Jouw dk -tjes zitten niet allemaal in (1,12)quote:Op zaterdag 27 juli 2013 00:50 schreef randomo het volgende:
Even wat heel anders. Ik probeerde deze opgave te maken:
Laat d1 t/m d12 reële getallen in het open interval (1, 12) zijn. Laat zien dat er verschillende indices i, j, k bestaan zodat di, dj en dk de lengtes van de zijden van een 'acute triangle' (een driehoek waarvan alle hoeken minder dan 90 graden zijn) zijn.
Ik stelde vervolgens de voorwaarden op dat drie gegeven reële getallen de lengtes van de zijden van een 'acute triangle' zijn. Neem c ≥ b ≥ a. Dan is a2 + b2 > c2 een belangrijke voorwaarde, maar er moet ook gelden dat c < a + b, anders is er geen sprake van een driehoek.
Neem nu dk = 1012-k, met 1 ≤ k ≤ 12 Volgens mij bestaat er dan geen driehoek waarvan de zijden gelijk zijn aan een drietal van deze dk's.
De dk's worden dus steeds een factor 10 groter. Het is niet mogelijk een driehoek te tekenen met zijden van lengte a, b en c zodat c > 10b en b > 10a.
In het antwoord wordt de voorwaarde a + b > c helemaal niet genoemd.
Ik heb de vraag hier vandaan en de antwoorden hier.
Begrijp ik iets niet of klopt de vraag niet? Dat zou me nogal verbazen, het is best wel een prestigieuze wedstrijd had ik het idee.
Nee, maar dat is ook niet nodig, want als je c ≥ b ≥ a > 0 hebt en tevens c2 < a2 + b2, dan is ook c2 < (a + b)2 aangezien a2 + b2 < (a + b)2 en dus c < a + b. Handig hè, die merkwaardige producten?quote:Op zaterdag 27 juli 2013 00:50 schreef randomo het volgende:
In het antwoord wordt de voorwaarde a + b > c helemaal niet genoemd.
Ik begrijp de relatie tussen de vraag en het antwoord niet. M.i. bewijst het antwoord iets anders dan er gevraagd wordt.quote:Ik heb de vraag hier vandaan en de antwoorden hier.
Begrijp ik iets niet of klopt de vraag niet? Dat zou me nogal verbazen, het is best wel een prestigieuze wedstrijd had ik het idee.
Er is een i<= 10 zodat ofwelquote:Op zaterdag 27 juli 2013 01:17 schreef Riparius het volgende:
Ik begrijp de relatie tussen de vraag en het antwoord niet. M.i. bewijst het antwoord iets anders dan er gevraagd wordt.
O, god, wat ben ik dom bezig Misschien moet ik eerst maar leren lezen voor ik wiskunde probeer...quote:Op zaterdag 27 juli 2013 01:15 schreef thenxero het volgende:
[..]
Jouw dk -tjes zitten niet allemaal in (1,12)
Je hebt een punt jaquote:Op zaterdag 27 juli 2013 01:17 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, maar dat is ook niet nodig, want als je c ≥ b ≥ a > 0 hebt en tevens c2 < a2 + b2, dan is ook c2 < (a + b)2 aangezien a2 + b2 < (a + b)2 en dus c < a + b. Handig hè, die merkwaardige producten?
Ah, ik geloof dat ik het nu zie. Het is een bewijs uit het ongerijmde. Als er geen drietal waarden di dj dk op het open interval (1,12) zou zijn die de zijden van een scherpe driehoek vormen, dan moet je hebben di+2² ≥ di² + di+1² voor 1 ≤ i ≤ 10 en dan heb je d12² ≥ 144·d1² en dat is in tegenspraak met 1 < d1 ≤ d12 < 12, QED.quote:Op zaterdag 27 juli 2013 01:25 schreef thenxero het volgende:
[..]
Er is een i<= 10 zodat ofwel
di+2² < di² + di+1²
en je dus een acute triangle hebt, ofwel krijg je tegenspraak met het feit dat alle dk'tjes in (1,12) zitten.
5050/2525 = (502/25)25 = (2500/25)25 = 10025quote:Op zaterdag 27 juli 2013 15:03 schreef wiskundenoob het volgende:
50 50 / 25 25 = 100 25
Hoe kom je aan 100?
Waaraan is 8 8 gelijk?
Derde macht van 4 4
Waarom?
Waaraan is 8^8 gelijk?quote:Op zaterdag 27 juli 2013 15:11 schreef Amoeba het volgende:
[..]
5050/2525 = (502/25)25 = (2500/25)25 = 10025
De rest van je vragen is uiterst wazig.
Je hebt de rekenregels voor machten nodig.
Ofwel (ap)q = apq
En:
ap/bp =(a/b)p
Je zou kunnen gebruiken dat 8 = 23 en 4
Lees je wel wat ik zeg? Ga het eens uitrekenen dan.quote:Op zaterdag 27 juli 2013 15:28 schreef wiskundenoob het volgende:
[..]
