikbaar. Alleen de lengtes van de planken is gegeven, net als de hoogte waarop de planken elkaar kruisen. En dat is onvoldoende om de som op te lossen.
Breedte kan natuurlijk nooit 2 zijn, omdat de schuine zijde van een van de gevormde driehoeken al 2 is; driehoeksongelijkheid.quote:
[..]
Is het antwoord 1,5? Volgens mij is het wel 2.
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Ik gooi meteen nog een vraag erachteraan. Stel dat je de volgende vergelijking hebt, waarbij y gedefiniëerd is als een functie van x en je dmv impliciet differentiëren y' moet geven.
(1)
Nu is dit vrij eenvoudig te doen:
(2)
(3)
(4)
Maar stel nu dat er in plaats van g(x) g(x+y) stond, hoe kan je zoiets impliciet differentiëren? Dat is mij namelijk nog niet helemaal duidelijk.
(1)
Nu is dit vrij eenvoudig te doen:
(2)
(3)
(4)
Maar stel nu dat er in plaats van g(x) g(x+y) stond, hoe kan je zoiets impliciet differentiëren? Dat is mij namelijk nog niet helemaal duidelijk.
Kan het 1,25 zijn?quote:
[..]
Breedte kan natuurlijk nooit 2 zijn, omdat de schuine zijde van een van de gevormde driehoeken al 2 is; driehoeksongelijkheid.
quote:
[..]
Als je bijvoorbeeld weet op welke hoogte een plank tegen een muur aan staat, dan kun je met de stelling van Pythagoras de breedte berekenen. Je kunt het ook berekenen als je van een van de planken weet welke hoek deze maakt met de muur of de grond.
Maar deze gegevens zijn niet beschikbaar. Alleen de lengtes van de planken is gegeven, net als de hoogte waarop de planken elkaar kruisen. En dat is onvoldoende om de som op te lossen.
Kan je het zo wel oplossen? Ik dacht dat de 2 planken maar op 1 manier kunnen kruizen! Daarom dacht ik dat je het wel kon uitrekenen...
Tenzij de plank plat op de grond ligt. Maar in dat geval kunnen de planken nooit op hoogte 1 snijden.quote:
[..]
Breedte kan natuurlijk nooit 2 zijn, omdat de schuine zijde van een van de gevormde driehoeken al 2 is; driehoeksongelijkheid.
Volgens mij is het wel mogelijk om dit op te lossen trouwens.
Als je nu eens uitwerkingen post in plaats van lukraak dingen te gaan roepen waar niemand wat mee kan. En heldere uitwerkingen, want vaak zijn je posts maar vaag.quote:
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Kijk een post boven jequote:Op zondag 29 september 2013 22:40 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Tenzij de plank plat op de grond ligt. Maar in dat geval kunnen de planken nooit op hoogte 1 snijden.
Volgens mij is het wel mogelijk om dit op te lossen trouwens.
[..]
Als je nu eens uitwerkingen post in plaats van lukraak dingen te gaan roepen waar niemand wat mee kan. En heldere uitwerkingen, want vaak zijn je posts maar vaag.
quote:
[..]
[ afbeelding ]
Kan je het zo wel oplossen? Ik dacht dat de 2 planken maar op 1 manier kunnen kruizen! Daarom dacht ik dat je het wel kon uitrekenen...
Mag jij mij vertellen hoe je aan die wortel 2 komt.quote:
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Stel de eerste plank zit op hoogte a tegen de muur en de tweede plank op hoogte b. En stel de planken snijden op afstand x van de ene muur en op afstand y van de andere muur. Laten we de breedte z noemen (dus z = x+y).
Dan geldt a : z = 1 : y, en b : z = 1 : x. Ofwel ay = z, en bx = z.
Voorts geldt a2 = 4-z2, en b2=9-z2.
Kwadrateren en invullen geeft
(4-z2)y2 = z2, en (9-z2)x2 = z2.
Dit geeft ook weer
Hieruit volgt
Dit kun je met wat kwadrateren nog wel oplossen.
