SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Ik heb een rekenmachine waarmee je alleen kan delen, vermenigvuldigen, aftrekken en optellen.
stel ik wil 500^(1/3) doen, is dat mogelijk met mijn rekenmachine? En hoe?
stel ik wil 500^(1/3) doen, is dat mogelijk met mijn rekenmachine? En hoe?
(Volgens mij enkel) 
door een interval te bepalen (in dit geval bijvoorbeeld [7...8]) en vervolgens systematisch je afrondingsfout verkleinen(door bijv. het interval telkens te halveren en het deel met het antwoord te kiezen):
[7...8]->343 en 512
[7,5...8]->421 en 512
[7,75..8]->465,.. en 512
[7,875..8]->488,.. en 512
[7,9375..8]->500.09 en 512
[7,90625...7,9375]->494,21 en 500,09
[ Bericht 8% gewijzigd door Straatklinker op 12-08-2013 03:09:00 ]
door een interval te bepalen (in dit geval bijvoorbeeld [7...8]) en vervolgens systematisch je afrondingsfout verkleinen(door bijv. het interval telkens te halveren en het deel met het antwoord te kiezen):[7...8]->343 en 512
[7,5...8]->421 en 512
[7,75..8]->465,.. en 512
[7,875..8]->488,.. en 512
[7,9375..8]->500.09 en 512
[7,90625...7,9375]->494,21 en 500,09
[ Bericht 8% gewijzigd door Straatklinker op 12-08-2013 03:09:00 ]
43 = 64
4 * 4 * 4 = 64
Doe je voordeel met deze informatie!
4 * 4 * 4 = 64
Doe je voordeel met deze informatie!
"The only sight worse than a sad dwarf is a very sad dwarf"
"Met dubbel s welteverstaan"
"Met dubbel s welteverstaan"
Hey wtf, dat werkt niet met getallen onder nul?!?!?!quote:Op maandag 12 augustus 2013 01:50 schreef Geralt het volgende:
43 = 64
4 * 4 * 4 = 64
Doe je voordeel met deze informatie!
"The only sight worse than a sad dwarf is a very sad dwarf"
"Met dubbel s welteverstaan"
"Met dubbel s welteverstaan"
Dat is inderdaad heel goed mogelijk. Er zijn verschillende manieren om derdemachtswortels te berekenen door uitsluitend van de vier rekenkundige hoofdbewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen gebruik te maken, en een effectieve manier is dan gebruik maken van een Newton-Raphson iteratie.quote:Op maandag 12 augustus 2013 00:24 schreef Daarnaast het volgende:
Ik heb een rekenmachine waarmee je alleen kan delen, vermenigvuldigen, aftrekken en optellen.
stel ik wil 500^(1/3) doen, is dat mogelijk met mijn rekenmachine? En hoe?
Om A1/3 te berekenen (voor een A > 0) kies je dan een eerste schatting x0 > 0 en bereken je achtereenvolgens steeds betere benaderingen x1, x2 ... met de recursieformule
xn+1 = xn − ((xn3 − A)/3xn2)
Als je wil weten hoe men aan deze formule komt en waarom deze werkt, dan kan ik je aanraden dit eens te bestuderen.
In dit geval hebben we A = 500. Een eerste benadering voor de derdemachtswortel uit 500 is x0 = 8, aangezien 8·8·8 = 512. Nu krijgen we met behulp van de recursieformule
x1 = 8 − (12/(3·8·8)) = 8 − 4/64 = 8 − 1/16 = 7,9375
Als je nu hiervan de derde macht berekent, dan vind je
7,9375 · 7,9375 · 7,9375 = 500,093505859375
zodat je ziet dat we zelfs na slechts één iteratie al een aardige benadering hebben. Maar uiteraard kunnen we nu verder gaan en met deze x1 = 8 − 1/16 = 127/16 weer de recursieformule gebruiken om een betere benadering x2 te berekenen. Daarvoor vinden we dan
x2 = 127/16 − ((127/16 · 127/16 · 127/16 − 500)/(3 · 127/16 · 127/16))
en met je basale rekenmachientje vind je dan
x2 = 7,9370052906772480211627089920847
Bereken je hiervan weer de derde macht door dit tweemaal met zichzelf te vermenigvuldigen, dan vind je
500,00000582768621621612494673954
De gevonden benadering is dus al heel goed. Kap je de gevonden waarde voor x2 af op 7,93700529 en neem je hiervan de derde macht, dan krijg je 500,000005699694359553135889.