Waaraan is 8^8 gelijk?
a. de tweede macht van 4^4
b. de derde macht van 4^4
c. de vierde macht van 4^4
d. de achtste macht van 4^4
e. de zestiende macht van 4^4
Dit kan je dus gewoon invoeren in wolfram alpha of zelfs google. Ik moet zeggen dat mijn vraag gister ook niet van veel inzicht getuigde, maar iets intypen in google bespaart zowel jou als de mensen die reageren op je posts moeite.quote:Op zaterdag 27 juli 2013 15:28 schreef wiskundenoob het volgende:
[..]
Waaraan is 8^8 gelijk?
a. de tweede macht van 4^4
b. de derde macht van 4^4
c. de vierde macht van 4^4
d. de achtste macht van 4^4
e. de zestiende macht van 4^4
Nee dit is geen constructieve kritiek. Wiskundenoob (toepasselijke naam..) moet duidelijk leren hoe hij dit soort problemen aanpakt, en dus inzicht in de wiskunde verkrijgen. Iets simpel invoeren in WolframAlpha of Google lijkt wel heel veel op het gebruiken van de (door Riparius) zo verfoeide grafische rekenmachine. Verder voeg je m.i. wel degelijk wat toe aan het topic, dus zeer welkom.quote:Op zaterdag 27 juli 2013 17:49 schreef randomo het volgende:
[..]
Dit kan je dus gewoon invoeren in wolfram alpha of zelfs google. Ik moet zeggen dat mijn vraag gister ook niet van veel inzicht getuigde, maar iets intypen in google bespaart zowel jou als de mensen die reageren op je posts moeite.
Alleen als de formule luidt y = x, dan maakt het niets uit. Anders wel.quote:Op zaterdag 27 juli 2013 21:10 schreef Rezania het volgende:
Als je een vlakdeel hebt dat wordt ingesloten door een grafiek, de x-as en de y-as, en je wil de inhoud weten als je het om een as wentelt, dan maakt het toch niet uit om welke as je hem wentelt? Of denk ik nou te simpel?
Het probleem is niet dat je te simpel denkt maar dat je er kennelijk helemaal niet over na hebt gedacht. Beschouw het vlakdeel begrensd door de positieve x-as, de positieve y-as, en de rechte lijn met vergelijking y = −2x + 1. Deze lijn snijdt de x-as in het punt (½; 0) en de y-as in het punt (0; 1). Bij wenteling van dit vlakdeel om de x-as krijg je een kegel waarvan de straal r van het grondvlak gelijk is aan 1 en de hoogte h gelijk is aan ½. Maar bij wenteling om de y-as krijg je een kegel met r = ½ en h = 1. De vraag is dan of jij denkt dat deze kegels dezelfde inhoud hebben?quote:Op zaterdag 27 juli 2013 21:10 schreef Rezania het volgende:
Als je een vlakdeel hebt dat wordt ingesloten door een grafiek, de x-as en de y-as, en je wil de inhoud weten als je het om een as wentelt, dan maakt het toch niet uit om welke as je hem wentelt? Of denk ik nou te simpel?
Wat denk je van het vlakdeel begrensd door de positieve x-as, de positieve y-as, en de curve met vergelijking x2 + y2 = 1 ?quote:Op zaterdag 27 juli 2013 21:40 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Alleen als de formule luidt y = x, dan maakt het niets uit. Anders wel.
Kutquote:Op zondag 28 juli 2013 00:26 schreef Riparius het volgende:
[..]
Wat denk je van het vlakdeel begrensd door de positieve x-as, de positieve y-as, en de curve met vergelijking x2 + y2 = 1 ?
Nee, natuurlijk niet, want r² leveren andere waardes op. Je hebt gelijk. Ik denk dat ik al weet waar het fout ging, ik moest een vlakdeel om de y-as wentelen waarbij de 'straal' die delta x geeft gelijk was aan de 'straal' die delta y gaf.quote:Op zondag 28 juli 2013 00:24 schreef Riparius het volgende:
[..]
Het probleem is niet dat je te simpel denkt maar dat je er kennelijk helemaal niet over na hebt gedacht. Beschouw het vlakdeel begrensd door de positieve x-as, de positieve y-as, en de rechte lijn met vergelijking y = −2x + 1. Deze lijn snijdt de x-as in het punt (½; 0) en de y-as in het punt (0; 1). Bij wenteling van dit vlakdeel om de x-as krijg je een kegel waarvan de straal r van het grondvlak gelijk is aan 1 en de hoogte h gelijk is aan ½. Maar bij wenteling om de y-as krijg je een kegel met r = ½ en h = 1. De vraag is dan of jij denkt dat deze kegels dezelfde inhoud hebben?
