3de machtswortel berekenen met rekenmachine zonder ^ toets

Op maandag 12 augustus 2013 02:24 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is inderdaad heel goed mogelijk. Er zijn verschillende manieren om derdemachtswortels te berekenen door uitsluitend van de vier rekenkundige hoofdbewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen gebruik te maken, en een effectieve manier is dan gebruik maken van een Newton-Raphson iteratie.

Om A^1/3 te berekenen (voor een A > 0) kies je dan een eerste schatting x₀ > 0 en bereken je achtereenvolgens steeds betere benaderingen x₁, x₂ ... met de recursieformule

x_n+1 = x_n − ((x_n³ − A)/3x_n²)

Als je wil weten hoe men aan deze formule komt en waarom deze werkt, dan kan ik je aanraden dit eens te bestuderen.

In dit geval hebben we A = 500. Een eerste benadering voor de derdemachtswortel uit 500 is x₀ = 8, aangezien 8·8·8 = 512. Nu krijgen we met behulp van de recursieformule

x₁ = 8 − (12/(3·8·8)) = 8 − 4/64 = 8 − 1/16 = 7,9375

Als je nu hiervan de derde macht berekent, dan vind je

7,9375 · 7,9375 · 7,9375 = 500,093505859375

zodat je ziet dat we zelfs na slechts één iteratie al een aardige benadering hebben. Maar uiteraard kunnen we nu verder gaan en met deze x₁ = 8 − 1/16 = 127/16 weer de recursieformule gebruiken om een betere benadering x₂ te berekenen. Daarvoor vinden we dan

x₂ = 127/16 − ((127/16 · 127/16 · 127/16 − 500)/(3 · 127/16 · 127/16))

en met je basale rekenmachientje vind je dan

x₂ = 7,9370052906772480211627089920847

Bereken je hiervan weer de derde macht door dit tweemaal met zichzelf te vermenigvuldigen, dan vind je

500,00000582768621621612494673954

De gevonden benadering is dus al heel goed. Kap je de gevonden waarde voor x₂ af op 7,93700529 en neem je hiervan de derde macht, dan krijg je 500,000005699694359553135889.

De gevonden waarde 7,93700529 voor de derdemachtswortel uit 500 is tot op 7 decimalen nauwkeurig. Helemaal niet slecht dus voor zo'n kleine hoeveelheid rekenwerk. Je kunt trouwens door uitproberen nu gemakkelijk nagaan dat 7,93700526 dan de beste benadering geeft in 8 decimalen nauwkeurig.

