quote:
Op zaterdag 13 juli 2013 01:13 schreef randomo het volgende:[..]
Hier ook een paper van een masterstudent waarin de formule van Cardano op soortgelijke (maar natuurlijk wat ingewikkeldere wijze) wordt afgeleid.
Ik ken dat stuk wel, maar ik vind het niet zo goed, zowel inhoudelijk als didactisch niet. Het begint al meteen bij de eerste alinea, waar de auteur de lezer vraagt of deze er wel eens over nagedacht heeft hoe de vergelijking
x
3 + 3x
2 + 6x + 8 = 0
algebraïsch kan worden opgelost. Dit is een heel slecht voorbeeld, want dergelijke vergelijkingen werden vroeger vaak als oefening in het ontbinden in factoren gegeven. Oplossen van deze vergelijking zonder kennis van de theorie van de kubische vergelijkingen is een koud kunstje omdat je hebt 3x
2 + 6x = 3x(x + 2) en x
3 + 8 = x
3 + 2
3 = (x + 2)(x
2 − 2x + 4) zodat we dus hebben
(x + 2)(x
2 + x + 4) = 0
Er staan nogal wat onjuistheden in, zoals de bewering dat Al-Khwarizmi de eerste was die de techniek van kwadraatafsplitsing toepaste. Dat is niet zo, want ca. 1000 jaar eerder werd de techniek al gebruikt door de Grieken, en nog weer zo'n anderhalf millennium eerder (!) was de techniek ook al bekend bij de Babyloniërs, zie
hier.
Interessant is dat de Babyloniërs een iets andere methode gebruikten dan de techniek die nu gewoonlijk onder
completing the square wordt verstaan. Een bekend voorbeeld is het vraagstuk over een rechthoekig stuk land waarvan de lengte 20 eenheden groter is dan de breedte terwijl de oppervlakte 800 vierkante eenheden bedraagt en waarbij gevraagd wordt de afmetingen van het stuk land te bepalen.
Dit vraagstuk werd opgelost door de helft van het verschil tussen lengte en breedte te nemen, zijnde 10 eenheden, en een strook van deze breedte van de lengte af te halen en aan de breedte toe te voegen. Hierdoor verkrijgen we een L-vormig stuk land dat bestaat uit een vierkant waarvan de zijde het gemiddelde is van de lengte en breedte van het oorspronkelijke stuk land en waaraan een vierkant ontbreekt met een zijde gelijk aan het halve verschil tussen de lengte en breedte van het oorspronkelijke stuk land. Aangezien het L-vormige stuk land dezelfde oppervlakte heeft als het oorspronkelijke rechthoekige stuk land, 800 vierkante eenheden, en het ontbrekende vierkant een oppervlakte heeft van 100 vierkante eenheden, dus samen 900 vierkante eenheden, volgt zo dat het gemiddelde van de gezochte lengte en breedte 30 eenheden bedraagt. De afmetingen van het rechthoekige stuk land bedragen dus 40 bij 20 eenheden.
We kunnen deze werkwijze als volgt vertalen naar een algebraïsche oplossing van het vraagstuk. Noem de gezochte breedte van het stuk land x, dan is de lengte van het stuk land x + 20, en aangezien de oppervlakte 800 bedraagt hebben we dan
x(x + 20) = 800
Het gemiddelde van x en x + 20 is x + 10, en we kunnen nu schrijven x = (x + 10) − 10 en x + 20 = (x + 10) + 10, zodat we de vergelijking kunnen herschrijven als
((x + 10) − 10)((x + 10) + 10) = 800
Nu hebben we het linkerlid omgevormd tot een product van het verschil en de som van twee grootheden, zodat we de vergelijking nu met behulp van het merkwaardig product (a − b)(a + b) = a
2 − b
2 kunnen herschrijven als
(x + 10)
2 − 10
2 = 800
zodat
(x + 10)
2 = 900
waaruit volgt
x = 20 ∨ x = −40
Uiteraard voldoet voor het vraagstuk alleen de positieve oplossing. Deze methode van oplossen van een vierkantsvergelijking wordt wel de Babylonische methode genoemd. Hier wordt dus gebruik gemaakt van het merkwaardig product (a − b)(a + b) = a
2 − b
2 om het linkerlid te herleiden tot een
verschil van twee kwadraten, terwijl bij de gangbare methode gebruik wordt gemaakt van het merkwaardig product (a ± b)
2 = a
2 ± 2ab + b
2 om het linkerlid van de kwadratische vergelijking te
completeren tot een volkomen kwadraat.
De (gemoderniseerde) weergave van Bombelli's behandeling van de kubische vergelijking x
3 − 15x = 4 is niet juist, Bombelli schreef de oplossing x = 4 namelijk niet als een verschil maar als een som van twee derdemachtswortels uit 2 + √−121 resp. 2 − √−121.
Verder is de notatie i voor √−1 niet ingevoerd door Bombelli, maar pas twee eeuwen later door Euler, die de notatie voor het eerst gebruikte in een paper uit 1777, dat echter pas in 1794 (postuum) werd gepubliceerd. Enkele jaren later, in 1801, introduceerde ook Gauss de notatie i voor √−1, waarbij niet duidelijk is of hij dit onafhankelijk van Euler deed.
Ik mis in het stuk een bespreking van de goniometrische oplossingsmethode voor het geval de kubische vergelijking drie (verschillende) reële wortels heeft. Anders dan de auteur lijkt te willen suggereren is het in dit geval (
casus irreducibilis) namelijk in het algemeen niet mogelijk gebruik te maken van de formules van Cardano om langs algebraïsche weg een oplossing te vinden van de kubische vergelijking.
Voor de afleiding van de abc-formule wordt uitgegaan van een afleiding van de pq-formule waaruit door een substitutie p = b/a en q = c/a dan de abc-formule wordt afgeleid. Veel eleganter is echter de directe herleiding van de abc-formule met behulp van de methode van Sridhara. Dit is een gemiste kans omdat het de mogelijkheid had geboden om kwadraatafsplitsing ook te behandelen in het algemene geval waarin de kwadratische coëfficiënt niet gelijk is aan 1 zonder daarbij de vergelijking eerst te herleiden tot de gedaante x
2 + px + q = 0.
quote:
Trouwens, ik zoek nog wat opgaven om bewijzen mee te oefenen. Ik heb wel putnam problemen gevonden, maar veel daarvan zijn toch wat te moeilijk voor me. Ik begrijp de te bewijzen stelling wel, maar ik kom eigenlijk nooit uit de bewijzen. Iemand een idee?
Geef eens wat voorbeelden van stellingen die je denkt te begrijpen maar waarvan je niet zelf een bewijs kunt verzinnen en (correct) op kunt schrijven.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 15-07-2013 04:02:22 ]