Nee. Je bedoelt dat de grafiek spiegelsymmetrisch is t.o.v. de lijn y = x. Het hoeft niet eens een grafiek van een functie te zijn, denk bijvoorbeeld aan twee rechte lijnstukken tussen de punten (1; 0) en (1; 1) en tussen de punten (0; 1) en (1; 1).quote:Op zondag 28 juli 2013 00:27 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Kut
Enfin, je snapt wat ik bedoel TS. Enkel bij functies die symmetrisch zijn in y = x. Zeg ik dit juist Riparius?
Ah ja. Ik had al het idee dat 't niet helemaal klopte wat ik zei, maar dat bedoelde ik inderdaad.quote:Op zondag 28 juli 2013 00:33 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee. Je bedoelt dat de grafiek spiegelsymmetrisch is t.o.v. de lijn y = x. Het hoeft niet eens een grafiek van een functie te zijn, denk bijvoorbeeld aan twee rechte lijnstukken tussen de punten (1; 0) en (1;1) en tussen de punten (0; 1) en (1; 1).
Dat klopt, maar dan stelt hij de verkeerde vragen. Het antwoord op zijn vraag is makkelijk met een rekenmachine of iets dergelijks te controleren, maar inzicht in het rekenen met machten zal hij daar niet van krijgen.quote:Op zaterdag 27 juli 2013 18:37 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Nee dit is geen constructieve kritiek. Wiskundenoob (toepasselijke naam..) moet duidelijk leren hoe hij dit soort problemen aanpakt, en dus inzicht in de wiskunde verkrijgen. Iets simpel invoeren in WolframAlpha of Google lijkt wel heel veel op het gebruiken van de (door Riparius) zo verfoeide grafische rekenmachine. Verder voeg je m.i. wel degelijk wat toe aan het topic, dus zeer welkom.
De grafiek hoeft zelfs niet spiegelsymmetrisch t.o.v. y=x te zijn om het wentelen om de x en y-as tot dezelfde inhoud te laten leiden.quote:Op zondag 28 juli 2013 00:33 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee. Je bedoelt dat de grafiek spiegelsymmetrisch is t.o.v. de lijn y = x. Het hoeft niet eens een grafiek van een functie te zijn, denk bijvoorbeeld aan twee rechte lijnstukken tussen de punten (1; 0) en (1; 1) en tussen de punten (0; 1) en (1; 1).
Dat is juist, spiegelsymmetrie van het vlakdeel t.o.v. de lijn y = x is een voldoende maar geen noodzakelijke voorwaarde voor gelijke volumina van de omwentelingslichamen bij wenteling om de x-as resp. de y-as. In jouw voorbeeld ligt echter het zwaartepunt (1½; 1½) van het vlakdeel wel degelijk op de lijn y = x, zodat volgens het tweede theorema van Pappus-Guldin de volumina bij wenteling om de x-as resp. de y-as gelijk moeten zijn. De oppervlakte van je vlakdeel is 6 en het zwaartepunt beschijft bij wenteling om de x-as of de y-as een cirkel met omtrek 3π, zodat het volume in beide gevallen inderdaad 6·3π = 18π bedraagt. De ligging van het zwaartepunt van het vlakdeel op de lijn y = x is zowel een noodzakelijke als een voldoende voorwaarde voor gelijke volumina van de omwentelingslichamen bij wenteling om de x-as resp. de y-as, en aan deze voorwaarde is uiteraard voldaan bij een vlakdeel dat spiegelsymmetrisch is t.o.v. de lijn y = x, aangezien het zwaartepunt op de symmetrie-as ligt.quote:Op zondag 28 juli 2013 14:56 schreef thenxero het volgende:
[..]
De grafiek hoeft zelfs niet spiegelsymmetrisch t.o.v. y=x te zijn om het wentelen om de x en y-as tot dezelfde inhoud te laten leiden.
Beschouw bijvoorbeeld de twee rechthoeken met als hoekpunten
(0,0), (0,1), (3,0), (3,1) en (0,2), (0,3), (3,2), (3,3).
Wentelen om de x-as en y-as geeft beide een inhoud van 18 pi, maar het is niet spiegelsymmetrisch in y=x.
Je ziet toch dat ik het exact aan kan tonen zonder gebruik van een calculator. Dan snap ik even niet waarom dit geen inzicht verschaft in het rekenen met machten.quote:Op zondag 28 juli 2013 11:19 schreef randomo het volgende:
[..]
Dat klopt, maar dan stelt hij de verkeerde vragen. Het antwoord op zijn vraag is makkelijk met een rekenmachine of iets dergelijks te controleren, maar inzicht in het rekenen met machten zal hij daar niet van krijgen.
Didactiek is ook een vak. Uiteraard is je herleiding hierboven correct, maar het is de vraag hoeveel hij hier van opsteekt gezien zijn 'voorkennis' en track record van zijn eerdere posts in dit topic.quote:Op maandag 29 juli 2013 18:39 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Je ziet toch dat ik het exact aan kan tonen zonder gebruik van een calculator. Dan snap ik even niet waarom dit geen inzicht verschaft in het rekenen met machten.
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |