quote:
Op vrijdag 16 augustus 2013 20:00 schreef DefinitionX het volgende:Kan iemand me aub helpen? Ik ben nu vergelijkingen, ongelijkheden en stelsels aan het doen, maar ik kom bij sommige gewoon niet uit.
Ik heb met rood aangegeven welke ik niet snap.
[
afbeelding ]
Hoe kan ik het beste veeltermen zoals c, d, f en g oplossen?
c. Substitutie, zie hierboven.
d. Zie mijn antwoord aan Bram hierboven.
f. Gehele wortels van deze vergelijking moeten, afgezien van het teken, delers zijn van 6. Zo vind je door uitproberen gemakkelijk dat zowel x = 1 als x = −1 voldoen. Maar dan bevat het polynoom in het linkerlid van deze vergelijking dus zowel een factor (x − 1) als een factor (x + 1), en daarmee dus ook een kwadratische factor (x − 1)(x + 1) = (x
2 − 1).
Je kunt nu middels een polynoomstaartdeling x
4 − x
3 − 7x
2 + x + 6 delen door x
2 − 1, maar je kunt ook anders te werk gaan, als volgt. We gaan nu de vierdegraads veelterm in het linkerlid van de vergelijking herschrijven als een som of verschil van termen met elk een factor (x
2 − 1). We moeten dan in ieder geval een term x
2(x
2 − 1) = x
4 − x
2 hebben, aangezien de vergelijking van de vierde graad is en de coëfficiënt van de hoogste macht van x in de vergelijking gelijk is aan 1. Maar nu zien we ook dat de coëfficiënt van de kwadratische term niet −1 is maar −7. Daarom splitsen we de term − 7x
2 eerst even op in − x
2 − 6x
2, zodat we dus krijgen
x
4 − x
3 − x
2 − 6x
2 + x + 6 = 0
Nu zie je gemakkelijk dat we hebben x
4 − x
2 = x
2(x
2 − 1), − x
3 + x = − x(x
2 − 1) en − 6x
2 + 6 = − 6(x
2 − 1), zodat we dus hebben
x
2(x
2 − 1) − x(x
2 − 1) − 6(x
2 − 1) = 0
Nu kunnen we de gemene factor (x
2 − 1) buiten haakjes halen zodat we krijgen
(x
2 − 1)(x
2 − x − 6) = 0
De resterende twee oplossingen van de vergelijking zijn dus de wortels van de vierkantsvergelijking
x
2 − x − 6 = 0
Deze vierkantsvergelijking is eenvoudig op te lossen door ontbinden in factoren. We zoeken twee (gehele) getallen waarvan het product gelijk is aan −6 en de som gelijk is aan −1, en die getallen zijn uiteraard +2 en −3, zodat we krijgen
(x + 2)(x − 3) = 0
x = −2 ∨ x = 3
De vier (reële) oplossingen van de vierdemachtsvergelijking zijn dus x = −2, x = −1, x = 1 en x = 3. Uiteraard had je in dit geval alle vier de oplossingen ook gemakkelijk kunnen vinden door uitproberen, omdat je wist dat gehele oplossingen, afgezien van het teken, delers van 6 moeten zijn, maar ik wilde even laten zien dat je niet per se een polynoomstaartdeling hoeft uit te voeren om een polynoom waarvan je al een factor kent te herschrijven als een product van veeltermen.
g. Een eventuele gehele wortel van deze kubische vergelijking moet, afgezien van het teken, een deler zijn van 13. We zien direct dat x = 1 en x = −1
niet voldoen, dus proberen we x = 13, en die voldoet inderdaad wel. Dus gaan we nu in het linkerlid een factor (x − 13) buiten haakjes halen. Dat kunnen we weer doen door de veelterm in het linkerlid te herschrijven als een som of verschil van termen die elk een factor (x − 13) bevatten. We hebben x
2(x − 13) = x
3 − 13x
2 zodat we − 18x
2 eerst even opsplitsen in − 13x
2 − 5x
2 en we krijgen
x
3 − 13x
2 − 5x
2 + 66x − 13 = 0
en dus
x
2(x − 13) − 5x
2 + 66x − 13 = 0
Nu hebben we verder − 5x(x − 13) = − 5x
2 + 65x, dus splitsen we 66x op in 65x + x en krijgen we
x
2(x − 13) − 5x
2 + 65x + x − 13 = 0
en dus
x
2(x − 13) − 5x(x − 13) + (x − 13) = 0
Nu kunnen we de gemene factor (x − 13) buiten haakjes halen en krijgen we
(x − 13)(x
2 − 5x + 1) = 0
Om nu de resterende twee wortels van de kubische vergelijking te vinden moeten we dus nog de vierkantsvergelijking
x
2 − 5x + 1 = 0
oplossen. Dit kan op verschillende manieren, maar ik kies hier voor kwadraatafsplitsing volgens de methode van Sridhara. We brengen eerst de constante term over naar het rechter lid door van beide leden 1 af te trekken. Dit geeft
x
2 − 5x = −1
Nu vermenigvuldigen we beide leden met het viervoud van de coëfficiënt van de kwadratische term, dus met 4·1 = 4. Dit geeft
4x
2 − 20x = −4
Nu is 4x
2 het kwadraat van 2x en 20x = 2·2x·5 het dubbele product van 2x en 5, zodat we het linkerlid kunnen completeren tot een volkomen kwadraat door bij beide leden 5
2 = 25 op te tellen. Dit geeft
(2x)
2 − 2·(2x)·5 + 5
2 = 21
en dus
(2x − 5)
2 = 21
zodat
2x − 5 = √21 ∨ 2x − 5 = −√21
en daarmee
x = 5/2 + ½√21 ∨ x = 5/2 − ½√21
De drie (reële) wortels van de kubische vergelijking zijn dus x = 13, x = 5/2 + ½√21, x = 5/2 − ½√21.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 17-08-2013 03:55:35 ]