Dan geldt a : z = 1 : y, en b : z = 1 : x. Ofwel ay = z, en bx = z.
Voorts geldt a2 = 4-z2, en b2=9-z2.
Kwadrateren en invullen geeft
(4-z2)y2 = z2, en (9-z2)x2 = z2.
Dit geeft ook weer
Hieruit volgt
Dit kun je met wat kwadrateren nog wel oplossen.
Ik kwam steeds op onzinnige zooi uit. Ik probeerde jouw x en y uit te drukken in a en b zodat ik 2 vergelijkingen met 2 onbekenden zou krijgen. Ik deed het juist met goniometrische gelijkheden door gelijkvormige driehoeken te gebruiken.quote:
Stel de eerste plank zit op hoogte a tegen de muur en de tweede plank op hoogte b. En stel de planken snijden op afstand x van de ene muur en op afstand y van de andere muur. Laten we de breedte z noemen (dus z = x+y).
Dan geldt a : z = 1 : y, en b : z = 1 : x. Ofwel ay = z, en bx = z.
Voorts geldt a2 = 4-z2, en b2=9-z2.
Kwadrateren en invullen geeft
(4-z2)y2 = z2, en (9-z2)x2 = z2.
Dit geeft ook weer
Hieruit volgt
Dit kun je met wat kwadrateren nog wel oplossen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Je wil hier een functie van de gedaantequote:Op zondag 29 september 2013 18:10 schreef wiskundenoob het volgende:
Ik kom niet uit bij deze:
3x 2 +2x - 1
9x 2 +6x - 3
(3x +1)2 - 4
(-1/3,-4)
Of nogmaals delen door 3:
(3x +1 )2-4
(1x + 1/3) 2 - 4/3
(-1/3, -4/3)
f(x) = ax2 + bx + c
omwerken tot een vorm waaruit je de coördinaten kunt aflezen van de top van de parabool die de grafiek is van deze functie. Om dit te kunnen doen haal je eerst een geschikte factor buiten haakjes, vervolgens pas je kwadraatafsplitsing toe op de uitdrukking binnen de haakjes, en tenslotte werk je de buitenste haakjes weer weg.
Even een voorbeeld.
f(x) = 3x2 + 2x − 1
Hier kunnen we 3x2 omvormen tot het kwadraat van 3x door met 3 te vermenigvuldigen, maar dan moeten we daarvoor compenseren door weer met 1/3 te vermenigvuldigen, en krijgen we dus
f(x) = ⅓(9x2 + 6x − 3)
f(x) = ⅓((3x + 1)2 − 1 − 3)
f(x) = ⅓((3x + 1)2 − 4)
f(x) = ⅓(3x + 1)2 − 4/3
De functie neemt dus voor x = −⅓ een minimum f(−⅓) = −4/3 aan. De grafiek van de functie is dus een dalparabool met als top het punt met de coördinaten (−⅓; −4/3).
Andere manier: we halen de coëfficiënt 3 van de kwadratische term buiten haakjes, dan krijgen we
f(x) = 3(x2 + ⅔x − ⅓)
f(x) = 3((x + ⅓)2 − 1/9 − ⅓)
f(x) = 3((x + ⅓)2 − 4/9)
f(x) = 3(x + ⅓)2 − 4/3
En weer kunnen we concluderen dat de functie voor x = −⅓ een minimum f(−⅓) = −4/3 bereikt.
De algemene gedaante van een kwadratische functie is
f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0
Je kunt dit ook met kwadraatafsplitsing omwerken, en daarbij heb je weer de mogelijkheid om bijvoorbeeld eerst met 4a te vermenigvuldigen (methode van Sridhara), maar dan moet je ter compensatie ook weer met een factor 1/4a vermenigvuldigen. Uiteindelijk krijg je dan
f(x) = (1/4a)·(2ax + b)2 − D/4a
waarbij D = b2 − 4ac de discriminant is van de kwadratische veelterm. Deze functie neemt dus voor x = −b/2a een extreme waarde f(−b/2a) = −D/4a aan. Deze extreme waarde is een minimum indien a > 0 en een maximum indien a < 0.
Andere manier: eerst de factor a buiten haakjes halen. Uiteindelijk krijg je dan
f(x) = a(x + b/2a)2 − D/4a
en uiteraard vind je dan ook dat de functie voor x = −b/2a een extreme waarde f(−b/2a) = −D/4a aanneemt. De parabool die de grafiek is van deze functie heeft dus als top het punt met coördinaten
(−b/2a; −D/4a)
In het algemeen is het eenvoudiger om eerst de discriminant van je kwadratische veelterm uit te rekenen, want dan kun je ook meteen de coördinaten van de top van de parabool opschrijven.
Voorbeeld: voor f(x) = 3x2 + 2x − 1 heb je a = 3, b = 2, c = −1, dus D = b2 − 4ac = 4 − 4·3·(−1) = 4 + 12 = 16. De x-coördinaat van de top (xt; yt) van de parabool is dus xt = −b/2a = −2/6 = −1/3 en de y-coördinaat van de top is yt = −D/4a = −16/12 = −4/3. Aangezien a > 0 is de grafiek een dalparabool en aangezien D > 0 zijn er twee snijpunten met de x-as. De x-coördinaten van de snijpunten met de x-as zijn x1 = (−b − √D)/2a = (−2 − 4)/6 = −1 en x2 = (−b + √D)/2a = (−2 + 4)/6 = 1/3.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 01-10-2013 01:21:26 ]
Dit is een klassieker. Iedereen die geïnteresseerd is in dit probleem kan ik aanraden eens te googelen naar crossed ladder problem. Je komt uiteindelijk uit op een vierdegraadsvergelijking (die uiteraard oplosbaar is). Ook via JSTOR zijn er artikelen over te vinden.quote:
Stel de eerste plank zit op hoogte a tegen de muur en de tweede plank op hoogte b. En stel de planken snijden op afstand x van de ene muur en op afstand y van de andere muur. Laten we de breedte z noemen (dus z = x+y).
Dan geldt a : z = 1 : y, en b : z = 1 : x. Ofwel ay = z, en bx = z.
Voorts geldt a2 = 4-z2, en b2=9-z2.
Kwadrateren en invullen geeft
(4-z2)y2 = z2, en (9-z2)x2 = z2.
Dit geeft ook weer
Hieruit volgt
Dit kun je met wat kwadrateren nog wel oplossen.
Dat is een veel voorkomende reactie van mensen die het probleem voor het eerst onder ogen krijgen. Maar wat je zegt is niet juist, het vraagstuk is op te lossen.quote:
[..]
Maar deze gegevens zijn niet beschikbaar. Alleen de lengtes van de planken is gegeven, net als de hoogte waarop de planken elkaar kruisen. En dat is onvoldoende om de som op te lossen.
Uiteindelijk heb ik twee vergelijkingen in a en b staan (met een direct verband tussen x+y=z uiteraard), maar dat ging WolframAlpha wat te ver. Ik had met de sinus van dat stuk v/d schuine zijde en de stelling van Pythagoras x en y uitgedrukt in c en d om zo twee vergelijkingen in c en d te krijgen. Maar zelfs Mathematica gaf daar geen output over.quote:
[..]
Dat is een veel voorkomende reactie van mensen die het probleem voor het eerst onder ogen krijgen. Maar wat je zegt is niet juist, het vraagstuk is op te lossen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik heb de voorzet van thabit inmiddels gezien en ik moet inderdaad toegeven dat dit op te lossen moet zijn.quote:
de hoogte waarop de planken elkaar kruisen. En dat is onvoldoende om de som op te lossen.
Dat is een veel voorkomende reactie van mensen die het probleem voor het eerst onder ogen krijgen. Maar wat je zegt is niet juist, het vraagstuk is op te lossen.
Ik had uiteindelijk:
Overigens zijn d,c de hoogte van mijn ladders tegen de muur.
En uiteraard geldt ook d2 - c2 = 5
Substitueer de gevonden waarde voor d2 in bovenstaande vergelijking, gebruik dat de lengte van het steegje z gegeven wordt door:
En je bent klaar. Alleen het berekenen van c is een aardige kluif.
Maar dan schieten mijn algebraïsche technieken toch echt te kort. WolframAlpha zegt trouwens dat het ongeveer 1.23122 is. En dat stemt overeen met de vergelijking van Thabit.
[ Bericht 19% gewijzigd door Amoeba op 30-09-2013 00:08:28 ]
Overigens zijn d,c de hoogte van mijn ladders tegen de muur.
En uiteraard geldt ook d2 - c2 = 5
Substitueer de gevonden waarde voor d2 in bovenstaande vergelijking, gebruik dat de lengte van het steegje z gegeven wordt door:
En je bent klaar. Alleen het berekenen van c is een aardige kluif.
Maar dan schieten mijn algebraïsche technieken toch echt te kort. WolframAlpha zegt trouwens dat het ongeveer 1.23122 is. En dat stemt overeen met de vergelijking van Thabit.
[ Bericht 19% gewijzigd door Amoeba op 30-09-2013 00:08:28 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ga uit van de vergelijking in z van Thabit en substitueer daar z2 = w en werk daarna de wortels weg door (tweemaal!) te kwadrateren. Dan kom je uit op een vierdegraadsvergelijking in w.quote:
Ik had uiteindelijk:
[ afbeelding ]
En uiteraard geldt ook d^2 - c^2 = 5
Maar dan schieten mijn algebraïsche technieken toch echt te kort. WolframAlpha zegt trouwens dat het ongeveer 1.23122 is. En dat stemt overeen met de vergelijking van Thabit.
Je moet volgens mij gewoon (3) nog een keer differentiëren en vervolgens de y' die je in die vergelijking nog 'over' hebt vervangen door je definitie die je hiervoor hebt gevonden (4) of (5). Correct me if I'm wrong.quote:
Ik moet de volgende vergelijking tweemaal impliciet differentiëren (dy/dx, d2y/dx2), maar loop compleet vast.
Gegeven vergelijking:
[ afbeelding ] (1)
Impliciet differentiëren:
[ afbeelding ] (2)
[ afbeelding ] (3)
Y vrijmaken uit de gegeven vergelijking:
[ afbeelding ] (4)
Y invullen:
[ afbeelding ] (5)
Vervolgens kwam ik op het volgende:
[ afbeelding ] (6)
Volgensmij ben ik hier de mist in gegaan, ik denk dat deze stap niet klopt:
[ afbeelding ] (2)
[ afbeelding ] (7)
Iemand die me op weg kan helpen/kan zeggen wat ik fout doe? Net begonnen met impliciet differentiëren, vaak lukt het de eerste keer wel maar gaat het vervolgens mis, hier bijvoorbeeld ook.
Ga er straks na mijn college nog eens naar kijken, vandaag wordt immers sowieso weer een wiskunde-dag.quote:
[..]
Je moet volgens mij gewoon (3) nog een keer differentiëren en vervolgens de y' die je in die vergelijking nog 'over' hebt vervangen door je definitie die je hiervoor hebt gevonden (4) of (5). Correct me if I'm wrong.
Ok post maar of de juiste uitkomst overeenkomt met mijn methode, ben wel benieuwd en ik moet het immers ook onder de knie krijgenquote:Op maandag 30 september 2013 11:42 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
Ga er straks na mijn college nog eens naar kijken, vandaag wordt immers sowieso weer een wiskunde-dag.
(5) volgt direct uit (4) en bij (7) heeft hij de productregel incorrect gebruikt. Impliciet differentiëren is hier feitelijk overbodig.quote:
[..]
Je moet volgens mij gewoon (3) nog een keer differentiëren en vervolgens de y' die je in die vergelijking nog 'over' hebt vervangen door je definitie die je hiervoor hebt gevonden (4) of (5). Correct me if I'm wrong.