De gevonden waarde 7,93700529 voor de derdemachtswortel uit 500 is tot op 7 decimalen nauwkeurig. Helemaal niet slecht dus voor zo'n kleine hoeveelheid rekenwerk. Je kunt trouwens door uitproberen nu gemakkelijk nagaan dat 7,93700526 dan de beste benadering geeft in 8 decimalen nauwkeurig.
werkt dit ook voor 4de en 5de machtswortel? Moet ik dan gewoon alle 3's veranderen in 4's?quote:
[..]
Dat is inderdaad heel goed mogelijk. Er zijn verschillende manieren om derdemachtswortels te berekenen door uitsluitend van de vier rekenkundige hoofdbewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen gebruik te maken, en een effectieve manier is dan gebruik maken van een Newton-Raphson iteratie.
Om A1/3 te berekenen (voor een A > 0) kies je dan een eerste schatting x0 > 0 en bereken je achtereenvolgens steeds betere benaderingen x1, x2 ... met de recursieformule
xn+1 = xn − ((xn3 − A)/3xn2)
Als je wil weten hoe men aan deze formule komt en waarom deze werkt, dan kan ik je aanraden dit eens te bestuderen.
In dit geval hebben we A = 500. Een eerste benadering voor de derdemachtswortel uit 500 is x0 = 8, aangezien 8·8·8 = 512. Nu krijgen we met behulp van de recursieformule
x1 = 8 − (12/(3·8·8)) = 8 − 4/64 = 8 − 1/16 = 7,9375
Als je nu hiervan de derde macht berekent, dan vind je
7,9375 · 7,9375 · 7,9375 = 500,093505859375
zodat je ziet dat we zelfs na slechts één iteratie al een aardige benadering hebben. Maar uiteraard kunnen we nu verder gaan en met deze x1 = 8 − 1/16 = 127/16 weer de recursieformule gebruiken om een betere benadering x2 te berekenen. Daarvoor vinden we dan
x2 = 127/16 − ((127/16 · 127/16 · 127/16 − 500)/(3 · 127/16 · 127/16))
en met je basale rekenmachientje vind je dan
x2 = 7,9370052906772480211627089920847
Bereken je hiervan weer de derde macht door dit tweemaal met zichzelf te vermenigvuldigen, dan vind je
500,00000582768621621612494673954
De gevonden benadering is dus al heel goed. Kap je de gevonden waarde voor x2 af op 7,93700529 en neem je hiervan de derde macht, dan krijg je 500,000005699694359553135889.
De gevonden waarde 7,93700529 voor de derdemachtswortel uit 500 is tot op 7 decimalen nauwkeurig. Helemaal niet slecht dus voor zo'n kleine hoeveelheid rekenwerk. Je kunt trouwens door uitproberen nu gemakkelijk nagaan dat 7,93700526 dan de beste benadering geeft in 8 decimalen nauwkeurig.
Laten we de 4de machtswortel van een getal A bekijken. Het probleem kan je zien als het vinden van een nulpunt van de functie f, die als volgt is gedefinieerd:quote:Op maandag 12 augustus 2013 09:00 schreef Daarnaast het volgende:
[..]
werkt dit ook voor 4de en 5de machtswortel? Moet ik dan gewoon alle 3's veranderen in 4's?
De Newton-Raphson formule is
De afgeleide is in ons geval
dus invullen in de Newton-Raphson formule geeft
Hoe het met andere machtswortels gaat kan je nu zelf bedenken, als je maar weet hoe je de afgeleide bepaalt. Daarna is het slechts een kwestie van die Newton-Raphson formule invullen.
|
|