Daarnaast	maandag 12 augustus 2013 @ 00:24
	Ik heb een rekenmachine waarmee je alleen kan delen, vermenigvuldigen, aftrekken en optellen. stel ik wil 500^(1/3) doen, is dat mogelijk met mijn rekenmachine? En hoe?
Straatklinker	maandag 12 augustus 2013 @ 01:47
	(Volgens mij enkel) door een interval te bepalen (in dit geval bijvoorbeeld [7...8]) en vervolgens systematisch je afrondingsfout verkleinen(door bijv. het interval telkens te halveren en het deel met het antwoord te kiezen): [7...8]->343 en 512 [7,5...8]->421 en 512 [7,75..8]->465,.. en 512 [7,875..8]->488,.. en 512 [7,9375..8]->500.09 en 512 [7,90625...7,9375]->494,21 en 500,09 [ Bericht 8% gewijzigd door Straatklinker op 12-08-2013 03:09:00 ]
Geralt	maandag 12 augustus 2013 @ 01:50
	4³ = 64 4 * 4 * 4 = 64 Doe je voordeel met deze informatie!
thenxero	maandag 12 augustus 2013 @ 01:54
	Je kan bijvoorbeeld een Taylorbenadering gebruiken, of Newton's methode.
Geralt	maandag 12 augustus 2013 @ 02:04
	quote: Op maandag 12 augustus 2013 01:50 schreef Geralt het volgende: 4³ = 64 4 * 4 * 4 = 64 Doe je voordeel met deze informatie! Hey wtf, dat werkt niet met getallen onder nul?!?!?!
Riparius	maandag 12 augustus 2013 @ 02:24
	quote: Op maandag 12 augustus 2013 00:24 schreef Daarnaast het volgende: Ik heb een rekenmachine waarmee je alleen kan delen, vermenigvuldigen, aftrekken en optellen. stel ik wil 500^(1/3) doen, is dat mogelijk met mijn rekenmachine? En hoe? Dat is inderdaad heel goed mogelijk. Er zijn verschillende manieren om derdemachtswortels te berekenen door uitsluitend van de vier rekenkundige hoofdbewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen gebruik te maken, en een effectieve manier is dan gebruik maken van een Newton-Raphson iteratie. Om A^1/3 te berekenen (voor een A > 0) kies je dan een eerste schatting x₀ > 0 en bereken je achtereenvolgens steeds betere benaderingen x₁, x₂ ... met de recursieformule x_n+1 = x_n − ((x_n³ − A)/3x_n²) Als je wil weten hoe men aan deze formule komt en waarom deze werkt, dan kan ik je aanraden dit eens te bestuderen. In dit geval hebben we A = 500. Een eerste benadering voor de derdemachtswortel uit 500 is x₀ = 8, aangezien 8·8·8 = 512. Nu krijgen we met behulp van de recursieformule x₁ = 8 − (12/(3·8·8)) = 8 − 4/64 = 8 − 1/16 = 7,9375 Als je nu hiervan de derde macht berekent, dan vind je 7,9375 · 7,9375 · 7,9375 = 500,093505859375 zodat je ziet dat we zelfs na slechts één iteratie al een aardige benadering hebben. Maar uiteraard kunnen we nu verder gaan en met deze x₁ = 8 − 1/16 = 127/16 weer de recursieformule gebruiken om een betere benadering x₂ te berekenen. Daarvoor vinden we dan x₂ = 127/16 − ((127/16 · 127/16 · 127/16 − 500)/(3 · 127/16 · 127/16)) en met je basale rekenmachientje vind je dan x₂ = 7,9370052906772480211627089920847 Bereken je hiervan weer de derde macht door dit tweemaal met zichzelf te vermenigvuldigen, dan vind je 500,00000582768621621612494673954 De gevonden benadering is dus al heel goed. Kap je de gevonden waarde voor x₂ af op 7,93700529 en neem je hiervan de derde macht, dan krijg je 500,000005699694359553135889. De gevonden waarde 7,93700529 voor de derdemachtswortel uit 500 is tot op 7 decimalen nauwkeurig. Helemaal niet slecht dus voor zo'n kleine hoeveelheid rekenwerk. Je kunt trouwens door uitproberen nu gemakkelijk nagaan dat 7,93700526 dan de beste benadering geeft in 8 decimalen nauwkeurig.
Daarnaast	maandag 12 augustus 2013 @ 09:00
	quote: Op maandag 12 augustus 2013 02:24 schreef Riparius het volgende: [..] Dat is inderdaad heel goed mogelijk. Er zijn verschillende manieren om derdemachtswortels te berekenen door uitsluitend van de vier rekenkundige hoofdbewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen gebruik te maken, en een effectieve manier is dan gebruik maken van een Newton-Raphson iteratie. Om A^1/3 te berekenen (voor een A > 0) kies je dan een eerste schatting x₀ > 0 en bereken je achtereenvolgens steeds betere benaderingen x₁, x₂ ... met de recursieformule x_n+1 = x_n − ((x_n³ − A)/3x_n²) Als je wil weten hoe men aan deze formule komt en waarom deze werkt, dan kan ik je aanraden dit eens te bestuderen. In dit geval hebben we A = 500. Een eerste benadering voor de derdemachtswortel uit 500 is x₀ = 8, aangezien 8·8·8 = 512. Nu krijgen we met behulp van de recursieformule x₁ = 8 − (12/(3·8·8)) = 8 − 4/64 = 8 − 1/16 = 7,9375 Als je nu hiervan de derde macht berekent, dan vind je 7,9375 · 7,9375 · 7,9375 = 500,093505859375 zodat je ziet dat we zelfs na slechts één iteratie al een aardige benadering hebben. Maar uiteraard kunnen we nu verder gaan en met deze x₁ = 8 − 1/16 = 127/16 weer de recursieformule gebruiken om een betere benadering x₂ te berekenen. Daarvoor vinden we dan x₂ = 127/16 − ((127/16 · 127/16 · 127/16 − 500)/(3 · 127/16 · 127/16)) en met je basale rekenmachientje vind je dan x₂ = 7,9370052906772480211627089920847 Bereken je hiervan weer de derde macht door dit tweemaal met zichzelf te vermenigvuldigen, dan vind je 500,00000582768621621612494673954 De gevonden benadering is dus al heel goed. Kap je de gevonden waarde voor x₂ af op 7,93700529 en neem je hiervan de derde macht, dan krijg je 500,000005699694359553135889. De gevonden waarde 7,93700529 voor de derdemachtswortel uit 500 is tot op 7 decimalen nauwkeurig. Helemaal niet slecht dus voor zo'n kleine hoeveelheid rekenwerk. Je kunt trouwens door uitproberen nu gemakkelijk nagaan dat 7,93700526 dan de beste benadering geeft in 8 decimalen nauwkeurig. werkt dit ook voor 4de en 5de machtswortel? Moet ik dan gewoon alle 3's veranderen in 4's?
thenxero	maandag 12 augustus 2013 @ 14:46
	quote: Op maandag 12 augustus 2013 09:00 schreef Daarnaast het volgende: [..] werkt dit ook voor 4de en 5de machtswortel? Moet ik dan gewoon alle 3's veranderen in 4's? Laten we de 4de machtswortel van een getal A bekijken. Het probleem kan je zien als het vinden van een nulpunt van de functie f, die als volgt is gedefinieerd: $f(x) = x^4 - A.$ De Newton-Raphson formule is $x_n = x_{n-1} - \frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}$ . De afgeleide is in ons geval $f'(x) = 4x^3,$ dus invullen in de Newton-Raphson formule geeft $x_n = x_{n-1} - \frac{x_{n-1}^4 - A}{4 x_{n-1}^3}.$ Hoe het met andere machtswortels gaat kan je nu zelf bedenken, als je maar weet hoe je de afgeleide bepaalt. Daarna is het slechts een kwestie van die Newton-Raphson formule invullen.